El átomo de hiógeno Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevilla Curso 16-17 Problema 1 Calcule la probabilidad de que un electrón 1s del H se encuentre entre r y r. Solución La probabilidad de encontrar al electrón entre r y r será π P π a θ φ π π θ a φ Y m l D 1s r 4 a 3 Ψ 1s r,θ,φ r sinθ dθ dφ sinθ dθ dφ a a r e r/ R 1s r ya que los armónicos esféricos están normalizados. Usando r r e br b r b + b 3 e br con b / Tenemos P 4 a 3 r ra 4 a3 e r/a 8 r a + r + 1 e r/a [ 4a a + a + 1 e / a a + a ] + 1 e / [ 8 + 4 + 1e 4 + + 1e ] 5 e 13 e 4.43857 Problema Calcule a qué distancias del núcleo se encuentran el máximo principal y secundario de la función de distribución radial para un orbital s. 1
Solución La función de distribución radial viene dada por D nl r π θ sabiendo que el orbital s es π φ Ψ 1 4 π Ψ nmlr,θ,φψ nml r,θ,φr sinθ dθ dφ 3/ Z r e Zr/ podemos calcular la función de distribución radial como π π 1 Z 3 D r Z r e Zr/ r sinθ dθ dφ θ φ 16 π 1 Z 3 r Z r π π e Zr/ sinθ dθ dφ 3π θ φ efectuando las integraciones sobre la variables angulares, tenemos D r 1 Z 3 r Z r e [ Zr/a cosθ 3π 1 Z 3 r Z r e Zr/ 4π es decir 1 8 3π la condición de máximo es 3 r Z r D r 1 8 e Zr/ 3 r Z r e Zr/ dd nlr 1 Z 3 [ r Z r e Zr/ r Z 8 Z r Z r e ] Zr/a 1 8 simplificando con soluciones ] π [ ] π φ Z r e Zr/ 3 r Z r [ e Zr/ Z r Z r Z r Z r ] 1 Z 3 r Z r [ e Zr/ 4 6Z r Z r ] + 8 r, r Z, r 4 6Z r Z r + r 3 ± 5 la primera, segunda y tercera son mínimos claramente hacen que Dr. Los máximos pedidos son las dos soluciones r 3 ± 5 siendo la segunda 3 + 5 el máximo principal y la primera 3 5 el máximo secundario, ya que los máximos en Dr van en orden creciente.
Una solución alternativa usa la función radial, R nl r, en términos de la cual la función de distribución radial es Dr R nlrr Para hayar los máximos de esta función podemos utilizar la condición de máximo dd nl r R nl rr R nl r + r dr nlr hay tres posibles soluciones a esta ecuación: r R nl r R nl r + r dr nlr La primera y la segunda no nos sirven, ya que corresponden a mínimos en la función de distribución radial D nl r. Por tanto, los máximos que buscamos son las soluciones de R nl r + r dr nlr Para el orbital s R ρ 1 Z 3/ ρe ρ/ con ρ Zr/n entonces Teniendo en cuenta que la ec. dr s dρ 1 Z 3/ ρ 4 e ρ/ R s ρ ρ 4 es equivalente a sustituyendo y resolviendo R nl r + r dr nlr R nl ρ + ρ dr nlρ dρ ρ 4 R s + ρ R s ρ ρ + ρ ρ 4 ρ 6ρ + 4 que tiene como soluciones ρ 3 ± 5, por tanto, usando r n Z ρ las soluciones son r 3 + 5 y r 3 5. Problema 3 Calcule el valor esperado r r si la función de ondas del átomo de H es Ψ 1 r. 3
Solución Si desarrollamos la expresión pedida r r r + r r r r r vemos que lo que nos están pidiendo es la varianza en el valor medio de r. Necesitamos calcular los valores esperados r y r. Tenemos entonces que calcular las integrales para n 1, π π r n Ψ 1 r r n Ψ 1 rr sinθ dθ dφ r θ φ El orbital indicado es el orbital 1s de donde resulta Ψ 1 r Ψ 1s r 1 π 3/ e Zr/ π π r n Ψ 1 rr n Ψ 1 rr sinθ dθ dφ r θ φ r π π θ φ 3 1 π 1 Z 3 π r 1 Z 3 π π 1 π 3/ e Zr/ r n 1 π 3/ e Zr/ r sinθ dθ dφ r +n e Zr/ r π θ π sin θdθ dφ φ r +n e Zr/ [ cosθ ] π [ φ] π r r +n e Zr/ Z 3 4 r +n e Zr/ r A este mismo resultado se llega si utlizamos la función de distribución radial: r n D nl rr n la función de distribución radial para el orbital 1s es Z 3 D 1s r 4 r e Zr/ de donde resulta Z 3 r n 4 r +n e Zr/ la integral que nos queda es de la forma x m e qx dx m! q m+1 m > 1,q > utilizando esta integral definida nos queda Z 3 r n 4 a Z n n +! r +n e Zr/ 4 r n+1 4 3 n +! Z/ n+3
para n 1 tenemos y para n y el valor promedio pedido será r r r r r r 3 a 3! Z 3 Z a 4! Z 3 3 a Z a 3 Z Repita el problema anterior para el orbital p z para el que Ψ pz 1 Z 5/ 4 r e Zr/ cosθ π Tenemos, de nuevo, que calcular las integrales a 3 Z 4 a π π r n Ψ pz r r n Ψ pz rr sinθ dθ dφ r θ φ para n 1,. Sustituyendo la expresión del orbital π r n r θ 1 3π π φ 5 π 1 3π 1 Z 5 4 1 Z 5 r e Zr/ cos θ r n r sinθ dθ dφ 3π cos θ sinθ dθ θ 5 [ 1 3 cos3 θ ] π r 4+n e Zr/ r [ φ π φ ] π la integral que nos queda es, de nuevo, de la forma con lo que nos queda r n 1 4 dφ r 4+n e Zr/ r r r 4+n e Zr/ x m e qx dx m! q m+1 m > 1,q > Z 5 4 + n! 4 + n! Z/ 5+n 4 a n Z con lo que r 5! a 5 4 Z Z y el valor promedio pedido será y r 6! 4 a 3a Z Z r r r r 3a Z 5a Z 5a Z 5a Problema 4 La fuerza que actúa entre un electrón y un protón en el átomo de H viene dada por F e /4πε r. Calcule F para los estados 1s y p z del átomo de H. 5
Solución El valor esperado de F puede expresarse como y, dado que r sólo depende de r F e 4πε r e r 4πε r D nl rr donde D nl r es la función de distribución radial para el orbital correspondiente. Para el orbital 1s Z 3 D 1s 4 r e Zr/ y r 1s 4 a 3 r e r/ r 4 a 3 e r/ usando x n e qx dx n! q n+1 con n y q / r 1s 4 a 3 a a F 1s e 4πε a e πε a y Para el orbital p z D pz D p 1 Z 5 r 4 e Zr/ y 4 r p 1 4a 5 r 4 e r/ r 1 4a 5 r e r/ usando tenemos x n e qx dx n! q n+1 con n y q 1/ r p 1 4a 5 F p e 1 4πε 1a! 1/ 3 1 4a 5 a 3 1 1a e 48πε a y Problema 5 Considere la función de ondas para el átomo de hiógeno Ψ 31 r,θ,φ 1 81 1 π 3/ 6 ra r a e r/3 cosθ es función propia de algún otro operador? En ese caso, de cuáles? Cuáles son los valores propios? 6
Solución Todas las funciones de onda de los átomos hiogenoides son funciones propias de los operadores Ĥ, ˆL y ˆL z con valores propios E n 13.6/n ev, ll + 1 h y m l h, respectivamente. En ese caso n 3, l 1 y m l y tenemos E n 13.6 ev 1.511 ev L h L z n Problema 6 Compare el valor medio de la distancia r a que se encuentra un electrón 1s en H, He +, Li + y Be 3+. Solución El valor medio de la distancia entre el electrón y el núcleo para un orbital 1s es r 1s rd 1s r con Z 3 D 1s r 4 r e Zr/ con esto usando encontramos Z 3 r 1s 4 r 3 e Zr/ x n e qx dx n! q n+1 con n 3 y q Z/ r 1s 4 3 Z 3 obteniéndose las soluciones indicadas. Problema 7 3! Z/ 4 4 3! 4 Z 3 a 4 Z Calcule las energías de ionización de H, He +, Li + y Be 3+ en su estado fundamental en unidades de ev. Solución Los potenciales de ionización son las energías necesarias para llevar un electrón desde el átomo hasta el infinito con energía cinética cero. Por tanto son las energías del orbital que ocupe el electrón cambiadas de signo. En el caso de los átomos hiógenoides las energías de los niveles atómicos vienen dadas en ev por E n 13.6 Z n 7
como nos indican que los átomos están en su estado fundamental n 1 y I 13.6Z ev obteniendose I H 13.6 ev, I He + 54.4 ev, I Li + 1.4 ev y I Be 3+ 17.68 ev 8