Operaciones algebraicas Por: Oliverio Ramírez Juárez Muchas veces para solucionar problemas cotidianos, éstos se tienen que transformar de lenguaje común a lenguaje algebraico, para así obtener una respuesta matemática que ayude a resolverlos. Una expresión algebraica es el resultado de aplicar las cuatro operaciones fundamentales a las variables y las constantes (Rees, Sparks & Sparks, 1991, p. 35). Para poder realizar las operaciones fundamentales es importante que sepas manejar las leyes de los signos, que a continuación se explican. Leyes de los signos y de los exponentes Para poder realizar operaciones con polinomios como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, es necesario conocer las reglas que las rigen, por lo que daremos un repaso de las leyes de los signos. Las leyes de los signos para la suma y resta se muestran en la tabla 1: Si se tienen dos o más números reales del mismo signo, se suman sus valores absolutos y en el resultado, se escribe el signo común de dichos números (Cuéllar, 2008, p. 7). Signos diferentes se restan y se escribe el resultado con el signo del número mayor. (Cuéllar, 2008). + + = + - - = + + - = Signo del número mayor - + = Signo del número mayor Ejemplos: +3 + 4 = +7 3 4 = 7 Ejemplos: +3 4 = 1 3 + 4 = +1 Tabla 1. Leyes de los signos para la suma y la resta. 1
Las leyes de los signos para la multiplicación son: Si se multiplican dos números reales con signos iguales, el producto es un número real positivo (Cuéllar, 2008, p. 12). Ejemplos: (+)(+) = + (-)(-) = + Si se multiplican dos números reales con signos diferentes, el producto es un número real negativo (Cuéllar, 2008, p. 12). Ejemplos: (-)(+) = - (+)(-) = - +3 +4 = +12 3 +4 = 12 3 4 = 12 +3 4 = 12 Tabla 2. Leyes de los signos para la multiplicación. Y para la división las leyes son: Si dividen dos números reales con el mismo signo, el cociente tendrá signo positivo (Cuéllar, 2008, p. 13). Ejemplos: + / + = + - / - = + 6 2 = 3 25 5 = 5 Si se dividen dos números reales con signo diferente, el signo del cociente será negativo (Cuéllar, 2008, p. 13). Ejemplos: - / + = - + / - = - 12 2 = 6 100 10 = 10 Tabla 3. Leyes de signos para le división. 2
Leyes de los exponentes Ley Ejemplo a! a! = a!!! 2! 2! = 2!!! = 2! a!! = a!" 3!! = 3!! = 3! ab! = a! b! 5 4! = 5! (4! ) a! a! = a!!! 4! 4! = 4!!! = 4! Tabla 4. Ejemplo aplicación leyes de los exponentes (Basada en información de Cuellar, 2008). Suma y restas de polinomios Para realizar una suma o resta de monomios o polinomios, debemos considerar dos aspectos: Que los términos sean semejantes. Aplicar correctamente las leyes de los signos. Términos semejantes Nos referimos a términos semejantes cuando dos o más términos algebraicos tienen las mismas literales con los mismos exponentes, sin importar el valor de sus coeficientes. Por ejemplo, observa los siguientes términos: Sus literales y exponentes son iguales? 2x 3 5x 3 Al revisar estas dos expresiones, se puede apreciar que ambas contienen a x 3 y lo único que las diferencia, son los coeficientes, por lo que podemos concluir que Sí son términos semejantes y, por lo tanto, se pueden sumar o restar entre ellos. Ahora analicemos los siguientes términos: 5y 2 6b 3 3
Como puedes ver estos monomios NO son términos semejantes, debido a que sus literales y exponentes son diferentes, por lo que no se pueden sumar o restar entre ellos. Cuando dos o más términos algebraicos poseen las mismas literales y están elevadas a los mismos exponentes, se dice que son términos semejantes, por lo tanto, se pueden sumar o restar entre ellos. Reducción de términos semejantes Una vez que identificamos la existencia de términos semejantes, se suman o restan sus coeficientes manteniendo igual su literal y su exponente (Cuellar, 2008). A esto se conoce como reducción de términos semejantes. Es importante que sigas las leyes de los signos (Cuellar, 2008): Operación Matemática Suma Leyes de los signos Explicación Ejemplo (+) + (+) = (+) (-) + (-) = (-) (+) + (-) = (+) o (-) (-) + (+) = (+) o (-) Términos con el mismo signo (+ o -), se suman los coeficientes, la parte literal queda igual y el signo del resultado es el signo en común. Términos con signo diferente, se restan los coeficientes, la parte literal queda igual y el signo del resultado es el signo del coeficiente mayor. 5x + 2x = 7x 2y 2 + ( 3y 2 ) = 5y 2 6t + ( 2t) = 4t ( 32y)+ 5y = 27 Tabla 5. Leyes de los signos. 4
Por ejemplo, al reducir el siguiente polinomio 5x! + 7ab 2x! + 11ab 1. Primero tenemos que identificar los términos semejantes: 5x! + 7ab 2x! + 11ab Los términos con literal y exponente x! son:5x! y 2x!. Los términos con literal y exponente ab son:7ab y 11ab. 2. Una vez identificados los términos semejantes, los podemos agrupar para facilitar su reducción. En este caso, del lado izquierdo ponemos todos los términos con literal x! y del lado derecho los que tienen literal ab: 5x! 2x! + 7ab + 11ab Luego, procedemos a realizar las operaciones (suma o resta) siguiendo las leyes de los signos: Uso de signos de agrupación 3x! + 18ab Cuando trabajamos con polinomios es frecuente encontrar términos reunidos a través de símbolos de agrupación. Éstos son: ( ) paréntesis. [ ] corchetes. { } llaves. Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades contenidas dentro de ellos, deben considerarse como un todo, o sea como una sola cantidad. 5
Si se quiere suprimir los signos de agrupación, el orden debe ser el siguiente: primero los paréntesis ( ), luego los corchetes [ ], y al final las llaves { }. Existen dos reglas para suprimir los signos de agrupación, y éstas son (Cuellar, 2008): 1. Cuando el signo +antecede a un signo de agrupación, los términos que se encuentran dentro de éste se dejancon su signo original y se suprimeel signo de agrupación. Por ejemplo: suprime los signos de agrupación del siguiente polinomio. Solución: Se procede a reducir términos semejantes: {2x! + 5 4x! + 10 } 2x! + 5 4x! + 10 2x! + 5 4x! + 10 2x! + 5 4x! + 10 2x! 4x! + 5 + 10 = 2x! + 15 2. Si el signo antecede a un signo de agrupación, se le cambia el signo a los términos que se encuentran dentro de éste y se suprime el signo de agrupación. Por ejemplo, suprime los signos de agrupación del siguiente polinomio. 5ab + 67 (3ab + 2) 5ab + 67 3ab 2 Finaliza reduciendo los términos semejantes: 5ab 3ab + 67 2 2ab + 65 6
Multiplicación de polinomios Para realizar una multiplicación de polinomios debes aplicar las siguientes leyes (Cuellar, 2008): Las leyes de los exponentes. Las leyes de los signos. La ley de los exponentes aplicable en el caso de la multiplicación es: Ley Ejemplo a! a! = a!!! z! z! = z!!! = z! Tabla 6. Ley de los exponentes en el caso de la multiplicación. Las reglas para multiplicar términos (ley de los exponentes y ley de los signos) son: Operación Matemática Multiplicación (+) * (+) = (+) (-) * (-) = (+) Leyes de los signos Explicación Ejemplo (+) * (-) = (-) (-) * (+) = (-) Cuando se multiplican términos con el mismo signo (+ o -): 1. Se multiplican los coeficientes. 2. 2. Se multiplican la parte literal siguiendo la Ley de los exponentes. 3. El signo del resultado será + Cuando se multiplican términos con signo diferente: 1. Se multiplican los coeficientes. 2. Se multiplican la parte literal siguiendo la Ley de los exponentes. 3. El signo del resultado será - (5x)(2x) =10x 1+1 =10x 2 ( 2y 2 )( 3y 2 ) = +6y 2+2 = 6y 4 (6t)( 2t 3 ) = 12t 1+3 = 12t 4 Tabla 7. Leyes de los signos para multiplicar términos (Cuellar, 2008). 7
Una vez que has comprendido las leyes de exponentes y signos, estarás en posibilidad de realizar multiplicaciones y divisiones. Estas operaciones pueden ser de tres tipos (Cuellar, 2008): a) Monomio y monomio. b) Monomio y polinomio. c) Polinomio y polinomio. La tabla 8 muestra algunos ejemplos de multiplicación. Tabla 8. Ejemplos de multiplicaciones (Basada en información de Cuellar, 2008). 8
División de polinomios Para realizar una división de polinomios debes aplicar las siguientes leyes (Cuellar, 2008): Las leyes de los signos. Las leyes de los exponentes. La ley de los exponentes aplicable en el caso de la división es: Ley a! a! = a!!! Ejemplo x! x! = x!!! = x! Tabla 9. Ley de los exponentes aplicable a la división. Las leyes las tendrás que aplicar para los tres diferentes tipos de división: Tabla 10. Ejemplos de tipos de divisiones (Basada en información de Cuellar, 2008). 9
División de un polinomio entre un polinomio Para explicarte como se hace una división de un polinomio entre un polinomio utilizaremos el siguiente ejemplo: x 2 4x + x! + 4 Esta división también la podemos representar de la siguiente forma: Divisor x - 2-4x + x 2 + 4 Dividendo Primero. Se ordenan el dividendo y el divisor con respecto al grado de los exponentes (de mayor a menor) de una misma letra (en este caso con respecto a la x). Segundo. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, así obtienes el primer término del cociente:!!! = x. Tercero. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor: x x 2 = x! 2x El producto obtenido se resta al dividendo (cada término y se escribe alineado con los términos semejantes del dividendo). Al resultado de esta resta lo llamaremos dividendo parcial. 10
Dividendo Parcial Cuarto. Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente:!!!! = 2. Quinto. El segundo término del cociente se multiplica por el divisor: 2 x 2 = 2x + 4 El producto así obtenido se resta del dividendo parcial (recuerda cambiarle todos los signos). Sexto. Si es necesario, se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como residuo. 11
Referencias Allen, A. (2010). Matemáticas I. México: Pearson Educación. [Versión en línea]. Recuperado el 31 de mayo del 2012, de la base de datos Bibliotechnia de la Biblioteca Digital de la UVEG. Cuéllar, J.A. (2008). Matemáticas I. Álgebra. (2ª ed.). México: McGraw-Hill. Martínez, M. A. (1996). Aritmética y Álgebra.México: McGraw-Hill. Rees, P.; Sparks, F. & Sparks, C. (1991). Álgebra. 10a. ed.). México: McGraw-Hill Interamericana. 12