Curso: RESISTENCIA DE MATERIALES 1 Módulo 3: TEORÍA DE VIGAS Luis Segura (lsegura@fing.edu.uy) º Semestre - 015 Universidad de la República - Uruguay Módulo 3 Teoría de vigas º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 Introducción Ejemplos Relación entre cargas y solicitaciones Análisis cualitativo y cuantitativo Deformaciones por flexión y curvatura Esfuerzos normales en flexión Relación momento-curvatura Dimensionado de vigas Deflexiones en vigas Métodos de resolución Bibliografía: Gere, 5ª Ed. (00): 4.1 a 4.5, 5.1 a 5.7 y 5.1, 9.1 a 9.5 Beer, 3ª Ed. (004): 4.1 a 4.5, 4.1, 5.1 a 5.4, 9.1 a 9.3, 9.7 Ortiz Berrocal, 3ª Ed. (007): 4.1 a 4.5, 5.1 a 5., 5.4 a 5.5
Introducción: Vigas º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 4 Las vigas son barras sometidas principalmente a cargas (fuerzas o momentos) con la dirección de sus vectores ortogonales al eje de la viga. En la viga se transmitirán momentos y cortantes. En este módulo analizaremos la relación entre cargas, solicitaciones (cortantes y momentos), deformaciones y desplazamientos (descensos) en vigas. Flexión en estructuras tipo º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 5 Vigas 1) Simplemente apoyada (S.A.) ) En ménsula 3) Bi-empotrada 4) Continua 5) S.A. con voladizo 6) Vigas Gerber Pórticos 7) Pórtico simplemente apoyado 8) Pórticos múltiples 9) Arco de 3 articulaciones
Ejemplos de vigas y pórticos º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 6 Aulario Común - Edificio Cubo Universidad Nacional del Litoral Santa Fe Ejemplos de vigas y pórticos º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 8 Puente De Santa Lucía Dr. Ing. Julio Martínez Calzón Ejemplos de vigas y pórticos º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 7 Ejemplos de vigas y pórticos º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 9 Storholmen Bridge Hundvakoy - Norway
(Carga distribuida perpendicular a la viga) º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 10 Carga distribuida (q): Carga por unidad de longitud de barra. Fenómeno análogo al visto en el módulo, pero con el vector de la carga en dirección perpendicular a la viga. Ejemplos: el peso propio de los materiales en barras horizontales, o el peso de un material que se apoya en éstas, la presión de líquidos o el viento. Unidad: [N/m] (usualmente: [kn/m]) La fuerza en un diferencial de largo de barra estará dada por: df = q *. Por lo tanto, en un tramo de barra de largo L, la resultante de la carga distribuida se obtiene integrando los df, y su posición igualando los momentos de ésta, con los de la carga distribuida. Gráficamente: La resultante está dada por el área bajo el diagrama de carga q(x), y su línea de acción, pasa por el centro de gravedad de dicha área. Solicitaciones: Cortante y Momento º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 11 Acciones internas (solicitaciones): Fuerzas que se transmiten internamente por un elemento. Se pueden visualizar cortando y aislando imaginariamente una parte de un elemento. Si trabajamos en el plano, las acciones internas transmitidas se pueden reducir a un torsor (una fuerza y un momento) aplicado en el eje de la sección. En base a este torsor, se pueden definir cada una de las solicitaciones: N-Fuerza axial (o directa, o fuerza normal): componente de la fuerza del torsor en la dir. del eje. V-Fuerza cortante (o simplemente cortante): componente de la fuerza en dir. perpendicular al eje. M-Momento flector (o simplemente momento): momento del torsor. Cortar y analizar el D.C.L de un elemento es la forma más directa y segura de determinar las solicitaciones en un punto de interés dado Se puede ver en el ejemplo que, al igual que sucedía en el módulo para la fuerza axial, el cortante y el momento pueden variar para los distintos puntos de la viga. Nos interesa, nuevamente, trazar los diagramas de V y M (cortante y momento) de toda la viga, es decir, las gráficas de V y M en función de la posición. Los máximos de cada elemento los usaremos para dimensionar su sección.
Relación entre q, V y M º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 1 Estableceremos la relación matemática entre q, V y M. Teorema Fundamental de Vigas: dv q = = d M Cómo intervienen en estas relaciones las características del material, de la sección y de las deformaciones que sufre la viga? ATENCIÓN: En esta deducción, sólo se consideró aplicada una carga distribuida. Relación entre q, V y M dv q = = º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 13 d M ATENCIÓN: En la deducción anterior, sólo se consideró aplicada una carga distribuida. Cómo es el equilibrio de un diferencial de viga en el que se aplica una carga puntual o un momento puntual? Convenciones de signos Convención de signos para el Momento: En general, no se definirá signo para el momento. La forma en que éste actúa se indica graficando su diagrama del lado de las fibras traccionadas. (Sólo en barras horizontales se indica como positivo si tracciona las fibras inferiores de la viga) Convención de signos para el Cortante: Una fuerza cortante positiva actúa en sentido horario contra el material. Una negativa lo hace en sentido antihorario.
Ejemplos Ejemplo: Ejercicio del práctico º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 14 - Reacciones - V y M en el punto medio. - Trazar cualitativamente diagramas de solicitaciones y bosquejar deformada - Hallar valores característicos. Estrategias de resolución de ejercicios: - CONDICIONES DE BORDE - Forma de la grafica en tramos (T.F.V.) - Saltos por cargas externas (V y M) - Concavidades (el momento envuelve a la carga) dv q = = d M Ejemplos º Semestre 015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1 15 Ejemplo: similar a ejercicio del práctico - Reacciones - V y M en el punto B. - Trazar cualitativamente diagramas de solicitaciones y bosquejar deformada - Hallar valores característicos.