ACTIVIDAD 1: La proporción de un rectángulo. Qué tienen en común estos rectángulos?, Qué ocurre con sus diagonales? (Usa los instrumentos de dibujo para conseguir respuestas) La proporción de un rectángulo es: La proporción de los rectángulos de esta página es Los rectángulos de la misma proporción tienen diagonales Un cuadrado en realidad es un rectángulo de proporción= Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 1 de 9
Naranja y Amarillo de Mark Rothko, 1956. A la derecha con trama geométrica superpuesta. ACTIVIDAD 2: Construyendo rectángulos de una proporción dada. Construye rectángulos de la misma proporción al que se da a continuación (el retintado) pero con la condición de que al menos tenga un vértice común y un lado superpuesto con el que él. Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 2 de 9
ACTIVIDAD 3: Rectángulos de proporciones notables. Rectángulo 3 Rectángulos DIN Rectángulo Cordobés Rectángulo áureo Usando el lado de ciertos polígonos regulares y el radio de la circunferencia que lo circunscribe (como se muestra en las figuras superiores) podemos construir rectángulos de proporciones notables que se usan con gran frecuencia en arquitectura y arte. Los rectángulos DIN se usan además como formatos de papeles (esta hoja de papel que tienes en tus manos es un DIN A4). a) Si el lado menor es 1, cuanto mide x, el lado mayor del rectángulo DIN? (El teorema de Pitágoras puede ayudarte) b) En las figuras inferiores se marcan ciertos rectángulos (los notarás porque se ha marcado una diagonal). Asócialos con los rectángulos notables mostrados arriba Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 3 de 9
ACTIVIDAD 4a: El rectángulo de oro. Buscando la proporción ideal. Qué proporción tiene el rectángulo que cumple que si se le añade un cuadrado por el lado mayor se obtiene otro rectángulo de la misma proporción? Qué proporción tiene el rectángulo que colocando una pareja de ellos como se indica en la figura que sigue abajo a la derecha (uno horizontal y otro vertical) la diagonal de uno pasa por un vértice del otro? Planteemos las situaciones geométricas con la incógnita pertinente y averigüemos su valor: Encuentra en cada figura la ecuación que tiene que cumplir x; verás que en ambos casos es la misma ecuación de 2º grado. Resuélvela y tendrás el valor de la proporción de dichos rectángulos, llamados rectángulos áureos o rectángulos de oro. A esta proporción x/1=x se le llama número de oro y se representa por la letra griega Φ. Qué rectángulo se obtiene si se usan como lados el lado de un pentágono regular y su diagonal o el el lado del pentágono y la longitud de un brazo de la estrella pitagórica de cinco puntas que se puede trazar con las diagonales del pentágono. Aunque a ti te pueda ser difícil probarlo la respuesta es El rectángulo áureo Así siempre que nos encontremos con el pentágono regular podemos suponer que nos hemos encontrado indirectamente con el rectángulo áureo. ACTIVIDAD 4b: Resolviendo la ecuación x=(1/x)+1 con calculadora. Escribe 1 en la pantalla de tu calculadora y calcula su inverso (tecla de 1/x) luego suma 1 da a la tecla = y anota el resultado (que será 1/1+1=2) no borres el resultado y repite el proceso (tecla de 1/x) y luego +1= ; anota el resultado y repite el proceso,. Los resultados formará una sucesión 1, 2, 1 5, síguela cuanto puedas. A qué número nos acercamos cada vez más?. Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 4 de 9
ACTIVIDAD 5: Ampliando rectángulos. La sucesión de Fibonacci Considera la sucesión de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,.. donde, a partir del tercero, cada número se obtiene sumando los dos anteriores y usémosla para construir rectángulos añadiendo cuadrados de lados los número de dicha sucesión del siguiente modo: Partimos de un cuadrado de lado 1 (el central no sombreado) y añadimos a la izquierda otro igual (el sombreado) con lo que, si los consideramos juntos, hemos formado un rectángulo de lados 1 y 2. Añadimos ahora arriba un cuadrado de lado 2 y luego a la derecha otro de lado tres y seguimos así el proceso añadiendo cuadrados en sentido de las agujas del reloj. Sigue el proceso en la cuadrícula inferior tantas veces como puedas y anota la sucesión de proporciones que tienen dichos rectángulos (comenzaríamos por 1,2, 1 5,.). A qué rectángulo se van pareciendo cada vez más los rectángulos de Fibonacci que obtenemos? Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 5 de 9
ACTIVIDAD 6: Espirales equiangulares. En la figura que sigue tenemos 12 semirectas, con origen común O, que numeraremos en sentido de las agujas del reloj comenzando por la retintada. En ella tenemos un punto P a 1 cm. de distancia de O, señálalo mejor con tu bolígrafo. Consigue con tu calculadora los productos 1x1 1, 1x(1 1) 2, 1x(1 1) 3, y úsalos como distancias en cms. a O para marcar otros puntos sobre las otras semirectas sucesivamente. Marca así unos 20 puntos dando más de una vuelta; luego los unes por orden,a mano, para obtener una espiral que como verás se abre en cada paso más Remolinos de M.C. Escher, 1957 O P Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 6 de 9
ACTIVIDAD 7: Decoraciones periódicas. Frisos. Algunas decoraciones y mosaicos tienen una característica que se llama periodicidad y es que pueden descomponerse en zonas iguales de forma que toda la decoración podría hacerse componiéndola con una de dichas zonas o figura básica sólo trasladando dicha figura en una o dos direcciones (sin someterla a giros ni reflexiones). En las figuras que siguen se aprecia dicha característica en la celosía izquierda y en el mosaico de la derecha, donde se han marcado las líneas paralelas que delimitan tales figuras básicas iguales. No ocurre así con el mosaico central; no es posible descomponerlo en zonas iguales trazando líneas paralelas en dos direcciones, por lo que no es periódico. Si las figuras básicas se trasladan sólo en una dirección se obtiene una banda que se llama friso. La fotografía a la derecha de este párrafo contiene tres bandas friso. Cada friso puede descomponerse también en figuras básicas iguales por trazado de líneas paralelas de una sola dirección perpendiculares a la dirección de la banda. Descompón en figuras básicas iguales los frisos de esta última figura superior y la decoración o mosaico periódico a la izquierda de este párrafo. Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 7 de 9
ACTIVIDAD 8: Construyendo frisos. a) Imagina que dispones de muchas baldosas cuadradas iguales a la de la derecha y que sólo puedes trasladar o girar, ya que no viene decoradas por detrás, Construye con ellas bandas frisos de la misma anchura de la baldosa que te parezcan geométricamente diferentes. b) Imagina ahora que dispones de dos tipos de baldosas como las que están aquí a la derecha. Qué nuevas bandas frisos de la misma anchura de las baldosas puedes construir? Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 8 de 9
ACTIVIDAD 9: Simetrías de una figura. Clasificando frisos. Los movimientos básicos a que puede someterse una figura plana sin que se modifique su forma ni su tamaño (isometrías) son los 4 que tienes a la izquierda. De ellos quizás te sea más novedoso el movimiento o transformación llamada reflexión en deslizamiento que consiste en una traslación seguida de una reflexión de eje espejo paralelo a la traslación; algo así como el movimiento de nuestras huellas de los pies en la arena cuando caminamos. Si una figura se somete a uno de tales movimientos y permanece inalterada (vuelve a superponerse con ella misma) se dice que tiene ese movimiento por simetría o que dicho movimiento es una simetría de la figura. Si un cuadrado se refleja sobre una línea que contenga a la diagonal el nuevo cuadrado se superpone con el anterior y entonces decimos que la reflexión sobre la diagonal es una simetría del cuadrado. Según las simetrías que tenga una figura se pueden clasificar para distinguirlas matemáticamente. Así puede hacerse también con las bandas frisos, las cuales hemos de suponer que son infinitamente largas para su estudio. Aquí tienes un algoritmo para clasificar un friso de acuerdo a las simetrías que tiene, con un par de ejemplos de preguntas y respuesta que hay que hacerse sobre él. Úsalo para clasificar los frisos que has construido en la actividad anterior y así sabrás realmente cuantos son geométricamente diferentes (como ves sólo hay 7 tipos distintos). En la notación se usa la m como inicial de mirror ( espejo en inglés) y g como inicial de glide ( deslizamiento en inglés). Miguel de la Fuente, F. Damián Aranda y Manuel Gómez 9 de 9