Sisemas poblacionales Modelización de sisemas biológicos (por compuadora) FIUER
Modelos Poblacionales Repaso Concepos y definiciones. Eapas de la modelización en modelos poblacionales Del modelo concepual al físico Del modelo físico al maemáico Ejemplos
Objeivos Disinguir las caracerísicas de la Modelización Poblacional Aplicar las eapas implicadas en el proceso de modelización. Aprender a modelizar sisemas biológicos de diferenes nauralezas. Analizar algunos ejemplos de modelos biológicos.
Repaso Clasificación de modelos De acuerdo a la esraegia de resolución del sisema Comparimenales Poblacionales Analogías Auómaas Deerminísicos Probabilísicos»Agenes
Cuándo usar una deerminada esraegia de modelización Comparimenal: El sisema puede ser subdividido en un conjuno acoado de subsisemas (variables endógenas) El Sisema es esable Exise una ley de cierre o conservación Comparimeno: región o volumen cuya disribución de susancia o energía es uniforme
Cuándo usar una deerminada esraegia de modelización Poblacional Esán en juego poblaciones o especies: a nivel micro (células, virus, bacerias...) a nivel macro (individuos, planas, animales, ec.)
Repaso El problema de cinéica de poblaciones parece esar en desacuerdo con nuesra definición de comparimeno o hay conservación o es homogéneo icho <=> Epidemiología Comparimeno: Región o volumen cuya disribución de organismos es uniforme??
Modelos Poblacionales Población: conjuno de organismos de la misma especie viviendo en un espacio paricular en el mismo lapso de iempo Las poblaciones esán compuesas por individuos capaces de ineraccionar enre sí
Modelos Poblacionales Por qué esudiarlos: Puede preverse de forma deerminísica la dinámica de una población? Exise el modelo que nos permia describir la dinámica presa/predador en el sisema inmune?, por ej. Cómo influye el efeco del aprendizaje del depredador en los ciclos presa/predador? Pueden los pesicidas o implanaciones conrolar efecivamene las plagas?
Modelos poblacionales 1. Dinámica de especies aisladas 2. Dinámicas con ineracción enre 2 especies 3. Dinámicas con ineracción enre especies: ejemplo: modelo simplificado del HIV
Dinámica de especies aisladas 1. Ecuación de Malhus 2. Ecuación de Pearl-Verhuls 3. Ecuación logísica generalizada 4. Modelos con reardo 5. Modelos con disribución por edad
Dinámica de especies aisladas d d ( nacimienos inmigraciones) ( mueres emigraciones) (): canidad de individuos en el insane Variables coninuas?? Barnes & Chu: Inroducion o M página 215
Ecuación de Malhus: noación Inglaerra, 1798
Ecuación de Malhus El crecimieno no es influenciado por ninguna variable exógena La relación de sexos es 1:1 Todos los individuos ienen la misma edad o hay diferencias geográficas en las velocidades de crecimieno
Ecuación de Malhus r h h f h r f f 1 1 1 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( 0 con con 1 Censo Habianes 1 1.9 x 10 5 2 3.6 x 10 5 3 6.9 x 10 5 4 1.3 x 10 6 5 2.5 x 10 6 6 4.7 x 10 6 7 8.5 x 10 6 Euler
Ecuación de Malhus: solución analíica d d log( d r rd ( )) log( (0)) r ( ) (0) e r o
Ecuación de Malhus La prueba del modelo propueso para el crecimieno a largo plazo indica que ése debe ser rechazado. Sin embargo podría ser úil para crecimieno a coro plazo. Como el crecimieno de la población depende sólo del amaño de la población, se debe agregar que si la población crece demasiado la asa de moralidad va a exceder a la de naalidad (recursos limiados) Todo eso implica un replaneo de nuesro modelo físico.
Ejemplo de planeo de un modelo 1.Explicación y predicción de los cambios en la población. 2.El crecimieno es proporcional a la población. 3. d/d = r = o si = o 6. o saisfacorio para población. 5. Crecimieno sin límies si r > 0 4. = o e r
Ecuación de Malhus Si a eso lo raducimos ora vez en lenguaje maemáico, debemos reemplazar r por f(()) que es una función decreciene de () para () grande, y se hace negaivo cuando () es muy grande. Por lo ano: d d f () En recurrencias: h 1 f ( )
Ecuación de Pearl (1845) d d d d r( ) (1 / ) << ; = ; > Capacidad de acarreo o susenabilidad del medio Ec. en diferencias: ' (1 / 1 ) Cómo calcular los parámeros α y?
Ecuación de Pearl ' 1 ' 1 y Regresión lineal x Censo Habianes 1 1.9 x 10 5 2 3.6 x 10 5 3 6.9 x 10 5 4 1.3 x 10 6 5 2.5 x 10 6 6 4.7 x 10 6 7 8.5 x 10 6
Ecuación de Pearl d d d d r( ) (1 / ) ɛ Punos de equilibrio /
Ecuación de Pearl-Verhuls (1925) / K
Ecuación logísica generalizada d d d ( 1 / ) ( ) d
Ecuación logísica generalizada Población límie Punos de inflexión
Ecuación logísica generalizada Modelos poblacionales con cosecha (harvesing) d d r 1 E h r r-e h r E r o
Ejemplo: cosecha de peces d d r 1 ( ) ( ) 2 B 2 A 2 B
Ecuación logísica generalizada Efeco Allee Disminución en la asa de nacimienos por compeencia Incremenos en la asa de nacimienos por aumeno de la chance de enconrar pareja d d M r 1 1 M es un umbral debajo del cual la asa nea de crecimieno es negaiva cosecha a asa consane
Ecuación logísica generalizada acimienos dependienes de densidad de población b r b r b b b 2 2 2 1 2 2 1 1 ) ( ) / (1 1 b acimienos dependienes de densidad
Poblaciones Esrucuradas por Edad Esrucura earia: sólo los individuos de una deerminada edad se reproducen Tasas Independienes de Densidad (caso más sencillo) i, 1 i, i i, i i, i1 i1, con d i asa de morandad de la esrucura earia i s i asa de supervivencia de la esrucura earia i d s s pero d 1 s s i, 1 i1 i1,
Esrucura earia: el Modelo de Leslie (1945)... ; ; ; ; 2, 2 1 3, 1, 1 1 2, 0, 0 1 1, 3, 3 1 0, s s s f Aproximación maricial m m m m s s s f f f f 2 1 0 1 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +1 =L L: Mariz de Leslie n n L 1
Esrucura earia: el Modelo de Leslie El Modelo de Leslie posee un puno de equilibrio esable al que evoluciona el sisema Por consecuencia: Siempre reorna al esado esable después de perurbaciones El sisema iende asinóicamene a esabilizarse con una asa nea de crecimieno y una esrucura earia propia (independienemene de las condiciones iniciales) Puede analizarse el sisema independienemene de las condiciones iniciales sólo ineresa la mariz L Las poblaciones con asas de ferilidad grande ienen una esrucura earia desproporcionadamene joven Las poblaciones con alas asas de morandad en odas las edades ambién poseen esrucura earia joven
Modelos con reardos Los nacimienos acuales dependen de la disponibilidad de recursos un período T de iempo arás La asa de nacimienos no es insanánea: Reardo debido a la maduración Reardo debido a la gesación
Modelos con reardos La asa de crecimieno depende de la canidad de individuos que había un período de iempo T arás d( ) ( T) ( ) Acos d 2T 2T ( ) Acos 2T Acos 1 4 2 f T El período de repeición es 4 veces T
Modelos con reardos: ejemplo 1 El Moscardón de la Oveja d ( T r ( ) 1 ) d K El efeco regulador depende de la canidad de individuos acual y de la que había un iempo T arás (iempo de larva a adulo) La dinámica oscilaoria es independiene de K Sin solución analíica Pruebas sobre cerca de K Ciclo límie esable
Ejemplo 2: Regulación de la Hemaopoiesis ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( c g T c a T c a d dc c g T c d dc m m m T=6 T=20 (Caos) Caso real (leucemia)
Relaciones enre especies TIPO DE RELACIÓ CARACTERÍSTICAS Depredación Consumo de un ser viviene por pare de oro. Compeencia Comensalismo Simbiosis Parasiismo Lucha, direca o indireca, enre varios seres vivos, de una misma especie o de especies disinas, por el acceso a un recurso. Relación asimérica enre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mienras que el oro no obiene beneficio ni perjuicio. Relación enre dos seres vivos con beneficio recíproco, a menudo hasa el exremo de que ninguno de ellos podría vivir sin el oro. Relación asimérica con beneficio para uno y perjuicio para el oro. El parásio se alimena a expensas de su huésped.
Relaciones presa-predador Los individuos de una especie son el alimeno de los de la ora especie
Relaciones presa-predador La especie depredada en forma aislada crece nauralmene (según la disponibilidad de alimenos):
Relaciones presa-predador La especie predadora en forma aislada se exingue por fala de alimenos:
Relaciones presa-predador La especie depredada pierde individuos cada vez que hay un encuenro enre ambas especies:
Relaciones presa-predador La especie predadora incremena su población en función de los encuenros con su alimeno :
Relaciones presa-predador Ecuación de Loka-Volerra
Relaciones presa-predador 2 1 Figura 3.1
Problemas presa predador P Figura 3.4 d d d d 1 2 1 ( r 2 1 ( r 2 1 1 2 2 1 2 2 ) 1 )
Ejemplo: el lince canadiense y la liebre de la nieve
Modelado de compeencias Dos especies compiiendo por un mismo nicho ecológico
Modelado de compeencias Dos especies compiiendo por un mismo nicho ecológico Cuando había una sola especie se modelaba la disminución de alimeno mediane: Ahora las dos especies reducen el alimeno
Modelado de compeencias
Simbiosis o muualismo Relación con beneficios muuos enre las dos especies En casos exremos ninguno de los dos podría vivir sin el oro
Simbiosis: ejemplo 1 Crecimienos inconrolados Beneficios muuos Ej.: el arrecife
Simbiosis: ejemplo 2 Capacidades de crecimieno conroladas Siuación más realisa Ej.: Hormiga/Hongo
Comensalismo Relación asimérica enre dos seres vivos; uno de ellos se beneficia, mienras que el oro no obiene beneficio ni perjuicio. Ej: pez imón X
Parasiismo Relación asimérica con beneficio para uno y perjuicio para el oro. El parásio se alimena en derimeno de su huésped.
Modelos Poblacionales Uno de los modelos clásicos de compeencia inerespecífica es el modelo no lineal general de Loka-Volerra dx x a x b y r d o puede resolverse en dy y c y d x s forma analíica d a, b, c, d, r, s R Mariz Comunidad Taylor - Jacobiano
Modelos Poblacionales Ubicación del puno críico y evolución asociada: y Exinción Equilibrio esable / inesable Explosión demográfica sin límies Exinción x
Análisis de esabilidad
Análisis de punos de equilibrio
Ineracción enre 3 especies: Dinámica del virus de HIV Células CD4 (cooperadoras): Células CD8 (cioóxicas): Virus HIV: desruye células CD4
Dinámica del virus de HIV Equilibrio Si V Si V 0 0 CD4 ecd4 CD4 fcd8 y CD8 CD8 acd4 CD4* a bv * ccd8 CD8* c dv * V* 0 CD4* CD4 y CD8* CD8
Ineracción enre 3 especies: Modelo Simplificado del Cáncer Los Inerferones son susancias naurales que produce el organismo para combair agresiones ales como las infecciones causadas por virus. o se conoce exacamene el mecanismo de acción de los inerferones alfa en el cáncer y en las enfermedades víricas, pero se cree que acúan como inmunomoduladores (susancias que modifican la acción del sisema inmuniario). Los inerferones alfa pueden bloquear ambién la muliplicación de los virus. El Inerferón Alfa-2b usado como susiuo acúa de la misma forma que el inerferón alfa naural.
Ineracción enre 3 especies: Modelo Simplificado del Cáncer S: células sanas (ovejas) C: células cancerígenas (lobos) I: inerferón (perros)
Simbiosis: ejemplo 3 : población en cupla simbióica: el arrecife
Modelos basados en Poblaciones icho de Individuos hábia comparido por varias especies: odos los facores bióicos, abióicos y anropicos con los cuales el organismo se relaciona hipervolumen de n-dimensiones, donde cada dimensión corresponde a los facores Cambio de enfoque Modelos Globales Modelos Locales Auómaas Agenes Evolución, fenoipo exendido
Bibliografía Modeling Biological Sysems, J.W. Haefner, Springer, Y, 2005 Mahemaical Biology I: An Inroducion, JD Murray, Third Ediion, Springer, 2002 "Maemáicas para Biólogos", Hadeler "Compuer Modelling of Complex Biological Sysems", S. Siharama Iyengar, CRC Press. "Farmacocinéica Clínica", John G. Wagner, Ed. Reveré, S.A., 1983. "Modelling and Conrol in Biomedical Sysems", Cobelli-Mariani, 1988. "Drugs and Pharmaceuical Sciences", Gibaldi "Inroducción a la Bioingenieria", Marcombo-Boixareu Ediores, 1988. "Modelling wih Diferencial Equaions", Burghes-Borrie. "An inroducion o Mahemaical Modelling", Bender. "Elemenos de Biomaemaica", Engel, Sec Gral de la OEA., Programa Regional de Desarrollo Cienífico, 1979.