SOLUCIONARI Unitat 11

SOLUCIONARI Unitat 11 Comencem Dóna la intepetació geomètica de les solucions dels sistemes següents: a) b) Execicis ì3x + y - z x - y + 5z = - îx + y = 3 Resolem el sistema: ang M = ang M' = 3 i el sistema és compatible deteminat i la solució (1, 1, 7) coespon a les coodinades d'un punt. Els tes plans son concoents en un punt. ì4x - y + z = 3 5x + 3z î - 3x + y - z = - 5 Rang M = ang M' = i el sistema és compatible indeteminat. Els tes plans tenen una ecta en comú l'equació de la qual es pot dona amb el sistema fomat pe les equacions de dos dels tes plans. 1. Dos plans o són paal lels o són secants. Considea els plans d equacions: p 1 : x + 3y + z = p : x + ky 4z = Raona si poden se paal lels pe a algun valo de k. 3 1 Condició de paal lelisme: = = que no -1 k -4 1 es veifica ja que ¹ independement del 1-4 valo de k: els dos plans no poden se paal lels pe cap valo de k.. Detemina m i n pe tal que els dos plans siguin paal lels. p 1 : 6x my + 4z = 9 p : 9x 3y + nz = n Condició de paal lelisme: 6 -m 4-9 = = ¹ m = i n = 6. 9-3 n n McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. Pe aquests valos els dos plans són paal lels no coincidents. 3. Estudia la posició elativa dels tes plans: p 1 : x + y + z p : x y + z p 3 : x + y z Estudiem els angs: ang M = i ang M' = 3. El sistema és incompatible, peò els plans no són paal lels, pe tant, són secants dos a dos. 4. Considea els plans d equacions: x + y z + + 1 = i x y + 3z =. Justifica que són secants. Esciu l equació d un tece pla que passi pe la ecta que deteminen aquests dos. És únic aquest pla? Raona la teva esposta. Els dos plans no són paal lels ja que 1 1 - = ¹, pe tant, són secants. La ecta -1-1 3 intesecció és: x + y - z = -1ü : ý y =-3-l î-x - y + 3z = þ z =-1 Qualsevol combinació lineal de les dues equacions és un pla que conté aquesta ecta, pe tant, aquest pla no és únic. 5. Toba la intesecció de la ecta deteminada pels punts P(1,, 1) i Q(1, 6, ) i el pla d equació: x y + 3z = Equació de la ecta PQ: y = + 4 l -l Intesecció: y = + 4 l Punt: (1,, 1) z -l îx - y + 3z = 6. Estudia la posició elativa de la ecta: = 3l : y + l = 5 i el pla d equació x 3y + z =. Matemàtiques. Batxilleat 13

Intesecció: = 3l y +l z = 5 îx - 3y + z = ¹ indica que el sistema és incompatible. La ecta i el pla són paal lels. 7. Detemina quina és la posició elativa del pla d equació 3x y + z = 3 i la ecta d equació: Recta en paamètiques: Intesecció amb el pla: pe substitució: 31 ( + 3l) - l+ (- 3+l ) = 3 l / Són secants i el punt d'intesecció: + z = 3 8. Considea la ecta : i estudia la posició elativa especte del pla d e- î3x + y - 1= quació: x + 8y 5z + 6 = Podem considea el sistema fomat pe les tes equacions: + z = 3 3x + y - 1= îx + 8y - 5z + 6 = 3l-3-3l+ 5 = x - 1 y = = z + 3 3 ang M = ang M = 3 El sistema és compatible deteminat: la ecta i el pla són secants. 9. Compova que les ectes i s són secants i esciu l equació geneal del pla que les conté. = - 7+ 4l x + 3 y z- : y - l s: = = -3 = Les ectes no són paal leles: + 3l y = l =- 3 +l ( 4, - 1, ) ¹ l(, -3,) uuu æ5 5 ç,1, - è ø Consideem aquests dos vectos i un tece PQ fomat amb un punt de cada ecta: PQ uuu = McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. = (4, 1, ) que és el mateix que el vecto diecto de la pimea ecta, pe tant els tes vectos estan en un mateix pla i són secants. L'equació del pla: 1. Detemina la posició elativa de les ectes i s en cada cas: a) b) x + 7 4 y -1-1 -3 = x + 4y + 5z - 7 = z - - z + 1= ì x- 5z= 4 : s: îy + 3z = î y - 4z+ 3= =- 1+l : y = - 3 l No són paal leles: (1, 3, 1) ¹ k (5, 4, 1) 1 5 5 uuu Det ( uvpq,, )= -3 4-5 ¹ les ectes 1 1 s enceuen. ìx + z = 9 ì x + y = : s: îy î- x+ y + z= 5 =m y = m : y s: 5 3l = 9-l z = + î vecto = 4+ 5m s: y =- 3 + 4 m =m uuu PQ = ( 5, -5,) uuu æ -13 PQ = ç, -1, è ø 1 1 uuu -1-1 Det ( uvpq,, ) = ¹ -3-13 - ectes s enceuen. les 11. Toba la posició elativa de les ectes, deteminada pels punts P(1, 1, ) i Q(, 3, 1), i s, paal lela a l eix OX i que passa pel punt R(, 1, 3). Vecto diecto de la ecta : = ( 3, 4, 1); vecto diecto de la ecta s: = (1,, ). No són paal leles. Vecto PR uuu v u = ( 1,, 3) Matemàtiques. Batxilleat 14

( ) - 3 1-1 uuu det uvpr,, = 4 ¹ i s s en- 1-3 ceuen. 1. Esciu l equació del pla que deteminen les ectes ì x = 3l 5 : y = - + l 1 z - l î i la que té de diecció el vecto u = (6,, 1) i passa pe l oigen de coodenades. Vecto diecto de : æ -1 æ -1 v = ç 3, 1, ç 3, 1, = (6,, - 1) = u. è ø è ø Les ectes són paal leles. Els dos vectos no poden se oientados del pla. En penem un, el u i el fomat pe un punt de cada ecta: æ -5 ç,, 1. è ø x y z 6-5 1-1 = x + 1y - 3z = 13. Veifica que les ectes i s són coplanàies. Són paal leles? Si no és aix, toba el punt d intesecció. ì x = + m : y = + l s: y z 1 l î = + î z+ m Vecto diecto de : = (, 1, 1), vecto diecto de s: u v = (1,, 1). v ¹ ku i les ectes no són paal leles. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. 1= +mü Intesecció +lý l=m=- 1 1+l= 1+m þ Punt: (1, 1, ) 14. Considea els vectos u, v i PR uuu de l execici 11 i estableix la elació que puguis toba ente ells. Els tes vectos ja han estat consideats en l execici 11. Els tes vectos són linealment independents. 15. Compova que els tes plans que confomen els tes eixos de coodenades catesianes són pependiculas dos a dos. Els tes plans tenen de vectos associats espectivament els tes eixos de coodenades: 1 = (1,, ); = (, 1, ) i e e e3 = (,, 1) Dos a dos són pependiculas tal com es compova amb el poducte escala: 1 = ; 1 3 = i e e e e e e3 = 16. Toba k pe tal que les dues ectes i s siguin pependiculas. Hi ha algun valo de k pe tal que aquestes ectes siguin secants? - l y + 3 z- 1 : y = 3 l s: x= = -1 k = - 1 + l Condició de pependiculaitat: poducte escala dels dos vectos diectos nul: ( 1, 3, 1) (1, 1, k) = 1 3 + k = k = 4 17. Considea el pla p d equacions paamètiques: = 3 - l p : y = l- m = m Condició de secants: 1-l=m ü l=- 3l=-3-mý m=-3-1+l + km -4 þ -1- - 3k k = 3 Toba l equació de la ecta pependicula a p que passa pe l oigen de coodenades. El vecto associat al pla és el vecto diecto de la ecta pependicula al pla. x -3-1 y 1-1 = -x - y + z + 6 = z - u n = v = -,-,1 Equació de la ecta: ( ) =-l y =- l 18. Toba l equació del pla mitjane del segment deteminat pels punts P(1, 3, ) i Q( 1, 5, ). Matemàtiques. Batxilleat 15

Pe pla mitjane s entén el pependicula al segment pel seu punt mitjà. uuu Punt mitjà: (, 4, 1); vecto PQ = (,, ) = n x + y z + D = conté el punt (, 4, 1): 8 + + D = D = 1 x + y z 1 = x + y z 5 = 19. Toba el peu de la pependicula taçada pel punt P (1, 1, ) al pla d equació: x y + 3z = El peu de la pependicula és la intesecció de la ecta i el pla: P +l ecta: y =- 1 -l î z = 3 l Punt: æ 7-7 -1 P ': ç,, è11 11 11 ø. Toba la pojecció otogonal de l oigen de coodenades sobe la ecta d equacions: Pla pependicula a la ecta pe l oigen i la seva intesecció amb la ecta és la pojecció otogonal. ecta: - 1+l+ 1+l+ 9l=- l= 4 11 y =- 1 +l =- +l pla: x + y + z = Pojecció de l oigen: l- 1+l- +l= l= 1 O : (1,, 1) - y îx - z = 1. Calcula les coodenades del punt simètic del punt P(5,, 1), especte de la ecta : y z x - 1 = = - 1 El punt P i el seu simètic P deteminen un segment en el que el punt mitjà P és la pojecció de P sobe. La pojecció és el punt intesecció del pla pependicula a pe P i la ecta : x + y z + D = pe P(5,, 1) D = 6 x + y z 6 = McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. 5 æ11 5-5 l+ 1+ l+l- 6 = l= P ': ç,, 6 è 6 3 6 ø æ 41 el simètic P : -,, - ç è 3 3 3 ø - y z. Donada la ecta : x - 1 = = i el pla - p: x y + z + 3 =, toba les equacions de la ecta pojecció otogonal de la ecta sobe p. La ecta és la intesecció del pla p amb el pla pependicula a ell que conté la ecta. Equació d'aquest pla: x -1 1 1 y - - - = x + y - 4 = z - 1 ìx + y - 4 = ': îx - y + z + 3 = 3. Toba l equació del pla que passa pel punt intesecció dels plans: p 1 : x + y z 5 = p : x 3z + 1 = p 3 : x + y z = 1 i és paal lel al pla x + y + z =. Resolde el sistema pe toba el punt: x + y - z = 5 ü æ 5-3 x - 3z = -1ý Pç -1,, è 3 3 ø x + y - z = -1 þ Pla paal lel: 5 3 x + y + z + D = - 1+ - + D = 3 3 D 8 x + y + z + 18 = 4. Esbina la posició elativa dels plans: x + y z + = i x 3y z = 1 Si es tallen, toba l equació de la ecta paal lela a la seva intesecció, que passa pel punt P(, 1, 1). Els plans no són paal lels, són secants: x =-1-4l ìx + y - z + = ü : ý y îx -3y - z = -1 þ z =-7l v = -4,1, -7 ( ) Recta paal lela pe P(, 1, 1) (x, y, z) = = (, 1, 1) + l ( 4, 1, 7) Matemàtiques. Batxilleat 16

5. Considea el pla x + y + z = 3 i la ecta, Digues si la ecta talla el pla en un punt, si està continguda en el pla, o bé si la ecta i el pla són paal lels. La ecta en paamètiques: ì 31+ l x = 4 : 7-6l y = 4 æ1-3 vecto diecto: v = ç,,1 è ø vecto associat al pla: u = (1, 1, 1) v n = la ecta i el pla són paal lels. 6. Detemina l equació de la ecta que passa pel punt P(1,, ), és paal lela al pla d equació 3x y + z = i talla la ecta: El vecto diecto v de la ecta està deteminat pe P i un punt abitai de la ecta donada: x ü + y - z = ü y =--4lý : ý - + = - z = --3l îx y z þ þ v = ( l-1, -4-4 l, - -3 l) La condició de paal lelisme amb el pla és: u n v = ( 3, - 1,1 ) ( l-1, -4-4 l, - -3l) = l 4 æ-3-11 v = ç,-5, è 4 4 ø Equació de la ecta: æ-3-11,,,, + ç,-5, l è 4 4 ø ( xyz) ( ) - y - z = 6 î - x + 5y + 8z + y - z = îx - y + z = - 7. Detemina quina és l equació del pla que x + 1 y - conté la ecta = = z és paal lel al 3 vecto d extems P(4,, 1) i Q(,, 1) i passa pe P. Els vecto oientados del pla son uuu el vecto diecto de la ecta: v = (3,, 1) i el PQ = ( 4,, ) i passa pe P. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. x -4-4 3 y = 3x -y -7z - 5 = z -1-1 8. Considea les ectes: on a és un nombe eal. Compova que les dues ectes es tallen pe a qualsevol valo de a. Toba a, si és possible, pe tal que les dues ectes siguin pependiculas. Tobem la intesecció de les dues ectes: x =m + y = ü ý y =-m î x - z = þ z = m ìm = +l -m = - + al m= +l î La solució del sistema indica que les ectes es tallen pe a qualsevol valo de a. Les ectes sean pependiculas si: ( )( a ) 1, - 1, 1,,1 = a + Acabem ì x + y = î x - z = ( x, y, z) = (, -,) + l(1, a,1) 1. Detemina l equació del pla que passa pe P(1,, 1) i conté la ecta intesecció dels plans: p: x y + z = 3 i el pla YZ Recta intesecció: m= l= x = - y + z = 3ü ý y v = î x = þ z = 3+ l (,1, ) P(1,, 1) i el punt de la ecta (,, 3) donen: u = (1,, ) Equació del pla amb v, u i P: x -1 1 y - 1 = 6x - y + z - 3 = z -1 - Matemàtiques. Batxilleat 17

. Estudia la posició elativa de la ecta: i el pla p: 3x + y z = 3. =- + 3l Recta en paamètiques: y = l = 3 + l Substituim en l equació del pla: 3( + 3l) + + l (3 + l) = 3 6 l=. La ecta i el pla són secants. El punt 11 4145 d intesecció és: P æ ç -,, è11 11 11 ø. 3. Considea les ectes: = z x - 1 z- 1 : i ': = y - 1 = îy a on a és una constant. Compova que aquestes dues ectes són secants pe a qualsevol valo de a i detemina el valo de a pe tal que siguin pependiculas. Al considea y en la ecta ', s obté x i z pe a qualsevol valo de a. Les ectes són secants i es tallen en el punt (1, 1, 1). Pe se pependiculas: (1,, 1) (, 1, a) = a = 4. Compova que les ectes: z 5 : x - 1 = y = z- i s: - = î y - z = són paal leles i esciu l equació del pla que les conté. Vecto diecto de : = (1, 1, 1). Vecto diecto de la ecta s: u v = (1, 1, 1). Pe tant, són paal leles. Pe l equació del pla cal un vecto deteminat pe uuuu un punt de cada ecta: P(1,, ) i P (5,, ) PP ' = (4,, ) x -1 1 4 y 1 z - 1 - x + y z- 3 : = = 3 = - x + 3y - z + 4 = 5. Esciu l equació de la ecta que passa pe l oigen de coodenades i és paal lela a la ecta: McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. Cal toba l expessió de la ecta en paamètiques tot esolent el sistema: ì3x - y + 3z = 5 ì3x - y + 3z = 5 î4x - y + z = 7 î- 5x+ z = -9 y =- 16 + 9 l = - 9 + 5 l Recta paal lela pe l oigen: 6. Sigui la ecta d equacions: vecto diecto: v = (1, 9, 5) toba l equació catesiana del pla que conté la ecta i és pependicula al pla y =. Un dels vectos oientados del pla és el vecto associat del pla pependicula: n = (, 1, ). L alte vecto i el punt els tobem en la ecta. + y - z = : y = v,,1 îx + y - z = 7. Toba les equacions de la ecta que passa pel punt P( 1,, ) i és paal lela als plans: p 1 : x y z + 1 = i p : x + 3y + z = 5 La ecta és paal lela a la intesecció dels dos plans: 1 3 ì x -y - z + = y = - l îx + 3y + z = 5 7 z =- 1 + l î æ 3 7 v = ç 1, -, è ø Equació de la ecta paal lela: æ -3 7,, = - 1,, + ç 1,, l è ø ( xyz) ( ) 8. Considea l equació: ì3x - y + 3z = 5 î4x - y + z = 7 + y - z = îx + y - z = x y z 1 ( xyz,,) ( 1,9,5) ( ) 1 = - x + z = 1 (x + y + z) + (3x y + z 1) = Matemàtiques. Batxilleat 18

Raona i dóna una intepetació geomètica dels punts P(x, y, z) que veifiquen aquesta equació. No cal desenvolupa els quadats. L equació consta d una suma de dos quadats que és. Només pot se aquest valo si es veifica. el que equival a la intesecció de dos plans no paal lels, pe tant, els punts P(x, y, z) són de la ecta intesecció. 9. Calcula els valos de m i n pe tal que el pla: contingui la ecta: p: nx + my z = Es tien dos punts qualssevol de la ecta, pe exemple: P(, 3, 4) i R(3, 3, 1) que han de se del pla: 3m 4 = m = 3n + 3m 1 = n = 3 1. Toba l equació de la ecta pojecció otogonal de: sobe el pla d equació: x + y z + 6 = La pojecció otogonal de sobe el pla, és la intesecció d'aquest pla amb el pla que conté la ecta i és pependicula al pla donat. =- 1+ 17l - y + 5z = 9 : : y = - 15 + 11l î- x + 3y + z + 3 = x + 1 17 y + 15 11 = - 13x + 19y + 1z + 1 = z 1-1 La ecta pojecció és: + y + z = î3x - y + z - 1= ìx - y - 3= : îx + z = 4 - y + 5z = 9 : î - x + 3y + z + 3 = ìx + y - z + 6 = ': î - 13x + 19y + 1z + 1 = 11. Esciu l equació del pla pependicula a la ecta que passa pels punts P(, 1, 3) i Q( 3, 1, ) i que conté el punt mitjà del segment PQ. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. uuu Vecto associat al pla: PQ = ( 5,, 5) æ 1 1 Punt mitjà del segment PQ: ç -,, è ø 5x + y 5z + D = æ-1 1-5ç + - 5 + D = D = è ø 5x + y 5z = 1. Considea una ecta d equacions: ìax + By + Cz + D = : îax ' + By ' + Cz ' + D' = i el pla p d equació A x + B y + C z + D = Digues què significa geomèticament que el sistema que s obté consideant les tes equacions sigui incompatible. Digues què significa geomèticament que aquest sistema sigui compatible deteminat o indeteminat. Si el sistema fomat pe les tes equacions és incompatible, la ecta i el pla són paal lels. Si el sistema és compatible deteminat, el pla i la ecta són secants, tenen un punt en comú. Si el sistema és compatible indeteminat, la ecta està continguda en el pla. 13. Detemina si la ecta x - 3 y - 1 z + 1 = = i el -3 5 pla 3x + y + 5 = són paal lels. Es toba la ecta continguda en el pla? Si la ecta és paal lela al pla, el vecto diecto v ha de se pependicula al vecto n associat al pla. Compovem-ho: v n = (, 3, 5) (3,, ) = 6 6 = Són paal lels. La ecta està continguda en el pla si, en aquest cas, qualsevol punt de la ecta és del pla: P(3, 1, 1) 3 3 + 1 + 5 6 ¹ la ecta no està continguda en el pla. 14. Considea la ecta que té com a equacions: = 3 + l : y = 4+ l = 6 + l i la, que té com a equacions: y - 1 z - 1 x - 1 = =. Compova que les dues ectes s enceuen. Dóna les coodenades d un punt P de i un punt Q de que veifi- Matemàtiques. Batxilleat 19

quin la condició que la ecta PQ sigui la pependicula comuna a i a. Esbinem el valo del deteminant uuuu fomat pels vectos diectos v i u i el PQ = (, 3, 5) 1 1 - Punts abitais de cada ecta: Condició de pependiculaitat: uuu v PQ = - +m-l- 3 + m-l- 5 + m-l= ü uuu ý u PQ = - +m-l- 6+ 4m-l- 1 + 4m-l= þ m= i l= Els punts són: P (3, 4, 6) i Q (3, 5, 5) 15. Donada la ecta: 1 1 1-3 =- ¹ les ectes s enceuen. 1-5 ( ) ( ) P 3 +l,4 +l,6 +l, Q 1 +m,1+ m,1+ m uuu PQ = (- +m-l-, 3+ m-l-, 5+ m-l) ì x + ( a- 5) y - z = 3a- 13 : îay - z = 3a detemina a pe tal que existeixi un pla que contingui aquesta ecta i que sigui pependicula al vecto v (1, 1, 1). Esciu l equació catesiana d aquest pla. Qualsevol pla que sigui pependicula al vecto v és de la foma: x + y + z + D =. Si estem les dues equacions que donen la ecta, obtenim: x 5y = 13 independent de a. Ssubstitum en el pla qualsevol punt que veifiqui aquesta condició i obtenim difeents plans paal lels. Si substituim el punt (1, 3, ) tenim el pla x + y + z 4 =. 16. Detemina k pe tal que existeixi un pla que contingui la ecta: - y - 6z : î x - y - 3 z = 6 i que sigui pependicula al vecto ( 6, 8, k). El vecto diecto de la ecta cal que sigui pependicula al ( 6, 8, k) = 5+ 3l -y - 6z 3 æ -3 y = - l v = 3,,1 x y 3z 6 ç î - - = è ø æ -3 ç 3,,1 ( - 6,8, k) = - 18-1 + k = k = 3 è ø McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. 6x + 8y + 3z + D = pel punt de la ecta (5,, ): 6x + 8y + 3z + 14 = 3x + 4y + 15z + 7 = 17. Discuteix la posició elativa dels plans: p 1 : ax + y + az = æ 1 p : (a + 3)x + ç y + z è a ø segons els valos de a ¹. Els plans són paal lels o secants. Condició de paal lelisme: a 1 = = a a = a = a a+ 3 1/ a 1 1 1 a + 3 a + 3a = a a + a = a = i a = La solució es a = ja que una condició és a ¹. Pe a = els dos plans són paal lels. Pe a ¹ els dos plans són secants. 18. Sigui el punt P 1 (1,, 1), P el punt simètic de P 1 especte del pla d equació x y = i P 3 el simètic de P especte del pla d equació x + y + z. Toba l equació geneal del pla que deteminen els punts P 1, P i P 3. El pla cal que contingui un dels punts, pe exemple P 1, i que uuuu els vectos uuuu oientados siguin, pe exemple PP i. 1 PP 3 uuuu PP és popocional al vecto associat al pime pla: (1,, ) 1 uuuu PP 3 és popocional al vecto associat al segon pla: (1,, 1) x -1 1 1 y - = -x - y + 4z + 6 = z + 1 1 19. Toba a i b pe tal que els tes plans següents passin pe una mateixa ecta: p: x + y z p : x + y + az = p : 3x + 3y z = b El sistema fomat pe les equacions dels tes plans ha de se compatible indeteminat de ang. Pe tant, els dos deteminants de 3 ode han de se nuls: 1-1 1 a = 3 3 - i 1 1 1 = a = - 1 i b 3 3 b Matemàtiques. Batxilleat 13

. Hi ha algun valo de k pel qual els quate plans tinguin un punt en comú? Si és aix, toba aquest punt. p: x + z 3 = p : 3x + y + z = 1 p : y z + = p : x y + kz + 5 = El sistema fomat pels quate plans ha de se compatible deteminat, és a di, de ang 3. Si esolem el sistema fomat pe les tes pimees equacions. x + z = 3 ü x =-1 3x + y + z = -1ý y = y - z = - þ z = Substitum aquesta solució en la quata equació pe toba k. 1 + k + 5 = k = 1. Considea la ecta: Digues si el punt (6,, ) es toba en la ecta paal lela a que passa pe l oigen de coodenades. =- 1+ 5l -y - 3z : y = - + l v = 5,,1 îx - 3y + z = 5 = 5l Recta paal lela pe l oigen: y = l El punt (6,, ) no es toba en aquesta ecta.. a) Explica la elació que hi ha ente el vecto associat a un pla i un vecto diecto d una ecta pependicula a aquest. El vecto associat a un pla i el vecto diecto d una ecta pependicula són linealment dependents. b) Toba l equació del pla que conté el punt (1, 1, ) i és pependicula a la ecta : + y - z+ 1= : î x - y + z- 1 = + y - z = -1 : y = - 1+ 5l îx - y + z = 3 l v = = u ( 1, 5, 3 ) - y - 3z : îx - 3y + z = 5 ( ) McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. x + 5y + 3z + D = pe (1, 1, ) x + 5y + 3z 6 = 3. Estudia la posició elativa de les ectes i x - 1 4y - 1 : = = z 4 ì3x - y + 3z = ': îx + 4y + z = ì 1 x = + l =m ì3x - y + 3z = : 1 1 ': y = y = + l îx + 4y + z = 4 =-m æ 1 Els vecto diectos: v = i u ç,,1 = (1,, 1) è ø no són popocionals, pe tant, les ectes no són paal leles. Estudiem uuu el deteminant fomat pels vectos, u v i PP amb un punt de cada ecta: uuuu æ-1-1 PP ' = ç,, è 4 ø -1 1 1 1 ¹ les ectes s enceuen. 4 1-1 4. Considea la ecta: i el pla p: ì3x - y + z- 1= : îx + 4y + z - b = x 5y + az + = Detemina els valos de a i b pe tal que: Podem estudia els angs de les matius del sistema fomat pe les tes equacions: ì3x - y + z x + 4y + z = b îx - 5y + az = - a) i p siguin secants. Toba el punt d intesecció. ang M = ang M' = 3 3-1 1 4 1 ¹ a ¹ 1-5 a Pe qualsevol a ¹ 1 i b qualsevol el sistema és compatible deteminat i té de solució les Matemàtiques. Batxilleat 131

coodenades del punt d intesecció que seà difeent segons els valos que es denin a a i b. b) i p siguin paal lels. ang M ¹ ang M' Pe a a ang M = Estudiem el deteminant amb la columna de temes independents: 3-1 1 1 4 b -5-3b -39 Si 13b 39 = b = 3 ang M' = Si a i b ¹ 3 el sistema és incompatible i la ecta és paal lela al pla. c) La ecta estigui continguda en el pla p. Si a i b = 3, ang M = ang M' = i la ecta està continguda en el pla. McGaw-Hill/Inteameicana de España, S.A.U. Matemàtiques. Batxilleat 13