Álgebra Básica CONALEP 150 TEHUACÁN MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES www.zonaemec.tk
Expresión algebraica y sus partes Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Partes Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-). Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores Ejemplo: En 7ab 2 c ; 7 es coeficiente de ab 2 c a es coeficiente de 7b 2 c b 2 es coeficiente de 7ac c es coeficiente de 7ab 2 En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.
Variable (o parte literal). Cantidad generalizada. Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma. Ejemplos: a) -2x 2 ; b) ax 2 y 3 ; Signo: negativo Coeficiente: -2 Variable: x Exponente: 2 Signo: positivo Coeficiente: a Variables: x, y Exponentes: 2 (de la x) 3 (de la y)
Ejercicios a) n-2a 2 b 5 Coeficiente de a 2 b 5 b) 8y 2 x 3 Exponente de y c) 7ax 9 yz 7 Signo d) -36ab 2 x 5 c Número de variables e) -4abcx 2 Signo f) 10m 2 n 3 b Coeficiente de 10m 2 n 3 g) 54 Número de variables h) 5ab 4 c Exponente de c i) 18c 3 m 2 Coeficiente de c 3 m 2 j) 45m 4 Número de variables
Valor numérico de una Expresión Algebraica Para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2 r r = 5. L (5)= 2 5 = 10 S(l) = l2 l = 5. A (5)= 5 2 = 25 V(a) = a 3 a = 5 V (5) = 53 = 125
Clasificación de las Expresiones Algebraicas Monomio Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios. Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios. Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.
Partes de un Monomio Coeficiente El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de: 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Términos Semejantes Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos: 2x 2 y 3 es semejante a -2 x 2 y 3 3-3x 5 y es semejante a 2yx 5 4xy 1/2 es semejante a -2 y 1/2 x 3 4x 2 y no es semejante a 3xy 2
Términos semejantes Para que dos términos sean semejantes, deben ser del mismo género de suma, por ejemplo: 2 manzanas y 4 manzanas son semejantes, de hecho se pueden reducir: 2 manzanas + 4 manzanas = 6 manzanas de igual manera, 3x 2 y 5x 2 son términos semejantes, también se pueden sumar: 3x 2 + 5x 2 = 8x 2 pero 3 peras y 2 piñas, no son términos semejantes.
Reducción de Términos Semejantes Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos. Se llama reducir términos semejantes a sumarlos o restarlos según cada caso. Los términos no semejantes, no pueden sumarse ni restarse.
Ejemplo Ejemplo: Reducir la siguiente expresión algebraica 2x 2 + 5x + 3-4x 2 + 2x - 7-8x + 2x 2-3 = Si observas la expresión, encontramos tres tipos de términos: 1) x 2 2) x 3) Términos independientes (números solos, sin variable) Así que sumaremos cada uno de esos términos 2x 2-4x 2 + 2x 2 = ( 2-4 + 2 )x 2 = 0x 2 5x + 2x - 8x = ( 5 + 2-8 )x = - 1x 3-7 - 3 = ( 3-7 - 3 ) = -7 es decir: 2x 2 + 5x + 3-4x 2 + 2x - 7-8x + 2x 2-3 = - x - 7
Ejercicio. a) 3x + 2y - 4z + 2x - 3y + 3z - 4x + 5y + 7z = b) -2x + 5y - 6z + 3x - 7y + 9z - 4x + 2y + 2z = c) 7ab - 6bc + 5ac + 5bc + 7ac - 6ab + 2bc + 3ab - 8ac = d) 5x - 2y - 3z + 6y - 7x + 7z + 3x - 2z - 5y = e) 11ax - 10cz - 9by + 3by + 4ax + 7cz + 6by + 4cz - 14ax =
II.- Algebra Básica a) Expresión algebraica y sus partes. b) Operaciones con Términos Semejantes.
Introducción Un monomio es una expresión algebraica que se compone de un sólo término algebraico, por tanto su composición no refleja sumas ni restas, por ejemplo: 5ab 3xy 2 Cuando dos términos algebraicos, se encuentran realizando operaciones de suma o resta, se le denomina binomio, porque se compone de 2 monomios, por ejemplo: 12mn + 32xy 45ab 2-18a 2 b
Si es una suma o resta de tres términos algebraicos o monomios, dentro de una expresión algebraica, entonces se denomina trinomio. Por ejemplo: -24mx 3 + 18xy 2-13mx 89x 2-56x - 25y Finalmente, un polinomio es la suma o la resta de dos o más monomios. De esta forma un binomio y un trinomio son polinomios, así como aquellos que se compongan de más términos algebraicos. Por ejemplo: 45mn - 875xy + 34x 2 12ab 3 + 38ab - 21a 2 b 3 + 93x + 2a 3 z
Suma y resta de monomios Sumar es agrupar dos o más expresiones en una sola (lo mismo que restar), en otras palabras, sumar o restar es reducir los términos semejantes de varias expresiones y escribirlas en una sola expresión. Suma de monomios Sólo pueden sumarse monomios que tengan términos semejantes. Ejemplo: Sumar 3a,+b,-2a,+6b,-7a,-3b Para sumarlos, sólo escribimos en forma continua (uno tras otro). Cuando se trata de números negativos, colocamos el signo mas (pues estamos sumando) y después el término dentro de un paréntesis: 3a+b+(-2a)+6b-7a-3b
Antes de continuar con la operación debemos eliminar los paréntesis que contiene la expresión, para ello, debemos multiplicar el signo de los términos que están dentro del paréntesis por el que se encuentra afuera. 3a+b+(-2a)+6b+(-7a)+(-3b) = 3a+b-2a+6b-7a-3b de la expresión anterior sólo podemos sumar términos semejantes (a s con a s, b s con b s) = 3a+b-2a+6b-7a-3b =(3-2-7)a+(1+6-3)b =-6a+4b
Resta de monomios En el caso de la resta se debe tener mucho cuidado con quién es el minuendo y quién es el sustraendo; recuerda que lo que se resta es el sustraendo y de lo que se resta es el minuendo. Ejemplo: Las reducciones de paréntesis tienen el mismo procedimiento que la suma. Restar 5x de - 3x (- 3x) - (5x) = - 3x - 5x = (- 3-5)x= -8x
Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. 5 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z
Producto de Monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. ax n bx m = (a b)bx n +m 5x 2 y 3 z 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3
Cociente de Monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias ax n / bx m = (a / b)bx n m
Potencia de un Monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia. (ax n ) m = a m bx n m (2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 8 (-3x 2 ) 3 = (-3) 3 (x 3 ) 2 = 27x 6