M E C Á N I C A
M E C Á N I C A La línea recta es la trayectoria más corta entre dos puntos, sin embargo no es la que permite el descenso más rápido, sino que es una curva plana que se llama braquistócrona (del griego braquis, corto y cronos, tiempo) Si marcamos un punto cualquiera de un aro y lo hacemos rodar por una superficie plana, la trayectoria curva que describe se llama cicloide. El arco de esta curva, entre los puntos A y B de la figura es la braquistócrona. La cicloide es una curva plana descrita por un punto de la circunferencia cuando ésta rueda por una línea recta. Por ejemplo, sería la curva que describiría la válvula de inflado de una bicicleta cuando está en movimiento. La cicloide es una curva tan particular, que fue estudiada por todos los matemáticos importantes, en todas las épocas. Provocó tantas peleas y reyertas entre ellos, que se la conoce como la Helena de los geómetras.
MÁLAGA ANTES DE LA VISITA Repasa los conceptos de velocidad y aceleración. Escribe en la siguiente tabla si la velocidad y aceleración son constantes o no para el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) y movimiento acelerado (MA): MRU MRUA MA Velocidad Aceleración Escribe ejemplos de movimientos que correspondan a un MRU, MRUA y a un MA. Deduce la expresión del espacio recorrido en un MRU y en un MRUA. A partir de ellas, deduce la expresión del tiempo en ambos tipos de movimiento. Dibuja una cicloide en tu papel. Nota: Puedes construir un círculo de cartón de unos 4 cm. de diámetro y en el borde, hacer un pequeño orificio para meter el lápiz. Hazlo rodar tumbado en el papel, apoyando el círculo sobre una regla para que lleve una trayectoria rectilínea. Para que ruede bien y no resbale, coloca celo en el borde de la regla para que la rueda se adhiera a éste. Compara ahora el área que queda entre el arco de cicloide y la recta sobre la que ha rodado el círculo y el área del círculo. Nota: Lo puedes hacer utilizando papel milimetrado o como lo hizo Galileo, dibujando la cicloide y el círculo en madera o cartón, recortándolos y pesándolos. Compara la longitud de la cicloide y la del círculo. Nota: Lo puedes hacer utilizando un hilo que bordee ambas figuras. 1
M E C Á N I C A DURANTE LA VISITA Observa el módulo y dibuja los dos tipos de trayectorias que seguirán las bolas. A primera vista, qué bola piensas que llegaría antes al dejarlas caer desde misma altura y a la vez, la que sigue la trayectoria recta o la curva? Hazlo ahora. Quién llega antes? Consigue un cronómetro y mide el tiempo que tarda la bola en llegar a la canastilla por la trayectoria curvilínea cuando la lanzas desde arriba del todo y desde la mitad de la curva. Haz lo mismo para diferentes alturas. Braquistócrono de Spighi 2
MÁLAGA DESPUÉS DE LA VISITA Analiza los datos obtenidos durante la visita al módulo. El movimiento de ambas bolas en cada una de las trayectorias (recta y curva) es acelerado, pero son del mismo tipo? Cómo sería la aceleración en cada caso? Si repitieras la experiencia pero con una canica, obtendrías los mismos resultados? Y con una bola de plástico? Cómo explicas que el tiempo que tarda en llegar la bola al punto más bajo de la curva lanzándola desde cualquier punto sea igual? La cicloide, además de braqistócrona (tiempo más corto) es también tautócrona (mismo tiempo), qué significa esto? Observa la siguiente cicloide: Qué bola llega antes al punto más bajo, la azul o la roja (tienen la misma masa)? 3
M E C Á N I C A Señala qué factores pueden influir en el tiempo de caída: [ ] Tipo de material [ ] Tamaño de la bola [ ] Forma de la trayectoria Supón que tienes un alambre cuyos extremos son A y B y una bola que baja por el alambre Qué forma hay que darle al alambre para que la bola llegue B en el menor tiempo posible? Coloca una pequeña bombilla u otro objeto luminoso en la llanta de la rueda de la bicicleta y observa la trayectoria que describe al moverse la bicicleta. Cómo diseñarías un tobogán para que la bajada fuera lo más rápida posible? Si has ido alguna vez a un parque acuático, habrás visto la atracción de kamikace. Qué forma tiene? Por qué? La epicicloide e hipocicloide son curvas de la familia de la cicloide. Defínelas, dibújalas y encuentra la relación de una de ellas con la astronomía. Construye un péndulo utilizando dos medias cicloides como topes, y un hilo con una masa en el extremo que oscile entre ellas según el siguiente dibujo, qué curva describe este péndulo? Huygens en el siglo XVII construyó un péndulo como éste. Encontró que aunque la amplitud de oscilación cambiara, seguía marcando bien el tiempo. Cómo explicarías esto? 4
MÁLAGA CURIOSIDADES El problema matemático de la braquistócrona se solucionó en el siglo XVII y conllevó polémica involucrando a los mejores matemáticos de la época. En 1696 Johann Bernoulli, uno de los hermanos y matemáticos de la saga Bernoulli, fue el que planteó a los matemáticos de la Royal Society este problema junto con un segundo (encontrar una curva tal que si se traza una línea desde un punto dado O, que corte a la curva en P y en Q, entonces OP + OQ sea una constante). Se trató más bien de un reto pues ofreció como premio un costoso libro científico de su biblioteca (aunque los miembros de la Royal Society eran grandes científicos no todos ellos eran grandes en riquezas). Johann Bernoulli (1667-1748) Además, siendo Bernoulli amigo de Leibniz, el desafío parecía ir dirigido a Newton, quién se había alejado de las actividades científicas. Y es que la solución requería del cálculo infinitesimal cuya paternidad entre Leibniz y Newton se discutía (lo desarrollaron independientemente y sin colaborar entre sí, pero Leibniz lo publicó de inmediato y Newton no lo hizo hasta mucho después), Entre los participantes del certamen se encontraban: Robert Hooke, matemático y descubridor de la célula; Sir Edmond Halley, físico, matemático y astrónomo, descubridor de la periodicidad de los cometas; Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y otros grandes científicos. Bernoulli estableció un plazo máximo de seis meses para presentar las soluciones. Tras este tiempo, sólo Leibniz había encontrado la solución al problema de la braquistócrona pero no al otro. Pasaron seis meses más y nadie pudo mejorar la solución de Leibniz al primer problema (muy tortuosa) ni resolver el segundo. Gottfried Leibniz (1646-1716) Molesto por su fracaso, Leibniz sugirió a Bernoulli que se solicitara el auxilio de Newton. Johann llamó a Halley (muy amigo de Newton) para que le entregara los dos problemas. Los dos problemas fueron resueltos por Newton en diez horas! Envió sus soluciones en una carta sin firma al presidente de la Royal Society. Sus desarrollos eran tan perfectos y elegantes, que fueron publicados, también anónimamente, en el número de febrero de 1697 de Philosophical Transactions. Bernoulli, impresionado por la elegancia de las soluciones, no tuvo dificultad en identificar al autor: Es Newton, afirmó. Cómo lo sabe?, le preguntaron. Porque reconozco las garras del león (Ex ungue leonis). Isaac Newton (1643-1727) Además de Leibniz y Newton, tanto Johann como su hermano Jacob Bernoulli consiguieron resolver el primero de los dos problemas. La solución de Leibniz era muy trabajosa. La de Johann Bernoulli era bastante elegante pero muy particular. La de su hermano mayor Jacob era muy elaborada y aburridísima, pero más general que la de Johann. La de Newton fue la mejor, breve, simple, elegante, entretenida y general, nadie ha podido superarla. 5
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