Complemento matemático. REPASO DE OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS

Complemento matemático. REPASO DE OPERACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Los números representan cantidades, pero una misma cantidad se puede representar mediante diferentes sistemas: numeración romana, numeración arábiga, numeración binaria, o también se puede representar gráficamente. Los siete primeros números naturales numerados según los distintos sistemas de numeración se indican así: NUMERACIÓN ROMANA: I, II, III, IV, V, VI, VII NUMERACIÓN BINARIA: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 NUMERACIÓN ARÁBIGA: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Nosotros utilizaremos habitualmente la numeración arábiga. Ésta se llama también decimal porque está basada en diez símbolos, del 1 al 9 más el 0. DIFERENCIA ENTRE NÚMERO Y CIFRA Ejercicio 2.1 (resuelto): 19.378 Cuántos números y cifras hay? Nombra las cifras que aparecen Respuesta: se trata de un número de cinco cifras. El 8 es la cifra de las unidades El 7 es la cifra de las decenas El 3 es la cifra de las centenas El 9 es la cifra de las unidades de millar El 1 es la cifra de las decenas de millar A menudo, cada 3 cifras se pone un punto (hay que fijarse si la calculadora que utilices indica esta separación mediante puntos o mediante comas). Ejercicio 2.2: Cuántas cifras tienen los siguientes números? Nómbralas a) 135004 b) 387 c) 2669 d) 52 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO Otra forma de representar números es mediante una gráfica. Para hacerlo, se dibuja una recta, en un punto de la misma se sitúa el cero, y a la derecha se representan los números ordenadamente a distancias iguales. 0 6 Ejercicio 2.3. Representa gráficamente en una recta los siguientes números: 5, 10, 1, 22, 14, 7 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 1

TIPOS DE NÚMEROS Los números naturales son números positivos que indican cantidades exactas. Sirven para contar cosas reales e indivisibles como los dedos de una mano, las páginas de un libro, los días de un mes, etc. 8, 30, 20000, etc son números naturales. Con estos números las operaciones más básicas son la suma o adición y la multiplicación o producto. Los números enteros son números que, como los naturales, indican cantidades exactas, pero pueden ser positivos o negativos. Los números naturales son números enteros positivos, y números como -5 o -19 son números enteros negativos. Éstos surgen de una operación básica que es la resta o diferencia. Éstos números pueden parecernos menos útiles que los positivos, pero son adecuados para indicar las plantas de un sótano, o la deuda contraída con alguien al que se debe dinero. Recuerda que para que un número sea positivo no necesita llevar el signo + delante, pero para que un número sea negativo sí necesita llevarlo. Los números racionales son números positivos o negativos que pueden indicar cantidades exactas o inexactas. Se pueden representar mediante fracciones o decimales. Sirven para representar cantidades que surgen mediante la operación de división. Ejercicio 2.4. Cuáles de los siguientes números son naturales? Cuáles son enteros? Cuáles son racionales? a) 9 b) -455 c) 8 45 d) -27,56 e) 188 f) ¾ g) -8/4 OPERACIONES NUMÉRICAS BÁSICAS Las operaciones básicas son 6: suma (+), resta (-), multiplicación (x), división (:), potenciación (^) y raíz ( ). Las operaciones de suma y multiplicación poseen la propiedad conmutativa, que significa que el orden de los números en la operación no importa. El resto de operaciones no poseen esta propiedad. Los números que se suman se llaman sumandos, y los que se multiplican se llaman factores. Por eso a menudo la propiedad conmutativa se enuncia diciendo que el orden de los sumandos no altera la suma o el orden de los factores no altera el producto. En la resta, el primer número se llama minuendo, y el segundo (que es el que se va a restar al primero) se llama sustraendo. Si los cambiamos, se altera el resultado. La resta es la operación inversa de la suma. La suma y la resta son operaciones intuitivas que no se van a trabajar específicamente porque se supone que ya las conoces, y sólo te recomendamos que las practiques con la calculadora. La multiplicación es una suma repetida del mismo número. Se puede representar mediante una x o mediante un, un *. o incluso en ciertos casos, no se indica nada (esto suele ocurrir cuando hay paréntesis o letras). 3x5 3 5 y 3*5 significan también 3x5 (3) (5) también significa 3x5 3b significa 3xb 3x5 indica que se ha de sumar 3 veces 5 o bien ha de sumarse 5 veces 3. Repasa la tabla de multiplicar y cuando no sepas hacer un cálculo de cabeza recurre a la calculadora (opcional). 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 2

LA DIVISIÓN Esta operación consiste en un reparto de una cantidad en partes iguales. Es la operación inversa de la multiplicación. Por ejemplo, para repartir 15 euros entre 3 hermanos, podemos expresarlo de diferentes modos: 15:3 15/3 15 3 15 3 El primer número se denomina dividendo o numerador, y el segundo se llama divisor o denominador. El resultado de la división se llama cociente. Cuando la división tiene un resultado inexacto, hay una parte sobrante que se denomina resto. Ejercicio 2.5. a) Divide 45 entre 7 (si es posible, mentalmente) e indica cuál es el cociente, cuál es el resto, cual es el dividendo y cuál es el divisor. b) Repite este ejercicio para dividir 20 entre 6 Cuando al dividir un número cualquiera entre un divisor y el cociente es exacto, se dice que ese número es divisible entre ese divisor. También se dice que ese número es múltiplo de ese divisor. Ejercicio 2.6. a) Escribe tres múltiplos de 9 y dos múltiplos de 40 b) Escribe tres divisores de 48 y dos divisores de 210 c) Es el número 154 divisible entre 7? Y es el número 133 divisible entre 3? Hay reglas de divisibilidad para saber de antemano, antes de realizar la operación, si un número es divisible por un divisor. A continuación se señalan las reglas básicas de divisibilidad para los siguientes divisores: 2, 3, 5, 6 a) Un número es divisible entre 2 cuando es par, es decir, si su última cifra es un 0, un 2, un 4, un 6 o un 8. b) Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3. c) Un número es divisible entre 5 cuando su última cifra es un 0, o un 5. d) Un número es divisible entre 6 cuando lo es a la vez entre 2 y entre 3. Los números primos son aquellos que no son divisibles entre ningún otro salvo ellos mismos y la unidad. Son números primos el 1, el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, el 13 etc. Los que no son primos se denominan números compuestos. Éstos números resultan del producto de varios factores. Por ejemplo, el 19 es un número primo pero el 6 es un número de compuesto, porque resulta del producto de 2 x 3. Ejercicio 2.7. Son compuestos o primos los siguientes números? 31, 17, 49, 78, 225. Todos los números compuestos se pueden descomponer en sus factores primos y expresarse como producto de los mismos. La descomposición factorial de un número se realiza siguiendo varios pasos, dividiéndolo entre el primer número primo que sea su divisor, y los cocientes resultantes se van dividiendo sucesivamente hasta llegar a una división de cociente igual a 1. 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 3

Ejercicio 2.8. Realiza la descomposición factorial del número 90. Cuando varios números que se suman o restan son divisibles por el mismo número, éste se puede extraer como factor común. Ejemplo: 25 + 40 5. Como todos los números son divisibles entre 5, éste se puede extraer como factor común: 5 x (5 + 8-1). Ejercicio 2.9. Sacar factor común de las siguientes expresiones: (6x8) + (15x6) (12) + (6x4) LA POTENCIACIÓN Es la multiplicación repetida del mismo número. 5 3 significa multiplicar 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (es decir, 5 veces). El número de debajo de esta operación se llama base y el de arriba se llama exponente. Se leería 3 elevado a 5. Ejercicio 2.10. Calcula las siguientes potencias (mentalmente y/o con calculadora): a) 8 3 b) 7 2 c) 10 4 d) 9 1 e) 2 6 f) 8 0 LA RAÍZ La raíz o radicación es la operación inversa de la potencia, y consiste en que, dado un número A, calculemos otro B que multiplicado varias veces (x) por si mismo, obtengamos ese número A. x A = B Por ejemplo, si 5 2 = 25, la raíz 2 25 = 5 Las raíces más habituales son las de índice 2 o raíces cuadradas, y en ese caso el 2 no se suele indicar. Sí se escribe para las raíces de índice superior, por ejemplo las cúbicas 3 64 = un número que multiplicado 3 veces por sí mismo nos dará 64. Dicho número es 4 porque 4 x 4 x 4 = 64 Ejercicio 2.11. Efectúa las siguientes raíces ayudándote de la calculadora. a) 3 343 b) 900 OPERACIONES COMBINADAS Cuando se combinan varias operaciones, hay que conocer el orden de las mismas para que el resultado que obtengamos sea el correcto. Por ejemplo, dadas las dos siguientes operaciones: A. (2+5)x3 = B. 2+5x3 = El resultado de la primera es 21 y el de la segunda es 17. Esto ocurre así en la vida real, por ejemplo: a) Tengo 3 monedas de euros y 4 billetes de 10 euros. Cuánto dinero tengo? En este caso, la operación es: 3 + (4x10) b) Tengo 3 sobrinos por parte de mi hermano y 4 sobrinos por parte de mi hermana. Quiero darles 10 euros a cada uno. Cuánto dinero debo preparar? En este caso, la operación es (3+4) x 10 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 4

Por ello, deben saberse las reglas de prioridad de las operaciones tal como se expresan en lenguaje matemático: 1º) Se resuelven los paréntesis si los hay (y corchetes, en primer lugar, si éstos existen) 2º) Se resuelven las potencias y las raíces, si las hay 3º) Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, si las hay 4º) Por último, se realizan las sumas y las restas Ejercicio 2.12. Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) 3 + 4 (2 + 5) -1 + 63 = b) (8-2) 3 (5 2) 3 = c) 23 (3 2 1) 2 + 4 (5-2) = NÚMEROS DECIMALES Los números decimales, igual que las fracciones, son números racionales que expresan cantidades que no son enteras. Un número decimal resulta de una división que no es exacta, se identifica por una coma a partir de la cual, a su derecha, se sitúan las cifras decimales (décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.). Ojo!! Ten cuidado con las calculadoras que utilices. Muchas expresan la coma decimal con un punto, costumbre que no se emplea en España. Las comas se escriben en la parte de arriba del número excepto en las hojas de cálculo que se escriben abajo. En algunas calculadoras, las comas situadas abajo sólo indican la posición de los millares (lo que hacemos habitualmente en España marcando con un punto o no marcando nada). Para operar manualmente con números decimales hay que tener en cuenta que: a) Para sumarlos o restarlos manualmente, hay que colocarlos en columna, haciendo coincidir las comas b) Para multiplicarlos manualmente, en el resultado hay tantos decimales como haya entre todos los factores c) Para dividirlos manualmente, hay que separar en el cociente tantos decimales como tenga el dividendo Ejercicio 2.13: Realiza las siguientes operaciones con decimales, a ser posible primero manualmente, y después comprobando el resultado con la calculadora. a) 23 15 + 5,6 b) 12 3 5 4 c) 13 28 x 2 3 d) 10,5-12,035 FRACCIONES Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar. Una fracción representa el valor o número que resulta al realizar esa división. Cuando el resultado es un número exacto (sin decimales), decimos que tenemos un número entero. Si el resultado es un número con decimales, decimos que tenemos un número racional. Ejercicio 2.14: Cuál es el resultado de las siguientes fracciones. Cuales corresponden a números enteros y cuáles corresponden a números racionales? a) 4 3 b) 4 8 c) 5 5 d) 16 8 e) 9 27 9 f) 27 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 5

Los elementos que forman la fracción son: El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos. El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad. La raya de fracción. Es una raya horizontal que los separa. También se puede expresar con una raya oblicua. 7 numerador 6 denominador O bien 7/6 VALOR DE UNA FRACCIÓN Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador. Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador. Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1. Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1 Ejercicio 2.15 : ordena las siguientes fracciones de menor a mayor: a) 5 3 b) 5 8 c) 7 7 d) 3 1 e) 2 1 FRACCIONES EQUIVALENTES Fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor. Sabemos que hay diversas divisiones que dan el mismo resultado. Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fracción tiene infinitas otras fracciones equivalentes a ella. Todas las fracciones equivalentes entre sí expresan la misma cantidad. Para obtener otra fracción equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus términos por el mismo número. Ejercicio 2.16. Indica dos fracciones equivalentes a 4/5 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible. Ejercicio 2.17. Simplifica las siguientes fracciones: 120 a) 80 36 b) 54 35 c) 70 88 d) 130 12 e) 42 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Observamos el nombre de las partes de una fracción: Numerador significa que numera, es decir, nos indica el número de cosas que tenemos. Denominador significa que denomina, es decir, nos indica qué cosas son las que 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 6

tenemos. No es lo mismo tener mitades que tener tercios. Cuando sumamos lo hacemos de elementos homogéneos, tienen que ser cantidades de la misma cosa. Por tanto, para sumar fracciones es necesario que sean de la misma cosa, que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Si las fracciones tienes distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos: - Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una. - Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador. - Finalmente se suman los numeradores y se pone el mismo denominador. - Si se puede se simplifica Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas. El mínimo común múltiplo (m.c.m. o mcm) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. Para cacularlo: Factorizamos los números Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores exponentes El m.c.m. es el producto de los factores anteriores Ejemplo: Los factores son: y elvados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían:. Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm Ejercicio 2.18. Cálcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 4, 10 y 15 b) 5, 8 y 20 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 7

Ejercicio 2.19. Realiza las siguientes operaciones con fracciones: 1 8 5 a) 3 3 3 9 7 4 b) 7 3 9 c) 4 9 5 2 + = 3 6 12 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente. - Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador. Ejercicio 2.20. Realiza las siguientes operaciones con fracciones: 6 6 a) 5 5 2 3 6 b) 3 4 5 3 2 c) 6 7 5 INVERSA DE UNA FRACCIÓN: La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad. La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa. Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa. DIVISIÓN DE FRACCIONES: - Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Ejercicio 2.21. Realiza las siguientes operaciones con fracciones: 6 6 4 1 a) : b) : 5 5 3 5 20 4 c) : 6 9 1º ESPA IES Trassierra. Apuntes elaborados por Rafael Molero. Página 8