Caso Corporación Desarrollo Winston Salem

Caso Corporación Desarrollo Winston Salem - Un caso de planeación financiera- (Tomado de Gould y Eppen.) Esta es una interesante aplicación de la programación lineal a la planeación financiera. La Corporación Winston Salem Development (CWSD) está tratando de integrar su plan de inversiones para los próximos dos años. Actualmente, la CWSD tiene disponible un millón quinientos mil dólares para invertir. La CWSD espera recibir en los siguientes 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de inversiones previas. En la tabla # 1 se presentan los datos. Hay dos proyectos de desarrollo en los que la compañía está planeando participar durante estos dos próximos años. 1. El primer proyecto es Foster. En la figura # 2 se muestra el flujo de caja que se tendría si la CWSD participara a un nivel del 100% en el proyecto de Foster, la CWSD tendría que desembolsar de inmediato $1,000,000. A los 6 meses erogaría $700,000, etc. 2. Un segundo proyecto consiste en hacerse cargo de la operación de un antiguo Proyecto de Vivienda Media llamado Middle, con la condición de que deben hacerse ciertas reparaciones iniciales. En la figura # 3 se muestra el flujo de caja del proyecto, a nivel del 100% de participación. Debido a la política de la compañía, a la CWSD no se le permite pedir prestado dinero. Sin embargo al comienzo de cada periodo de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que no sean colocados en Foster City o en proyectos de Vivienda Media) se invierten con un interés del 7% para este período de 6 meses. La CWSD puede participar en cualquiera de los proyectos a nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirán en forma proporcional. Por ejemplo si la CWSD opta por participar en la Foster City, a nivel de 30%, el flujo de caja asociado con esta decisión sería 0.3 veces los datos de la tabla # 2. El dilema que actualmente encara la CWSD es decidir que parte de los $1,500,000 en efectivo debe invertir en cada proyecto y cuanto debe colocarse simplemente por el rédito del 7% semestral. La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habrá al final de los 24 meses. Formule este problema como modelo de programación lineal. Solución: Las restricciones de este modelo deben contener la condición de que al empezar cada uno de los cuatro períodos de seis meses el dinero invertido < dinero disponible. Variables de decisión F = Fracción de participación en el proyecto Foster City M = Fracción de participación en el proyecto de Vivienda Media. S1 = Fondo inicial excedente (no invertido en F o M inicialmente) que se invertirá al 7% S2 = Fondo excedente a los 6 meses, para invertir al 7%. S3 = Fondo excedente a los 12 meses, para invertir al 7%. S4 = Fondo excedente a los 18 meses, para invertir al 7%. La primera restricción debe relacionarse al efectivo disponible y su posible inversión al inicio del semestre 1. Inversión inicial < fondo inicial disponible, o bien 1,000,000F + 800,000M + S1 < 1,500,000 58

Tomando en cuenta que, debido a los intereses, S1 se convierte en 1.07S1 después de 6 meses y que lo mismo ocurre con S2, S3 y S4, las tres restricciones restantes serán Inicio del semestre 2: 700,000F + S2 < 500,000M + 1.07S1 + 500,000 Inicio del semestre 3: 200,000M + S3 < 1,800,000F + 1.07S2 + 400,000 Inicio del semestre 4: 700,000M + S4 < 400,000F + 1.07S3 + 380,000 La función objetivo consiste en maximizar el efectivo disponible al final de los 24 meses. O sea al final del semestre 4. Modelo formal CWSD 600,000F + 2,000,000M + 1.07S4 Max 600,000F + 2,000,000M + 1.07S4 Sujeto a: 1,000,000F + 800,000M + 1.07S4 < 1,500,000 700,000F - 500,000M 1.07S1 + S2 < 500,000-1,800,000F + 200,000M - 1.07S2 + S3 < 400,000-400,000F + 700,000M - 1.07S3 + S4 < 380,000 F < 1 M < 1 F > 0, M > 0, S1 > 0, i = 1, 2, 3, 4 6 meses $ 500,000 12 meses $ 400,000 18 meses $ 380,000 Tabla # 1, Ingresos de Inversiones previas Inicio $ -1,000,000 6 meses $ - 700,000 12 meses $ 1,800,000 18 meses $ 400,000 24 meses $ 600,000 Tabla # 2. Flujo de caja de la Foster City Inicio $ - 800,000 6 meses $ 500,000 12 meses $ - 200,000 18 meses $ - 700,000 24 meses $ 2,000,000 Tabla # 3. Flujo de caja del Proyecto de Vivienda Media 59

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Caso Fábrica de Concentrados Plática entre el Gerente General y el Gerente de producción de una empresa de concentrados. Gerente de Producción (GP): Dado que no existe un sistema de minimización de costos, le propongo utilicemos un modelo de Programación Lineal (PL) que proporcione la formula optima a fin de lograr los mínimos costos y obtener una mejor rentabilidad. Gerente General (GG): Explíqueme en que consiste ese modelo de Programación Lineal. GP: Un modelo de PL consiste en una representación (abstracción) de la realidad, expresada en forma matemáticamente. GG: Qué contiene ese modelo de PL? GP: Un modelo de PL contiene 3 elementos básicos que son: 1- Las variables de decisión. 2- La función objetivo que se desea maximizar (o minimizar). Esta sirve como el criterio para evaluar las diferentes alternativas factibles. 3- Las restricciones que son las limitantes y deseos que deben satisfacer las alternativas factibles. Específicamente las alternativas potenciales que satisfacen todas y cada una de las restricciones son llamadas alternativas factibles. A fin de aclarar estos conceptos en el anexo 1 se muestra una impresión emitida por el software STORM. Como puedes apreciar es un modelo Programación Lineal (las variables son de potencia 1) aplicado a la realidad de nuestra empresa. Así mismo, puedes observar que se trata de un modelo de Minimización de costos para encontrar la mezcla óptima de concentrados para el ganado. En este modelo las variables de decisión son las proporciones de harina de soya, de harina de maíz, de harina de algodón y de melaza que deben ser mezclados a fin de lograr la formula deseada al más bajo costo. Los coeficientes que acompañan a las variables de decisión en la función objetivo son los costos de adquisición por quintal (100 libras) de cada una de las materias primas (insumos). GG: Qué significa el valor de 61.17647 que aparece en la función objetivo, acaso representa el precio al cual puedo vender el quintal de nuestro producto? GP: No. El valor de 6.17647 es el costo más bajo para lograr la fórmula deseada. O sea, la fórmula óptima. En ningún momento se tratan del valor de ventas o de utilidad. GG: Ah! Ya entiendo. Pero tengo una inquietud en el anexo 1, A qué se refieren los valores de soya = 0.5294 y maíz = 0.4706 GP: Primeramente estas son dos variables de decisión, que definen la solución, y estos valores se refieren a la proporción (o porcentaje) de cada uno de estos insumos que estarán presente en la mezcla óptima. Las variables que aparecen con su valor de cero, son aquellas que no participan de la solución óptima. Es importante hacer la diferencia entre la alternativa óptima y la 64

solución óptima. Para este caso, la alternativa óptima es: Harina de soya = 0.5294 Harina de maíz = 0-4706 Melaza = 0.0000 Carbohidrato (variable De Holgura) = 17.3529 El presente caso fue preparado en parte por alumnos de la MADE-UCA. La información contenida en él no representa datos de la vida real, sino que los datos han sido adaptados para efectos académicos. Y la solución óptima es: Harina de Soya, harina de Maíz, Melaza y la variable de excedente de la restricción de Carbohidratos (que son las variables que definen la alternativa). GG: Observo en el anexo 1 una columna llamada Shadow Price (precio dual) Qué significa esa columna?. GP: Esa columna tiene relación directa con las restricciones, cada valor de Shadow price (precio sombra) diferente de cero está asociado a una restricción activa especifica. Una restricción activa, es aquella que al sustituir los valores numéricos de la alternativa óptima en la restricción, el valor desmiembro izquierdo es igual al valor del lado derecho (RHS). En una impresión de un sofware, se verá que el valor de Slack (Holgura) de la restricción respectiva es igual a cero. Concretamente, el valor del precio sombra indica la cantidad en que el valor de la función objetivo mejorará (se incrementará si es Maximización y disminuirá si es minimización) por cada unidad en que se suavice en la restricción respectiva. Para el caso, analicemos la restricción # 1 referente a proteínas, esta una restricción activa. Esto se comprueba al sustituir los valores de la solución óptima en dicha restricción, para el caso: 20*Soya + 3*Maíz + 8*Algodón + 1*Melaza = 12 20*0.5294 + 3*0.4706 + 8*0 + 1*0 = 12 12 = 12 La función objetivo tiene un valor de $61.17647, y el precio sombra de la restricción Proteína es de $2.3529. Por tanto, si suavizamos la restricción (o sea, la hacemos más fácil de cumplir) en una (1) unidad, el valor de la función objetivo mejorará (disminuirá) en $2.3529. Quisiera aclararte que por ser una restricción del tipo mayor o igual, para suavizarla debemos disminuir el valor del vector de disponibilidad (RHS). Aumentar dicho valor haría la restricción más difícil de satisfacer y el valor de la función objetivo desmejoraría en la cantidad de $2.3529 por cada unidad que se incremente en el lado derecho de la restricción. Ahora estos incrementos o decremento del lado derecho tienen unos límites, pero de ello te hablaré luego. GG: Entonces, entiendo que si en la restricción de proteínas cambio el valor de 12 que tiene actualmente y lo sustituyo por un valor de 11 en su lado derecho, se suaviza esa restricción y por tanto, el valor óptimo de la función objetivo se reduce en $2.3529, lo cual reduce mi costo. (ver anexo N 2). Sin embargo, siento que estoy perdiendo algo. GP: En efecto, significa que la formula química ha cambiado y por tanto, puede que el producto final sea diferente al producto esperado. GG: Ahora me interesa saber que significa la columna Slack (Holgura) con 65

valores de cero, significa que estas variables no tienen valor? GP: Primeramente déjame decirte que el Slack (Holgura) no se asocia a variables sino a restricciones. Ya te lo había mencionado antes, pero te puedo afirmar que está es una de las partes más importante del modelo de PL. Un valor de cero en la columna Slack nos indica que l restricción respectiva es activa. Un valor diferente de cero en esa columna indica que esa restricción es inactiva y por tanto debe tener o una holgura (si es <) o un excedente (si es >). Este tipo de restricciones nos sirve para el análisis de sensibilidad. En muchas ocasiones los excedentes (capacidades o recursos) de las restricciones inactivas se trasladan a las activas de manera que el resultado global se mejore. El análisis de sensibilidad nos permite analizar diferentes escenarios, al cambiar los valores de los coeficientes en la función objetivo o los valores de las restricciones (vector de disponibilidad o RHS y así determinar el impacto en la alternativa óptima, la solución óptima y el valor de la función objetivo. Todo esto sin tener que modificar el modelo y correr nuevamente el software. Este análisis tiene validez dentro de los rangos mínimos o máximos permisibles. Tanto los coeficientes de las variables de decisión de la función objetivo como el valor derecho de cada restricción (RHS) tienen asociado un rango de valores, llamados máximos y mínimos (ver anexo # 1). GG: Ahora tengo más claro en que consiste la PL, solamente quiero ver como queda el valor de la función objetivo, si aumentamos una (1) unidad en la restricción de carbohidratos del anexo 2. GP: No es necesario modelar nuevamente la situación, a partir del resultado mostrado en el anexo 2 podemos concluir lo siguiente: 1. El valor de función objetivo no cambiará, primero porque la restricción es inactiva o no activa y segundo, el cambio está dentro de los límites permisibles (ver máximos y mínimos en el anexo 2) 2. Es importante tomar en cuenta que, dependiendo de si la restricción es activa o no-activa, los cambios realizados en el vector de disponibilidad de recursos (RHS) podrían afectar lo siguiente: 3. 1) El valor de la función objetivo. 2) Los valores de la alternativa óptima. 3) La solución óptima. I Restricciones Activas 1- Un cambio en el lado derecho (RHS) del vector de disponibilidad dentro de los límites permisibles para un modelo con una función objetivo de maximización, ocasionará lo siguiente: El valor de la función objetivo mejorará (incrementará si es una maximización y decrecerá si es una minimización) si el cambio en el lado derecho (RHS) hace que la restricción en cuestión se suavice. Por el contrario si el cambio hace que la restricción sea más difícil de satisfacer, el valor de la función objetivo desmejorará (decrecerá si es una maximización y se incrementará si es una minimización). El valor de este cambio puede determinarse a priori multiplicando el valor del 66

Shadow Price por el valor del cambio en el lado derecho. Para una restricción de tipo < la suavización se logra al incrementar el valor del lado derecho de la restricción (RHS) y por tanto, una disminución en el lado derecho llevará a hacer más difícil de satisfacer dicha restricción. Para una restricción del tipo > l suavización se logra al reducir el valor del lado derecho de la restricción (RHS), y por tanto un incremento en el lado derecho llevará a hacer más difícil de satisfacer dicha restricción. Alternativa óptima Las variables de decisión y de excedente que definen la solución cambiarán su valor. No sabemos cuantas de ellas cambiaran su valor, ni a que valor cambiarán. Solución óptima El conjunto de variables que definan la solución no cambian. Por tanto, las variables que no eran parte de la solución (aquellas con Status Lower Bound ) permanecerán con ese valor. 2- Un cambio en el lado derecho (RHS) del vector de disponibilidad fuera de los límites permisibles para un modelo con una función objetivo de maximización, ocasionará lo siguiente: El valor de la función objetivo mejorará (si la restricción se suaviza) o desmejorará (si la restricción se hace más difícil de satisfacer). El valor de este cambio no puede determinarse a priori multiplicando el valor de Shadow Price por el valor del cambio en el lado derecho. Alternativa óptima La variable de decisión que definen la solución (aquellas con valores diferentes a cero) cambiarán su valor. No sabemos cuantas de ellas cambiarán su valor, ni a que valor cambiarán. Solución óptima Muy probablemente al menos una de las variables de decisión que definan la solución cambiará. Por tanto, el conjunto de variables que definan la solución cambiará. II Restricciones No Activa 1. Un cambio en el lado derecho del vector de disponibilidad (RHS) dentro de los límites permisibles no ocasionará ningún cambio en el valor de la función objetivo, ni en los valores de las variables de decisión, y por tanto, la solución óptima no cambiará. 2. Un cambio en el lado derecho del vector de disponibilidad (RHS) fuera de los límites permisibles ocasionará cambios en el valor de la función objetivo, en la alternativa óptima y en la solución óptima. Pero no sabemos a priori su impacto, por tanto es necesario evaluar este nuevo modelo a través de un software. III Cambios en los coeficientes de la función objetivo 1. Un cambio del valor de un coeficiente de una variable de decisión en la función objetivo dentro de sus límites permisibles ocasionará lo siguiente: Los valores de las variables en la alternativa óptima no cambian. Tampoco cambian las variables de decisión ni de holgura/excedente que conforme la solución óptima. El valor de la función objetivo cambiará en un valor igual al producto del valor de la variable de decisión en la tabla óptima por el diferencial del cambio en el coeficiente (tomando en cuenta 67

su signo, o sea, valor nuevo menos el valor antiguo). 2. Un cambio del valor de un coeficiente fuera de los límites permisibles ocasionará lo siguiente; Muy probablemente tanto los valores de las variables en la alternativa optima como las variables de la solución óptima cambiarán. El valor de la función objetivo cambiará en un valor que no podemos calcular con exactitud. Por tanto es necesario modificar el modelo y correr nuevamente el software. Lo anterior indica que para determinar a priori lo que sucederá en el modelo, los valores a incrementar o disminuir en el modelo actual, no deben exceder sus límites; de lo contrario se tendrá que correr nuevamente el programa para observar lo que sucede. GG: Excelente!, me parece un modelo apropiado para aplicarlo en nuestra empresa. Calcio 1*Soya + 1*Maíz > 1 Mezcla: + 1*Soya + 1*Maíz + 1*Algodón * 1*Mezcla = 1 Para cada una de las variables, se tiene que no pueden tomar valor negativo, Por tanto tenemos: Soya > 0 Maíz > 0 Algodón > 0 Melaza > 0 Pregunta: Las proporciones de los componentes básicos deben ser menores de 1. Por qué el modelo no tiene otras cuatro restricciones donde expresen esta condición? O sea Por qué no existen cuatro restricciones adicionales tales como las que se muestran a continuación. Soya < 1 Maíz < 1 Algodón < 1 Melaza < 1 A continuación se detalla el modelo a implantar en la fabrica Minimice 80*Soya + 40*Maíz + 60*Algodón + 5*Maleza Sujeto a: Proteína +20*Soya + 3*Maíz + 8*Algodón + 1*Maleza > 12 Carbohidratos *60*Soya + 65*Maíz + 75*Algodón + 2*Maleza > 45 68

Solución utilizando STORM OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Variable Value Valores Cost Red. cost Status 1 SOYA 0.5294 solución 80.0000 0.0000 Basic 2 MAIZ 0.4706 40.0000 0.0000 Basic 3 ALGODON 0.0000 60.0000 38.5294 Lower bound 4 MELAZA 0.0000 5.0000 0.0000 Basic Slack Variables 5 PROTEINA 0.0000 0.0000 2.3529 Lower bound 6 CARBOID. 17.3529 0.0000 0.0000 Basic 7 CALCIO 0.0000 0.0000 30.2941 Lower bound Objective Function Value = 61.17647 Constraint Type RHS Slack Shadow price 1 PROTEINA > = 12.0000 0.0000 2.3529 2 CARBOID. > = 45.0000 17.3529 0.0000 3 CALCIO > = 1.0000 0.0000 30.2941 4 MEZCLA = 1.0000 0.0000 2.6471 69

SENSITIVITY ANALYSIS Sensitivity analysis of cost coefficients Current Allowable Allowable Variable Coeff. Minimum Maximum 1 SOYA 80.0000 40.0000 173.5714 2 MAIZ 40.0000 12.8947 80.0000 3 ALGODON 60.0000 21.4706 Infinity 4 MELAZA 5.0000 -Infinity 35.2941 Sensitivity analysis of right-hand side values Current Allowable Allowable Constraint Type Value Minimum Maximum 1 PROTEINA 12.0000 3.0000 20.0000 2 CARBOID. 45.0000 -Infinity 62.3529 3 CALCIO 1.0000 0.7271 1.0000 4 MEZCLA = 1.0000 1.0000 10.0000 70

Solución 71

Análisis de Sensibilidad de Coeficientes de la Función Objetivo Análisis de Sensibilidad de los Coeficientes del lado derecho Cambiando la restricción de Proteinas: = 61.1765-2.3529 72

Resumen de Cambios y Efectos Función Objetivo Max. Min. Tipo de restricción Para Suavizar, RHS + - + - Valor de la f.o. Para restringir,rhs - + - + Valor de la f.o. 73