SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 007-2 734-1/6 Universidad Nacional Abierta MATEMÁTICA III ( 734 ) Vicerrectorado Académico Fecha: 15/12/2 007 Cód. Carrera: 610-612 - 613 PRUEBA DE DESARROLLO / CORRECCIÓN MANUAL Tiempo de Prueba: 3 horas INSTRUCCIONES 1. Con esta prueba se evalúan los objetivos 1 al 4 de la asignatura Matemática III - Administración y Contaduría ( 734 ). 2. Debe responder las preguntas en las HOJAS DE RESPUESTA que se anean. Si es necesario solicite hojas adicionales al Supervisor de la Prueba, las cuales debe firmar y colocar su número de cédula de identidad. 3. El trabajo es estrictamente individual y cualquier actitud sospechosa por parte del estudiante que pueda alterar los resultados de la prueba será penalizada con la anulación de la misma. 4. Se permite el uso de calculadoras FINANCIERAS. SE ANEXA TABLA DE FÓRMULAS FUNDAMETALES MODELO DE RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 a) El señor Pedro Pérez posee un capital de Bs 68 800 000. Invierte 70% del mismo al 2,5% trimestral y el resto al 4,2% semestral. Cuánto recibe cada mes el señor Pérez de interés total? b) Una persona firma el día de hoy dos documentos de descuento. El primero de ellos por Bs 10 000 y el segundo por Bs 15 000, con interés simple del 18%, a 6 y 10 meses, respectivamente. Calcular el monto del descuento sabiendo que para el primer documento se utilizó descuento bancario y para el segundo descuento racional. c) Una persona quiere cambiar tres títulos, con valores finales de Bs 500 000, 800 000 y 1 000 000, cuyos vencimientos serán dentro de 2, 4 y 6 meses respectivamente, por dos pagos iguales cuyos vencimientos serán dentro de 3 y 6 meses. Si la tasa de interés simple es del 21%, cuál seráel valor de los pagos a realizar? Tómese como fecha focal la correspondiente al día de hoy. Elabore un diagrama de tiempo. NOTA: Para lograr el objetivo debe responder correctamente solo dos de tres de las partes de la pregunta.
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 007-2 734-2/6 a) Debemos notar que: En el enunciado del problema están involucradas dos tasas de interés simple diferentes, y que los intereses que se nos pide calcular son mensuales, por lo que para mayor comodidad las llevaremos a mensuales, por lo tanto: 2,5% trimestral = 0,8333% mensual ( 0,8333% = 2,5%/3 ) 4,2% semestral = 0,7% mensual ( 0,7% = 7,2%/6 ) El 70% del capital invertido por el señor Pérez son Bs 48 160 000. I = 48 160 0000,0083 + 20 640 0000,007 = 399 728 + 144 480 = 544 280. El señor Pedro Pérez, recibe mensualmente en intereses, la cantidad de: I = Bs 544 280 mensual b) Antes de comenzar a desarrollar nuestra respuesta aclaremos: Los que nos piden calcular no es el valor actual, sino cual es la cantidad descontada. Eiste una relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento la cual viene dada por: r d = 1+ r t. Sea D el monto del descuento, el cual viene dado por: M1 r t1 M2 r t2 D = D B + D R = Mdt 1 + Art 2 = +, 1+ r t1 1+ r t2 con r = 18%, t 1 = 6 12 y t 2 = 10 12. Sustituyendo obtenemos que: 6 10 10000( 0,18) 15000( 0,18) D = 12 + = 825,6881 + 1 956,5217 6 10 1+ ( 0,18) 1+ ( 0,18) D = 2 782,2098 c) Para dar respuesta a esta pregunta procedemos como sigue: Planteemos la ecuación de valores, escogiendo como fecha focal la correspondiente al dia de hoy. 500 000 800 000 1000 000 + + 2 4 6 1+ 0,21 1+ 0,21 1+ 0,21 12 12 12 = + 3 6 1+ 0,21 1+ 0,21 12 12 Resolvemos la ecuación
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 007-2 734-3/6 483 091,7874 + 747 663,5514 + 904 977,3756 = 1,105 + 1,0525 2 135 732,7144 = ( 1,0525)( 1,105) 1,0525 + ( 1,105) = ( 2,1575 ) = 1,8551 ( 1,163) 2135 732,7144 = 1,8551 Por lo tanto, el valor de cada uno de los pagos a realizar es de Bs 1 151 266,3485 OBJ 2 PTA 2 a) Calcule la tasa nominal capitalizable trimestralmente que resulte equivalente a una tasa de 29% capitalizable semestralmente. b) Un pagaré de Bs 1 680 000, que vence dentro de 6 meses se va a cancelar mediante 3 abonos: Bs 280 000 ahora, Bs 840 000 en 3 meses y un pago final al término de 5 meses. De cuánto debe ser este pago si se supone una tasa de interés del 36% anual capitalizable mensualmente? a) Para dar respuesta a esta pregunta recordemos que: Dos (2) tasas de interés son equivalentes, si operando bajo modos de capitalización diferentes producen el mismo valor final, es decir, el mismo monto. Bajo la definición dada, el enunciado del problema se traduce como sigue: El monto producido por un capital de Bs C a una tasa de interés de i% capitalizable trimestralmente durante un (1) año, es igual al monto producido por ese mismo capital C, a una tasa del 29% capitalizable semestralmente durante un año, esto es: i 4 4 C = M = C 4. 2 De las igualdades anteriores resulta que: i 4 2 i 2 i 2 1+ = 4, 2 de donde despejando i 4 y operando, nos queda: i i 4 = 4 1+ 2-1 = 2 0,29 4 1+ - 1 = 0,280187 = 28,0187%. 2 Por lo tanto, la tasa de interés nominal capitalizable trimestralmente equivalente al 29% nominal compuesta ( o convertible ) semestralmente es: 2
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 007-2 734-4/6 i 4 = 28,0187% Observación: Para calcular tasas equivalentes, no hace falta aprenderse las fórmulas, lo que realmente es importante aprender, es la definición de equivalencia entre tasas. b) Planteemos la ecuación de valores, y tomemos como fecha focal la correspondiente a la facha de vencimiento del pagaré, habría servido cualquier otra fecha, sin embargo en el caso de interés compuesto, esto no afecta el resultado. 1 680 000 = 280 000( 1+ 0,03 ) 6 + 840 000( 1+ 0,03 ) 3 + ( 1 + 0,3 ) 1 680 000 = 280 000( 1,1941 ) + 840 000( 1,0927 ) + ( 1,03 ) 1 680 000 = 334 348 + 917 868 + ( 1,03 ) 427 784 = ( 1,03 ) Por lo tanto, el valor del pago es de: Bs 415 324,2718 OBJ 3 PTA 3 Hallar el valor de contado de un artículo adquirido con el siguiente plan: cuota inicial de Bs 130 000 y 20 cuotas mensuales; Bs 15 500 es el valor de la primera, Bs 15 700 la segunda, Bs 15 900 la tercera y así sucesivamente, sabiendo que la tasa de interés sobre saldo es del 30% nominal mensual. NOTA: Utilice en sus cuentas cinco cifras decimales. Estamos en el caso de una renta inmediata en progresión aritmética de razón d = 200, de esta renta conocemos también el número de periodos n = 20, la tasa de interés i = 30% nominal mensual y el valor de la primera cuota T = 15 500. Lo que nos interesa es el valor actual A, de dicha renta. Para el cálculo usaremos la epresión: n 1 + a - n v n - 1 i A = ( T d )a n i + d, i y que: A = A + 130 000. Por qué A es de esta forma? Luego: - 19 1 - ( 1,025) - 20 1 + - 20( 1,025) - 20 1 - ( 1,025) 0,025 A = 15 300 + 200 0,025 0,025 = 238 514,76 + 30 187,2 = 268 701,96. A = 268 701,96 + 130 000 = 398 701,96
SEGUNDA PRUEBA INTEGRAL LAPSO 2 007-2 734-5/6 OBJ 4 PTA 4 Cynthia compra un juego de recibo en Bs 3 260 000 y acuerda pagar esa cantidad en abonos mensuales vencidos de Bs 592 960,14, los cuales incluyen un interés del 30,695% capitalizable cada mes. Cuántos pagos hará? Elabore la tabla de amortización de la deuda. Este es el caso de una renta inmediata en progresión aritmética de razón d = 0, de la misma conocemos A = 3 260 000, T = 592 960,14 e i = 30,695% capitalizable mensualmente, lo único que no conocemos es n, pero para calcularla usaremos la fórmula: -n 1-( 1 + i) A = Tani = T. i Despejando n en la igualdad anterior, obtenemos: Sustituyendo resulta: n = n = 3 260 000 0,02557 Ln 1-592 960,14 Ln 1+ 0,02557 La tabla de amortización es la siguiente: Ai Ln 1- T. Ln 1+ i = PERIODO CUOTA INTERÉS AMORTIZACIÓN [ ] Ln 0,85943 Ln 1,02557 0,15148 0,02524 6,0015. TOTAL AMORTIZACIÓN SALDO 0 3 260 000 1 592 960,1400 83 390,80000 509 569,34000 509 569,34000 2 750 430,66000 2 592 960,1400 70 356,016283 522 604,12372 1 032 173,46372 2 227 826,53628 3 592 960,1400 56 987,802798 535 972,33720 1 568 145,80092 1 691 854,19908 4 592 960,1400 43 277,630412 549 682,50959 2 117 828,31051 1 142 171,68949 5 592 960,1400 29 216,751817 563 743,38818 2 681 571,69869 578 428,30131 6 592 960,1400 14 796,195948 578 163,94405 3 259 735,64274 264,35726 Es de hacer notar que el saldo de Bs 264,35726 es debido al redondeo de los cálculos. FIN DEL MODELO DE RESPUESAS