Examen Extraordinario de Estadística I, de Junio de 1. Grados en ADE, DER-ADE, ADE-INF, FICO, ECO, ECO-DER. NORMAS: 1 Entregar cada problema en un cuadernillo distinto, aunque esté en blanco. Realizar los cálculos con al menos dos cifras decimales significativas. No se podrá abandonar el examen hasta transcurridos minutos depués de haber empezado. No está permitido salir del aula sin entregar el examen, aunque esté en blanco. 1. Con el objetivo de estudiar la temperatura del termostato de refrigeración de un cierto modelo de coche a los 1 km/h, se toma una muestra de treinta coches de dicho modelo y se mide la temperatura del termostato de cada coche a dicha velocidad. Los resultados obtenidos son los siguientes medidos en grados Celsius: 65.8 69. 69. 69.7 71.5 7. 7.1 75. 75.8 76. 77. 77.6 77.6 77.9 78. 78.7 78.9 81. 81. 81.7 8. 8. 8. 8.5 8.7 85. 85. 88. 1.5 15.5 a.5 puntos Agrupa la muestra en intervalos de amplitud constante empezando por [65, 69 y calcula la tabla de frecuencias absolutas y relativas. La tabla de frecuencias absolutas y relativas para los intervalos solicitados es: Intervalo Frec. abs. Frec. rel. [65, 69 1 1/ [69, 7 5 5/ [7, 77 / [77, 81 7 7/ [81, 85 8 8/ [85, 89 / [89, 9 [9, 97 [97, 11 [11, 15 1 1/ [15, 19 1 1/ 1 b.5 puntos Qué porcentaje de observaciones se encuentra entre 78 y 81 grados Celsius? uesto que hay tres observaciones, 78., 78.7 y 78.9, de observaciones totales, tenemos que corresponden al 1%. c 1 punto Calcular los tres cuartiles de la muestra e interpretarlos. Los tres cuartiles muestrales son: x 1 x 1 x 9 x 8 75. x 15 x 16 x 8. 78. 78.7 78.5
Esto implica que el 5% de las observaciones se encuentra por debajo de 75., el % de las observaciones se encuentra por debajo de 78.5 y el 75% de las observaciones se encuentra por debajo de 8.. or lo tanto, los tres cuartiles dividen la muestra de observaciones en cuatro submuestras que recogen aproximadamente el mismo número de observaciones. OBS: Los cuartiles también se pueden estimar de maneras alternativas. or ejemplo: x 1 x 1 x 9.5x 7.75x 8 75.75 x 15 x 16 78. 78.7 78.5.75x.5x 8.95 d.75 puntos Representar los datos mediante un diagrama de caja boxplot e identificar los posibles datos atípicos. Justificar la respuesta. En vista del diagrama de caja, existen dos datos atípicos ya que sus valores son mayores que Q 1.5 RI, donde RI es el rango intercuartilico.. Sea Y una variable aleatoria contínua definida en el intervalo [, 1] con función de densidad: { y y y 1 f Y y en cualquier otro caso Se pide: a.5 puntos Obtener la función de distribución de Y. F Y y < y y u u du y y y y y 1 1 y > 1
b.5 puntos Calcular las probabilidades < Y < 1 y 1 < Y <. < Y < 1 1 < Y < F Y 1 F Y F Y 1 1 7 16. 1 F Y 1 1 11 16. c 1 punto Calcular la esperanza y la desviación típica de Y. E [Y ] V [Y ] E [ Y ] E [Y ] 1 1 y y y dy y y y 8 dy 15 DT [Y ] y 5 y5 y1 y 8 15. 11 5.11. d.5 puntos Calcular la esperanza y la desviación típica de Y. y y5 y1 y 6 5 11 5. E [Y ] E [Y ] 8 15 17 5 DT [Y ] DT [Y ]... Un alumno se presenta a un examen tipo test sin preparación. El examen consiste de preguntas, y cada una de ellas tiene tres alternativas de las que sólo una es correcta. El examen se aprueba si se aciertan preguntas o más. El alumno contesta a las preguntas totalmente al azar, de tal manera que la respuesta a una pregunta no afecta a la respuesta de las otras. Se pide: a 1 punto Calcular la probabilidad de acertar las primeras preguntas y fallar las últimas. Introducimos para i 1,..., las variables aleatorias: { 1 si acierta la pregunta i-ésima X i si no acierta la pregunta i-ésima Cada X i tiene una distribución Ber 1. or lo tanto, teniendo en cuenta la independencia entre las variables, tenemos que: X 1 1,..., X 1, X 1,..., X X 1 1 X 1 X 1 X 1 8.6 1.
b 1 punto Calcular de forma exacta la probabilidad de obtener más de un 9, es decir, de responder correctamente más de 6 preguntas. La variable aleatoria Y Número de respuestas correctas es Y i1 X i que tiene una distribución Bin, 1. or lo tanto: Y > 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y 7 8 9 1 1 1 1 7 8 9 6.1 1 15.566 1 16 6.58 1 18 8.5 1 6.765 1 15. c.5 puntos Calcular de forma aproximada, utilizando el Teorema Central del Límite, la probabilidad de aprobar, es decir, de responder correctamente más de preguntas. uesto que Y Bin, 1, entonces: Entonces: Y > donde Z N, 1. DT [Y ] E [Y ] 1 1 1/ 1/ 8 81/ 9. Y > Z > Z >.6 8 1/ 8 1/ 8 1/ 1 Z.6 1.9871.19,. En un centro comercial se está realizando un estudio acerca de la calidad del servicio que se está dando a los clientes. Concretamente se han recogido datos acerca del tiempo de espera en minutos para acceder a los ascensores del mismo. A continuación se muestran algunos de los análisis llevados a cabo:
Se pide: a.75 puntos Justificar si es cierto que el tiempo de espera para acceder a los ascensores de los clientes del centro comercial puede describirse mediante una ley de probabilidad Normal. En vista de los gráficos presentados, la distribución Normal no es adecuada para describir estos datos. En primer lugar, el histograma es claramente asimétrico, mientras que el gráfico cuantilcuantil muestra claramente que los cuantiles muestrales no siguen aproximadamente una línea recta cuando son comparados con los cuantiles de la Normal. b 1 punto El centro comercial afirma que el tiempo de espera para acceder a los ascensores de los clientes del centro comercial es en media de 6 minutos con una desviación típica de 5 minutos. Si personas toman el ascensor independientemente, cual es la probabilidad de que la suma de sus tiempos de espera esté entre 5.5 y 6 horas. Sea T la variable aleatoria Tiempo de espera para acceder a los ascensores. E [T ] 6 y DT [T ] 5. Entonces, el TCL nos dice que: Tenemos que Z T 6 5 N, 1. aprox. or lo tanto, < T i < 6 < T < 6 6.6 < T < 7. i1 6.6 6 5 < Z < 7. 6 5.885 < Z < 1.697 Z < 1.697 Z <.885.955.7995.15. c.75 puntos Suponer que el tiempo espera para acceder a los ascensores de los clientes del centro comercial es en media de 6 minutos con una desviación típica de 5 minutos. Obtener una cota inferior de la probabilidad aproximada de que el tiempo total de espera para 5 personas esté entre y horas. Utilizar la desigualdad de Chebyshev, es decir, para una variable aleatoria X con esperanza µ y varianza σ, entonces X µ < k 1 σ k, para cualquier constante positiva k. La desigualdad de Chebyshev nos dice que, para una variable aleatoria X con media µ y varianza σ, se verifica: X µ < k µ k < X < µ k 1 σ k Entonces, tenemos que la variable 5 i1 T i tiene media 5 6 1 y varianza 5 5 65. or lo tanto: 1 < 5 T i < 18 i1 1 < 5 T i < 1 i1 1 65 9.55. 5