Proporciones notables en geometría. Ricardo Alonso Liarte IES Salvador Victoria
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- Yolanda Valenzuela Poblete
- hace 7 años
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1 Ricardo Alonso Liarte IES Salvador Victoria
2 Proporción TTM Zaragoza, mayo de 03
3 Proporción En Geometría el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción es el segmento, dividiéndolo en dos partes. La proporción que aparece es el resultado de dividir las longitudes de ambas. Si construimos un rectángulo en el que cada lado mida como cada una de las partes en que se divide el segmento, tendremos entonces un rectángulo con dicha proporción. TTM Zaragoza, mayo de 03
4 Proporción Dado un rectángulo de lados a y b, llamamos proporción ( o módulo) del rectángulo al cociente entre el lado mayor y el lado menor. p( a, b) ma( a, b) min( a, b) p( a, b) En el caso de ser, estamos ante el cuadrado TTM Zaragoza, mayo de 03
5 Proporción Además p( ta, tb) p( a, b) t 0 Es decir, la proporción se mantiene cuando los rectángulos son semejantes. TTM Zaragoza, mayo de 03
6 Compás de proporciones b q p q a b p Triángulos isósceles semejantes a TTM Zaragoza, mayo de 03
7 Tipos de proporciones Hay dos tipos de proporción geométrica: Proporción estática: La que establece entre dos elementos una razón simple, epresable como dos múltiplos de una unidad ó módulo: 3/, 5/3, 5/4 TTM Zaragoza, mayo de 03
8 Tipos de proporciones Proporción dinámica: La que relaciona dos valores por una razón inconmensurable. Algunos ejemplos son los siguientes: Proporción n Proporción cordobesa Proporciones metálicas TTM Zaragoza, mayo de 03
9 Proporción n Son fáciles de construir con regla y compás utilizando como base matemática el teorema de Pitágoras TTM Zaragoza, mayo de 03
10 Proporción n TTM Zaragoza, mayo de 03
11 Proporción raíz de El caso más sencillo es el de raíz de, que representa la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado del mismo. TTM Zaragoza, mayo de 03
12 Proporción raíz de Cómo dividir un segmento en estas proporciones? ( ) ( ) ( ) TTM Zaragoza, mayo de 03
13 TTM Zaragoza, mayo de 03 Proporción raíz de Cómo construir un rectángulo de estas proporciones? y ) ( y La proporción es
14 Proporción raíz de TTM Zaragoza, mayo de 03
15 Proporción raíz de COMPROBACIÓN DE LA PROPORCIÓN DOBLANDO PAPEL b b = TTM Zaragoza, mayo de 03
16 Proporción raíz de Es importante a nivel práctico porque resuelve el problema de la duplicación manteniendo las proporciones. Si dividimos un cuadrado en dos rectángulos iguales, está claro que éstas ya no mantienen la forma cuadrada. Esto sucede en cualquier rectángulo estático. TTM Zaragoza, mayo de 03
17 Proporción raíz de Sin embargo las dos mitades de un raíz de tienen esta misma proporción. a/ a a / a a a a TTM Zaragoza, mayo de 03
18 Proporción raíz de La serie DIN-A ha normalizado los formatos de papel a partir de un rectángulo de un metro cuadrado de superficie con sus lados en proporción a raíz de, que es el formato A0. Dividiendo sucesivamente por la mitad ese rectángulo se van obteniendo los formatos A, A, A3, A4 Imagen: Wikipedia TTM Zaragoza, mayo de 03
19 TTM Zaragoza, mayo de 03 Proporción raíz de Para hallar las dimensiones hay que resolver: a b a b b a a
20 Proporción raíz de 3 Partiendo de un triángulo equilátero h h h TTM Zaragoza, mayo de 03,
21 Proporción raíz de 3 3 TTM Zaragoza, mayo de 03
22 Proporción raíz de 3 Cómo dividir un segmento en estas proporciones? TTM Zaragoza, mayo de 03
23 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los etremos de un segmento, se traza la circunferencia que pasa por el otro etremo. TTM Zaragoza, mayo de 03
24 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis: Tomando como centro cada uno de los etremos de un segmento, se traza la circunferencia que pasa por el otro etremo. TTM Zaragoza, mayo de 03
25 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis TTM Zaragoza, mayo de 03
26 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis. El rectángulo en el que se encuadra tiene proporción 3/. Se le llama también rectángulo egipcio TTM Zaragoza, mayo de 03
27 Proporción raíz de 3 Vesica Piscis Pantócrator de San Isidoro de León TTM Zaragoza, mayo de 03
28 Proporción cordobesa Es la relación que eiste entre el radio de la circunferencia circunscrita a un octógono regular y el lado de éste. Su valor es c =, Concretamente, su valor eacto es.cosº30' TTM Zaragoza, mayo de 03
29 Proporción cordobesa VALOR DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA OPC es isósceles QCD y CPD son semejantes O Radio Lado TTM Zaragoza, mayo de 03
30 Proporción cordobesa VALOR TRIGONOMÉTRICO DE LA PROPORCIÓN CORDOBESA El ángulo PCD mide º 30 cosº30' cosº30' Radio Lado cosº30' cosº30' TTM Zaragoza, mayo de 03
31 Proporción cordobesa CÓMO DIVIDIR UN SEGMENTO EN PROPORCIÓN CORDOBESA TTM Zaragoza, mayo de 03
32 Proporción cordobesa CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO CORDOBÉS TTM Zaragoza, mayo de 03
33 Proporción cordobesa Se llamó así al ser encontrado por primera vez en la geometría de la Mezquita de Córdoba. Mirab de la mezquita de Córdoba TTM Zaragoza, mayo de 03
34 Proporción cordobesa Arco de la Defensa, París Arco de la Victoria, Madrid TTM Zaragoza, mayo de 03
35 Proporción de plata También en el octógono regular de lado 3 El lado del rectángulo sombreado es TTM Zaragoza, mayo de 03
36 Proporción de plata El número de plata es 3 Por tanto el lado mayor del rectángulo es Si se etrae un cuadrado de un rectángulo raíz de dos, queda un rectángulo de plata TTM Zaragoza, mayo de 03
37 Proporción áurea El todo es a la parte, como la parte al resto A C B AB AC AC BC Si el segmento AC= y el BC=, entonces AB=+ 0 TTM Zaragoza, mayo de 03
38 Proporción áurea 0 Resolviendo la ecuación se obtiene el valor positivo: Cuyo valor aproimado es, TTM Zaragoza, mayo de 03
39 Proporción áurea CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? ( 5 ) TTM Zaragoza, mayo de 03
40 Proporción áurea CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? Buscando la proporción en un segmento dado TTM Zaragoza, mayo de 03
41 Proporción áurea CÓMO CONSTRUIR UN RECTÁNGULO DE ESTAS PROPORCIONES? Primero, dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Luego, lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. TTM Zaragoza, mayo de 03
42 Proporción áurea 5 TTM Zaragoza, mayo de 03
43 Proporción áurea Otra forma de construirlo Papirofleia TTM Zaragoza, mayo de 03
44 Proporción áurea Otra forma de construirlo Papirofleia TTM Zaragoza, mayo de 03
45 Proporción áurea AD = Es la relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular Los triángulos ABD y AFB son isósceles y semejantes 0 TTM Zaragoza, mayo de 03
46 Proporción áurea TTM Zaragoza, mayo de 03
47 Proporción áurea El rectángulo áureo tiene la propiedad de que al quitar el mayor cuadrado posible, el rectángulo que queda es semejante al inicial. 0 TTM Zaragoza, mayo de 03
48 Proporción áurea Cómo comprobar que un rectángulo es áureo? TTM Zaragoza, mayo de 03
49 Proporción áurea Repitiendo el proceso de quitar un cuadrado Taza gigante volante con aneo ineplicable de cinco metros de longitud. ( ) Salvador Dalí ( ) TTM Zaragoza, mayo de 03
50 Proporción áurea Podemos llegar a una construcción similar de rectángulos con un proceso inverso: TTM Zaragoza, mayo de 03
51 Proporción áurea La sucesión de Fibonacci y el número áureo,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, TTM Zaragoza, mayo de 03
52 Proporción áurea La sucesión de Fibonacci y el número áureo : = : = 3 : = 5 5 : 3 = : 5 = 6 3 : 8 = 65 :3 = : = :34 = :55 = TTM Zaragoza, mayo de 03
53 Proporción áurea Podemos construir rectángulos cuyos lados sean términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, TTM Zaragoza, mayo de 03
54 Para terminar Un cortometraje inspirado en números, la geometría sagrada y la naturaleza. Realizado por Cristóbal Vila. De Etérea Estudios Zaragoza TTM Zaragoza, mayo de 03
55 Bibliografía - FERNÁNDEZ I., REYES E. Geometría del heágono y el octógono. Proyecto Sur de ediciones. Granada, VVAA. Papirofleia y Matemáticas, Revista, nº 53. Editorial Grao, 00 - VVAA. La proporción: arte y matemáticas. Biblioteca de UNO. Editorial Grao, SKINNER S. Geometría Sagrada. Gaia Ediciones. Madrid, 007 -CORBALÁN F. La proporción áurea. Colección El mundo es matemática. RBA editores, 00 -Sobre el video: TTM Zaragoza, mayo de 03
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