AX +BX+C=0, representa la ecuación general de segundo grado, a la cual se asocia la función de segundo grado representada por: F(x)= AX +BX+C En ella se define: : Aquel o aquellos que toma x para el cual la función, es decir f(x) se anula. En consecuencia: AX +BX+C=0, por lo tanto los ceros de la función cuadrática corresponden a las raíces de la ecuación de segundo grado. Esto es:, Los ceros de la función representan gráficamente las abscisas del origen, por lo tanto los puntos de intersección de la curva con el eje de las abscisas esta dado por: B + Ix=( B C B, 0) e Ix=( B C ) : Para ello basta con determinar el valor de la función para cero, esto es f (0). Considerando esto, tenemos: f(0)= A0 +B0+C = C, de donde se obtiene que la curva intercepta al eje de las ordenadas en el punto Iy=(0,C) LA INTERCEPCIÓN DE LA PARABOLA CON EL EJE X, depende del signo del Discriminante Si Si = B C = B C >0, la parábola intercepta al eje OX en dos puntos. <0, la parábola no intercepta al eje OX. Si = B C =0, la parábola tiene un solo punto común con el eje OX.
EJE DE SIMETRIA DE LA PARABOLA: Como la parábola intercepta al eje OX en B + B C B B C los puntos: Ix=(, 0) e Ix=( ), entonces el punto medio de las coordenadas corresponderá a la abscisa del eje de simetría. Esto es: X ' + X '' B Xs=,0 =,0, por lo tanto,la ecuación del eje de simetría se B expresa por: x=, o bien x+b=0 A MAXIMO O MINIMO DE LA PARABOLA: Cuando la parábola extiende sus ramas hacia arriba, entonces tiene un mínimo. Cuando la parábola extiende sus ramas hacia abajo, entonces tiene un máximo. Para determinar el valor máximo o mínimo, nos bastara con determinar el valor de la función para la coordenada del eje de simetría.esto es: f( B B )=A B + B + C B B B A + C 4 A A B AB B + C B AB + C B A( B C) B ( B C) B
VÉRTICE DE LA PARABOLA: el vértice por deducción esta dado por B V=, EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1.- Considere la función: f(x)=6x +7x-3. Determine: 1.1.- f()+3f(-)+4f(f(1)) 1..- f(-3)+4f()+3f(-1)+f(f(0)) 1.3.- f(x)+f(-x)-f(x) 1.4.- f(1/)+4f(-1/)+3f(-1) 1,5.- f(a)+f(-a)-f(a) 1.6.- f(x)+f(x)-3f(f(1)) 1.7.- (fof)()-(fof)(-1) 1.8.- (fofof)(-1)+(fof)(-)-f(f(1)) 1.9.- determine la abscisa en el origen 1.10.- determine la ordenada en el origen. 1.11.- determine los interceptos de la función con los ejes coordenados. 1.1.- determine el eje de simetría de la parábola 1.13.- estudie la concavidad de la parábola y determine el máximo o minimote la función. 1.14.- determine el vértice de la parábola. 1.15.- determine el dominio de f. 1.16.- determine el recorrido de f. 1.17.- redefina la función como una función biyectiva y determine f 1
.- considere la función g(x)= -8x +14x+5. Desarrolle cada uno de los puntos del ejercicio 1. 3.- considere la función de segundo grado: f(x) = 3x -11x-4. Determine: 3.1.- el vértice de la parábola. 3..- pruebe si el punto P (3,-10) pertenece a la parábola. 3.3.- pruebe si Q (,-15) es un punto de la parábola. 3.4.- escriba la ecuación del eje de simetría. 3.5.- determine las coordenadas del vértice. 3.6.- Determine el valor máximo o mínimo de la función. 3.7.- determine los ceros de la función. 3.8.- determine los interceptos con el eje x, si existe. 3.9.- determine la ordenada en el origen. 4.- considere la función cuadrática: f(x) = -8x x + 6 4.1.- estudie la concavidad. 4..- determine el intercepto con el eje Y 4.3.- determine los interceptos con el eje X 4.4.- determine la ecuación del eje de simetría. 4.5.- el valor máximo de la función. 4.6.- el vértice de la parábola. 4.7.- haga un grafico. 5.- considere la función cuadrática: f(x)=9x -1x+13. Determine: 5.1.- el tipo de concavidad. 5..- interceptos con los ejes coordenados. 5.3.- la ordenada del origen. 5.4.- los ceros de la función. 5.5.-La ecuación del eje de simetría. 5.6.- el vértice de la parábola. 6.- dada la función cuadrática. f(x) = -x +4x-3.determine: 6.1.- el tipo de concavidad. 6..- interceptos con los ejes coordenados. 6.3.- la ordenada del origen. 6.4.- los ceros de la función. 6.5.-La ecuación del eje de simetría. 6.6.- el vértice de la parábola. 6.7.- el o los valores para el cual la función toma el valor -9
7.- Considere las ecuaciones: 6x +5x-6=0, 9x -1x+16=0 X -4x+1=0, 9x -8x+7=0. Para cada una de ellas: 7.1.- estudie el carácter de las raíces. 7..-determine las raíces. 7.3.- determine la suma de las raíces. 7.4.- determine el producto de las raíces. 7.5.- determine el doble de la suma de las raíces. 7.6.- la mitad del producto de las raíces. 7,7.- la diferencia de las raíces. 8.- determine el valor que debe tener K en la ecuación 9x +K = 0, para que las Soluciones sean números reales. 9.-determine el valor de K en la ecuación 3x +4x=K-5, para que tenga: 9.1.-dos soluciones reales y distintas 9..- dos soluciones reales e iguales 9.3.- dos soluciones complejas y conjugadas o no reales. 10.- en la ecuación x -7x+K=0, determine el valor que debe tener K para que una de sus Raíces sea: 10.1.- 3 10..- -5 10.3.- 3/7 10.4.- 0 11.-determine el valor que debe tener K en la ecuación: x -4x+K-=0, para que las Raíces cumplan la siguiente condición: 11.1.-x =x 11..- x =1/x 11.3.- x =5 1.-determine los valores de la preimágen para que la función: f(x) = x +5x-3, tome el Valor: 1.1.- 11 1..- -1/4 1.3.- -9 1.4.- 13.-determine los ceros de las siguientes funciones cuadráticas: 13.1.- f(x)=-x -5x+3 13..- f(x)=6x-5-x 14.-en cada caso determine el valor de C para que la función: 14.1.- f(x)=x -4x+C, toma un valor mínimo -3 14..- f(x) = -3x +6x+C, toma un valor máximo 8
15.- haga una traslación según el vector V (0,-3) a La parábola: y= x 5 3 16.- encuentre dos números que sumen 18 y cuyo producto sea el mayor posible. 1 17.- cual es el máximo valor del producto x ( x)? 18.- la parábola asociada a la función: y = x x 4, se traslada de modo que su nuevo vértice es el punto P (5,) y su concavidad es hacia abajo.determine la función de esta nueva parábola. 19.- encuentre la ecuación de una parábola que tenga un mínimo y sus ceros sean 3 ±. 0.- se lanza un proyectil hacia arriba, de modo que el disparo forma cierto ángulo respecto de la horizontal, con una velocidad inicial de 40 m/s, desde 0 m de altura sobre el suelo. Cuando han transcurrido t s desde su lanzamiento, su altura esta dada por la función: f (t)=-5t +40t+0 Determine: 0.1.- La altura máxima que alcanza. 0..- El tiempo que transcurre en alcanzar esa altura máxima. 1.- de acuerdo con lo indicado en cada gráfico, escriba la función correspondiente a la parábola representada.