0 Pág. Página PRACTICA Pendiente de una recta Desde el punto A, nos movemos unidades a la derecha y unidades hacia arriba. Así llegamos al punto B. Cuál es la pendiente de la recta AB? Cuando x avanza, y avanza m A B Di cuál es la pendiente de las rectas que obtenemos partiendo del punto A del ejercicio anterior y moviéndonos de las siguientes formas: a) unidades a la derecha y hacia abajo. b) unidad a la izquierda y hacia arriba. a) m b) m Representa la recta que pasa por A(, 0) y B(, ). a) Cuál es la variación de la y cuando vamos de A a B? b) Cuál es la variación de la x? c) Cuál es la pendiente de la recta que pasa por A y por B? A(, 0) y B(, ) a) La y varía unidades hacia arriba. B b) La x varía unidades a la derecha. c) m m A Halla, en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados: a) A(0, ) B(, ) b) A(7, ) B(, ) c) A(, ) B( ), d) A(,7; 8) B(,;,) y La pendiente de la recta que pasa por A(x, y ) y B(x, y ) es m y. x x a) A(0, ), B(, ) m m 0
0 Pág. b) A(7, ), B(, ) m 0 m 7 0 + 0 c) A(, ), B(, ) m m d)a(,7; 8), B(,;,) m, 8, m,,7, La pendiente de la recta r: y x es m. Compruébalo hallando dos puntos de r y dividiendo la variación de y entre la variación de x. r : y x m Calculamos dos puntos de r: Si x 0 y 0 A(0, ) Si x y B(, ) Efectivamente, la pendiente es m. m ( ) 0 Halla la pendiente de las siguientes rectas obteniendo dos de sus puntos: a) y x b) y x c) y x + Comprueba, en cada caso, que coincide con el coeficiente de la x (puesto que la y está despejada). a) y x Calculamos dos puntos que pertenezcan a la recta: Si x y A(, ) Si x y B(, ) m ( ) La pendiente es m. b) y x Dos puntos que pertenecen a la recta son (0, 0) y (, ): m 0 m 0 c) y x + Calculamos dos puntos que pertenezcan a la recta:
0 Pág. 0 Si x 0 y + A(0, ) ( ) Si x y + B(, ) m ( ) m 0 ( ) En los tres casos se comprueba que la pendiente de la recta coincide con el coeficiente de la x cuando y está despejada. 7 Di cuál es la pendiente de las siguientes rectas observando el coeficiente de la x: a) y x b) y x c) y d) y x e) y x f) y a) m b) m c) m 0 d)m e) m f) m 0 8 Halla la pendiente de las siguientes rectas obteniendo el coeficiente de la x al despejar la y: a) x + y 0 b) x + y 0 c) x y + 0 d) x + y 0 e) y 0 f) x y + 0 a) x + y 0 y x y x y x + m b) x + y 0 y x y x m c) x y + 0 y x + y x + y x + m d) x + y 0 y x y x m e) y 0 y y m 0 f) x y + 0 x 8y + 0 8y x + y x + y x + m 8 8 8 8 7
0 Pág. Ecuación de una recta 9 Halla, en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B y escribe su ecuación: a) A(, 0), B(0, ) b) A(, ), B(, ) c) A(, ), B(, ) d) A(, ) ( ), B, a) m 0 ; y x + 0 b) m ; y (x + ); y x +9 ( ) c) m ( ) ; y (x + ); y x + / / 9/ / 9 d)m ; y ( x ) ; y x + 9 9 0 0 Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas y escribe la ecuación de una paralela que pase por el punto P(, ): a) y x b) y x + c) y d) x y + 0 a) m y y 0 m(x x 0 ) y + (x + ) y x + y x + b) m y + (x + ) y + x + y x + 0 c) m 0 y + 0(x + ) y d)x y + 0 y x + y x + m y + (x + ) y + x + y x + 0
0 Pág. Asocia a cada recta su ecuación: a) y 0 b) x y 0 r r c) x + y a) r, b) r, c) r r Halla la ecuación de las rectas r, r, r y r en la forma punto-pendiente. r r r r pasa por (, ) y (, ) m y (x ) r pasa por (, ) y (, ) m y (x ) r es una recta paralela al eje X que pasa por (, ) y r es paralela a r y pasa por (0, 0) y Página 7 Representación de rectas r x Representa: a) y,x b) y 7 c) y x d) y x 0 a) b) 7
0 Pág. c) d) Representa las siguientes rectas tomando una escala adecuada en cada eje: a) y 0 0,0x b) y x + 70 c) y x d) x 70y 80 0 a) b) 00 0 00 0 00 000 000 0 0 0 c) d) 0 0 70 0 0 80 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q y represéntala: a) P(0, 0), Q(00, ) b) P(0,0; 0,8), Q(0,;,7) a) m 7 ; y 7 (x 0) y 7 x + 89 0 0 0 0 b) m,7 0,8 0,9 m 0, 0,0 0, y,7 +,(x 0,) y,x + 0,7 a) 00 00 b) 0, 00 00 00 0, 0,
0 Pág. 7 Escribe la ecuación de las siguientes rectas y represéntalas: a) Su pendiente es m y pasa por el punto P(, ). b) Su pendiente es m y su ordenada en el origen es. c) Es paralela a x y + 0 y pasa por el punto P(, ). a) y (x + ) y x + b) b) y x c) y (x + ) y x +8 c) a) 7 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de estas rectas y represéntalas: a) y + (x ) b) y x + c) x + y d) x y 0 a) Eje X (, 0) Eje Y (0, ) b) Eje X (, 0) Eje Y (0, ) x + y c) Eje X (, 0) Eje Y ( ) 0, d) Eje X (0, 0) y x + x y 0 y + (x ) Eje Y (0, 0) Funciones definidas a trozos 8 Observa la gráfica de la función f y completa la siguiente tabla de valores: f 8 x y 0 8 0
0 Pág. 8 9 Representa: a) y x si x b) y x si 0 x c) y x si x a) y x si x b) y x si 0 x x y 0 x y 0 c) y x si x x y 8 7 0 A cuál de las siguientes funciones f, g o h corresponde esta gráfica? 8 a) f (x) b) g(x) c) h(x) x si 0 x x + 8 si x 8 x 8 si 0 x < x + 8 si x 8 Corresponde a la función c): h (x) si 0 x x + 8 si x 8
0 Pág. 9 Representa estas funciones: x + si x < a) y b) y si x si 0 x < c) y si x < d) y si x 7 si x < 0 x si x 0 x si x < (x/) + si x a) y x + si x < si x Representamos el primer trozo de la función que es la recta y x + definida para x < : x 0 y 0 El segundo tramo de función es constante, y definida para x. b) y si x < 0 x si x 0 El primer tramo de función es constante, y definida para x < 0. El segundo tramo de función, definida para x 0, es la recta y x: x 0 y si 0 x < c) y si x < si x 7 Los tres tramos de la función son trozos de rectas paralelas al eje X. d)y x si x < (x/) + si x El primer tramo de función es la recta y x definida para x < : x 0, y 0 El segundo tramo de función, definida para x, es la recta y x + : x y Puesto que los dos tramos empalman en x, no nos preocupamos en ver si el punto (, ) pertenece a uno o a otro tramo.
0 Pág. 0 PIENSA Y RESUELVE Di, sin representarlas, cuáles de las siguientes rectas son paralelas: a) y x b) y c) y x + d) y x e) y 7 f ) x y 0 a) paralela a f); la pendiente de ambas es m. c) paralela a d); ambas tienen pendiente m. b) paralela a e); ambas tienen pendiente m 0. Página 8 Un fontanero cobra 8 por el desplazamiento y por cada hora de trabajo. a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente. b) Si ha cobrado por una reparación 70,0, cuánto tiempo ha invertido en la reparación? a) TIEMPO (h) COSTE ( ) 8 78 9 b) y 8 + x donde x son las horas invertidas e y es el coste de la reparación. Si y 70,0 x 70,0 8, Ha invertido horas y media. Mientras ascendíamos por ALTURA (m) 0 0 70 990 una montaña, medimos la TEMPERATUTA (ºC) 0 8, temperatura y obtuvimos los datos de esta tabla. a) Representa la función altura-temperatura y busca su expresión analítica. b) A partir de qué altura la temperatura es menor que 0 C? a) 0 8 TEMPERATURA ( C) y 0 x 80 0 70 080 0 800 0 00 b) A partir de 800 m, la temperatura es menor que 0 C 0 0 COSTE ( ) ALTURA (m) TIEMPO (h)
0 Pág. Halla el valor que debe tener s para que el punto A(s, ) esté sobre la recta que pasa por (, ) y (, ). Calculamos la pendiente de la recta que pasa por (, ) y (, ) m ( ) 8 Calculamos la pendiente de la recta que pasa por (, ) y A(s, ) m ( ) 7 s s Para que A(s, ) pertenezca a la recta que pasa por (, ) y (, ), se ha de cumplir que m m : 7 (s ) s + 9 s 7 8 s Luego: s 7 En el recibo mensual de la luz pagamos un coste fijo de 0. Además pagamos 0, por cada kilowatio-hora (kw-h) consumido. a) Escribe la función que nos da el importe del recibo según los kw-h consumidos y represéntala. b) Si el recibo del mes de enero fue de, cuántos kw-h se consumieron? a) La función es y 0 + 0,x siendo: x número de kw-h consumidos y precio del recibo Hacemos una tabla de valores para representar la función: x 0 0 0 y 0 b) Si y 0 + 0,x 0 0,x x 0, Se consumieron kw-h. 7 En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura un paso del contador depende de la hora de la llamada: De 8 h a h............... segundos De h a 0 h.............. 8 segundos De 0 h a 8 h del día siguiente.. segundos 0 PRECIO FACTURA ( ) kw/h 0 0
0 Pág. a) Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contador según la hora de la llamada para un día completo. b) Busca la expresión analítica de esa función. a) 8 TIEMPO DEL PASO HORAS 8 h h 0 h h 8 h si 0 < x 8 si 9 < x b) y 8 si < x 0 si 0 < x 8 Un triángulo isósceles tiene 0 cm de perímetro. Llama x al lado desigual e y a los lados iguales. Haz una tabla de valores y, a partir de ella, escribe la relación entre x e y. Qué tipo de función obtienes? x 8 0 y 9 8 7 y y + x 0 y x +0 Es una función lineal x/ x/ x 9 Una casa de reprografía cobra cent. por cada fotocopia. Ofrece también un servicio de multicopia, por el que cobra 0 cent. fijos por el cliché y,0 cent. por cada copia de un mismo ejemplar. Haz, para cada caso, una tabla de valores que muestre lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. Representa las funciones obtenidas. Tiene sentido unir los puntos en cada una de ellas? Obtén la expresión analítica de cada función. A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? N- o DE FOTOCOPIAS COSTE (cent. de ) 0 0 0 N- o DE MULTICOPIAS COSTE (cent. de ),, 7,
0 Pág. 80 70 0 0 0 0 0 0 COSTE (cént. de ) FOTOCOPIAS MULTICOPIAS 7 8 9 0 N-º DE COPIAS No tiene sentido unir los puntos de cada una de ellas, ya que no se puede hacer una fracción de fotocopia, como, por ejemplo, / fotocopia. Fotocopias y x con x N Multicopias y 0 +,x con x N Si nos fijamos en la gráfica, a partir de copias es más económico utilizar la multicopista. Lo hacemos analíticamente, calculando cuándo el coste es el mismo para los dos métodos. x 0 +,x,x 0 x,8 Por tanto, a partir de copias es más económico utilizar la multicopista. 0 En una tienda rebajan el 0% en compras inferiores a 0 y el 0% si son superiores a 0. Cuál es la relación entre el precio marcado (x) y el que pagamos (y)? Represéntala gráficamente. y 0,9x si 0 x 0 0,8x si x > 0 x 0 0 0 0 80 y 9 8 8 PRECIO PAGADO 0 0 0 0 PRECIO MARCADO Queremos hallar la expresión analítica de esta función formada por tres tramos de rectas. 8
0 Pág. a) Para x, la recta pasa por (0, ) y (, ). Escribe su ecuación. b) Para x, es una función constante. Escribe su ecuación. c) Para x, la recta pasa por (, ) y (9, 0). Escribe su ecuación. d) Completa la expresión analítica de la siguiente función: si x < y si x si x > a) m 0 Ecuación y + (x 0) y + x b) Para x, la recta es y. c) m 0 9 Ecuación y 0 (x 9) y 9 x + x si x < d)y si x 9 x si x > Página 9 El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hecho esta gráfica para explicarle lo que espera conseguir en las semanas que dure la dieta. a) Cuál era su peso al comenzar el régimen? PESO (en kg) b) Cuánto tiene que adelgazar por semana 80 en la primera etapa del régimen? Y entre la a y la 8 a 70 semana? 0 c) Halla la expresión analítica de esa función. a) Antes de empezar el régimen, Ricardo pesaba 80 kg. b) 80 70 0, kg ha de adelgazar por semana en la primera etapa. 0 Entre la sexta y la octava semana debe mantenerse con el peso conseguido al final de la primera etapa. c) Primer tramo: recta con m 0 ; pasa por (, 70) y 70 + ( ) (x ) y x +80 SEMANAS 7 8 9 0
0 Pág. Segundo tramo: y 70 Tercer tramo: recta que pasa por los puntos (8, 70), (, ): m 70 8 y 70 (x 8) y x +80 80 (/)x si 0 x La expresión analítica queda: y 70 si < x 8 80 (/) si 8 < x Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 0 km de su casa. A los minutos de salida, cuando se encuentra a km, hace una parada de 0 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido. a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b) Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos que en cada etapa la velocidad es constante). c) Busca la expresión analítica de la función que has representado. a) DISTANCIA (en km) 0 0 0 0 90 TIEMPO (en minutos) b) Velocidad antes de la parada: recorre km en minutos 0, km/min Velocidad después de la parada: recorre km en minutos 0, km/min Los dos trozos de recta, antes y después del descanso, son paralelos velocidad es la misma. c) er tramo: pendiente m y pasa por (0, 0) er tramo: pendiente m y pasa por (0, 0) - o tramo: recta constante y la
0 Pág. (/)x si 0 x y si < x (/)x si < x 0 Halla la expresión analítica de las funciones siguientes: a b c d a) Para x, la recta pasa por (, ) y (, ): m 7 y (x ) y x + 7 7 7 Para x > y (/7)x + /7 si x La expresión analítica es: y si x > b) Para x < n y m y x Para x m y pasa por (, ) y (x ) y x x si x < La expresión analítica buscada es y (/)x / si x c) Si x n y m y x Si x > m y pasa por (, ) y x y x x si x La expresión analítica es y x si x >
0 Pág. 7 d)el primer tramo de función es la recta constante y definida para x <. El segundo tramo de recta pasa por (, ) y (, 0): m 0 Ecuación y (x ) y x La expresión analítica buscada es: y si x < x si x Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas y di si son crecientes o si son decrecientes: a) y x b) x + y 0 c) y 7 0 d) y (x ) e) 7x 0y 0 f ) x + y 0 Qué relación existe entre el crecimiento o decrecimiento de una recta y su pendiente? a) m Creciente b) m Decreciente c) m 0 Ni creciente ni decreciente d) m Decreciente e) 7x 0y 0 y 7 x m 7 0 0 Creciente f)x + y 0 y x m Decreciente Una recta es creciente si su pendiente es positiva y decreciente si su pendiente es negativa.