Aplicación de los Polinomios de Chebyshev al Análisis de Redes Elécicas M.I. Isido Ignacio Lázao Casillo D. Juan Anzuez Main Ing. Gaibaldi Pineda Gacía División de Esudios de Posgado Faculad de Ingenieía Elécica, Univesidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Av. Fco. J Mujica s/n., Col. Felicias del Río, Moelia, Mich. C.P. 83 E-mail: ilazao@ieee-sco.og, j.anzuez@ieee.og Resumen Se pesena un méodo alenaivo basado en Polinomios de Chebyshev paa análisis de edes elécicas cuya dinámica se puede modela po ecuaciones de esado. La meodología oma las venajas de las popiedades opeacionales disponibles paa la mayoía de las seies oogonales, como son, maiz de inegación, deivación, poduco y de coeficienes. Un hecho impoane de esa apoimación es la obención de una epesión analíica paa el análisis del esado ansioio. Paa mosa la validación del méodo se usa una ed elécica. Los esulados obenidos son muy saisfacoios. Palabas clave Cálculo opeacional, Polinomios de Chebyshev, Seies Oogonales, Análisis ansioio. Absac An alenaive mehod based on Chebyshev Polinomials fo analysis of elecic newoks whose dynamics can be modeled by sae equaions is pesened. he mehodology akes advanages of he opeaional popeies available o mos ohogonal seies epession, i.e. inegaion, diffeeniaion, poduc and coefficien maices. An impoan feaue of his appoach is ha an analyical epession fo he ansien sae analysis is povided. A newok is given o illusae he validiy of he mehod. Vey saisfacoy esuls ae obained. Key Wods Opeaional Calculus, Chebyshev Polynomials, Ohogonal Seies, ansien Analysis. Inoducción En los úlimos años, la apoimación de funciones po medio de seies oogonales ha incemenado su impoancia en el esudio de sisemas, idenificación de paámeos y conol ópimo [],[], [3] y []. El esudio de seies oogonales paa la solución de ecuaciones difeenciales es un ema obligado en la cuícula de la mayoía de las ingenieías. Sin embago, la aplicación no esá limiada al áea de la educación. Las seies oogonales y sus popiedades oogonales pemien genea macos maemáicos paa el análisis de sisemas lineales invaianes y peiódicos. Un ejemplo conceo de ese ipo de análisis es pacicado en los cusos convencionales de cicuios. El análisis fasoial y amónico es común en la ingenieía de sisemas de poencia. En ese análisis el uso de las seies de Fouie es la alenaiva de pefeencia, la cual puede eplicase de vaias fomas. Pimeo, los algoimos numéicos paa el cálculo de la ansfomada ápida de Fouie esán disponibles en cualquie lenguaje de pogamación. Segundo, las fomas de onda espeadas en un cicuio o ed elécica son peiódicas y cecanamene sinusoidales. En ese aículo la maiz opeacional de inegación, la maiz poduco y la maiz de coeficienes se emplean paa desaolla una écnica de análisis de Sisemas Lineales Vaianes e Invaianes en el iempo (SLV y SLI), usando modelos en el espacio de esado de los sisema. La idea básica de esa écnica es convei la ecuación difeencial en una ecuación inegal vía inegación múliple. Subsecuenemene, las divesas señales involucadas en la ecuación inegal son apoimadas po funciones base uncadas. Finalmene, la ecuación inegal es conveida a una ecuación algebaica inoduciendo una maiz de inegación de las funciones base. Los esulados obenidos mediane esa écnica son compaados con los calculados a avés de un méodo de inegación (ODE), odos los algoimos fueon desaollados bajo la plaafoma de MALAB. Cálculo Opeacional Usando Polinomios de Chebyshev En 983 Liu y Shih deivaon las maices opeacionales de inegación hacia aás y hacia delane, así como la maiz poduco paa los polinomios de Chebyshev del pime ipo y aplicaon dichas maices al análisis y conol ópimo de sisemas lineales vaianes en el iempo []. Ese mismo año Paaskevopoulos usa las seies de Chebyshev paa esolve poblemas de análisis e idenificación. En 98
Hwang y Shih pesenan la idea de usa polinomios de Chebyshev disceos paa la educción de sisemas disceos lineales invaianes en el iempo descios po la ansfomada Z. Hong y Chou, en 98, pesenan el uso de los polinomios de Chebyshev aplicado al conol ópimo y al diseño de obsevadoes. Usando las popiedades opeacionales de inegación y poduco de los polinomios de Chebyshev de pime ipo, Liu y Shih esudiaon el análisis y la esimación de paámeos de sisemas bilineales [],[6], [7], [8]. Popiedades de los Polinomios Oogonales de Chebyshev del Pime ipo. Los polinomios de Chebyshev son un conjuno de funciones oogonales especo a una función de peso dada po f w () () f donde es el iempo inicial de esudio y f es el iempo final. Esos pueden definise po medio de las siguienes ecuaciones []. () f f Cualquie función f() puede se apoimada po un conjuno de polinomios { (), (),, m ()} en el inevalo [, f ], si la función f() es absoluamene inegable en el inevalo anes mencionado. Así, ó donde, (3) () f f f f () f f f (6) f wf d (7), (8), La figua muesa los pimeos cuao polinomios definidos paa un peiodo compendido ene [,]. La maiz opeacional de inegación P es una maiz cuadada que se obiene al inega cada elemeno del veco base y apoima el esulado usando las funciones base oiginales.. -. -...6.8 Figua. Polinomios de Chebyshev La abla coniene los pimeos cuao polinomios así como sus inegales, usando un iempo inicial de ceo y el iempo final es uno. dp (9) 8 8 8 3 3 3 3 8 8 3 8 6 9 abla. Inegales de las funciones base. 3 Si apoimamos las ecuaciones esulanes con polinomios de Chebyshev se obienen los siguienes coeficienes.... -.... -.66 -...83 3.6. -.. abla. Coeficienes de las inegales de las funciones base. La ecuación () muesa la foma geneal paa el caso de polinomios de Chebyshev de la maiz de opeacional de inegación de oden m. Maiz Opeacional de Inegación. Las popiedades opeacionales de las seies oogonales pueden se escias en éminos de la maiz de inegación, en donde el pincipal concepo es el hecho de que la inegal del veco base puede se epesada en éminos de una seie oogonal, esa puede definise como (9). 3 f P m mm3 m3 m m mm m ()
Maiz Poduco y de Coeficienes. Po definición, el poduco del veco de las seies oogonales base y su anspuesa es denominado maiz poduco, eso es () La foma geneal de dicha maiz se muesa en la siguiene ecuación. () m 3 m m m3 m 3 m3 () Si consideamos el poduco c, siendo c un veco de coeficienes paa apoima una función, eise una maiz [C] al que c C (3) Paa el caso de ocho polinomios base, la maiz de coeficienes oma la foma c c c c3 c c c6 c7 c c cc3 c c c3 c c c6 c c7 c 6 c c cc3 c c c c c6 c3 c7 c c c c3 c c c c c6 cc7 c c3 c c c c3 c c c6 cc7 c c c 3 c c c c6 c3 c7 c c c c c c6 c c 7 c c 6 c c c c c7 c6 c c c3 c c c () De ahí se puede ve que la ecuación () es la foma geneal de la maiz de coeficienes C c c c cm c c c c3 cm c c c c 3 c cm3 c cm cm c m3 c () Dada la elaiva complejidad paa ama esa maiz, se descompone en es maices independienes y un medio de la suma de esas da como esulado la maiz de coeficienes. A coninuación se pesenan dichas maices, nombadas E, F y G paa el caso en el que se uilizan ocho polinomios paa la apoimación. Y así, c c c c3 c c c6 c7 c c c3 c c c6 c 7 c c3 c c c6 c 7 c3 c c c6 c7 E c c c6 c7 c c6 c7 c6 c 7 c7 F c c c c3 c c c 6 c c c c c3 c c c c c c c c3 c c3 c c c c c c3 c c3 c c c c c c c c3 c c c c c6 c c c3 c c c c c c c3 c c c6 c7 c c c G c c c c C (6) (7) (8) EFG (9) Solución de Ecuaciones de Esado Desde el puno de visa del espacio de esado, cualquie ecuación difeencial de oden n puede se conveida en un conjuno de ecuaciones de esado, esas a su vez pueden se ansfomadas en un conjuno de ecuaciones algebaicas al aplica los concepos del cálculo opeacional, en esa sección se descibe la meodología paa esolve dichas ecuaciones empleando la maiz de inegación [9]. Suponiendo el caso lineal más geneal a soluciona, es deci, un sisema lineal vaiane en el iempo (SLV) A B u () donde A() es una maiz de n n, () es un veco de n, B() es una maiz de n q, y u() un veco de q englones. La apoimación de cada uno de sus elemenos usando m polinomios de Chebyshev, epesenadas en foma maicial, seán
i () i () ui u() i () A A() (3) B B() () donde i, u i, A y B son vecoes de m coeficienes de Chebyshev con foma geneal F f f fm. Enonces el poduco A()() seá A n n A A A An n An Ann n () Debido a que cada poduco A () j ()() da como esulado un valo escala podemos eacomoda la epesión paa ene A j j A y aplicamos la anspuesa al emino A () A A j j usando la ecuación (3) de maiz de coeficienes (6) (7) A j j A (8) donde [A ] es la maiz de coeficienes del elemeno A () de la maiz A(). omando en cuena lo aneio podemos escibi el poduco A()() como A A An A A A n n An An Ann (9) o bien, A (3) donde (3) Similamene el poduco B()u() puede se apoimado como B B B q B B B Bn Bn B nq q u uq (3) es deci, B u (33) Si aplicamos la anspuesa a la ecuación del sisema () y susiuimos (3) y (33) en ella endemos (3) Inegamos la ecuación aneio f d (3) como,, y son consanes i f f d d (36) usando la maiz opeacional de inegación donde i (37) P (38) P y es un veco de coeficienes que epesena la apoimación de las condiciones iniciales del sisema. Si eliminamos las funciones base de ambos lados de la ecuación (37) así endemos (39) paa encona la solución apoimada al sisema despejamos de la ecuación aneio (39). () i () () donde es una maiz idenidad de oden m n. Cabe señala que esa misma epesión se aplica paa el caso invaiane, en donde la única difeencia esiba en la simplificación del cálculo de las maices de coeficienes de A y B, pues esas vienen dadas po, ai ai an I ai ai ani (3) ani ani anni bi b I b qi bi b I b qi () bn I bni bnqi
Resulados y Discusión Caso de Esudio: Red Invaiane en el iempo con Enadas no Sinusoidal Como caso de esudio, se considea una ed elécica invaiane en el iempo como la mosada en la figua, a la cual se aplica una enada sinusoidal disosionadav s () sen().sen(3).sin() [], []. L3 R3 C3 (), Vols.8.6.. -. -. -.6 Apoimado Real I I3 + V3 - I + Vs L C G V L C G + V -.8 6 8 iempo, segundos Figua 3 Solución de simulada con 6 polinomios - -.8 Apoimado Real.6 Figua. Diagama del cicuio de seo oden. Su modelo descio en vaiables de esado esa dado po: () G C C C G i C C C C 3 C3 3 L 6 L 6 R 3 L3 L3 L3 L3 u Si consideamos que cada elemeno del cicuio iene un valo uniaio, enonces el sisema de ecuaciones () se ansfoma en: 3 3 6 6 u (6) Paa ealiza el análisis del cicuio se consideaon las condiciones iniciales epesadas en (6)..3.33.3...6 (.) La Figua 3 muesa el esulado del análisis uilizando dieciséis éminos, la vaiable coesponde al volaje (v ) en el capacio (C ). Se puede obseva que la solución pesena algunos eoes apeciables, sin embago, esos se pueden educi al aumena el númeo de éminos de los polinomios de Chebyshev. (), Vols. -. -. -.6 -.8 6 8 iempo, segundos Figua Solución de simulada con 3 polinomios Ambas gáficas muesan la compaación de la solución obenida con especo a la obenida a avés de un méodo de inegación numéica (ODE), las simulaciones fueon ealizadas en Malab. Po oo lado, el uso de las seies oogonales ales como los polinomios de Chebyshev, pemie analiza edes elécicas con elemenos vaianes en el iempo sin necesidad de modifica la ecuación (), la única difeencia con la caso de esudio mosado esá en cálculo de las maices de coeficienes de A y B, en las cuales se equiee calcula la maiz de coeficienes de cada elemeno que sea vaiane en el iempo, eso oma elevancia debido a que acualmene las edes elécicas incluyen disposiivos de elecónica de poencia, mismo que se pueden modela como sisemas peiódicos, po lo ano, se puede aplica la heamiena mosada paa el análisis ansioio de ese ipo de edes [9]. Conclusiones En ese aículo se pesena una écnica basada en la maiz de inegación del cálculo opeacional, paa analiza sisemas vaianes e invaianes en el iempo en el maco del dominio de la fecuencia. Como un caso paicula de una seie oogonal, en ese aículo se pesenan algunas popiedades úiles de los polinomios de Chebyshev. Así como la epesión geneal de las maices de inegación y de coeficienes. La aplicación de ese méodo es ilusado a avés de un caso de esudio que consisen de una ed invaiane en el iempo
ane enada no sinusoidal. De la compaación ealizada se concluye que la écnica es adecuada paa ealiza análisis geneales o análisis ansioios. El eo poducido po la aplicación de la écnica se educe al incemena el númeo de éminos de la seie, a pesa de que las maices opeacionales llegan a ene gandes dimensiones, su disibución es dispesa, po lo que hay luga a opimizaciones paa minimiza el iempo compuacional equeido. Refeencias [] Chen C. F., say Y.. (977), Walsh Opeaional Maices fo Facional Calculus and hei Applicaion o Disibued Sysems, Jounal of he Fanklin Insiue, Vol. 3, No. 3,pp. 67-8. [] Yang C. Y., Chen C. K. (99), Analysis and Opimal Conol of ime-vaying Sysems via Fouie. Inenaional Jounal of Sysems Science, Vol., No., pp. 663-678. [3] Rico J. J. Rico, Acha E. (998), Analysis of Linea ime-vaying Sysems Via Haley Seies, In. Jounal of Sysems Science. [] Daa K. B., Mohan B. M. (99), Ohogonal Funcions in Sysems and Conol, Advanced Seies in Compue and Elecical Engineeing, Vol. 9. Wold Scienific Publishing Company, pp. -89. [] Chou J. H., Hong I. R (983), Double-shifed Chebyshev Seies fo Convoluion Inegal and Inegal Equaions, Inenaional Jounal of Conol, Vol. 38, No.. [7] Liu Ch., Shih Y. (983), Analysis and Opimal Conol of ime Vaying Sysems via Chebyshev Polynomials, Inenaional Jounal of Conol, pp. 3-, Vol. 38, No.. [8] Deshmukh V., Buche E. (3), Opimal Conol of Paameically Ecied Linea Delay Diffeenial Sysems via Chebyshev Polynomials, IEEE Poceedings of he Ameican Conol Confeence, June 3. [9] Lázao I. I., Pineda G, Espinoza E., Zavala S. (8), Analysis of ime Vaying Powe Sysems Loads Via Chebyshev Polinomials, Eleconics, Roboics and Auomoive Mechanics Confeence, CERMA 8, pp. 33-337. [] Golovin E. D., Syoukach O. V. (3), Usage of Ohogonal Polynomials a Calculaion of ansfe Pocesses in Elecic Cicuis wih Vaiable Paamees using Diffeenial ansfomaions, h Sibeian Russian Wokshop and uoials, EDM 3, Secion II, - July, Elagol. [] DeCalo A. R.(99), Linea Cicui Analysis, Penice Hall.