Estática y Dinámica Analítica

Estática y Dinámica Analítica p. 1/25 Estática y Dinámica Analítica Mecánica II Temas 6 y 7 Manuel Ruiz Delgado Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid

Mecánica analítica Estática y Dinámica Analítica p. 2/25 Equilibrio y sistemas reónomos Principio de los trabajos virtuales Principio de D Alembert Ecuación general de la Dinámica Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos Fuerzas generalizadas y términos cinéticos Ecuaciones de Lagrange Ecuaciones de equilibrio Sistemas potenciales Ecuaciones de Lagrange para sistemas no holónomos Método de los desplazamientos independientes Método de los multiplicadores de Lagrange Cálculo de las fuerzas de ligadura Ecuación de la energía para sistemas holónomos

Equilibrio y sistemas reónomos Estática y Dinámica Analítica p. 3/25 Equilibrio: un sistema material tiene una configuración de equilibrio cuando abandonado el sistema en reposo en dicha configuración, permanece indefinidamente en reposo: r i (t = r e i ; v i(t = 0 t Ligaduras finitas no estacionarias: f(r i,t = 0 f(r e i,t = 0 ; i f 0 + f t (r e i,t = 0 t Cinemáticas no estacionarias: A i (r j,t v i + B (r j,t = 0 0 + B ( r e j,t = 0 t Sólo puede haber equilibrio en los puntos que cumplan estas condiciones: en los que las ligaduras no se mueven.

Principio de los trabajos virtuales Estática y Dinámica Analítica p. 4/25 Formulación genérica Condición de equilibrio de un sistema (Newtoniana: F D i (re i,0,t + FL i (re i,0,t = 0, i = 1,...,N Son 3N condiciones independientes Si damos un desplazamiento virtual arbitrario: ( δw = F D i + F L i δr i = 0 δr i PTV Por ser una combinación lineal de vectores nulos. Como los δr i forman un espacio vectorial de dimensión 3N, al exigir δr i, tenemos 3N condiciones independientes: el PTV es equivalente a las 3N ecuaciones Newtonianas La formulación genérica del PTV no aporta nada nuevo: igual número de ecuaciones que la Estática Newtoniana siguen estando las fuerzas de ligadura.

Principio de los trabajos virtuales Estática y Dinámica Analítica p. 5/25 Formulación detallada El PTV es útil cuando hay g ligaduras ideales: sus fuerzas no trabajan en los DVCL (espacio vectorial de dimensión n= GDL Sistema en equilibrio: F D i + F L i = 0, i = 1,...,N Damos un desplazamiento virtual arbitrario: δw = N ( F D i + F L i δri = 0 δr i Si el δr i es un DVCL, N FL i δr i = 0, δw = F D i δr i = 0 DVCL Ecuación general de la estática No aparecen las fuerzas de ligadura DVCL n= GDL ecuaciones independientes Es condición necesaria: se deduce de las newtonianas

Principio de los trabajos virtuales Estática y Dinámica Analítica p. 6/25 Es condición suficiente: demostración por reducción al absurdo Supongamos que se cumple el PTV, pero el sistema no está en equilibrio: empezará a moverse con aceleraciones r i distintas de cero: F D i + F L i = m i r i En un tiempo infinitesimal dt, partiendo del reposo, cada partícula se desplaza dr i = r i dt 2 /2 ( Desp. Posibles Tomando como DVCL los DP δr i = ǫ r i, dw = ( F D i + F L i δr i = m i r i r i ǫ = m i r i 2 ǫ 0 En contra de la hipótesis Luego no puede cumplirse el PTV y no haber equilibrio. Queda por demostrar que los dr i = ǫ r i son DVCL

Principio de los trabajos virtuales Estática y Dinámica Analítica p. 7/25 Se derivan las ecuaciones de las ligaduras; inicialmente ṙ i, i f ṙ i + i f r i + f tt = 0 t A i t ṙ i + A i r i + B t = 0 Para ser DVCL, los r i deben cumplirlas congeladas, i f r i = 0; A i r i = 0 Sólo son DVCL en los esclerónomos, f t = B = 0 En los reónomos sólo consideramos los puntos fijos: f t = B = 0 En esos puntos, los r i sí son DVCL.

Principio de los trabajos virtuales Estática y Dinámica Analítica p. 8/25 δw = F D i δr i = 0 DVCL PTV: La condición necesaria y suficiente para que un sistema material sometido a ligaduras ideales tenga una configuración de equilibrio es que en dicha configuración se anule el trabajo virtual de las fuerzas directamente aplicadas para cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras. PTV Ecuación general de la estática En sistemas reónomos sólo se puede aplicar en los puntos en que f t = B = 0 En los demás no puede haber equilibrio.

Principio de D Alembert Estática y Dinámica Analítica p. 9/25 2 a ley de Newton para un sistema de N partículas: F D i + F L i = m i r i = ṗ i, i = 1...N Se pueden poner en la forma F D i + F L i ṗ i = F D i + F L i + F I i = 0, i = 1...N Equivale a plantear el equilibrio de cada partícula relativo a unos ejes con origen en la propia partícula. Principio de D Alembert: Las ecuaciones del movimiento de un sistema material se obtienen planteando, en cada instante, el equilibrio entre las fuerzas dadas, las de ligadura, y las de inercia. Se reduce a un problema de estática: Aplicar el PTV Pero las ecuaciones siguen siendo diferenciales, no algebraicas

Ecuación general de la Dinámia Estática y Dinámica Analítica p. 10/25 Aplicamos a un sistema el principio de D Alembert y damos DV: F i ṗ i = 0 δw = N (F i ṗ i δr i = 0, δr i Aplicamos ahora el PTV: si los δr i son DVCL, las fuerzas de ligadura no trabajan, y queda (F D i ṗ i δr i = 0 DVCL Esta es la Ecuación general de la Dinámica No aparecen las fuerzas de ligadura DVCL: Hay n ecuaciones independientes (n o GDL

Ecuación general de la Dinámia Estática y Dinámica Analítica p. 11/25 Ej.: aplicar la ecuación general de la dinámica al péndulo simple: F D = mg (cosθ u r sin θ u θ z F L = λu r r = (x,z = R (sinθ, cos θ = Ru r x δr = θ r δθ = R u r θ δθ = Ru θ δθ θ r = R θ µ 2 u r + R θ u θ Aplicamos la EGD ( δw = µ f + F D m r δr = 0, δr ( δw = mg sin θ mr θ δθ = 0 δθ θ + g R sin θ = 0 y se llega a la ecuación del péndulo que ya conocemos

Ecuaciones del movimiento (S. Holónomos Estática y Dinámica Analítica p. 12/25 Para un sistema holónomo, δr i = n r i j=1 δq j (δq j arbitrarios Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica, (F D i ṗ i δr i = = [ n N (F D i ṗ i j=1 ( F D i ṗ i r i ] δq j = n r i δq j = j=1 n (Q j P j δq j = 0 j=1 Fuerzas generalizadas: Términos cinéticos: Q j = N FD i r i = f(q j, q j,t P j = N ṗi r i = f(q j, q j, q j,t

Ecuaciones de equilibrio (S. Holónomos Estática y Dinámica Analítica p. 13/25 La ecuación general de la estática queda, δw = n Q j δq j = 0 j=1 δq j Como los δq j son independientes y arbitrarios (sist. holónomo, sólo se cumple si los coeficientes son todos cero, Q j = 0 j = 1,...,n Queda un sistema de n ecuaciones algebraicas, en general no lineales, con n incógnitas. Se resuelven para obtener las posiciones de equilibrio q e j (t. Las ecuaciones han quedado reducidas al n o mínimo: n = GDL No aparecen las fuerzas de ligadura

Ecuaciones de equilibrio (S. Holónomos Estática y Dinámica Analítica p. 14/25 Ej: dos partículas, varilla, corredera; (x 1, 0; (x 1 + L cosθ,lsin θ δr 1 = [1, 0] δx 1 δr 2 = [1, 0] δx 1 + [ L sin θ,lcos θ] δθ Q x1 = m 1 g k [1, 0] m 2 g k [1, 0] = 0 Q θ = m 1 g k [0, 0] m 2 g k [ L sin θ,lcos θ] = m 2 gl cos θ Las ecuaciones de equilibrio son z x 1 1 θ 2 x 0 = 0 m 2 gl cos θ = 0 θ = ± π 2 x 1 Hay infinitas soluciones: en cualquier x 1, vertical hacia arriba (π/2 o hacia abajo ( π/2.

Ecuaciones del movimiento (S. Holónomos Estática y Dinámica Analítica p. 15/25 La ecuación general de la dinámica queda, δw = n j=1 (Q j P j δq j = 0 δq j Como los δq j son independientes y arbitrarios (sist. holónomo, sólo se cumple si los coeficientes son todos cero, P j = Q j j = 1,...,n Queda un sistema de n ecuaciones diferenciales de 2 o orden, con n incógnitas. Se integran con las condiciones iniciales de cada caso para obtener las q j (t. Las ecuaciones han quedado reducidas al n o mínimo: n = GDL No aparecen las fuerzas de ligadura

Términos cinéticos Estática y Dinámica Analítica p. 16/25 Los P j se pueden obtener directamente de la energía cinética: ṗ i δr i = a ṙ i = b d dt n j=1 ( ri m i r i r i q j + r i t = n r i δq j = j=1 ( n N m i r i r i j=1 r i r i = d ( ṙ i r i ṙ i d ( ri dt dt }{{}}{{} a b ( dri dt ṙ i q j = r i ṙ i ṙ i q j = q j = ṙ i ṙ i ṙ i = ( 1 ( 1 2ṙ2 i 2ṙ2 i δq j

Términos cinéticos Estática y Dinámica Analítica p. 17/25 Sustituyendo en la ecuación general de la dinámica, n P j = = d dt [ q j m i [ d dt ( N ( ṙ i r i 1 2 m iṙ 2 i ] ṙ i d dt ( N ( ] ri 1 2 m iṙ 2 i = = d dt ( T q j T Donde la T(q j, q j,t es la energía cinética. Esquizofrenia de la T en este cálculo: En las derivadas parciales, las q j y q j se consideran parámetros independientes En la derivada total dt d, se consideran funciones del tiempo

Ecuaciones de Lagrange (S. Holónomos Estática y Dinámica Analítica p. 18/25 Sustituyendo estas P j en la ecuación general de la dinámica, δw = n j=1 ( d dt ( T q j T Qj δq j = 0 δq j Se llega a las Ecuaciones de Lagrange: d dt ( T q j T = Q j j = 1...n Son n ecuaciones diferenciales con n incógnitas: q j (t Se calculan las Q j y se pone T en función de las q j y las q j. Las ecuaciones salen automáticamente: sólo hay que derivar.

Ecuaciones de Lagrange (S. Holónomos Estática y Dinámica Analítica p. 19/25 ej.: Punto sobre cilindro: r = Ru r + z u z, δr = Rδθ u θ + δz u z F D = mg k Q θ = 0 ; Q z = mg T = 1 ( 2 m ż 2 + R 2 θ2 Ecuación general de la dinámica, directamente: [ δw = mg u z m ( R θ ] 2 u r + R θ u θ + z u z (Rδθ u θ + δz u z = = R 2 θ δθ + ( mg m zδz = 0 δθ,δz { θ = 0 z = g Mediante las ecuaciones de Lagrange: x z θ δz Rδθ y Tż = mż T θ = mr 2 θ Tż = m z T z = 0 m z 0 = mg T θ = mr 2 θ Tθ = 0 mr 2 θ 0 = 0

Sistemas holónomos potenciales Estática y Dinámica Analítica p. 20/25 Si todas las fuerzas dadas derivan de un potencial ordinario: Las fuerzas generalizadas valen: F D i = i V (r 1,...,r N,t Q j = F D i r i = i V r i = V (q j,t Puesto que V = V x 1 + V y 1 + + V z N = x 1 y 1 z N = 1 V r 1 + + N V r N

Sistemas holónomos potenciales: equilibrio Estática y Dinámica Analítica p. 21/25 Las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir como: Q j = V = 0 ; V = 0 j = 1...n Ej.: dos varillas pesadas unidas por un muelle V = mgz AB G + mgzbc G + 1 2 kac2 = y B = mg a 2 cosθ + mga 2 cosθ + 1 2 k4a2 sin 2 θ = θ = V (θ = mga cos θ + 2ka 2 sin 2 θ A dv dθ = mga sin θ+4ka2 sin θ cosθ { θ = 0,π θ = cos 1 mg 4ka C x

Sistemas holónomos potenciales: movimiento Estática y Dinámica Analítica p. 22/25 Ecuaciones de Lagrange para sistemas potenciales (pot. ordinario: ( d T T = 0 + Q j = 0 V ( d V = V dt q j dt q j Si se define la función lagrangiana L = T V, L = T V d dt ( L q j L = 0 j = 1...n También hay potenciales generalizados, Q j = V + d dt Si hay fuerzas potenciales y no potenciales, ( d L L = dt q j q Q j j = 1...n j ( V q j

Sistemas holónomos potenciales: movimiento Estática y Dinámica Analítica p. 23/25 Ej.: punto sobre cilindro, el potencial es el del peso, V = mgz, que ya está en función de una coordenada generalizada. Podemos escribir la lagrangiana: L = 1 2 m (ż 2 + R 2 θ2 mgz Con esto se pueden ya escribir las ecuaciones de Lagrange, Lż = mż L θ = mr 2 θ Lż = m z L z = mg m z + mg = 0 L θ = mr 2 θ Lθ = 0 mr 2 θ 0 = 0 La generación de las ecuaciones es bastante más directa, pues en muchos casos el potencial es conocido. En vez de calcular las fuerzas generalizadas punto por punto, se hallan las derivadas parciales del potencial.

Sistemas holónomos potenciales: movimiento Estática y Dinámica Analítica p. 24/25 Ej.: Fuerzas no potenciales: oscilador armónico amortiguado. El potencial del muelle se incluye en la lagrangiana: L = T V = 1 2 mẋ2 1 2 kx2 d dt L ẋ L x = Q x Se calcula la Q x de la fuerza no potencial, disipativa: F = cż i, δr = δxi, δw = cẋδx = Q x δx Q x = cẋ Ecuación de Lagrange, única porque sólo hay un grado de libertad: Lẋ = mẋ Lẋ = mẍ L x = kx mẋ + kx = cẋ Por Mecánica Newtoniana: mẍ + cẋ + k x = 0.

Sistemas holónomos potenciales: movimiento Estática y Dinámica Analítica p. 25/25 Ej.: Movimiento kepleriano: La fuerza gravitatoria es potencial: F = µm r 3 r V (r = µm r L = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 θ2 + µm r L r = mr θ 2 µm r 2 ; L ṙ = mṙ ; Lṙ = m r m r mr θ 2 + µm r 2 = 0 L θ = 0 ; L θ = mr 2 θ ; L θ = mr 2 θ + 2mrṙ θ mr 2 θ + 2mrṙ θ = 0 r 2 θ = C Se llega a las mismas ecuaciones de Mecánica Newtoniana. θ / L Coordenada cíclica o ignorable Integral primera