CAACTEÍSTICAS DE LA UEZA, MMENT Y PA DE UEZAS uerza Definición Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro se caracteriza por tener: 1. Magnitud o Intensidad: Es el valor de fuerza relacionada con sus unidades, tales como Toneladas (t), Kilogramos (kgf). Libras (lb), Kips (kip), etc... 2. Dirección: Es la orientación de su línea de acción 3. Sentido: Indica hacia donde se dirige 4. Punto de Aplicación: Es su posición; es decir su localización. Las fuerzas se representann matemáticamente por vectores, a que estos se definen como epresiones matemáticas de tienen una magnitud, dirección sentido, que se suman por la le del paralelogramo igura 1. epresentación de una fuerza Cuando las fuerzas no son resistidas, tienden a producir movimiento. Un aspecto inherente de las fuerzas estáticas es que eisten en un estado de equilibrio estático, es decir, sin que ocurra movimiento. Para que eista equilibrio estático, se requiere un sistema de fuerzas balanceado. Clasificación de la uerza La técnica usual para clasificar los sistemas de fuerzas inclue la consideración de si las fuerzas del sistema son: Coplanares. Cuando todas actúan en un solo plano, como el plano de un muro vertical. Paralelas. Cuando todas tienen la misma dirección. Universidad de Los Andes, Venezuela
Colineales. Cuando todas tienen la misma línea de acción. Concurrentes. Cuando las líneas de acción de todas convergen en un mismo punto. Efectos de la uerza Los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos pueden clasificarse como eternos e internos. 1. Efectos Eternos: Al aplicar una fuerza o un sistema de fuerzas sobre un cuerpo, si éste no tiene posibilidad de movimiento, aparecen otras fuerzas que tratan de equilibrar a las aplicadas. Estas fuerzas se conocen como reacciones le permiten al cuerpo permanecer estático. 2. Efectos Internos: Son las deformaciones. Cuando se aplican fuerzas a un cuerpo éste se encuentra imposibilitado de moverse, el cuerpo puede deformarse; es decir presentar cambios en sus dimensiones o en su forma. Unidades Las unidades básicas están asociadas a los conceptos de longitud, tiempo, masa fuerza, las tres primeras son unidades básicas la cuarta es derivada. En el sistema internacional de unidades (SI) las unidades básicas se denominan metro (m), segundo (s), kilogramo (kg), por ello, la unidad de cualquier magnitud física puede epresarse en función de estas unidades fundamentales. La unidad de fuerza es derivada se la denomina newton (N). En la Tabla 1 se relacionan los prefijos de los múltiplos submúltiplos más corrientes de las unidades SI, estos múltiplos son todos potencias de 10 un sistema así se denomina sistema decimal. Los prefijos pueden aplicarse a cualquier unidad SI. Tabla 1 Prefijos del SI actor de multiplicación Prefijo Símbolo 1 000 000 000 000 = 10 12 tera T 1 000 000 000 = 10 9 giga G 1 000 000 = 10 6 mega M 1 000 = 10 3 kilo k 100 = 10 2 hecto h 10 = 10 1 deka da 0,1 = 10-1 deci d 0,01 = 10-2 centi c 0,001 = 10-3 mili m Eisten otros sistemas de unidades como el técnico inglés utilizado en los países de habla inglesa, en el que las unidades básicas son el pie (p), la libra (lb) el segundo (s).
Principios Básicos de la Estática. Conociendo por Estática la parte de la Mecánica que estudia los cuerpos que se encuentran en reposo, se pueden definen ciertos principios fundamentales de la misma: Principio de la esultante. Varias fuerzas dadas pueden reducir todos sus efectos al de una sola fuerza llamada esultante. Se determina así la Le del Paralelogramo a partir de ésta la Le del Triángulo. Principio de Transmisibili idad. Las fuerzas pueden trasladarse a lo largo de su línea de acción, sin que se alteren los efectos eternos que puedan producir. Principio de Acción - eacción. Las denominadas Lees undamentales de Newton su Le de Gravitación, permiten identificar otros principios fundamentales para el estudio de la Mecánica. Es de particular interés resaltar la Tercera Le de Newton, que establece que las fuerzas efee acción reacción entra cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma línea da acción, pero sentidos opuestos. Se tiene así que estas fuerzas se equilibran por lo tanto los cuerpos no varían su condición de reposo. esultante de uerzas igura 2. Principios de la estática La resultante de un sistema de fuerzas es el sistema más simple (por lo general una sola fuerza) que tiene el mismo efecto que las diversas fuerzas que componen el sistema que actúan simultáneamente. Las líneas de acción de cualquier sistema de dos fuerzas no paralelas deben tener un punto en común la resultante de las dos fuerzas pasará por este punto común. La resultante de dos fuerzas no paralelas se puede hallar gráficamente mediante la construcción de un paralelogramo de fuerzas. Esta construcción gráfica se basa en la le del paralelogramo, la cual se puede enunciar como sigue: dos fuerzas no paralelas se trazan a cualquier escala (una cierta cantidad de libras representada por una pulgada), ambas fuerzas se dirigen hacia el punto de intersección de sus líneas de acción o se alejan de él. Se construe entonces un paralelogramo con las dos fuerzas como lados adacentes. La diagonal del paralelogramo Universidad de Los Andes, Venezuela
que pasa por el punto común es la resultante en magnitud, dirección línea de acción; la dirección de la resultante es similar a la de las fuerzas dadas: se dirige hacia el punto en común o se aleja de él. En la figura 1.6a, P 1 P 2 representan dos fuerzas Método analítico de descomposición de uerzas Toda fuerza, puede descomponerse en dos direcciones perpendiculares entre sí, una componente horizontal en un eje que puede denominarse otra componente vertical, en un eje Y, que puede denominarse. Por trigonometría podemos generalizar que el valor de la proección de una fuerza con respecto a un eje es igual al producto de la magnitud de la fuerza por el coseno del ángulo β, que forma dicha fuerza con ese eje o por el seno del ángulo complementario (Beer Johnston, 1979; rozco, 2000; Parker Ambrose, 1995).. De tal forma, sea β el ángulo que forma la fuerza con el eje horizontal X se puede determinar el valor de las componentes aplicando las epresiones: Componente horizontal Componente vertical Magnitud de la fuerza Dirección tan β = = cos β = sin β = + 2 2 β = arctan (a) igura 3. Componentes positivas negativas de una fuerza (b)
Momento Estático de una uerza. Definición Toda fuerza tiende a mover un cuerpo en la dirección en la cual ella actúa, bien desplazándolo de su posición original o girándolo respecto a un punto del mismo. Se define como momento al efecto de rotación de una fuerza o la tendencia de girar de esa fuerza alrededor de un punto determinado. Según esta afirmación es necesario para que eista un momento, tener previamente establecidos el valor de la fuerza la ubicación del punto en referencia; dependiendo así la magnitud del momento M del valor de la fuerza de la distancia d de ella al punto, tomando como distancia la menor posible entre la dirección de la fuerza el punto; es decir la definida por la línea perpendicular posible de trazar entre la fuerza el punto en cuestión. Esta distancia es llamada brazo del momento. La epresión de momento de con respecto a según lo definido anteriormente queda como el producto vectorial de r ; M r = La dirección del vector M o debe ser perpendicular al plano formado por los vectores r la magnitud del vector momento es igual a: M = rsenθ = d Donde: θ ángulo comprendido entre las líneas de acción de los vectores r. d brazo del momento. M o d r θ igura 4. Esquema de Momento en elementos que lo conforman Unidades Las unidades en las cuales se epresa el Momento de una fuerza, son unidades de fuerza por unidades de distancia; así se tienen: tonelada-metro, kilogramo-metro. kilogramocentimetro, etc.
Sentido del Momento Al curvar los dedos de la mano derecha con respecto al eje de momento en el sentido de la rotación de la fuerza (barriendo desde el vector r hasta el vector ), el dedo pulgar etendido señala la dirección del momento. Esto se conoce como la regla de la mano derecha, en algebra vectorial permite representar la multiplicación de vectores así mismo definir signos de momentos. Para efectos del curso dirigido a las aplicaciones de la estática en los componentes constructivos, principalmente el aspecto estructural, la convención utilizada consiste en relacionar la tendencia de giro con el sentido de las agujas de un reloj; el sentido horario da lugar a momentos positivos al antihorario representa momentos negativos (ver figura 5) igura 5. Sentido del momento según las agujas del reloj Componentes rectangulares del momento TES DIMENSINES Las componentes de M, M, Mz se definen por las relaciones: DS DIMENSINES M M M z = + z z = = z + z + r M o
igura 6. Esquema de M o en el plano En dos dimensiones el momento de una fuerza debe ser perpendicular al plano que contiene r, por ello, únicamente necesitamos especificar la magnitud el sentido (Beer Johnston, 1979; rozco, 2000). M = M = + Z Momento de un par Definición Se dice que dos fuerzas forman un par si tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas sentidos opuestos se epresa mediante: M = r donde: r vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas vector fuerza. Al vector M se le llama el momento del par; es un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas su magnitud es M = rsenθ = donde: d distancia perpendicular a la línea de acción de las dos fuerzas. Como vemos el vector r es independiente de la elección del origen de los ejes coordenados, se obtendría el mismo resultado si los momentos de se hubieran calculado con respecto a un punto diferente. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede aplicarse en cualquier punto. d r - θ igura 7. Esquema de un par de fuerzas d Pares equivalentes Dos sistemas de fuerzas son equivalentes (tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido) si puede transformarse uno de ellos en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes:
1. eemplazando dos fuerzas que actúen sobre una misma partícula por su resultantee 2. Descomponiendo una fuerza en sus componentes 3. Cancelando dos fuerzas iguales opuestas que actúen sobre una misma partícula 4. Aplicando a la misma partícula dos fuerzas iguales opuestas 5. Desplazando una fuerza a lo largo de su línea de acción. Dos pares que tienen el mismo momento M son equivalentes, si están contenidos en el mismo plano o en planos paralelos. Propiedades de los pares Cuando un par actúa sobre un cuerpo rígido, no importa donde se aplican las dos fuerzas que forman el par, ni la magnitud o dirección que tengan. El único aspecto que entra en consideración es el momento del par (magnitud dirección). Pares con igual momento tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido. epresentación de los pares Es suficiente dibujar una flecha igual en magnitud dirección al momento M del par (Beer Johnston, 1979). igura 8. esumen del Convención de signos Universidad de Los Andes, Venezuela
EDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE UEZAS Descomposición de una fuerza en una fuerza un par Consideremos una fuerza que actúa en un punto A (véase igura 9.a). Si quisiéramos aplicar la fuerza en el punto. Podemos desplazar a lo largo de su línea de acción (principio de trasmisibilidad), pero no podemos desplazarla a un punto fuera de su línea de acción original sin modificar el efecto de sobre el cuerpo rígido. Sin embargo, podemos aplicar dos fuerzas de dirección paralela a en el punto, cuas magnitudes son (véase igura 9.b), esto no modifica la acción de la fuerza original. Las nuevas fuerzas trae como consecuencia que la fuerza aplicada en A la fuerza - aplicada en formen un par de fuerza que puede reemplazarse por M mediante M = r (véase igura 9.c). De esta manera, cualquier fuerza que actúe sobre un cuerpo rígido puede desplazarse a un punto arbitrario. El par se representa por el vector del par M, perpendicular al plano que contiene a r. Como M un vector libre, se puede aplicar donde se desee; pero, por conveniencia, el vector del par se aplica generalmente en, junto con, la combinación que se obtiene se denomina un sistema fuerza-par. M o r A r - A a b c igura 9. Esquema aplicado A trasladado al punto A Este mismo procedimiento se puede realizar sobre cualquier punto de un objeto, cambiando la magnitud del par creado. educción de un sistema de fuerzas a una resultante un par El procedimiento descrito anteriormente se puede repetir con múltiple fuerzas, obteniendo que todas las fuerzas sean concurrentes puedan sumarse vectorialmente para ser remplazadas por su resultante. Del mismo modo los vectores del par pueden sumarse vectorialmente reemplazarse por el vector del par resultante M. Cualquier sistema de fuerzas, por complejo que sea, puede reducirse a un sistema equivalente fuerza-par que actué en un punto dado (véase figura 10). bservamos que cada uno de los vectores del par son perpendiculares a la fuerza correspondiente, el vector del par resultante la fuerza resultante no son, en general, perpendiculares entre sí. Por lo que el sistema fuerza-par equivalente se define por las ecuaciones = ; M = M = r Esto epresa que la fuerza resultante se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema,
mientras que el momento M del par, llamado momento resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos con respecto a de todas las fuerzas del sistema. Una vez que el sistema de fuerzas dado ha sido reducido a una resultante un par que actúan en el punto, este último sistema puede fácilmente reducirse a una fuerza un par en otro punto ' (véase igura 11). Mientras que la fuerza resultantee permanece sin modificar, el nuevo vector del par M ', será igual al vector par formado por la resultante la distancia '. igura 10. Sistema de fuerzas reducidas a una resultante un par M o = d oo M o ' ' d oo ' igura 11. esultante par en M = d oo tras reducciones de sistemas de fuerzas Eisten condiciones con las cuales un sistema fuerza-par dado puede reducirse a una fuerza única. Los sistemas de fuerzas que pueden ser reducidos a una fuerza única o resultantee son aquellos en los cuales la fuerza el vector del par M son perpendiculares entre sí. Aunque esta condición generalmente no se satisface por sistemas de fuerzas en el espacio, si se satisface por sistemas formados por fuerzas concurrentes, por fuerzas coplanares, o por fuerzas paralelas. Discutiremos estos casos separadamente. uerzas concurrentes uerzas que están aplicadas al mismo punto, por consiguiente, pueden sumarse directamente para obtener su resultante. Así, siempre se reducen a una fuerza única.
uerzas coplanares uerzas que actúan en el mismo plano, como el de la igura 12. La resultante de las fuerzas también estará contenida en el plano de la figura el momento de cada una de las fuerzas con respecto a, es perpendicular al plano. El sistema fuerza-par en, por tanto, consiste de una fuerza un vector del par resultante M ' perpendiculares entre sí. Ellas pueden reducirse a una fuerza única, desplazando a sobre el plano hasta que su momento con respecto a sea igual a M '. La distancia de a la línea de acción de es d = M ' /. uerzas paralelas uerzas que tienen líneas de acción paralelas pueden tener o no tener el mismo sentido. Suponiendo que las fuerzas son paralelas al eje, observamos que su suma también será paralela al eje. Por otra parte, debido a que el momento de una fuerza es perpendicularr a la fuerza, el momento con respecto a de cada una de las fuerzas del sistema, así como el momentoo resultante Mor, estarán sobre el plano z. El sistema fuerza-par en está formado de una fuerza un vector par Mor perpendicular entre sí. Bibliografía igura 12. educción de fuerzas coplanares a una resultante un par M = ; = = i i + ej e1 = eje1 M eje e2 = eje1d ; eje 3 eje3 i i M = d eje 1 eje22 Beer,. Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A. rozco, E. (2000). La estática en los componentes constructivos. San Cristóbal, Venezuela: EUNET Parker, H. Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos constructores. Méico D.., Méico: Editorial Limusa, S.A. de C.V.