PRÁCTICA 6: DISEÑO DE FILTROS FIR Objetivo Específico: El alumno utilizará herramientas computacionales para el diseño de filtros de respuesta finita al impulso (FIR). Comparará las características que presentan los diferentes tipos de ventanas para este diseño. Introducción Una de las principales operaciones de procesamiento digital de señales es el filtrado. Entendemos por filtrado como la obtención de una señal deseada a partir de una señal mezclada. Cuando se trata de un filtro digital, éste se convierte en parte de una rutina programada en un procesador, con una estructura como la mostrada en la figura 6.1. Fig. 6.1 Etapas necesarias para realizar la operación de filtrado digital en la señal x(t). Podemos mencionar dos tipos de filtros digitales: Filtros de Respuesta Finita al Impulso (FIR) Filtros de Respuesta Infinita al Impulso (IIR) 34
Los filtros FIR forman su salida a partir de una suma ponderada de las N muestras anteriores, por lo que se pueden representar de por la siguiente ecuación donde y(k) es la salida del filtro, wi son los coeficientes del filtro y x(k) la señal a filtrar. La respuesta en el dominio de la frecuencia de un filtro paso bajo ideal es plana y sin atenuación (0 db) en la banda de paso y además con una transición abrupta en la frecuencia de corte F c. Sin embargo, esto requiere un filtro cuya respuesta al impulso sea h ( i) ( π F ( i) ) sin c =, i = 0, ± 1, ±,K i Lo cual como se aprecia en la figura 6. nos da un filtro con respuesta al impulso infinita y no causal. Para corregir este problema traslada en tiempo a la respuesta del filtro ideal de manera que empiece en cero y se multiplica por una función que trunque y atenúe sus extremos, llamada función ventana. Fig. 6. Respuesta del filtro ideal y respuesta truncada. 35
Este truncamiento produce dos efectos: 1. Tanto la banda de paso como la de paro dejan de ser planas y presentan una ondulación llamada rizado (ripple).. La transición de la banda de paso a la de paro tiene ahora un intervalo de indefinición, llamado Banda de Transición. Fig. 6.3 Especificaciones para un filtro digital. Por lo tanto, las principales especificaciones de diseño de un filtro digital paso bajo son: La frecuencia de corte La máxima atenuación en la banda de paso (ripple) El ancho de la banda de transición La mínima atenuación en la banda de paro. De manera que es deseable tener un rizado mínimo en la banda de paso, una banda de transición estrecha y una atenuación aceptable en la banda de paro. Estas características son determinadas por la forma de la función ventana utilizada y para esto se han propuesto diversas ventanas. Fig. 6.4 Algunas ventanas conocidas. 36
Fig. 6.5 a. banda de transición grande, b. banda de transición adecuada, c. rizado grande, d. rizado adecuado, e. atenuación insuficiente en la banda de paro, f. atenuación adecuada Fig. 6.6 Amplitud del lóbulo lateral, ancho de la banda de transición y atenuación en la banda de paro para algunas ventanas comunes en filtros de orden N. Así, si se utiliza una ventana Blackman, para un filtro paso bajo de longitud, con una frecuencia de corte F c (expresada en forma normalizada con la frecuencia de muestreo) los coeficientes del filtro serían: sin π Fc i i 4 i h( i) K π π = 0.4 0.5cos 0.08cos, i = 0,1, K, + i 37
Relación con los Temas del Programa de Clase Filtrado digital aterial y Equipo Necesario Equipo de Cómputo Software atlab versión 5 en adelante etodología Utilizando un archivo de audio wav de su predilección, cuya duración sea de 10 a 0 segundos, realice los siguientes pasos: 1. Cargue el archivo de audio al workspace de atlab colocándolo en un directorio reconocible por atlab (is Documentos/atlab) y empleando la instrucción [Y,Fs]=wavread('audiofile'); donde audiofile es el nombre del archivo, Y es la matriz en donde se deposita el audio y Fs es la frecuencia de muestreo.. Puede escuchar el archivo con sound(y, Fs) y visualizarlo con plot(y), esta gráfica se realiza magnitud contra número de elemento. Si se desea graficar contra el tiempo real, es necesario generar un vector de tiempo con la misma longitud de Y y considerando la frecuencia de muestreo Fs. 3. Ahora se calcularán los coeficientes del filtro digital FIR. Seleccione una frecuencia una frecuencia de corte para su filtro que sea menor a Fs/, y normalícela con la frecuencia de muestreo para obtener F c. También escoja un ancho de la banda de transición y de la misma manera normalice para obtener BW. Se utilizará una ventana Blackman. 4. Utilice la fórmula filtro. 5.5 = para calcular la longitud necesaria para el BW 5. Calcule los coeficientes del filtro con la fórmula 38
sin π Fc i i 4 i h ( i) K π π = 0.4 0.5 cos 0.08 cos, i = 0,1, K, + i K es un factor necesario para lograr la ganancia deseada en la banda de paso, para este ejemplo esa ganancia es unitaria (0 db). Inicialmente se puede tomar K=1 y calcular los coeficientes. Como se desea un filtro pasobajo la suma de los valores de los coeficientes debe ser 1 (o la ganancia deseada en la banda de paso), si no es así se dividen todos los coeficientes entre la suma total de ellos, obteniendo los coeficientes finales. Se debe tener cuidado en el término h(/), el cual aparentemente se indetermina por la división, pero es igual a KπF c. La respuesta al impulso del filtro esta dada por los coeficientes, visualícela con la instrucción stem. Este procedimiento es sitematizado con la instrucción fir1. 6. Visualice la respuesta en la frecuencia del filtro utilizando las instrucciones freqz o fvtool. 7. Observe el espectro de frecuencia de la señal de audio. 8. Proceda a realizar el filtrado mediante YF=filter(B,1,Y); 9. Analice la señal filtrada YF. 39
Reporte del Alumno 1. Documentar individualmente cada uno de los pasos de la práctica.. Compare los resultados obtenidos para diferentes anchos de la banda de transición. 3. Compare los resultados obtenidos para al menos otras dos ventanas diferentes. 4. En forma indispensable, escriba al menos media cuartilla con sus conclusiones personales. Bibliografía [1] Proakis J. G., anolakis D. G.; Tratamiento Digital de Señales, Ed. Pearson Educación, adrid 007. [] Smith, Steven W.; The Scientist and Engineer s Guide to Digital Signal Processing, California Technical Publishing. [3] Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R.; Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto, ª Edición, Ed. Prentice Hall Iberia, adrid, 000. 40