Probabilidad y Estadística Probabilidad Ing. Ivannia Hasbum., M.Eng.
Todos los días tomamos decisiones pero no las tomamos a ciegas, imaginar las probabilidades de varios resultados posibles nos ayuda a decidirnos por la opción correcta. Incluso sin saberlo confiamos en una clase especial de cálculo, el cálculo de la probabilidad de sucesos específicos
Considere como se cambian los planes de un determinado día de paseo si la probabilidad de lluvia es muy alta. Qué tan probable es, nos preguntamos, que el aumento de los hidrocarburos disminuya la venta de los mismos, o bien que una inspección localice las partes defectuosa de un proceso? Cuáles son las probabilidades de encontrar formas de vida en otro planeta? Es por ello que el propósito de este tema es desarrollar las ideas básicas que se necesitarán para una adecuada estadística inferencial.
Axioma 1 0 P(A) 1 para cada evento A en S. Axioma 2 P(S) = 1. Axioma 3 Si A y B son eventos que se excluyen mutuamente en S, entonces P(A U B) = P(A) + P (B)
Experimentos y eventos Un experimento es cualquier proceso planeado que da lugar a observaciones o a recolección de datos; un ejemplo tradicional es el área de probabilidad es arrojar un dado y observar el número de cara que queda hacia arriba cuando se detiene; para este experimento habría 6 posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Todos los experimentos tienen resultados y la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar; los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral. Donde un espacio muestral (S), son todos los posibles resultados de un experimento
Para cierto experimento, es posible determinar la probabilidad de que ocurra una colección de resultados, en lugar de la probabilidad de que se de uno solo. Por ejemplo cuando se lanza un dado, estamos interesados en aquellos resultados que sean un número par; a esta colección de resultados., se les denomina evento Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral S.
Tomando como referencia el experimento del dado, el espacio muestral para este experimento es {1, 2, 3, 4, 5 y 6}. Algunos posibles eventos serían: A= {1, 3, 5} B = {2, 4, y 6}
Estos son algunos posibles eventos del espacio muestral antes descrito. El conjunto vació y el espacio muestral S también son eventos. Un evento simple es un evento que contiene sólo un resultado.
Si se realiza una representación gráfica del espacio muestral y de las relaciones entre los eventos se uso el Diagrama de Venn, el cual es un rectángulo que representa el espacio muestral y los eventos son círculos dentro del rectángulo
Considere el ejercicio de tirar dos dados y observar como caen; el espacio muestral sería de 36 resultados posibles y se mostraría de la siguiente manera. { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)} Para el experimento anterior liste los resultados posibles de los siguientes eventos La suma sea impar Los números del primer dado son pares Los datos obtenidos en el primer dado son 1 ó 4 Los datos del segundo dado son números impares
Solución: A= {(1,2) (1,4) (1,6) (2,1) (2,3) (2,5) (3,2) (3,4) (3,6) (4,1) (4,3) (4,5) (5,2) (5,4) (5,6) (6,1) (6,3) (6,5)} b. B= {(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,4) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)} c. C= {(1,2) (1,4) (1,6) (1,1) (1,3) (1,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,4)} d. D= {(1,1) (1,3) (1,5) (2,1) (2,3) (2,5) (3,1) (3,3) (3,5) (4,1) (4,3) (4,5) (5,1) (5,3) (5,5) (6,1) (6,3) (6,5)}
Si E es un evento contenido en un espacio muestral S, entonces el evento E es llamado E complemento, es el que contiene todos los resultados en S que no están contenidos en E.
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, o disyuntos, si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Esto es, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro (u otros). Por ejemplo, supongamos que considerando los dos posibles eventos as y rey en relación con la extracción de un naipe de un mazo. Estos dos eventos son mutuamente excluyentes, porque un naipe dado no puede ser al mismo tiempo as o rey.
Dos eventos son no mutuamente excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo. Obsérvese que esta definición no indica que estos eventos siempre deban ocurrir necesariamente en forma conjunta
Reglas de adición Las reglas de la adición se emplean cuando se desean determinar la probabilidad de que ocurra un evento u otro (o ambos) en una sola observación. Simbólicamente, podemos representar la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B con P(A o B). en el lenguaje de la teoría de conjuntos, esto se conoce como la unión de A y B, y la probabilidad se designa como P (AUB) ( probabilidad de A unión B). P (A o B) = P(AUB) = P(A) +P (B)
Ejemplo Al extraer un naipe de un mazo, los eventos as (A) y rey (R) son mutuamente excluyentes. La probabilidad de extraer un as o un rey en una sola extracción es:
Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos resta de la suma de las probabilidades simples de los dos eventos. Podemos representar la probabilidad de ocurrencia conjunta con P (A y B). En el lenguaje de la teoría de conjuntos esto se conoce como intersección de A y B y la probabilidad se designa P (A B). Así la regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes es: P (A o B) = P(AUB) = P(A) +P (B) P(A B)
Para eventos mutuamente excluyentes
Para eventos que no son mutuamente excluyentes
Ejercicio de Diagrama de Venn
Permutaciones y Combinaciones Permutaciones Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de n elementos si solamente se seleccionan r.
Existen diferentes permutaciones los cuales nos ayudan a obtener el tamaño de muestra. Estas se muestran seguidamente: a. En donde por ejemplo el número de permutaciones de n objetos distintos es n!.
De cuántas maneras diferentes se puede acomodar una caja con 12 lápices de color?. En este caso el número de permutaciones sería! o sea 479001600. No pareciera que los lápices de una caja de 12 unidades puedan acomodarse de tantas maneras posibles es por ellos la importancia de la permutaciones
De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco en el que solo hay asiento para 4? 10 *9 *8 *7 = 5040
Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,..,9 si: a. se permiten las repeticiones b. no se permiten las repeticiones c. el último dígito debe ser cero y no se permiten las repeticiones.
El número de permutaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es
El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un círculo es: (n-1)!
De cuántas maneras se pueden sentar 7 personas en una mesa redonda si: A. pueden sentarse como quieran Si se deja que cada uno de ellos se siente donde quiera. Entonces las 6 personas restantes se pueden sentar de 6! Maneras. B. Dos personas no deben sentarse juntas Considere a 2 determinadas personas como una. Entonces hay 6 personas que en total pueden ser acomodadas de 5!= 120. Maneras. Pero las 2 personas consideradas como una se pueden sentar como 2!. Por lo que al final esas personas pueden sentarse en 720-240 formas diferentes
Combinaciones
Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos,
b. si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?,
c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más
Probabilidad usando Análisis Combinatorio En el juego de póquer se extraen 5 cartas de un paquete de 52 cartas bien mezcladas. Encontrar la probabilidad de A. P(4 ases) B. p(4 ases y 1 rey) C. P( 3 sean dieces y sean sotas) D. P(nueve, diez, sota, reina, rey en cualquier orden)
Probabildad Condicional La posibilidad de que un evento ocurra sabiendo que ha ocurrido otro evento se denomina Probabilidad Condicional. Por ejemplo la probabilidad de que una persona nacida en 1973 viva hasta los 40 años es 0,97, y la probabilidad de que viva hasta los 65 es 0,66. Sabiendo que ha alcanzado los 40, calcular la probabilidad de que viva hasta los 65.
En un mostrador hay una caja grande y otra pequeña. La grande contiene 5 jabones de color verde y catorce de color amarillo, mientras que la pequeña contiene uno de color verde y cuatro de color amarillo. Se saca, al azar, un jabón de la caja pequeña y se deposita en la caja grande; luego se saca, al azar un jabón de la caja grande y se deposita en la pequeña. Cuál es la probabilidad de que estos dos últimos jabones sean de color amarillo?
Eventos Independientes, Dependientes y Probabilidad Condicional Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento no afectan a la probabilidad de ocurrencia del otro evento. Cuando dos eventos son dependientes, se emplea el concepto de probabilidad condicional para designar la probabilidad de ocurrencia del evento relacionado. La expresión P (B/A) indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ha ocurrido el evento A. Note el hecho de que B/A no es una fracción.
Las expresiones de probabilidad condicional no se requieren para eventos independientes, porque, por definición no existe relación entre la ocurrencia de estos eventos. Por lo tanto, si los eventos A y B son dependientes, la probabilidad condicional P(B/A) es siempre igual a la probabilidad no condicional P(B). Consiguientemente, para probar la independencia de dos eventos A y B puede decirse que: P(B/A) = P(B) P(A/B) = P(A)
Reglas de la multiplicación Las reglas de la multiplicación se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B. Como se explicó en la sección 3.3, esto alude a la intersección de A y B: P(A B): Existen dos variantes de la regla de la multiplicación, según si los dos eventos son independientes o dependientes. La regla de la multiplicación para eventos independientes es P(A y B) = P(A B) = P(A) *P(B)
De acuerdo con la formula anterior, si una moneda equilibrada se lanza dos veces, la probabilidad de que ambos lanzamientos den por resultado una cara es ½ * ½= ¼
Ejemplo Supongamos que se sabe que un conjunto de 10 partes de repuesto contiene ocho partes aceptables (A) y dos partes defectuosas (D). Dada la selección aleatoria sin reemplazo de dos partes, la secuencia de resultados posibles y las probabilidades aparecen en el diagrama de árbol siguiente. Con base en la regla de la multiplicación para eventos dependientes, la probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean aceptables es P( A1 ya2 ) P( A1 ) P( A2 / G1 ) 8 10 7 9 56 90 28 45
Teorema de Bayes Sea un espacio muestral que está formado por los eventos A 1, A 2, A 3,...,A n mutuamente excluyentes, luego, = A 1 A 2 A 3... A n Luego si ocurre un evento B definido en, observamos que; B= B=(A 1 A 2 A 3... A n ) B= A 1 B) (A 2 B) (A 3 B)... (A n B) Donde cada uno de los eventos A i B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(b) = p(a 1 B) + p(a 2 B) + p(a 3 B) +...+ p(a n B)
y como la p(a i B) = p(a i )p(b/a i ), o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego; p(b) = p(a 1 )p(b/a 1 ) + p(a 2 )p(b/a 2 ) + p(a 3 )p(b/a 3 ) + p(a n )p(b/a n )
Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?
Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Aurora o Fiesta Inn, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente, a. Si se selecciona a un visitante al azar cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio?, b. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio prestado, cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?, c. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel Fiesta Inn?