RELATIVIDAD ESPECIAL

RELATIVIDAD ESPECIAL Se recomienda leer primero los capítulos sobre la historia de la gravitación clásica (Copérnico, Brahe/Kepler, Galileo, Newton) del libro de Longair 1 NECESIDAD DE RECURRIR A ESTA TEORÍA El problema con las teorías anteriores a 195, año de publicación de la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein, surge del hecho de que las ondas electromagnéticas (OEMs), a diferencia de las otras ondas conocidas hasta entonces (acústicas, por ejemplo), no necesitan de un medio material para propagarse, sino que lo pueden hacer en el vacío Definimos sistemas de referencia inerciales (SRIs) a un grupo de sistemas de referencia que no se aceleran los unos respecto a los otros (por tanto, no deben existir fuerzas gravitarorias externas al sistema) 11 PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Un observador A, para el que una onda electromagnética (OEM) se mueve a la velocidad de la luz c, observa una onda variable en el espacio y en el tiempo Un observador B, montado en la OEM, observaría una onda variable en el espacio pero constante en el tiempo; sin embargo, las ecuaciones de Maxwell para las OEM no permiten una solución que sea constante en el tiempo Hay dos posibilidades: - O las ecuaciones de Maxwell son sólo ciertas en ese sistema de referencia especial A en el que la onda viaja a velocidad c, el sistema de un supuesto éter (fluído que permea todo el espacio y que es tan tenue que no se detecta fácilmente) y, por tanto, no lo son en los demás sistemas de referencia (en los que la velocidad de la luz con respecto al observador sería mayor o menor que c en función de si uno se mueve en la dirección opuesta al éter o en su misma dirección) - O la velocidad de la luz es la misma independientemente del estado (y dirección) de movimiento del observador (c=c') Einstein se decantó por esta última, pues la primera iba en contra de su conjetura de que no debe existir un sistema de referencia provilegiado Esta conjetura fue posteriormente elevada al nivel de postulado formulado así: las leyes de la Física, expresadas adecuadamente, deben ser independientes del sistema de referencia inercial en el que se formulen Dicho de una tercera forma: ningún experimento puede decirnos de dos observadores inerciales cuál está moviéndose y cuál en reposo Además, la primera alternativa fue chocando con sucesivos experimentos que refutaron la teoría del éter El de Michelson y Morley probó que la Tierra no se mueve con respecto a ningún éter De existir éste, debía ser arrastrado por la Tierra, lo que fue refutado por el experimento de Bradley sobre la aberración de la luz 1 RELATIVIDAD DE LA SIMULTANEIDAD Y, POR ENDE, DEL TIEMPO La clave del paso hacia la teoría de la relatividad especial es la aceptación de que la simultaneidad de dos sucesos es relativa El experimento de los dos vagones en movimiento relativo, en uno de los cuales se encienden a la vez las luces de cabecera y de cola, nos demuestra que dos sucesos simultáneos en un sistema (el del vagón donde se encienden las luces) no lo son en otro sistema de referencia (el del otro vagón) que se mueva con velocidad constante respecto al primero El tiempo deja de ser algo absoluto y el espacio también Son estas rarezas del espacio y del tiempo las que explican que la velocidad de la luz parezca no cumplir la ley de aditividad de velocidades y que su valor sea el mismo independientemente del

estado de movimiento del observador con respecto a la fuente emisora (c=c') Mediante la comparación del tiempo empleado por la luz en recorrer un ciclo en dos relojes tipo ping-pong vistos en dos SRIs, aquél en el que el reloj está en reposo t =L/c y aquél en el reloj se mueve con velocidad v respecto al observador t= L vt / /c, llegamos a la relación entre el tiempo propio t (tiempo medido en ese SRI muy particular en el que el reloj está en reposo) y el tiempo medido en cualquier otro SRI: t= t, donde =[1 v/c ] 1/ es el factor de Lorentz El tiempo propio es el más corto de todos los que se pueden medir entre dos sucesos 13 EFECTOS RELATIVISTAS - No-contracción de longitudes en direcciones perpendiculares al movimiento relativo - Contracción de longitudes en la dirección del movimiento relativo - Efecto Doppler relativista TRANSFORMACIONES DE LORENTZ Y CUATRIVECTORES Veamos primero que las ecuaciones de Maxwell de las OEMs no son invariantes bajo las transformaciones de Galileo -las transformaciones entre sistemas de referencia usadas hasta entonces y bajo las cuales las leyes de Newton sí que eran invariantes Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son: E z y E y z = B x ; ;; t B z y B y z = 1 E x ; ; ; c t E x x E y y E z z = B x x B y y B z z = Para dos sistemas de referencia S y S' con velocidad relativa v en una determinada dirección, elegimos los ejes x y x' de manera que coincidan con ella, de manera que: t '=t x'=x vt y'= y z'=z se obtiene: Usando la regla de la cadena: t = t ' v x' x = x ' y = y' z = z ' ecuaciones tales como: t = t ' t t ' x' t y' x' t y' z' t z', que aplicadas a las ecuaciones de Maxwell resultan en,

E z vb y E vb y z = B x ; ; ; y' z' t ' ; ; B ve y z B x x' y' = 1 E z c t ' ; en las que, si intentamos forzar la invariancia mediante, por ejemplo, E ' z =E z vb y, nos topamos más abajo con términos irreconciliables del tipo B y ve z Busquemos ahora, pues, una serie alternativa de transformaciones que sí hagan invariantes las ecuaciones de Maxwell Para ello suponemos que los orígenes de S y S' coinciden en un instante en el que ponemos a cero ambos relojes y enviamos una OEM Es decir, el suceso de coincidencia de orígenes x= ; x'=; es simultáneo en los dos sistemas de referencia t= ; t '=; (aprenderemos que el que dos observadores se puedan poner de acuerdo en la simultaneidad en un punto del espacio-tiempo implica la no simultaneidad en el resto de puntos) El suceso de llegada del frente de ondas emitido en t= a (x,y,z) en el instante t, es decir, el suceso [t,x,y,z], será descrito en el sistema S' como [t',x',y',z'] Debido a que c es la misma en ambos casos (postulado de la Relatividad Especial): ct x y z ==ct ' x ' y ' z ' Nos valemos ahora de la analogía entre esta expresión que queremos sea invariante y la invariancia de la longitud tridimensional de un segmento bajo una rotación de ejes x y z =x' y' z' Para simplificar el problema, reduzcamos las tres dimensiones espaciales a una, la del movimiento relativo de los SRIs y comparemos ct x ==ct ' x ' x '=x cos ysin con una rotación en D: y'= xsin ycos Primero, para conseguir una suma de cuadrados, hacemos el cambio de variable =it ; '=it ', de manera que: c x ==c ' x' La comparación nos permite x '=x cos ysin proponer una rotación: con ángulo imaginario =i Recordando y'= xsin ycos que cosi =cosh ; sini=i sinh tenemos: x '=x cosh ct sinh ct '= x sinhct cosh Para calcular aplicamos la condición de que en el instante t el origen de S' x'= se encontrará en x=vt : =vt cosh ct sinh ; =vt ct tanh implica que tanh =v/c Usando la relación trigonométrica cosh =1 tanh 1 obtenemos cosh = y sinh= v c Finalmente, las transformaciones buscadas quedan como: x '=x vt ct '= ct v c x y'= y z'=z

3 CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTAS Nos proponemos ahora encontrar la versión relativista de los vectores típicos que se usan en cinemática y dinámica: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza y momento Emplearemos la notación de cuatrivectores, partiendo del de posición R [ct, x, y, z], que según hemos visto, es invariante bajo las transformaciones de Lorentz y tiene una norma dada por R =ct x y z En general, escribiremos la norma de un cuatrivector A [ A, A 1, A, A 3 ] como A = A A 1 A A 3, lo que equivale a decir que la signatura que caracteriza nuestra métrica es [1, 1, 1, 1] El cuatrivector desplazamiento (vector diferencia entre las posiciones final e inicial) R=[ct, x, y, z] es también Lorentz-invariante por ser la diferencia de dos vectores invariantes Para construir el cuatrivector velocidad necesitamos dividir el desplazamiento por un tiempo invariante El candidato ideal es el tiempo propio t =t/ Por tanto: U= R =[c, x t t, y t, z t ]=[c,u x ]=[c,u] El procedimiento de construcción del vector velocidad relativista es, pues: - Medimos u=u x en el sistema S - Calculamos el factor de Lorentz correspondiente =[1 u/c ] 1/ - Colocamos las cantidades c y u x, u z en las partes temporal y espacial respectivamente Para transformarlo a otro sistema de referencia S' sólo tenemos que ir a las transformaciones de Lorentz y substituir ct ', x', y',z ' y ct, x, y,z por 'c,u' x,u' y,u' z y c,u x, u z, donde '= [1 u' /c ] 1/, quedándonos: u' x = u v x 1 vu x /c u y u' y = v 1 vu x /c, donde v =[1 v/c ] 1/ u z u' z = v 1 vu x /c Seguimos un proceso parecido para construir el cuatrivector aceleración relativista Primero formamos el vector incremento de velocidad U=[c, u] y después la aceleración: A= U =[c t t, u ] t Calculemos los incrementos derivando: d dt = d 1/ dt 1 u u c = 1 u a 3/ u u u a 1 = ; c c 3 c d u u a = dt 3 c u a ; de donde llegamos a:

A=[ u a 4 c u a,4 c a] u El procedimiento para formar el cuatrivector aceleración consistirá, pues, en: - Medir la velocidad u=u x y la aceleración a=a x,a y,a z de la partícula en cuestión en un instante determinado en el sistema S - Formar el escalar 4 u a c de la parte temporal y el trivector 4 u a c u a de la parte espacial Para transformarlo al sistema S' usaremos, una vez más, las transformaciones de Lorentz identificando las componentes homólogas A veces es conveniente pasar al sistema de referencia en el que la partícula está instantáneamente en reposo En este sistema, u= y =1 Por tanto, A=[,a] [, a ] y, como U=[c,u]=[c,], el producto escalar A U=, es decir, los cuatrivectores velocidad y aceleración son ortogonales (en cualquier sistema de coordenadas, pues las relaciones entre cuatrivectores son ciertas en todo SRI) La forma más lógica de definir el cuatrivector momento es mediante el producto de una masa invariante y el cuatrivector velocidad: P m U =[m c, m u ] Igualando las normas del cuatrimomento en un sistema cualquiera y en el sistema en que la partícula está en reposo, es decir, en el que P=[m c, ], obtenemos m c = m c m u Llamando p=m u a la parte espacial del cuatrimomento y m= m a la masa relativista podemos escribir p =m c m c Posteriormente identificaremos la masa invariante m con la masa en reposo y la expresión anterior nos permitirá diferenciar la energía en reposo de la energía cinética relativista Estamos listos ya para escribir la segunda ley de Newton en términos relativistas puesto que podemos construir el cuatrivector fuerza a partir del cuatrimomento: F= dp dt =[ d m c, d p dt dt ] [ = d m c, d m u dt dt ], e igualarlo al producto de la masa invariante por el cuatrivector aceleración: F=m A Igualando las partes espaciales de ambos miembros se obtiene la forma relativista de la segunda ley de Newton: f d p dt =m u a 3 c um a 4 u a E igualando las partes temporales: d m c =m dt c, es decir, Veamos aparte lo que vale f u u a =m c 3 c u c m u a c =m dm dt =m u a 3 c 3 u a c Por tanto,

dm dt = f u dmc c, es decir, =f u dt El producto f u es el ritmo al que se realiza trabajo sobre la partícula, es decir, es el ritmo al que se incrementa su energía Por ello identificamos E=mc : hay una cierta cantidad de masa inercial asociada con la energía (de cualquier tipo) que se produce cuando se realiza un trabajo Y todos los tipos de energía son la misma cosa que la masa inercial 4 ENERGÍA Y MOMENTO Supongamos una partícula que viaja a velocidad u en un determinado SRI llamado S Su energía total es E= m c, que es mayor o igual que la energía E =m c a la que llamaremos energía en reposo Llamaremos energía cinética relativista a la diferencia E k =E E = 1 m c porque en el límite newtoniano v c se reduce a E k = 1 m u De aquí que a la masa m se le llame masa en reposo (masa invariante) Las ecuaciones de conservación de momento y de energía se condensan en una sola: P 1 P =P' 1 P', ya que, por un lado, igualando las partes espaciales tenemos la conservación del trimomento relativista: p 1 p =p ' 1 p ' ; y, por otro, igualando las partes temporales de cada miembro: 1 m 1 m = ' 1 m 1 ' m, que equivale a: E 1 E =E ' 1 E ' Ahora podemos escribir el cuatrimomento como: P=m U = m [c,u x ]=[ E c, E c u ] Luego las partículas que viajan a la velocidad de la luz (pej Fotones) tienen un momento P=[ E c, E c c ] Finalmente, la expresión p =m c m c (igualdad de norma de P en un sistema cualquiera y en el sistema en que la partícula está en reposo) se convierte en E c = E c, es E c u decir, en: E p c =E =cte que es un invariante (mismo valor en todos los sistemas de referencia) En el límite ultrarrelativista ( E E ), las partículas se comportan como fotones QQ: Obtén la fórmula de transformación del vector [E, cp x, cp y, cp z ] Verás que si en un sistema (S') la partícula está en reposo ( p' x = ), se obtiene E= E ' y que si E' fuera nula, entonces sería nula en todos los SRIs; pero sabemos que en los sistemas que se mueven con respecto a S' la partícula se mueve y debe tener alguna energía; luego E' no puede ser nula, lo que implica que existe una energía incluso en reposo: E '=E 5 CONSIDERACIONES FINALES Como nuestro interés está centrado en la gravitación, no nos detendremos en estudiar las consecuencias electrodinámicas de la Relatividad Especial

QQ: Sin embargo, queda como ejercicio para el estudiante obtener, a partir de las transformaciones de Lorentz, las reglas de transformación de las derivadas parciales t, x, y,, comprobar que efectivamente las ecuaciones de Maxwell son Lorentzinvariantes y obtener las siguientes reglas de transformación: z E ' x =E x E' y =E y v B z E ' z = E z v B y B ' x =B x B' y = B y v c E z B ' z = B z v c E y CONO DE LUZ El paso al espacio-tiempo 4D nos trae reglas geométricas diferentes a las del espacio 3D habitual Hemos visto que las transformaciones de un SRI 4D a otro se pueden comparar a las rotaciones de ejes en D ó 3D, sólo que en el correspondiente diagrama espacio-tiempo D ó 3D (reducidos a una o dos dimensiones espaciales y una temporal) los ejes se mueven en direcciones opuestas para ct y para x El ángulo de rotación viene representado por aquél cuya tangente es v/c Cuando v=c, la tangente vale uno y los dos ejes se funden en la bisectriz Hemos visto también que c t x y z=c t ' x ' y' z' s es una cantidad invariante (para un fotón vale cero) que nos permite comparar sucesos en diferentes SRIs Si en el sistema S' el observador está en reposo respecto al reloj y además observa un suceso puramente temporal (no hay desplazamiento espacial) entonces c t x y z=c t y entendemos por qué el tiempo propio t es el más corto de todos los que se pueden medir en SRIs (las cantidades x, y, z son todas positivas) Además, cada observador mide unas cantidades [ct, x, y, z] diferentes entre un par de sucesos pero todos podrán ponerse de acuerdo en lo que vale c t y, por tanto, en lo que vale el tiempo propio Según que el intervalo s entre dos sucesos sea nulo, positivo o negativo tendremos un suceso lumínico (por ejemplo la emisión y posterior absorción de un fotón), un suceso temporal puro (puede haber causalidad entre ambos sucesos) o un suceso espacial puro (no puede haber conexión causal) Todos los sucesos que pueden haber causado un determinado suceso están en su cono de luz pasado y todos los sucesos a los que puede dar pie están en su cono de luz futuro