Mecánica II Tema 5 Introducción a la dinámica anaĺıtica

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1 Mecánica II Tema 5 Introducción a la dinámica anaĺıtica Manuel Ruiz Delgado 9 de marzo de 2011 Sistemas materiales Ligaduras: Clasificación Ligaduras finitas: f(r 1,r 2,...,r N,t) = Ligaduras independientes: Jacobiano Ligaduras unilaterales/bilaterales Ligaduras finitas cinemáticas Ligaduras cinemáticas no integrables Ligadura cinemática integrable Ligadura cinemática no integrable Coordenadas generalizadas Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Coordenadas generalizadas: No holónomos Espacio de configuración Desplazamientos virtuales Desplazamientos posibles (sist. holónomo) Desplazamientos virtuales/posibles DVCL DVCL para un sólido Fuerzas de ligadura Trabajo virtual Ligaduras ideales Comentarios sobre ligaduras ideales

2 Sistemas materiales Sistema formado por N partículas materiales sujetas a ligaduras 3N coordenadas: (x 1,y 1,z 1,...,x N,y N,z N ) g ligaduras independientes n = 3N g grados de libertad (GDL) Mecánica Newtoniana: introducir incógnitas/ecuaciones de ligadura 3N +g ecuaciones 3N +g incógnitas 3N 3N g 3N +g Mecánica Anaĺıtica: 1 ecuación para cada grado de libertad 3N g ecuaciones 3N g incógnitas Superficie: proyectar sobre el plano tangente Curva: proyectar sobre la tangente g Manuel Ruiz - Mecánica II 2 / 40 Ligaduras: Clasificación Ligadura Descripción Sistema Finita/geométrica f(r i,t) = 0 Cinemática Ai v i +D = 0 Holónomo integrable = d dt f(r i,t) no integrable d dt f(r i,t) No Holónomo Estacionaria f(r i ) = 0 Esclerónomo A i (r i ) v i = 0 No estacionaria f(r i,t) = 0 Reónomo A i (r i,t) v i +D(r i,t) = 0 Bilateral f(r i,t)=0 Actúa siempre Unilateral f(r i,t) 0 Libre/ligado Manuel Ruiz - Mecánica II 3 / 40 2

3 Ligaduras finitas: f(r 1,r 2,...,r N,t) = 0 Partícula sobre superficie esférica: N = 1; coordenadas: 3N; ligaduras: g = 1; GDL: n = 3N g = 2 Esfera fija: f(r) x 2 +y 2 +z 2 R 2 = 0 Globo esférico: f(r,t) x 2 +y 2 +z 2 R(t) 2 = 0 Dos partículas unidas por una barra: N = 2; coordenadas: 3N; ligaduras: g = 1; GDL: n = 3N g = 5 Si la barra es telescópica: f(r 1,r 2 ) (y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 +(x 1 x 2 ) 2 L 2 = 0 f(r 1,r 2,t) (y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 +(x 1 x 2 ) 2 L(t) 2 = 0 N partículas ensartadas en un hilo de longitud L (GDL=3N 1) f(r 1...r N ) N 1 i=1 (r i r i+1 ) 2 L 2 = 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 4 / 40 Ligaduras independientes: Jacobiano g ligaduras independientes: Jacobiano [ f i / x j ] rango =g g ligaduras redundantes: Jacobiano [ f i / x j ] rango <g Ej.: Partícula sujeta a tres ligaduras: Esfera de centro el origen: f 1 x 2 +y 2 +z 2 R 2 = 0 Plano horizontal: f 2 z = 0 Cilindro vertical: f 3 x 2 +y 2 R 2 = 0 La tercera ligadura es redundante: x 2 +y 2 +z 2 R 2 f = z x 2 +y 2 R 2 2x 2y 2z J = Rango(J) = 2 2x 2y 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 5 / 40 3

4 Ligaduras independientes: Jacobiano Ej.: Dos partículas (N = 2) en el plano (2N en vez de 3N) sujetas a: 1 f 1 (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 4R 2 = 0 f 2 y 2 = 0 f 3 x 2 1 +(y 1 R) 2 R 2 = 0 2 GDL: n = 2N g = 4 3 = 1. Calculamos el jacobiano: 2(x 2 x 1 ) 2(y 2 y 1 ) 2(x 2 x 1 ) 2(y 2 y 1 ) J = x 1 2(y 1 R) 0 0 Obviamente, Rango(J) = 3 independientes Manuel Ruiz - Mecánica II 6 / 40 Ligaduras independientes: Jacobiano Son independientes en general Pero pueden hacerse redundantes en algunos puntos: Si colocamos la varilla vertical, x 1 = x 2 = 0, y 1 = 2R, el jacobiano se reduce a: 0 4R 0 4R J = R 0 0 Obviamente, en este caso Rango(J) = 2 redundantes. 1 2 Manuel Ruiz - Mecánica II 7 / 40 4

5 Ligaduras unilaterales/bilaterales z 0 z = 0 Ligadas (=) r 1 r 2 = L Libres (<) r 1 r 2 < L Integrar las ecuaciones con ligadura Controlar el signo de N para comprobar cuándo se separa Integrar las ecuaciones sin ligadura con las condiciones iniciales de la separación Controlar cuándo vuelve a cumplirse...percusiones...y así sucesivamente Manuel Ruiz - Mecánica II 8 / 40 Ligaduras finitas cinemáticas Toda limitación de las r i limita también las v i f(r i,t) = 0 d dt f(r i,t) = 0 f ẋ 1 + f ẏ f ẏ N + f ż N + f x 1 y 1 y N z N t = = 1 f ṙ N f ṙ N + f N t = A i v i +B = 0 i=1 f f z h = 0 f v+ t = 0 ż = 0 Ascensor: sistema reónomo z h(t) = 0 f ż ḣ = 0 f v+f t = 0 v n = ż = f t / f f v Manuel Ruiz - Mecánica II 9 / 40 5

6 Ligaduras finitas cinemáticas Partícula sobre superficie esférica: f x 2 +y 2 +z 2 R 2 = 0. f v = 0 2xẋ+2yẏ +2zż = 0 f = (2x,2y,2z) u r, la velocidad es tangente a la superficie. f Si la ligadura fuera no estacionaria por ejemplo, un globo que se hincha la velocidad no es tangente: v f(r,t) x 2 +y 2 +z 2 R(t) 2 = 0 f v+f t = 0 v n = f t f = Ṙ Manuel Ruiz - Mecánica II 10 / 40 Ligaduras cinemáticas no integrables Hay ligaduras cinemáticas que no son la derivada de una finita: g(r i,v i,t) N A i (r i,t) v i +B(r i,t) = 0 i=1 f(r i,t) / g(r i,v i,t) = d dt f(r i,t) Todas finitas o cinemáticas integrables Sistema holónomo Al menos 1 cinemática no integrable Sistema no holónomo Las ligaduras finitas se puede usar para despejar coordenadas y dejar sólo las independientes (3N g = n) Las cinemáticas no sirven, pues aparecen las velocidades Si son integrables, se integran reducir coordenadas En los sistemas no holónomos no es posible reducir el número de ecuaciones al mínimo Manuel Ruiz - Mecánica II 11 / 40 6

7 Ligaduras cinemáticas no integrables No integrable: Patín / Esquí / Rueda /Patín de hielo. Sólo puede moverse en la dirección de la cuchilla. No impone condiciones a las coordenadas: puede ponerse en cualquier punto y orientarse en cualquier dirección. A v = ( sinθ,cosθ) (ẋ,ẏ) = = sinθẋ+cosθẏ = 0 A (ẋ,ẏ) No integrable: 1 ec., 3 v.d.(x,y,θ), 1 v.i. (t). Aunque se tomara la θ como v. i., dividiendo por θ, seguiría sin poderse integrar. θ Sólido libre en el plano: 3 GDL, x,y,θ. Con ligadura cinemática: n = 3 1 = 2 GDL. Análogo al de un automóvil o una bicicleta: 2 GDL dirección (manillar/volante) y el avance (pedales/motor). Manuel Ruiz - Mecánica II 12 / 40 Ligadura cinemática integrable Integrable: Rodadura sin deslizamiento en el plano: ( ) v I = v C +ω CI = ẋ R θ i+ẏj = 0 Ligadura integrable según y: g 1 A 1 v I 21 +B 1 = = j v I = ẏ = 0 y = R θ C R θ Ligadura integrable según x: g 2 A 2 v I 21 +B 2 = i v I = ẋ R θ = 0 x = Rθ+ Cte. O x I De las tres coordenadas, sólo queda una independiente: x ó θ, pues sólo hay un grado de libertad: n = 3 2. Manuel Ruiz - Mecánica II 13 / 40 7

8 Ligadura cinemática no integrable z 1 No integrable: Disco que rueda sin deslizar sobre un plano. ( θ = π 2 Lig. finita) z 0 ϕ v21 I = vc 21 +ω 21 CI = 0 = ẋ i 0 j 0 k 0 = ẏ + 0 ϕ ψ ż 0 0 R = 1 ψ C I y 0 y 1 ẋ R ϕcosψ = ẏ R ϕsinψ ż g 1 i 0 v I 21 g 2 j 0 v I 21 g 3 k 0 v I 21 1 x 1 ẋcosψ +ẏsinψ R ϕ 0 = ẋsinψ +ẏcosψ = 0 ż 0 0 ĝ 1 i 1 v21 I ĝ 1 g 1 ĝ 2 j 1 v21 I ĝ ĝ 3 k 1 v21 I 2 = Q 10 g 2 ĝ 3 g 3 x 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 14 / 40 Ligadura cinemática no integrable z 1 La ligadura de z es integrable: el disco no se levanta del suelo: z 0 ϕ g 3 k 0 v I 21 = ĝ 3 k 1 v I 21 = Las de x e y no son integrables: = ż = 0 z = R ψ C I y 0 y 1 x 1 x 0 g 1 i 0 v21 I = ẋcosψ +ẏsinψ R ϕ = 0; g 2 j 0 v21 I = ẋsinψ +ẏcosψ = 0 Proyectadas en ejes 1 2 Ecs, 4 Var. Dep, 1 Var. Indep. ĝ 1 i 1 v I 21 = ẋ R ϕcosψ = 0; ĝ 2 j 1 v I 21 = ẏ R ϕsinψ = 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 15 / 40 8

9 Ligadura cinemática no integrable y 1 (ẋ,ẏ) s ϕ ψ x 1 ĝ2 1 +ĝ2 2 ṡ = R ϕ s = Rϕ+C : Rueda sin deslizar ĝ 2 /ĝ 1 dy dx = tanψ : dirección de la rueda: libre! No puede integrarse: ψ no está determinado por la ligadura (si no, el recorrido del coche estaría fijado antes de arrancar) Está determinado si se da una ley ψ(s) fijar la trayectoria Manuel Ruiz - Mecánica II 16 / 40 Coordenadas generalizadas N partículas, g ligaduras sólo n = 3N g coordenadas independientes Sistema holónomo: las ligaduras se usan para eliminar las dependientes Sistema no holónomo: no se pueden usar las ligaduras no integrables para eliminar las dependientes Partícula sobre esfera lisa: f(r) x 2 +y 2 +z 2 R 2 = 0 Sistema holónomo, GDL = n = = 2. Eliminar una: z = ± R 2 x 2 y 2 ; (x,y) independientes Compleja e incómoda: raíz, no uniforme. Mejor coordenadas esféricas: ligadura {}}{ ρ = x 2 +y 2 +z 2 = R independientes {}}{ tanθ = y sinϕ = z x R Manuel Ruiz - Mecánica II 17 / 40 9

10 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos N partículas, g ligaduras finitas: n = 3N g independientes. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que las independientes son las n primeras, n {}}{{}}{ x 1,y 1,z 1,x 2,...,x k, y k,z k,...,x N,y N,z }{{ N } 3N La configuración del sistema se puede expresar como: r i = r i (x 1,y 1,z 1...x k,t), i = 1...N y k,z k,...x N,y N,z N salen de las ecuaciones de las ligaduras. Olvidamos las ligaduras: ya están contadas al sustituir y k (x 1...x k,t)... g Manuel Ruiz - Mecánica II 18 / 40 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Se puede trabajar con las coordenadas cartesianas independientes (para sólidos, también ángulos de Euler) r i = r i (x 1,y 1,z 1...x k,t), i = 1...N Con frecuencia es más cómodo usar otros n parámetros independientes, las coordenadas generalizadas: r i = r i (q 1,...,q n,t), i = 1...N Tienen que estar relacionadas como cambio de variable: (x 1,y 1,...,x k ) (q 1,q 2,...,q n ) 0 (puede haber puntos singulares, como los polos en las esféricas) El movimiento del sistema estará perfectamente determinado cuando se conozcan q 1 (t),...,q n (t). Manuel Ruiz - Mecánica II 19 / 40 10

11 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Ejemplo: Dos partículas 1 y 2. Coordenadas: x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2. 3 Ligaduras: z 2 y 1 = 0 y 2 = 0 (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 = L 2 1 y 2 Escoger 3 coordenadas independientes: x 1 z 1 x 2 x Dos determinadas directamente por las ligaduras y 1 = 0, y 2 = 0. De las otras cuatro, se puede despejar una, por ejemplo: z 2 = z 1 ± L 2 (x 2 x 1 ) 2 Raíz molesta. No uniforme: hay que distinguir qué signo tomar x 1,z1 arbitrarias; x 2 limitada por la ligadura Manuel Ruiz - Mecánica II 20 / 40 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Es más conveniente tomar un conjunto de coordenadas generalizadas: z 2 q 1 = x 1 q 2 = y 1 q 3 = θ 1 θ Las coordenadas de 1 y 2 pasan a ser: x 1 z 1 x r 1 = (x 1,0,z 1 ), r 2 = (x 1 +Lcosθ,0,z 1 +Lsinθ) Las tres pueden tomar valores arbitrarios, y las r i están unívocamente definidas. Se puede comprobar que el jacobiano es distinto de cero: (x 1,y 1,x 2 ) (x 1,y 1,θ) = Lsinθ = Lsinθ Manuel Ruiz - Mecánica II 21 / 40 11

12 Coordenadas generalizadas: No holónomos Sistema con N partículas Sujeto a g ligaduras finitas o cinemáticas integrables (integradas) Sujeto a h ligaduras cinemáticas no integrables f j (r i,t) = 0, j = 1...g N A ik v i +B = 0, k = 1...h i=1 n grados de libertad GDL = 3N g h = n Pero no se pueden obtener n coordenadas generalizadas: las h ligaduras cinemáticas no sirven para reducir coordenadas Hay que usar m = 3N g > GDL coordenadas generalizadas no independientes Manuel Ruiz - Mecánica II 22 / 40 Espacio de configuración Espacio eucĺıdeo R 3 : N partículas libres r i R 3, i = 1...N Espacio de configuración R 3N : Punto representativo del sistema: R = (x 1,y 1,z 1...,x N,y N,z N ) R 3N Variedad de configuración: Sistema sujeto a g ligaduras finitas f j (r i,t) = 0, j = 1,...,g Ecuaciones impĺıcitas de una variedad (dim n) inmersa en R 3N Espacio de configuración (otra acepción) R n : n = 3N g coordenadas generalizadas. Punto representativo del sistema: R = (q 1,...,q n ) R n Ecuaciones paramétricas de la variedad de configuración Manuel Ruiz - Mecánica II 23 / 40 12

13 Desplazamientos virtuales Desplazamiento virtual: cualquier variación arbitraria de las coordenadas de un punto (o de todos los del sistema). δr i = (δx i,δy i,δz i ), i = 1,...,N Velocidad virtual: si el desplazamiento virtual δr i se realiza en un tiempo δt, definimos v i = δr i δt, i = 1,...,N Los DV son arbitrarios: en general no cumplirán las ligaduras Esfera: δx,δy,δz no cumplen δf 2xδx+2yδy +2zδz = 0 Varilla: δx 1,δy 1,δz 1,δx 2,δy 2,δz 2 no cumplirán la condición δf 2(x 1 x 2 )δx 1 +2(y 1 y 2 )δy 1 +2(z 1 z 2 )δz 1 2(x 1 x 2 )δx 2 2(y 1 y 2 )δy 2 2(z 1 z 2 )δz 2 = 0 Manuel Ruiz - Mecánica II 24 / 40 Desplazamientos posibles (sist. holónomo) Si hay ligaduras finitas, un δr i arbitrario no las respetará. Introduciendo coordenadas generalizadas, sí se cumplen x 1,y 1 z 1...,x N,y N,z N, x i no arbitrarias r i = r i (q 1,...,q n,t) q j arbitrarias desplazamientos posibles: arbitrarios, cumplen las ligaduras dr i = n j=1 r i q j dq j + r i t dt, donde: dq j = q j dt arbitrarias velocidades posibles: si el desplazamiento se da en δt n r i ṙ i = q j + r i q j t j=1 Los reales posibles, dependiendo de las fuerzas y C.I. No holónomo: condiciones adicionales a los q j y dq j Manuel Ruiz - Mecánica II 25 / 40 13

14 Desplazamientos virtuales/posibles Ejemplo: Partícula sobre esfera lisa: f x 2 +y 2 +z 2 R 2 = 0 Cualquier desplazamiento tiene que cumplir la ligadura: Desplazamientos virtuales ( arbitrarios): δf 2xδx+2yδy +2zδz = 0 (δx, δy, δz) No cumplen la ligadura Para que la ligadura se cumpla automáticamente, introducimos coordenadas generalizadas (esféricas): r = R (cosϕcosθ,cosϕsinθ,sinϕ) Ahora, cualquier valor de dθ, dϕ cumple la ligadura. Desplazamientos posibles: dr = r r dθ + θ ϕ dϕ = cosϕsinθ sinϕcosθ = Ru θ dθ +Ru ϕ dϕ = R cosϕcosθ dθ+r sinϕsinθ dϕ 0 cosϕ Manuel Ruiz - Mecánica II 26 / 40 Desplazamientos posibles Ejemplo: dos partículas unidas por una barra telescópica Ldθ Ldt r 1 = (x 1,0,z 1 ) r 2 = (x 1 +L(t)cosθ,0,z 1 +L(t)sinθ) 1 0 dr 1 = 0 dx dz Lsinθ Lcosθ dr 2 = 0 dx dz dθ + 0 dt 0 1 Lcosθ Lsinθ dz 1 dx 1 Manuel Ruiz - Mecánica II 27 / 40 14

15 DVCL Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras (DVCL): los desplazamientos posibles con las ligaduras congeladas o bloqueadas: n δr V i CL = j=1 r i q j δq j + r i t δt ligadura congelada: r i t = 0, t = Cte. (cinemáticas: B=f t=0) δr V CL r = (x,y,vt) dr pos δr VCL vdt dr pos = (dx,dy,vdt) δr VCL = (δx,δy,0) Manuel Ruiz - Mecánica II 28 / 40 DVCL para un sólido Un sólido se puede considerar como un sistema de N puntos sujetos a 3N 6 ligaduras finitas, de modo que le quedan 6 GDL: 3 coordenadas de un punto O y 3 parámetros de actitud, por ejemplo los ángulos de Euler: r i = r O +Q(ψ,θ,ϕ) OM i Al introducir estas coordenadas, cualquier δr i es DVCL. Es más fácil hacerlo a partir de las velocidades que diferenciar la matriz de giro: ( δr i = v O +ω OM i) dt = δr O +ωdt OM i 0 Como ω = 0 ψ cosψ + sinψ θ+ sinθsinψ sinθcosψ ϕ = k 1 ψ +u N θ +k0 ϕ 1 0 cosθ queda δr i = i δx +j δy +k δz +k 1 OM i δψ +u N OM i δθ +k 0 OM i δϕ Manuel Ruiz - Mecánica II 29 / 40 15

16 Fuerzas de ligadura Fuerzas dadas o directamente aplicadas: F i (r j,v j,t) Fuerzas de inercia: dependen del movimiento de S 0 Fuerzas de ligadura: Desconocidas a priori: incógnita del problema La necesaria para hacer cumplir la ligadura Parcialmente conocida (dirección, por ejemplo) Ej: Plano f z = h F L = λk = λ f Ej: Esfera f r 2 = R 2 F L = λr = λ f/2 Ej: Dos partículas unidas por una barra o hilo: F L 2 f (r 1 r 2 ) 2 = L 2 F L 1 = λ (r 1 r 2 ) = λ 1 f/2 F L 2 = λ (r 1 r 2 ) = λ 2 f/2 F L 1 M 1 M 2 λ es la misma para las dos partículas (acción-reacción) Manuel Ruiz - Mecánica II 30 / 40 Trabajo virtual Trabajo virtual δw es el que realiza una fuerza en un desplazamiento virtual del punto en que está aplicada. El trabajo virtual de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema será: δw = N ( F D i +F L i ) δri i=1 Las fuerzas se consideran constantes en el desplazamiento virtual (por eso a veces se considera infinitésimo) Cuando δr se realiza en un tiempo dado δt, se puede hablar también de potencia virtual. P = N ( F D i +F L i ) ṙi i=1 Manuel Ruiz - Mecánica II 31 / 40 16

17 Ligaduras ideales Ligaduras ideales o ligaduras sin rozamiento son aquellas en que el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura es nulo en cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras. Condición para los DVCL (con esta ligadura): f 1 (r 1,...,r N,t) = 0 Trabajo virtual de las fuerzas de esta ligadura: f 1 x 1 δx 1 + f 1 y 1 δy f 1 z N δz N = 0 δw L 1 = F L 1 1 δr 1 + +F L 1 N δr N 1 f 1 δr N f 1 δr N = 0 Para relacionarlos: N vectores de R 3 1 vector de R 3N Manuel Ruiz - Mecánica II 32 / 40 Ligaduras ideales δr = (δx 1,δy 1,δz 1,...,δx N,δy N,δz N ) F L = ( Fx1,F L y L 1,Fz L 1,...,Fx L N,Fy L N,Fz L ) ( N f G =, f, f f f f,...,,, x 1 y 1 z 1 x N y N z N ) G F L δr δr Ec. Ligadura: δr G = 0 δr G Trabajo nulo: δw = F L δr = 0 δr F L δr F L δr / δr G F L = λg (Dim. finita) Manuel Ruiz - Mecánica II 33 / 40 17

18 Ligaduras ideales Demostración por reducción al absurdo: Tómese G como base del subespacio unidimensional G de R 3N. Sea G el suplementario ortogonal de G: G G = R 3N. Cualquier desplazamiento virtual compatible con la ligadura será normal a G, por lo que δr G. Supongamos que la ligadura es ideal, pero F L λg; entonces se podrá descomponer en dos vectores ortogonales F L = λg+f, de modo que F G. Basta con tomar δr = ǫf, que es un desplazamiento virtual compatible con la ligadura por ser ortogonal a G. El trabajo virtual de la fuerza de ligadura sería δw = δr F L = ǫf F 0 en contra de la hipótesis. Por tanto, F = 0 y F L = λg, Q.E.D. Manuel Ruiz - Mecánica II 34 / 40 Ligaduras ideales Fuerza sobre la partícula i debida a una ligadura finita: ( f F L i = λ, f, f ) = λ i f x i y i z i Fuerza sobre la partícula i debida a g ligaduras finitas: g F L i = λ j i f j j=1 h Ligaduras cinemáticas: f(r i,t) n i=1 if v i +f t = 0 N N A ki v i +B k = 0 A ki δr i = 0; i=1 i=1 k = 1,...,h Usando el mismo razonamiento que con las finitas: g h F L i = λ j i f j + µ k A ik j=1 k=1 Manuel Ruiz - Mecánica II 35 / 40 18

19 Ligaduras ideales Ejemplo: Patín. Hemos visto que el patín (o la rueda delantera de un triciclo) está sometido a una ligadura cinemática no integrable: el centro se tiene que mover en la dirección del patín. La ecuación de la ligadura es: A v = ( sinθ,cosθ) (ẋ,ẏ) = sinθẋ+cosθẏ = 0 La fuerza de ligadura tendrá la forma F L = µa = µ( sinθ,cosθ) A F L θ v µ es una incógnita que dependerá de las fuerzas que actúen sobre el patín y de su aceleración. Manuel Ruiz - Mecánica II 36 / 40 Ligaduras ideales Rodadura sin deslizamiento. Tres ligaduras cinemáticas v21 I = 0. Habrá tres componentes de fuerzas de ligadura: g 1 i 0 v I 21 = 0 FL 1 = µ 1 i 0 g 2 j 0 v I 21 = 0 FL 2 = µ 2 j 0 g 3 k 0 v I 21 = 0 FL 3 = µ 3 k 0 que podemos también proyectar en ejes S 1 : ĝ 1 i 1 v I 21 = 0 ˆF L 1 = ˆµ 1 i 1 ĝ 2 j 1 v I 21 = 0 ˆF L 2 = ˆµ 2 j 1 ĝ 3 k 1 v I 21 = 0 ˆF L 3 = ˆµ 3 k 1 Manuel Ruiz - Mecánica II 37 / 40 x 1 z 1 ψ z 0 C F L 3 I ϕ F L 2 F L 1 x 0 y 0 y 1 19

20 Ligaduras ideales Se trata de la misma fuerza proyectada en ejes distintos: F L = µ 1 i 0 +µ 2 j 0 +µ 3 k 0 = ˆµ 1 i 1 + ˆµ 2 j 1 + ˆµ 3 k 1 Por lo que los dos conjuntos de fuerzas de ligadura están relacionados por las ecuaciones del cambio de ejes: y 1 ˆµ 2 F L xy ˆµ 1 = µ 1 cosψ µ 2 sinψ ˆµ 2 = µ 1 sinψ +µ 2 cosψ ˆµ 3 = µ 3 µ 2 ˆµ1 µ 1 igual que lo estaban las ecuaciones de las ligaduras: ĝ 1 g 1 ĝ 2 = Q 10 g 2 ĝ 3 g 3 ψ x 1 Manuel Ruiz - Mecánica II 38 / 40 Ligaduras ideales Ligaduras cinemáticas no estacionarias: Ai v i + B = 0. Disco vertical sobre placa S 3 que se mueve con velocidad vj 1 : v23 I = 0 ó vi 21 = v j 1. g 1 i 1 v I 21 = 0 FL 1 = µ 1 i 1 g 2 j 1 v I 21 = v FL 2 = µ 2 j 1 g 3 k 1 v I 21 = 0 FL 3 = µ 3 k 1 Usando las coordenadas generalizadas de C, g 1 ξ R ϕcosψ = 0 g 2 η R ϕsinψ v = 0 g 3 ζ = 0 x 1 z 1 ψ z 0 C I ϕ x 0 y 0 y 1 v En ejes S 0, tenemos dos ligaduras cinemáticas no estacionarias. Manuel Ruiz - Mecánica II 39 / 40 20

21 Comentarios sobre ligaduras ideales Ligaduras ideales ligaduras sin rozamiento. Aunque hay ligaduras ideales con rozamiento: el rozamiento no trabaja. La rodadura sin deslizamiento no es ideal cuando δ y ǫ del modelo de Coulomb-Morin son 0. Por qué congelar las ligaduras en los DVCL? Se buscan direcciones en que las ligaduras no trabajen. Pero las no estacionarias trabajan al moverse: desplazamiento f/ t. Por eso se hace que no se muevan. Así no aparecen las F L i. En las estacionarias (S. esclerónomos), δr pos δr VCL Si las ligaduras no son ideales sus fuerzas trabajan el los DVCL, y no se pueden eliminar por ese procedimiento. No se puede emplear la Mecánica Anaĺıtica en esos sistemas. En algunos casos, hay rodeos que permiten aplicar la Mecánica Anaĺıtica, pero en general no compensa. Manuel Ruiz - Mecánica II 40 / 40 21