Estadística. Grado en Relaciones Laborales y Recursos Humanos Tema 6 Estadística poblacional. Fenómenos demográficos 1
Variable estadística edad a la que ocurre un suceso Los fenómenos demográficos que inciden en una generación son la mortalidad, nupcialidad, fecundidad, emigración e inmigración. Por ello estudiaremos tablas que presentan cada uno de estos fenómenos en una determinada generación. Hay que destacar que en el estudio por generaciones es necesario gran cantidad de datos, ya que utilizaremos la información de individuos a lo largo de toda su vida. Este tipo de análisis es denominado análisis longitudinal. En el caso de no conocer datos por generación, supondremos que el comportamiento de los individuos en una generación es similar al comportamiento de éstos en el año de nacimiento. De esta forma estaremos creando una generación ficticia. 2
Variable estadística edad a la que ocurre un suceso En cualquier estudio longitudinal sobre un fenómeno podremos obtener dos medidas fundamentales que nos indicarán el comportamiento del mismo en una generación: ˆ Intensidad Es el número de sucesos que ocurren a cada una de las personas de una generación. (p.e.: la mortalidad tiene intensidad 1, es decir, es un suceso fatal y no renovable). ˆ Calendario Es la distribución de frecuencias de la variable edad a la que los individuos son alcanzados por el fenómeno en estudio. Un índice del calendario suele ser la edad media a la que ocurre el suceso. Para una mejor descripción del fenómeno se construyen tablas de eliminación en las que se suponen poblaciones cerradas a otros fenómenos. En cualquiera de estas tablas aparecerán como mínimo tres columnas: población afectada, número de sucesos y las probabilidades de ocurrencia. Si consideramos intervalos de edad de amplitud 1, la tabla se denomina completa ; en caso contrario será abreviada (normalmente se utilizan intervalos de amplitud 5). 3
Variable estadística edad a la que ocurre un suceso. Sea X la variable estadística edad a la que ocurre un suceso demográfico donde X [0, ω]. Consideremos su distribución (calendario): ˆ x extremos inferiores de los intervalos de edad considerados de amplitud n, es decir, intervalos del tipo [x, x + n). ˆ e(x, x + n) eventos observados entre la edad x y x + n o frecuencia de aparición del fenómeno dentro de cada intervalo de edad. A partir de la distribución de frecuencias anterior, se puede obtener la edad media a la que ocurre un suceso: x = ω n x=0 ( x + n 2 ) e(x, x + n) ω n x=0 e(x, x + n) Por tanto, para cada componente demográfica tendremos una distribución de frecuencias y podremos calcular la edad media a la que ocurre el suceso asociado a dicha componente. 4
Tablas de eliminación: mortalidad Vamos a particularizar lo anterior con el fenómeno mortalidad, ya que es el más utilizado y de mejor comprensión. La descripción natural de la mortalidad consiste en observar un grupo cerrado de individuos a los que se sigue desde su nacimiento hasta su extinción completa (0, ω). Consideramos la variable estadística edad a la que fallecen los individuos de una cohorte y obtenemos su distribución: ˆ x sucesión de aniversarios (0,..., ω n) ˆ S x número de supervivientes de la generación a la edad exacta x. ˆ d(x, x + n) defunciones entre la edad x y x + n ˆ nq x probabilidad de fallecer antes de cumplir la edad x + n, supuesto que ha sobrevivido hasta la edad x). nq x = d(x, x + n) S x = S x S x+n S x = 1 S x+n S x ˆ np x probabilidad de supervivencia a la edad x + n si se ha sobrevivido a la edad x. np x = 1 n q x = S x+n S x 5
Tablas de eliminación: mortalidad Gráficamente: En la página siguiente, se muestra una tabla de mortalidad (completa) para la generación femenina francesa de 1820, en la que aparecen cuatro columnas: extremos inferiores de los intervalos, supervivientes a cada edad exacta, número de defunciones en cada intervalo y probabilidad de fallecer en dicho intervalo. 6
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Tablas de eliminación: mortalidad Respecto a la intensidad de este fenómeno tenemos que: I = ω n x=0 d(x, x + n) S 0 = 1 y el calendario es la distribución de frecuencias absolutas {(x, x + n), d(x, x + n)} o relativas: { } d(x, x + n) (x, x + n), S 0 Como para cualquier variable estadística, es posible ofrecer una serie medidas que sinteticen la información que proporciona, como la media, moda o mediana. Si obtenemos la media de la distribución, estamos hallando la esperanza de vida al nacimiento (e 0 ) que ofrece el número medio de años que les queda por vivir a los recién nacidos. También es posible hallar la esperanza de vida a las diferentes edades. 8
Tablas de eliminación: mortalidad Cálculo de la esperanza de vida al nacimiento Supongamos (por simplicidad) que la amplitud de los intervalos de edad es la unidad. Entonces: e 0 = ω 1 x=0 ( x + 1 2) d(x, x + 1) ω 1 x=0 d(x, x + 1) = ω 1 x=0 ( x + 1 2) d(x, x + 1) S 0 = 1 (0.5d(0, 1) + 1.5d(1, 2) + 2.5d(2, 3) +... + ((ω 1) + 0.5)d(ω 1, ω)) = S 0 1 (0.5(S 0 S1) + 1.5(S 1 S2) + 2.5(S 2 S3) +... + ((ω 1) + 0.5)(S ω 1 Sω)) = S 0 1 (0.5S 0 + S 1 + S 2 + S 3 +... + S ω 1 ) S 0 ya que S ω = 0. Con todo ello, queda la siguiente expresión para la esperanza de vida al nacimiento en una tabla completa: e 0 = 0.5 + S 1 + S 2 + S 3 +... + S ω 1 S 0 9
Tablas de eliminación: mortalidad otra forma de cálculo de la esperanza de vida al nacimiento La obtención de la esperanza de vida al nacimiento para intervalos de amplitud 1 es bastante simple, pero qué ocurre si la tabla es abreviada e incluso si en la tabla se mezclan distintas amplitudes? Y si queremos calcular la esperanza de vida a cualquier edad x?. El problema se complica. Por este motivo, vamos a hallar una expresión de dicha esperanza aprovechando el hecho de que esta cantidad puede ser obtenida como el cociente del tiempo total vivido por todos los individuos de la generación y el número de individuos que la componen (bajo la hipótesis de uniformidad en la ocurrencia de las defunciones): e 0 = T 0 S 0 Entonces, pasemos a hallar T 0. Si nos fijamos en el primer intervalo de edad (0,1) sabemos que todos los individuos de la generación que han cumplido un año S 1, han vivido un año, por lo que todos ellos habrán vivido 1 S 1 años. Por otro lado y bajo la hipótesis de uniformidad, los que han fallecido en dicho intervalo habrán vivido por termino medio la mitad del año, así que en conjunto tendremos 0.5 d(0, 1) años. 10
Tablas de eliminación: mortalidad Si discurrimos de forma análoga en todos los intervalos, podemos obtener T 0 de la siguiente forma: T 0 = S 1 + 0.5d(0, 1) + S 2 + 0.5d(1, 2) + S 3 + 0.5d(2, 3) +... + S ω + 0.5d(ω 1, ω) = S 1 + 0.5(S 0 S1) + S 2 + 0.5(S 1 S2) + S 3 + 0.5(S 2 S3) +... + S ω + 0.5(S ω 1 Sω) = 0.5S 0 + S 1 + S 2 + S 3 +... + S ω 1 por lo que hemos llegado a la misma expresión de la esperanza de vida al nacimiento. esperanza de vida a cualquier edad Supongamos ahora que queremos hallar la esperanza de vida a los 20 años en una tabla de mortalidad generacional de amplitud 5; tendremos que e 20 = T20 S 20, ya que deberemos obtener el número medio de años vividos por cada individuo a partir los 20 años. Si analizamos el primer intervalo (20,25) tendremos que todos los individuos que han sobrevivido a los 25 años, han vivido en dicho intervalo 5 años completos (en total, 5 S 25 ); los fallecidos en este intervalo habrán vivido en media 2.5 años (bajo hipótesis de uniformidad) y entre todos contarán 2.5 d(20, 25). 11
Tablas de eliminación: mortalidad Razonando del mismo modo en todos los intervalos nos queda: T 20 = 5S 25 + 2.5d(20, 25) + 5S 30 + 2.5d(25, 30) + 5S 35 + 2.5d(30, 35) +... + 5S ω + 2.5d(ω 5, ω) = 5S 25 + 2.5(S 20 S25) + 5S 30 + 2.5(S 25 S30) + 5S 35 + 2.5(S 30 S35) +... + 5S ω + 2.5(S ω 5 Sω) = 2.5S 20 + 5S 25 + 5S 30 + 5S 35 +... + 5S ω 1 por lo que dividiendo por S 20 nos aparece la expresión final de la esperanza de vida a los 20 años: e 20 = 2.5 + 5 (S 25 + S 30 + S 35 +... + S ω 5 ) S 20 por lo que si decimos por ejemplo, que la esperanza de vida a los 20 años en una generación es de 35 años, sabemos que un individuo de 20 años vivirá en media 35 años más. 12
Tablas de eliminación: mortalidad En general para una tabla de mortalidad completa, tendremos: e 0 = 0.5 + S 1 + S 2 + S 3 +... + S ω 1 S 0 e x = 0.5 + S x+1 + S x+2 + S x+3 +... + S ω 1 S x y para una tabla de mortalidad abreviada en la que la amplitud de todos los intervalos es n, queda: [ ] S0 e 0 = n 2 + S n + S 2n +... + S ω n S 0 [ ] Sx e x = n 2 + S x+n + S x+2n +... + S ω n S x y en el caso de que los intervalos tengan distinta amplitud, habrá que desarrollar y obtener la expresión de la esperanza de vida, con las amplitudes consideradas. 13
Tablas de eliminación: mortalidad Ejercicio: A partir de la siguiente información sobre mortalidad de una generación: x S x 90 1150 91 844 92 607 93 427 94 295 95 200 96 133 97 86 98 35 99 14 100 0 1. Obtenga el número de defunciones y el cociente de mortalidad en cada intervalo. 2. Cuál es la probabilidad de que un individuo con 91 años fallezca antes de los 92? 3. Cuál es la probabilidad de que un individuo con 90 años fallezca antes de los 92? 4. Calcule la esperanza de vida a los 90 años. 14
Tablas de eliminación: mortalidad 1. Si calculamos las dos series que nos solicitan queda: 2. Observando los cocientes de la tabla anterior: 0,281 15
Tablas de eliminación: mortalidad 3. En este caso, la probabilidad no aparece en la tabla, pero si observamos lo que nos solicitan: 2q 90 = 306 + 237 1150 = 0, 472 4. La esperanza de vida a los 90 años será, sustituyendo en la expresión: e 90 = 0.5 + S 91 + S 92 +... + S 99 S 90 = 2, 83 años 16
Tablas de eliminación: mortalidad Ejercicio: Supongamos que de una generación, conocemos que S 25 = 3500, S 30 = 3250, S 60 = 2280, S 80 = 990, S 100 = 0. Calcule la esperanza de vida a los 25 años. En esta ocasión no podemos aplicar ninguna de las expresiones de cálculo vistas anteriormente, por lo que pasamos a desarrollarla: e 25 = T 25 S 25 T 25 = 5 S 30 + 2.5 d(25, 30) + 30 S 60 + 15 d(30, 60)+ 20 S 80 + 10 d(60, 80) + 20 S 100 + 10 d(80, 100) = = 5 S 30 + 2.5 (S 25 S 30 ) + 30 S 60 + 15 (S 30 S 60 )+ +20 S 80 + 10 (S 60 S 80 ) + 20 S 100 + 10 (S 80 S 100 ) = = 2.5 S 25 + 17.5 S 30 + 25 S 60 + 20 S 80 + 10 S 100 e 25 = 2.5 S 25 + 17.5 S 30 + 25 S 60 + 20 S 80 S 25 (ya que S 100 = 0) = 40, 69 años Por tanto, una persona con 25 años tiene una esperanza de vida de 40, 69 años más. 17
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad Vamos a suponer que el comportamiento poblacional en lo que se refiere al fenómeno mortalidad en la generación de t (análisis longitudinal), es similar al comportamiento en el año de observación t (análisis transversal): En este segundo caso, no es posible la obtención de los cocientes de mortalidad; solamente se pueden construir las tasas específicas de mortalidad por edad, ya que la única información que tendremos son las defunciones por edad en un periodo y la población (stock) por edad en un instante: 18
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad Por este motivo, será necesario estimar los cocientes de mortalidad por edad a partir de las tasas que se calculan con los datos observados en un periodo. La estimación de estos cocientes se tratará más adelante. Veamos entonces las columnas que va a tener la tabla de mortalidad de momento: ˆ x edad exacta a inicio del intervalo (x, x + n) donde x (0, ω n) siendo n la amplitud de los intervalos considerados. ˆ n Px población media del periodo observado en el intervalo (x, x + n) ˆ nd x número de defunciones observadas en el intervalo (x, x + n). ˆ nm x tasa específica de mortalidad en el intervalo (x, x + n): nm x = n D x n P x ˆ nˆq x cociente de mortalidad estimado en el intervalo (x, x + n). ˆ n ˆp x probabilidad de supervivencia estimada en el intervalo (x, x+n), siendo n ˆp x = 1 n ˆq x 19
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad Cuando los cocientes de mortalidad han sido estimados, se procede a generar las series o columnas de la tabla de mortalidad asociada a la generación ficticia, debiendo escoger una raíz de la misma que suele tomarse como potencia de 10, es decir, l 0 = 10 k : ˆ l x número de supervivientes a la edad exacta x, de forma que: l 0 = 10 k l x+n = l x (l x n ˆq x ) ˆ nd x número de defunciones de individuos de la generación ficticia en el intervalo de edad (x, x + n): nd x = l x l x+n 20
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad ˆ a x coeficiente de reparto de las defunciones a la edad x (también llamado fracción media de años vividos en el intervalo (x, x + 1) ). En el caso de que supongamos que las defunciones ocurren uniformemente dentro del intervalo, este coeficiente es igual a 0.5. Normalmente su valor solamente varía en los primeros y últimos intervalos de edad, ya que por ejemplo, en el intervalo (0, 1), la mayoría de las defunciones ocurren poco después del nacimiento por lo que el tiempo medio vivido por estos niños en dicho intervalo será bastante bajo (a x < 0.5). Además, cada Instituto de Estadística toma sus propios a x, como resultado de sus análisis empíricos. ˆ na x coeficiente de reparto de las defunciones en el intervalo (x, x + n): na x = n a x ˆ nl x población estacionaria de la tabla (o tiempo vivido por todos los individuos en el intervalo (x, x + n)). Esta serie representa la estructura por edad que tendría una población cuya mortalidad fuera la de la tabla y para la que dicha mortalidad, así como el número de nacimientos se mantuviera constante en el tiempo. nl x = n l x+n + n a x n d x = n l x+n + n A x (l x l x+n ) = (n n A x )l x+n + n A x l x = (n na x )l x+n + na x l x = n((1 a x )l x+n + a x l x ) 21
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad y en el caso de que a x = 0.5 queda: ( nl x = nl x+n + n n d x 2 = n l x+n + l ) ( ) x l x+n lx + l x+n = n 2 2 ˆ T x tiempo vivido por todos los individuos desde la edad x hasta el final de la vida (ω): ω n T x = ( n L i ) i=x ˆ ê x esperanza de vida estimada a la edad x (tiempo medio estimado que le queda por vivir a un individuo que ha alcanzado la edad x): ê x = T x l x 22
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad En cualquier tabla de mortalidad real, nos vamos a encontrar con un intervalo de edad abierto (el último); en este caso, se debe tener en cuenta lo siguiente: q ω = 1 d ω = l ω L ω = l ω m ω T ω = L ω e ω = T ω l ω = L ω l ω = l ω m ω l ω = 1 m ω En la estimación de la esperanza de vida en el último intervalo, a veces también cada Instituto de Estadística fija la esperanza de vida en el intervalo abierto; es usual ver en una tabla que termina en 100 años como la esperanza de vida se ha fijado en 0.5. 23
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad Existen diversos procedimientos para estimar el cociente de mortalidad a partir de la tasa observada; todos ellos, propuestos por distintos autores son igualmente válidos y proporcionan resultados bastante semejantes, por lo que usualmente se utiliza aquél cuya expresión es más sencilla (método actuarial o lineal). Dicho método estima el cociente de mortalidad de la siguiente forma: nˆq x = 2 n n m x 2 + n n m x Ejercicio: Construya la tabla de mortalidad de momento para una población mediante el método actuarial o lineal con a x = 0.5, utilizando como raíz de la misma 1000 individuos y conociendo los datos de población y defunciones en las primeras edades (T 10 = 65000). 24
Análisis estadístico de la mortalidad: construcción de la tabla de mortalidad Con la información dada, calculamos las tasas específicas; a partir de ellas, estimamos el cociente de mortalidad aplicando la expresión del método actuarial. Hecho esto, tomamos l 0 = 1000, que multiplicamos por el cociente estimado (0, 00498753) para calcular las defunciones (redondeando, 5). A continuación restamos l 0 = 1000 5, apareciendo el número de supervivientes al año de edad (995), que volveremos a multiplicar por el cociente (0, 03921569) y obtendremos las 39 defunciones del intervalo [1, 5). Así sucesivamente...a continuación, calculamos el tiempo vivido en cada intervalo n L x a través de su expresión. El tiempo vivido a partir de la edad x no se puede calcular, puesto que no tenemos los datos de toda la tabla; como sí sabemos que T 10 = 65000, bastará ir acumulando dicha cantidad, agregando la columna de n L x. Por último, la esperanza de vida; en este caso, se ha obtenido una esperanza de vida al nacimiento de 74,6 años. 25