Tema 6. LASTICIDAD. 6. Introducción. 6.2 sfuero normal. 6.3 Deformación unitaria longitudinal. 6.4 Le de Hooke. 6.5 Deformación por tracción o compresión. Módulo de Young. 6.6 Coeficiente de Poisson. 6.7 Deformación debida a tres esfueros ortogonales. 6.8 Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad. 6.9 Cialladura. Módulo de rigide. 6.0 Deformación por torsión. Constante de torsión. Nota: l contenido de estos apuntes pretende ser un resumen de la materia desarrollada en el curso. Por ello, el alumno debe de completarlo con las eplicaciones discusiones llevadas a cabo en clase con la bibliografía recomendada.
6. Introducción. Conceptos básicos. Hasta ahora se han considerado los cuerpos como sólidos rígidos (que no se deforman al aplicarles fueras) pero esto es una idealiación que no ocurre en los cuerpos reales que sí se deforman. Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fueras éste cambia de forma o de tamaño. La lasticidad estudia la relación entre las fueras aplicadas a los cuerpos las correspondientes deformaciones. Cuerpo elástico: Aquél que cuando desaparecen las fueras o momentos eteriores recuperan su forma o tamaño original. Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fueras o momentos no retorna perfectamente a su estado inicial. Comportamiento plástico: Cuando las fueras aplicadas son grandes al cesar estas fueras el cuerpo no retorna a su estado inicial tiene una deformación permanente. Los cuerpos reales pueden sufrir cambios de forma o de volumen (e incluso la ruptura) aunque la resultante de las fueras eteriores sea cero. La deformación de estructuras (estiramientos, acortamientos, fleiones, retorceduras, etc.) debido a la acción de fueras implica la aparición de esfueros que pueden llevar hasta la ruptura. La lasticidad estudia la relación entre las fueras las deformaciones, sobre todo en los cuerpos elásticos. La deformación está íntimamente ligada a las fueras eistentes entre los átomos o moléculas pero aquí se ignorará la naturalea atómica o molecular de la materia considerando el cuerpo como un continuo tendremos en cuenta las magnitudes medibles: fueras eteriores deformaciones. Las fueras de masa están asociadas con el cuerpo considerado (afectan a todas las partes del mismo) no son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos entre ellas podemos citar las fueras gravitacionales, las de inercia, las magnéticas.etc. Se especifican en términos de fueras por unidad de volumen. Las componentes de la intensidad de estas fueras según los ejes coordenados, son F, F F. Las fueras de superficie son debidas al contacto físico entre dos cuerpos. Si ampliamos el concepto podríamos incluir en dicho concepto las fueras que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce sobre la superficie adacente, lo que resulta mu práctico para establecer ecuaciones de equilibrio otras. 2
Si un cuerpo, como el de la figura, está en equilibrio, si aislamos una de las partes en que el plano divide al cuerpo, p.e. la porción iquierda, para restituir el equilibrio debemos aplicar sobre la sección producida una distribución de fueras idéntica a la que la porción eliminada (la de la derecha) ejercía sobre la otra. O sea, las fueras de superficie P P 2, de la parte I, se mantienen en equilibrio con las fueras que la parte II del cuerpo ejerce sobre la parte I, fueras repartidas sobre toda la superficie del corte, de forma que cualquier área elemental está sometida a una fuera. Por tanto, la fuera media por unidad de área es F P media A l esfuero (o tensión) en un punto se define como el valor límite de la fuera por unidad de área, cuando ésta tiende a cero: F df P lim0 A A da l esfuero en un elemento diferencial de área, es un vector en la misma dirección que el vector de fuera. La fuera, o lo que es lo mismo, el esfuero P, NO está dirigido según una dirección preestablecida, como puede ser la normal al plano de la superficie. Aunque en general la dirección del vector esfuero no coincidirá con la de la normal n a la superficie, siempre es posible elegir un sistema de coordenadas cartesianas con un eje coincidente con la dirección normal n los otros dos ejes contenidos en el plano de la sección, proectar el vector df sobre estos ejes. l concepto vectorial del esfuero implica que tiene que estar referido a un plano determinado, a que si se modifica el plano considerado que engloba al punto el esfuero será diferente. Si queremos conocer el esfuero en cualquier plano que pase por el punto considerado, a no se puede hablar del esfuero como un vector si no como un tensor. Para definir totalmente el vector esfuero, tenemos que especificar su magnitud, dirección el plano sobre el que actúa. Por eso es mejor hablar del estado tensional de un punto, o simplemente esfuero en un punto entendido como el conocimiento del esfuero o tensión en todo plano que pase por el punto, o sea epresándolo como en tensor. 3
6.2 sfuero normal. l esfuero es una medida de la fuera por unidad de área (en la que se aplica) que causa la deformación. Si la fuera aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal la otra paralela a la superficie considerada. Los esfueros con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ (sigma) se denominan como esfuero de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analiado, como esfuero de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analiado. l esfuero con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) representa un esfuero de corte a que este esfuero trata de cortar el elemento analiado, tal como una tijera cuando corta papel. Las unidades de los esfueros son las de fuera dividida por área (las mismas que para la presión), pero el esfuero no es un vector sino un tensor. Las unidades que más se utilian son: Pascal (Pa) N/ m 2, (S.I.); din/ cm 2 (c.g.s.); Kp/m 2, (s. Técnico); atmósfera técnica (Kp/cm 2 ); atmósfera (atm); bar. F r F r l l 6.3 Deformación unitaria longitudinal. Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuera de tracción F r la barra sufre un alargamiento l, se define alargamiento o deformación longitudinal como: l l l La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud. La relación entre la fuera F el alargamiento rigide K s : l viene dada por el coeficiente de F Ks l l coeficiente de rigide depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura presión, en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía). 4
6.4 Le de Hooke. Cuando estiramos (o comprimimos) un muelle, la fuera recuperadora es directamente proporcional a la deformación (al cambio de longitud respecto de la posición de equilibrio) de signo contraria a ésta. F - k, Siendo k una constante de proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. l signo menos en la ecuación anterior se debe a que la fuera recuperadora es opuesta a la deformación. Para >0, F - k Para <0, F k La energía potencial p correspondiente a la fuera F vale: porque el trabajo realiado por esta fuera conservativa cuando la partícula se desplaa desde la posición A a la posición B es: La le de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se alcana el límite de proporcionalidad (ver figura). n las curvas esfuero - deformación de un material ha un tramo de comportamiento perfectamente elástico en el que la relación esfuero deformación es lineal (punto A). De ahí hasta otro punto B (de límite elástico) el material sigue un comportamiento elástico (sigue habiendo una relación entre esfuero deformación, aunque no es lineal, si se retira el esfuero se recupera la longitud inicial). Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto b hasta el punto B ), el material se deforma rápidamente si se retira el esfuero no se recupera la longitud inicial, quedando una deformación permanente el cuerpo tiene un comportamiento plástico. Si se sigue aumentando la 5
carga (por encima del punto B ), el material llega hasta un estado en el que se rompe (punto C). Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico. Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite elástico, siguiendo un comportamiento plástico. Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas deformaciones. 6.5 Deformación por tracción o compresión. Módulo de Young. Si aplicamos una fuera F a una barra de longitud l 0 material se deforma longitudinalmente se alarga l - l 0. el La raón de proporcionalidad entre el esfuero (fuera por unidad de área) deformación unitaria (deformación por unidad de longitud) está dada por la constante, denominada módulo de Young, que es característico de cada material. F l l 0 S l La Le de Hooke relaciona la deformación de una barra sometida a esfuero ail, con la tensión normal generada por dicho esfueroσ, mediante la constante que se denomina módulo de elasticidad lineal o módulo de Young. σ La rigide de un material queda caracteriada por la relación entre el esfuero σ deformación, o sea por el módulo de Young. σ F / A / 6
l módulo de Young tiene las mismas unidades que el esfuero. 0.6 Coeficiente de Poisson. Todo elemento solicitado a carga aial eperimenta una deformación no solo en el sentido de la solicitación (deformación primaria ), sino también según el eje perpendicular (deformación secundaria o inducida, ), o sea, toda tracción longitudinal con alargamiento implica una contracción transversal (disminución de la sección del elemento estirado). l coeficiente de Poisson es la relación de la deformación perpendicular a la aial. p υ a Y si el cuerpo es isótropo: υ Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las direcciones. Anisótropo, cuando depende de la dirección. Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad. Inhomogéneo: Diferente densidad. Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus característica elásticas con el módulo de Young el coeficiente de Poisson. 0.7 Deformación debida a tres esfueros ortogonales. La solicitación uniaial es prácticamente una ecepción, a que en la realidad lo más común es encontrar solicitaciones biaiales triaiales. Consideremos ahora un elemento (pequeño troo de material ubicado dentro del cuerpo con forma de cubo con aristas de valor : d, d, d) sometido a un estado de tensión triaial en la que la longitud inicial de AB es la unidad. 7
Las componentes normales tangenciales de los esfueros se utilian con frecuencia resultan más significativas. Definimos por σ la componente perpendicular al plano sobre el que actúa. l esfuero tangencial se representa por τ se encuentra en la superficie del plano sobre el que actúa. La notación utiliada es: σ para el esfuero normal aplicado en la cara normal al eje, de igual forma se definen σ, σ. Para los esfueros cortantes, la notación es τ ab que denota el esfuero de corte que actúa en la cara normal al eje a que apunta en la dirección del eje b. De esta forma se tienen: τ, τ, τ, τ, τ, τ. La componente de la deformación,, la determinamos suponiendo queσ se aplica primero, cambiando la longitud AB una cantidad σ. Luego se aplica σ, que υ σ produce un cambio adicional en la longitud AB igual a σ ( + ). Pero como σ es una deformación elástica es despreciable con respecto a la unidad la podemos eliminar. Cuando aplicamosσ e ignorando nuevamente el término de orden superior, υ el cambio de la longitud AB lo epresamos por ( ) σ. La deformación total en la dirección del eje X, viene dada por: [ σ υ ( σ σ )] + Y por un raonamiento análogo tendremos las otras dos deformaciones: [ σ υ ( σ + σ )] [ σ υ ( σ + σ )] 6.8 Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad. Supongamos que tenemos un estado de esfueros, debido a una compresión uniforme que actúa por toda la superficie del cuerpo perpendicular a ella, definido por: σ σ σ p τ τ τ si aplicamos estos valores a las ecuaciones anteriores obtenemos las componentes de la deformación: 0 8
2υ ( γ 0 ) γ γ p Definimos la dilatación o deformación volumétrica, como el cambio de volumen unitario (cambio del volumen total V dividido por el volumen original V) lo epresamos mediante: V V o bien: + + Para el caso de presión hidrostática tendríamos: 3 ( 2υ ) p p K donde K es el Módulo Volumétrico de lasticidad o Módulo de 3 ( 2υ) deformación volumétrica. l módulo de deformación volumétrica representa la raón negativa de la presión hidrostática con la dilatación resultante. K p V / V La constante así comoσ, definida por la ecuación: m σ m ( σ + σ + σ ) 3 es de especial interés en el estudio de la plasticidad. l hecho de que la dilatación, bajo cualquier estado de tensiones, venga definida por la ecuación es evidente, a que las deformaciones tangenciales no producen cambio alguno en el volumen. n consecuencia, 2υ + + ( ) 3σ m es decir, la relación: K σ m cumple para cualquier estado de tensiones. A la inversa de K se le conoce como coeficiente de compresibilidad (B /K.) A la cantidad σ m se le conoce como componente esférica --o hidrostática del esfuero. Los valores de deσ m son invariantes con respecto a cualquier transformación de ejes ortogonal. 9
6.9 Cialladura. Módulo de rigide. Hasta hora solo hemos tenido en cuenta fueras normales a las superficies que dan lugar a esfueros normales a deformaciones de volumen. Supongamos ahora que las fueras F que se aplican son tangenciales a una superficie A, el cambio que se produce en el cuerpo es solo un cambio de forma a que el volumen permanece constante. l esfuero cortante o tangencial τ, es la fuera de corte o tangencial por unidad de área: sfuero cortante fuera de corte / área de corte τ F s A l esfuero cortante tiene las mismas dimensiones que la presión pero tiene la dirección de la fuera tangencial. Las unidades del esfuero cortante son las mismas que la de la presión N / m 2 en el S.I.. Cuando actúan esfueros cortantes el material se deforma como si el material (p.e. un cubo) estuviera formado por láminas paralelas se deformaran como lo haría el libro de la figura; a esta deformación que supone un desliamiento según el esfuero cortante o de cialladura se denomina deformación cortante, angular o de cialladura vale: Fs / A τ γ tan θ l G G donde G se denomina módulo de elasticidad tangencial o más habitualmente módulo de rigide (o también módulo de cortante o de cialladura ). τ Fs Fs G γ A tanθ A θ La deformación por cialladura se produce sólo en los sólidos, por eso se dice que estos presentan rigide. Los sólidos pueden tener deformaciones volumétricas de forma, mientras que los fluidos solo tienen deformación volumétrica. 0
La relación esfuero cortante deformación de cialladura, en un estado bidimensional de cialladura pura, cumple, dentro de los límites elásticos de la le de Hooke, una relación del tipo: τ G γ o bien : γ G τ ; donde γ γ + γ ς + η 6.0 Deformación por torsión. Constante de torsión. Ver en clase.