9 MECANICA Y FLUIDOS: Colisiones

9 MECANICA Y FLUIDOS: Colisiones CONTENIDOS Conservación de cantidad de movimiento y de la energía. Colisiones elásticas e inelásticas. Coeficiente de restitución. Trabajo de Fuerzas conservativas y no conservativas. Trabajo de Fricción. Energía cinética y potencial. Expresión del coeficiente de restitución. Cálculo de errores. OBJETIVOS Interpretar los conceptos de colisión, colisión elástica y colisión inelástica. Aplicar el principio de conservación de energía para calcular el coeficiente de restitución. Calcular las correcciones y los errores experimentales. IX.1 FUNDAMENTOS TEORICOS Una colisión ocurre cuando dos cuerpos se aproximan entre sí y su interacción mutua altera el movimiento, produciendo un intercambio de cantidad de movimiento momentum y energía en un intervalo de tiempo relativamente pequeño. Como solamente entran en acción fuerzas internas durante una colisión, tanto el momentum como la energía son conservadas; siendo esta última la suma de la energía cinética E k más la energía potencial interna E p12 que, por reagrupaciones internas, puede variar después de la interacción. Conservación del momentum: p 1 + p 2 = p 1 + p 2 Conservación de la energía: E k + E p12 = E k + E p12 Reordenando esta última ecuación e introduciendo un término Q: E k E k = E p12 E p12 = Q Cuando Q = 0, la energía cinética permanece constante caso ideal y la colisión es perfectamente elástica. En este caso no se pierde energía por calor o deformación durante la colisión ejemplo: la colisión de acero contra mármol Cuando Q 0, la colisión es inelástica y puede darse de dos maneras: 1. Si Q < 0 hay disminución de la energía cinética con un aumento de la energía potencial interna colisión inelástica de primera clase o endoérgica 2. Si Q > 0, aumenta la energía cinética con disminución de la energía potencial internacolisión inelástica de segunda clase o exoérgica La mayoría de las colisiones caen entre estos extremos. 68

En una colisión perfectamente elástica entre dos masas m 1 y m 2, la energía cinética y la cantidad de movimiento permanece sin cambios. Energía: ½ m 1 v 1 2 + ½ m 2 v 2 2 = ½ m 1 v 1 2 + ½ m 2 v 2 2 Momentum: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 v 1 2 v 1 2 = m 2 v 2 2 v 2 2 es decir que: m 1 v 1 v 1 = m 2 v 2 v 2 Dividiendo estas dos últimas y factorizando, resulta: v 1 +v 1 = v 2 + v 2 Que puede ser reordenado como v 1 v 2 = v 2 v 1 = - v 1 v 2 µ κ m 2 C D h reordenando las dos ecuaciones tenemos: En el caso ideal de una colisión perfectamente elástica, la velocidad relativa después de la colisión v 1 v 2, es igual al negativo de la velocidad relativa antes de la colisión v 1 v 2. Cuanto más iguales sean estas cantidades mas elástica será la colisión. Un medio de medir la elasticidad de una colisión se obtiene a través del coeficiente de restitución e que es la relación negativa de la velocidad relativa después de la colisión con la velocidad relativa antes de la misma e = - v 1 v 2 / v 1 - v 2 Si la colisión es perfectamente elástica e = 1; si es perfectamente inelástica e = 0. En general tiene un valor entre 0 y 1 y se lo puede calcular midiendo de alguna manera las velocidades antes y después de una colisión. Determinación del coeficiente de restitución En este método se procede al análisis energético del sistema constituido por un péndulo y un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal tal como se observa en la figura. Para ello se separa el péndulo cuerpo: m 1 de su posición de equilibrio un ángulo α de tal manera que se encuentre en el punto A. Luego de liberarlo, se produce la colisión en el punto B con el cuerpo m 2 y como consecuencia del choque, este último se deslizará sobre la superficie hasta detenerse en punto C, en tanto que el péndulo m 1 ascenderá a priori, hasta el punto D formando un ángulo β con respecto de la posición de equilibrio. m 1 m 2 β B m 1 α L m 1 A 69

Análisis energético para el péndulo Cuando el péndulo se encuentra en la posición A actúa sobre él su peso m 1 g que es una fuerza conservativa su trabajo es independiente de la trayectoria que describa el cuerpo por lo que: Se puede obtener la energía total E como la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria E = E k + E p Se puede fijar un nivel de referencia arbitrario de energía potencial Ep = 0 a nivel de la superficie horizontal Se aplica el principio de conservación de la energía: cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía mecánica total del cuerpo permanece constante la energía del cuerpo se conserva E = E k + E p = constante La energía en el punto A, a una altura respecto al nivel de referencia es: E A = E ka + E pa siendo E ka =0 ya que antes de soltarlo la velocidad inicial será nula por lo que la energía total será igual a la energía potencial. E A = E pa = m 1 g Donde = Z cos α; Z = L+ a; L = longitud del hilo o varilla de masa despreciable que sostiene el cuerpo m 1 de tamaño a. En el punto B, antes de la colisión, se tiene: E B = E kb + E pb y como se encuentra en el nivel de referencia E pb = 0, la energía total será consecuencia de la energía cinética, por lo que : E B = E kb = ½ m 1 v 1 2 Como la energía permanece constante, se verifica para el péndulo que: E A = E B E pa = E kb m 1 g = ½ m 1 v 1 2 de aquí se tiene que v 1 es: v 1 = 2 g Después de la colisión en el punto B, el péndulo se moverá con una velocidad distinta v 1 con una energía E kb gracias a la cual ascenderá o no dependiendo del tipo de colisión, hasta una altura h menor que por disminución de su energía inicial. Se señala que en el punto D la que la energía total se deberá exclusivamente a la energía potencial gravitatoria ya que por un instante el péndulo detiene su movimiento siendo la velocidad v D = 0 En estas circunstancias también es posible aplicar el principio de conservación de energía, es decir: E B = E D E kb = E pd ½ m 1 v 1 2 = m 1 gh por lo que v 1 = 2 g siendo h = Z1 cos β 70

Análisis energético para el cuerpo Inicialmente el cuerpo se encuentra en reposo por lo que su velocidad es nula; por ello: v 2 = 0 Después de la colisión adquirirá una velocidad v 2 la que, por efecto de su fricción con la superficie, irá disminuyendo hasta detenerse en el punto C. La fricción es una fuerza no conservativa cuyo trabajo W depende la trayectoria seguida la distancia d en este caso que corresponde al segmento BC. En este caso la suma de la energía cinética más la energía potencial no permanece constante, siendo E B = E C + W En B el cuerpo posee únicamente energía cinética ya que se encuentra en el nivel de referencia Ep =0: E B = E k2 E B =1/2m 2 v 2 2 En el punto C el cuerpo se detiene, su velocidad es nula y como se encuentra en el nivel tomado como referencia, la energía total es cero E C = 0 El trabajo W de fricción se define como: W = µm 2 gd Siendo µ el coeficiente de fricción entre el cuerpo m 2 y la superficie a lo largo de la distancia d. De allí se tiene que: 1/2m 2 v 2 2 = 0 + µm 2 gd Es decir que toda la energía cinética inicial se transforma a lo largo de d, en trabajo de rozamiento. La v 2 se calcula según la expresión: v 2 = 2 µ gd De esta manera el coeficiente de restitución e queda definida como: e = 2 gh 2 µ gd 2 g 0 e = h Es decir que se puede conocer el coeficiente de restitución e determinando:: Los ángulos antes y después de la colisión. El coeficiente de fricción entre el cuerpo m 2 y la superficie horizontal. La distancia recorrida por el cuerpo m 2. Es necesario analizar algunas situaciones que pueden presentarse a fin de corregir la ecuación general para la determinación del coeficiente de restitución: Si después de la colisión el péndulo se mueve en el mismo sentido que tenía originalmente e = h 71

Si lo hace en sentido inverso e = h + Si después de la colisión el péndulo se detiene en B e = Cálculo del error en la determinación del coeficiente de restitución Si todas las magnitudes involucradas en la determinación del coeficiente se determinan experimentalmente, el error será: e= e h + µ h e µ + e d + e z d z e = 1 h + d µ 2 h 2 µ + µ d + 2 d h µ 2 donde: h = 1-cosβ Z + Z sen β β = 1-cosα Z + Z sen α α z = L + a Factor de corrección del coeficiente de restitución La expresión de la velocidad del péndulo justo antes de la colisión con el cuerpo m 2 expresada en párrafos anteriores es válida para el caso en que en el mismo sólo actúen fuerzas del tipo conservativas sin que haya ninguna otra influencia que la afecte. Sin embargo, en la realidad, existen fuerzas no conservativas, especialmente las que originan fricción debidas al aire y al dispositivo utilizado para esta determinación, especialmente relacionados con el péndulo y en el que se miden los ángulos antes y después de la colisión. De esta manera la velocidad del péndulo en el punto B será menor que la que se determina en forma ideal. Todas estas fuerzas originan trabajos de fricción y que se la tomarán en forma conjunta como W f. Para ello se soltará al péndulo sin que colisione con ningún otro cuerpo y, se podrá valorarlo por diferencia entre la energía potencial inicial y final; es decir Por ello Wf = Ep 0 Ep f = m 1 g 0 h f 1 g γ + γ v 1* = 2 0 hf γ: ángulo total desplazado por el péndulo sin colisión. 72

MATERIALES Soporte universal Semicírculo Varilla rígida o hilo inextensible de masas despreciables Diversos cuerpos para formar el péndulo Cuerpos con superficies planas de diversas naturaleza Cinta métrica Calibre Balanza IX.2 PROCEDIMIENTOS 1. Medir la longitud del hilo inextensible o varilla rígida: µ L = L ± L 2. Medir la longitud del cuerpo que constituye el péndulo µ a = a ± a 3. Determinar las masas del péndulo y del cuerpo apoyado: µ m 1 = m 1 ± m µ m m ± m 2 = 2 4. Separar el péndulo de su posición de equilibrio, medir el ángulo α 0 y determinar la altura 0 0 = Z 1-cosα 0 5. Soltar el péndulo sin que existe ninguna colisión, medir el ángulo β 0 y determinar la altura h f h f = Z1-cosβ 0 6. Separar el péndulo de su posición de equilibrio, medir el ángulo α y determinar la altura µα = α ± α ; = Z 1-cos α; µ = ± 7. Soltar el péndulo y después de la colisión con m 2, medir el ángulo β y determinar la altura h µβ = β ± β ; h = Z 1-cos β; µ h = h± h 8. Medir la distancia recorrida por el cuerpo m 2 = d ± d 9. Determinar el coeficiente de restitución y su error µ e = e ± e 10. Determinar el coeficiente de restitución corregido por fricción. 11. Preparar el informe de la experiencia prestando especial atención a la discusión del resultado obtenido, debiendo sugerir mejoras razonables. 73