Astronáutica/Mecánica Orbital y Vehículos Espaciales

Astronáutica/Mecánica Orbital y Vehículos Espaciales Tema 3:Análisis y Diseño de Misiones Geocéntricas Rafael Vázquez Valenzuela Departmento de Ingeniería Aeroespacial Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla rvazquez1@us.es 4 de noviembre de 2013

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Geometría en esferas En problemas de misiones geocéntricas, es necesario considerar las órbitas en el espacio en el entorno de la Tierra. No es posible limitarse al problema plano, por lo que es necesario trabajar en un entorno geométrico tridimensional. Asimilando la superficie de la Tierra a una esfera, se usan coordenadas esféricas (según el sistema de referencia, latitud φ y longitud λ o declinación δ y ascensión recta AR). En este marco, aparecen triángulos y circunferencias esféricos; estos son el objeto de estudio de la trigonometría esférica. 2 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica I Objeto: Estudiar relaciones angulares en triángulos esféricos (los triángulos de la geometría esférica). La Encyclopædia Britannica de 1911 dice: Perhaps to the student there is no part of elementary mathematics so repulsive as is spherical geometry. En una esfera, un círculo mayor (gran círculo, círculo máximo) viene dado por la intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera con la esfera. Las rectas esféricas (geodésicas) son los círculos mayores. Obsérvese que cualesquiera dos rectas esféricas cortan siempre en dos puntos; por tanto, no existen paralelas en geometría esférica. El ángulo entre dos rectas esféricas viene dado por el ángulo entre las tangentes en el punto de corte. 3 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica II Al-Jayyani Matemático musulmán nacido en Córdoba o Jaén en el siglo X. Escribió el primer tratado sobre trigonometría esférica, Libro de los arcos desconocidos sobre una esfera. b a c Un triángulo esférico es el determinado por tres rectas esféricas. En un triángulo esférico hay seis ángulos: los formados entre las rectas en los vértices, que llamaremos α, β y γ, (que NO suman 180 o ) y tres ángulos interiores, a, b, y c, que se oponen a los anteriores. Obsérvese que si el radio de la esfera es unidad, entonces a, b y c (en radianes) corresponden a las longitudes de los arcos que forman el triángulo; por ello se denominan lados, mientras que α, β y γ son los ángulos. 4 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica III Figura: Representación de un triángulo esférico c b a Existen otras fórmulas, pero éstas son las más importantes. A veces se usan simultáneamente para resolver ambigüedades de signo. Por simplicidad, podemos representar un triángulo esférico como en la figura. Se cumplen las siguientes relaciones: Leyes de cosenos: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α cos b = cos a cos c + sen a sen c cos β cos c = cos b cos a + sen b sen a cos γ cos α = cos β cos γ + sen β sen γ cos a cos β = cos α cos γ + sen α sen γ cos b cos γ = cos β cos α + sen β sen α cos c Ley de senos: sen α sen a = sen β sen b = sen γ sen c 5 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Relación entre Trigonometría Esférica y Plana Obsérvese que si los lados a, b, c son pequeños, entonces se tiene que sen a a y cos a 1 a 2 /2. Usando estas aproximaciones: La ley del coseno (cos a = cos b cos c + sen b sen c cos α) queda: 1 a2 2 (1 b2 2 )(1 c2 2 b2 ) + bc cos α = 1 2 c2 2 + b2 c 2 4 despreciando términos de orden alto y cambiando el signo: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α + bc cos α La ley de senos queda: sen α a = sen β b = sen γ c Estos son los teoremas del seno y el coseno de trigonometría plana. Por tanto para pequeñas distancias la trigonometría esférica coincide con la plana. 6 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Área de un triángulo esférico c a El razonamiento anterior permite intuir que cuanto más grande sea un triángulo esférico, más grande será la desviación de un triángulo plano. Esta idea intuitiva se puede cuantificar b mediante el llamado Teorema de Girard. Si llamamos S a la superficie del triángulo esférico, y R al radio de la esfera en la que está inscrita el triángulo, se verifica que: S = (α + β + γ π)r 2 S cuantifica el tamaño del triángulo, y la fórmula α + β + γ π (llamada el exceso esférico) cuantifica la desviación de la trigonometría plana (donde los ángulos de un triángulo suman π). 7 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Aplicaciones En misiones geocéntricas o planetocéntricas en general (tomando como modelo del planeta una esfera), la trigonometría esférica permite determinar cantidades de interés a partir de los elementos orbitales conocidos. Primera Aplicación: Encontrar la latitud/declinación de un satélite dada su anomaĺıa verdadera θ y el argumento del perigeo ω. En este caso, γ = 90 o, a = φ = δ (la latitud o declinación), α = i (la inclinación sobre el c a ecuador) y c = ω + θ. b!+µ Á Aplicamos la ley de senos: sen φ = sen i sen(ω + θ) sen 90 o de donde despejamos la latitud como i sen φ = sen(ω + θ) sen i 8 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Lanzamiento I Segunda Aplicación: Determinar la inclinación de una órbita a partir del azimut de lanzamiento y la latitud de la base de lanzamiento. Hipótesis: La trayectoria de lanzamiento es Az coplanaria con la órbita. Se desprecia el efecto de rotación de la Tierra. i i!+µ Az Az Á En este caso, γ = 90 o, a = φ, β = Az, α = i y c = ω + θ. Aplicamos la ley de cosenos a i: cos i = cos Az cos 90 o + sen Az sen 90 0 cos φ de donde cos i = sen Az cos φ 9 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Lanzamiento II Puesto que cos i = sen Az cos φ, con Az = 90 o (lanzamiento hacia el Este) se tiene i = φ. En cualquier otro caso, i > φ. Cada base posee un azimuth máximo y mínimo de lanzamiento por razones geográficas, estratégicas y de seguridad. Habría que añadir la velocidad de rotación de la Tierra en la base, que es v L = ω r cos φ ω R cos φ, con dirección Este. 10 / 101

lecture9.ppt R.S. Nerem 2004 15 Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Lanzamiento III Noncoplanar Transfers Sitios de Lanzamiento: Launch sites and allowable azimuths lecture9.ppt R.S. Nerem 2004 16 11 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Lanzamiento IV Sitios de Lanzamiento: Launch Sites lecture9.ppt R.S. Nerem 2004 17 12 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Lanzamiento V Ventanas de Lanzamiento: Determinar la hora del lanzamiento de forma que Ω sea la deseada. Az El ángulo formado entre la base y será Ω + λ u, donde λ u está definida en la figura. Por definición dicho ángulo es LST. Encontramos λ u de la siguiente fórmula i i!+µ u Az Az Á cos Az = cos i cos 90 o + sen i sen 90 0 cos λ u cos Az de donde cos λ u = sen i. Luego Ω+λ u = LST = GST+λ = GST 0 +λ+ω t. Por tanto: t = Ω+λ u λ GST 0 ω. La ventana de lanzamiento t vendrá dada por la tolerancia Ω. 13 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Trigonometría Esférica: Aplicaciones i Ascensión recta/longitud: Determinar la ascensión recta y/o la longitud geográfica de un satélite en un cierto instante.!+µ u Az Az Á Se usa la misma figura. En este caso Az será el azimut (geocéntrico inercial) con el que el satélite surca una determinada zona. Se calcula en primer lugar el valor de θ en el instante de tiempo y luego φ (o δ cuyo valor es el mismo) como antes. Posteriormente se aplica cos(ω + θ) = cos φ cos λ u. Se encuentra entonces λ u. Para evitar calcular φ se puede usar: tan λ u = cos i tan(ω + θ). El ángulo formado entre el satélite y será Ω + λ u. Por tanto dicho ángulo es la ascensión recta del satélite: AR = Ω + arctan (cos i tan(ω + θ)). Se calcula λ de la fórmula Ω + λ u = GST 0 + λ + ω t, luego: λ = Ω GST 0 ω t + arctan (cos i tan(ω + θ)). 14 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Ejemplo: Ascensión Recta y Declinación del Sol I Problema: determinar la Ascensión recta y declinación del Sol un cierto día D a la hora t (UT). Datos: D, t, y la fecha del Equinoccio de Primavera de dicho año t. Con los datos calculamos T (en días) como la diferencia entre la fecha actual y la del Equinoccio de Primavera (se suele despreciar t). Se hace la hipótesis de que un año tropical = 365.25 días. Método 1:Si sólo hace falta la AR del Sol, se puede aproximar por la AR del Sol Medio, que será GST + 15(12 t), donde t se escribe en horas. Error máximo 5 grados. Método 2: Suponiendo que la órbita de la Tierra es circular. T 365,25 Entonces u =. De las fórmulas vistas anteriormente: AR = arctan (cos ɛ tan(u )) (resolver ambigüedad según la época del año) y δ = arc sen(sen ɛ sen u ). Se comete un pequeño error (máximo 2 grados). 15 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Ejemplo: Ascensión Recta y Declinación del Sol II Método 3: Si se considera tanto la inclinación como la excentricidad de la Tierra, hay que usar la ecuación de Kepler. Llamar θ a la anomaĺıa verdadera de la Tierra en el equinoccio de Primavera. Se tiene θ = 180 ω (porque u = 180 desde el punto de vista del Sol). Calcular con leyes horarias T (tiempo entre perihelio y equinoccio). El tiempo transcurrido desde perihelio es T = T + T ; calcular con leyes horarias θ ( T ). Se tiene u = ω + θ y u = 180 + u. Finalmente: AR = arctan (cos ɛ tan(u )) (resolver ambigüedad según mes) y δ = arc sen(sen ɛ sen u ). Error muy pequeño (sobre todo si no se desprecia t). Se puede afinar aún más (p.ej. para calcular eclipses) incluyendo la precesión de los equinoccios y perturbaciones. Otros datos de entrada pueden ser las fechas de afelio, perihelio, solsticios... 16 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos El triángulo astronómico I La aplicación más importante de la trigonometría esférica a la astronomía es el llamado triángulo astronómico. Permite resolver los problemas de la astronomía esférica que planteamos en el Tema 1. Sea un cuerpo S infinitamente distante de la Tierra, con declinación δ S, cuyas coordenadas topocéntricas respecto a un observador O son su elevación h y azimut Az. El observador se encuentra en un punto de la Tierra de latitud φ, y el ángulo horario de S respecto al observador es H S. Recordemos que el ángulo horario es la diferencia entre el meridiano del observador y el meridiano en el que se encuentra S, de forma que H S = LST AR S = GST 0 + λ + ω t AR S ). El triángulo astronómico permite obtener una pareja de datos (coordenadas de S topocéntricas o geocéntricas, coordenadas del observador) a partir del resto. 17 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos El triángulo astronómico II!"## S La clave para plantear el triángulo consiste en desplazar el centro del sistema de referencia geocéntrico al observador; no se alteran las coordenadas angulares de S por la hipótesis de estar infinitamente distante de la Tierra. Z - %!"#$ Az! - %!!"#"! "! # W P O $ &' E ecuador celeste N En la figura, Z es el zenit, N,S,E,W los puntos cardinales, y P la dirección del eje de la Tierra (hacia la estrella polar). Si el cuerpo S fuera próximo a la Tierra, el planteamiento no es válido; el problema hay que resolverlo con vectores. S horizonte 18 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos El triángulo astronómico III 90-h 90-Á {H S Az 90-± S Del triángulo, obtenemos aplicando dos veces la ley de cosenos y recordando que sen(90 α) = cos α y cos(90 α) = sen α, se tiene: sen δ S = sen φ sen h + cos φ cos h cos Az, sen h = sen φ sen δ S + cos φ cos δ S cos H S, Hay que recordar que: H S = GST 0 + λ + ω t AR S. Usando las dos ecuaciones y sustituyendo H S podemos obtener una pareja cualesquiera de datos: Problema de posicionamiento: hallar δ S, AR S. Problema de observación: hallar h, Az. Problema de navegación: hallar φ, λ. Hay que tener cuidado con las ambigüedades de signo; se sen Az puede usar la ley de senos cos δ S = sen H S cos h y recordar que δ S, φ, h [ 90 o, 90 o ]. 19 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Círculos esféricos Un círculo esférico viene dado por el corte de una esfera con un plano arbitrario. Si el plano no pasa por el centro de la esfera, se trata de un círculo menor. Un círculo esférico vendrá dado por su centro (en la superficie de la esfera, dado usualmente en coordenadas esféricas φ 0, λ 0 ) y su radio (normalmente dado como un ángulo Γ). La mejor forma de visualizarlo es como la intersección de la esfera con un cono recto de vértice el centro de la esfera, ángulo Γ y cuyo eje pasa por el centro del círculo esférico. 20 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Cálculo de círculos esféricos con trigonometría esférica Dado el centro en (λ 0, φ 0 ) se calculan las coordenadas (λ, φ) de la circunferencia. Para cada valor de azimuth A [0, 360 o ]: cos(90 φ) = cos(90 φ 0 ) cos Γ + sen(90 φ 0 ) sen Γ cos A es decir: sen φ = sen φ 0 cos Γ + cos φ 0 sen Γ cos A Por otro lado: cos Γ = cos(90 φ 0 ) cos(90 φ) + sen(90 φ 0 ) sen(90 φ) cos λ es decir: cos λ = cos Γ sen φ 0 sen φ cos φ 0 cos φ Se calcula λ de la siguiente forma: Si A [0, 180 o ], λ = λ 0 + λ. Si A [180 o, 360 o ], λ = λ 0 λ. También válido en la esfera celeste (cambiar λ por AR y φ por δ). Área: 2πR 2 (1 cos Γ). 21 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Pertenencia de un punto a un círculo esférico Problema: Dado un círculo esférico de centro (λ 0, φ 0 ) y de radio Γ, determinar si otro punto (λ, φ) pertenece al círculo esférico. Método 1: Usando las fórmulas que parametrizan la circunferencia. En primer lugar si φ > φ 0 + Γ o φ < φ 0 Γ, tenemos garantía de que no pertenece a la circunferencia. En otro caso, tomando cos λ = cos Γ sen φ 0 sen φ cos φ 0 cos φ, si λ [λ 0 λ, λ 0 + λ], entonces el punto pertenece al círculo. Método 2: Usando la fórmula que define la distancia angular ortodrómica α sobre una esfera (ver problemas), cos α = sen φ 0 sen φ + cos φ 0 cos φ cos(λ 0 λ). Si α Γ entonces el punto se encuentra dentro del círculo. 22 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Aplicación: cálculo de la circunferencia de eclipse El objetivo es encontrar la circunferencia esférica que forma la sombra de la Tierra, a una determinada altura h, un cierto día del año. Los eclipses son fundamentales para los vehículos espaciales: gradientes de temperaturas, inutilización de paneles solares, etc... Hipótesis: Se considera la Tierra esférica, se desprecian los efectos de refracción, se supone que el Sol está a una distancia infinita. Además se supone el Sol inmóvil durante todo el día; en realidad la circunferencia se desplaza lentamente. Datos del problema: Coordenadas del sol δ y AR para el día dado (se supone constante), altura h. 23 / 101

Definiciones y Fórmulas Aplicaciones Círculos Esféricos Aplicación: cálculo de la circunferencia de eclipse R h+r Tierra Obsérvese que se usa el sistema geocéntrico inercial ecuatorial para no tener que incluir la rotación de la Tierra. En primer lugar se calcula Γ. De la figura, sen Γ = R R +h. Llamemos O al punto antipodal al punto solar (δ O = δ, AR O = AR + 180 o ), Para cada valor de azimuth A [0, 360 o ] se tendrá: sen δ = sen δ O cos Γ + cos δ O sen Γ cos A, cos AR = cos Γ sen δ O sen δ cos δ O cos δ Esto delimita totalmente la circunferencia donde se experimentaría eclipse a altura h. 24 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Trazas I Traza: Lugar geométrico de los puntos (llamados puntos subsatélite) de la superficie de la Tierra (u otro planeta) directamente sobrevolados por el satélite o vehículo. Las trazas son de gran utilidad a la hora de formular y verificar requisitos en el diseño de misiones geocéntricas o planetocéntricas, al ofrecer una representación gráfica de la órbita desde el punto de vista de la superficie. Debida a la combinación del movimiento (posiblemente excéntrico) del satélite y de la Tierra, además del efecto de las perturbaciones, el cómputo de la traza no es trivial. Se suelen representar en una proyección terrestre tipo ciĺındrica. 25 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Proyecciones I La proyección de Mercator es una proyección ciĺındrica definida por una transformación conforme. Por tanto, tiene la propiedad de que los ángulos medidos en la proyección corresponden con ángulos reales. Además, tiene la propiedad de que las ĺıneas de rumbo constante son ĺıneas rectas. No obstante, lejos del Ecuador la proyección no es fidedigna, y los puntos cercanos a los polos (que se proyectan en el infinito) quedan a alturas muy elevadas. 26 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Proyecciones II La proyección ciĺındrica equidistante escala los paralelos de forma que ángulos iguales abarcan distancias iguales. Por tanto longitud y latitud tienen una escala lineal y uniforme. Por tanto, no es conforme, sin embargo permite representar toda la Tierra en una superficie finita, por lo que es más útil que la de Mercator para representar trazas. 27 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Proyecciones III Azimuthal Equidistant; Azimuthal; Neither Conformal or Equal-area; Originator Unknown; Ancient; (Also used by and named for Postel; 1581) La proyección azimutal equidistante es una proyección sobre un plano tangente a la Tierra. Es útil para observar fenómenos cercanos al punto de tangencia. Las distancias y direcciones sólo son verdaderas medidas desde el punto de tangencia. 28 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Proyecciones IV La proyección estereográfica es una proyección conforme sobre un plano tangente a la Tierra (típicamente en el polo). Esta proyección respeta ángulos pero no áreas, además requiere una superficie infinita ya que el punto opuesto al de tangencia se proyecta en el infinito. La representación es muy buena en las proximidades del punto de tangencia, con lo que se usa con frecuencia para estudiar órbitas próximas al polo, o la visibilidad de estaciones de elevada latitud. 29 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Trazas II La traza se representa usualmente sobre una proyección ciĺındrica equidistante como una curva (λ(t), φ(t)). Las latitudes máximas alcanzadas por la traza son ±i (para órbitas directas) y ±(180 i) para órbitas retrógradas. Si la Tierra no rotase y en ausencia de perturbaciones, la curva se cerraría tras 1 revolución, asemejándose a una sinusoidal. En general, no se cierra, y el retraso nodal λ = ω T SAT (en radianes por revolución). Considerando la perturbación secular del J 2, λ = (ω Ω)T SAT N. 30 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cálculo de la Traza I La traza se puede determinar anaĺıticamente, si se conoce GST 0 y los elementos en t = 0. En primer lugar consideramos el modelo sin perturbaciones. De la figura, u(t) = ω + θ(t) y sen φ(t) = sen u(t) sen i. Por otro lado: tan u(t) cos i = tan (GST 0 + ω t + λ(t) Ω). Por tanto las ecuaciones que determinan la traza son: φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i) λ(t) = Ω GST 0 ω t + arctan (tan u(t) cos i). Queda determinar u(t) en función de t. Si la órbita es circular, u(t) = ω + θ 0 + nt. 31 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cálculo de la Traza II En el caso circular, las ecuaciones son, por tanto: φ(t) = arc sen sen ω + θ 0 + t µ ( λ(t) = Ω GST 0 ω t + arctan tan ) 3 R +h sen i ω + θ 0 + t µ ( R +h ) 3 cos i Al aumentar la altura, aumenta el periodo y por tanto aumenta el retraso nodal λ = ω T SAT, hasta llegar a la altura geoestacionaria, donde es exactamente 360 o. Para alturas mayores, la órbita es supersíncrona y la mayor parte de la traza es retrógrada. 32 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cálculo de la Traza III En el caso excéntrico, sería necesario emplear la Ecuación de Kepler para obtener θ en cada instante. Las órbitas de pequeña excentricidad no se diferencian mucho de las circulares. Las de elevada excentricidad modifican mucho su aspecto debido a los cambios de velocidad, además de introducir una dependencia en el argumento del perigeo del aspecto de la traza. En la figura, un ejemplo con i = 50 o y e = 0,75. Obsérvese el movimiento retrógrado en las proximidades del apogeo. 33 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cálculo de la Traza IV Determinación de la velocidad aparente del satélite sobre la traza. Queremos calcular φ y λ. Se pueden calcular geométricamente, pero lo más sencillo es tomar derivada temporal en φ(t) = arc sen (sen u(t) sen i) y λ(t) = Ω GST 0 ω t + arctan (tan u(t) cos i). Llegamos a: φ(t) = cos u(t) sen i u(t) y 1 sen 2 u(t) sen 2 i λ(t) = ω + 1+tan2 u(t) 1+tan 2 u(t) cos 2 i u(t) cos i = ω + Recordando sen φ(t) = sen u(t) sen i: φ(t) = cos u(t) sen i cos φ(t) u(t) = λ(t) = ω + cos i cos 2 φ(t) u(t) tan φ(t) tan u(t) u(t) u(t) cos i 1 sin 2 u(t) sin 2 i. Se tiene de problemas que u(t) = θ(t) = n (1+e cos θ)2 (1 e 2 ) 3/2. 34 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cálculo de la Traza V En un punto dado se puede calcular el Azimut relativo o aparente con el que el satélite cruza el cielo como: tan Az = cos φ λ φ. De la expresión sen φ(t) = sen u(t) sen i se calculan la máxima y mínima latitud (φ = ±i); se tendrán cuando u(t) = ±90 o. Órbitas retrógradas: se tendrán cuando λ(t) < 0, es decir: cos i cos 2 φ(t) u(t) < ω Si i 90 o entonces la traza siempre es retrógrada. cos i Si existen puntos donde cos 2 φ(t) u(t) = ω en dichos puntos la traza cambia de dirección. Para órbitas circulares: tan φ(t) φ(t) = tan (ω + θ 0 + nt) n, λ(t) = ω + cos i cos 2 φ(t) n 35 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Efecto de los elementos orbitales sobre la Traza I El elemento orbital Ω es sencillo de cuantificar; cambios en Ω simplemente desplazan la traza hacia el Este (una translación simple) tantos grados como grados se modifique Ω. Cambios en la inclinación (cuando esta es menor de 90 o ) elevan la amplitud de la traza (se alcanzan latitudes mayores en el hemisferio norte y menores en el sur). Al mismo tiempo se distorsiona la forma de la traza debido a que el movimiento de la Tierra es más lento en mayores latitudes. Si la inclinación es mayor de 90 o el efecto es inverso y toda la traza se vuelve retrógrada (siempre avanza hacia el Oeste). Cambios en θ mueven el vehículo sobre su traza y la desplazan. Cambios en a aumentan el retraso nodal y por tanto acortan la traza (si i < 90 o ) o la alargan (si i > 90 o ). Ajustándolo se puede conseguir una traza que se repita (ver problema 9). 36 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Efecto de los elementos orbitales sobre la Traza II Si a aumenta mucho puede llegar a producir zonas de movimiento retrógrado incluso para órbitas directas (por disminución de la velocidad angular) en combinación con valores apropiados de i. Aumentos de excentricidad e deforman la traza y pueden provocar también zonas de movimiento retrógrado (fundamentalmente en las proximidades del apogeo). Cambios en ω (sólo tiene sentido si e > 0) modifican la simetría Norte-Sur y Este-Oeste de la traza. Si ω = 0 o, 180 o (apogeo o perigeo en nodo ascendente) la traza conserva simetría N-S. Si ω = 90 o, 270 o (apogeo o perigeo en el punto de mayor latitud) la traza conserva simetría E-O. En prácticas y en problemas se investigarán algunas trazas típicas y/o interesantes, además de otros fenómenos como trazas repetidas o cómo conseguir que varios satélites compartan la misma traza. 37 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cómputo de una posición sobre la Traza I Como hemos visto se usan las ecuaciones: sen φ(t) = sen u(t) sen i, λ(t) = Ω GST 0 ω t + λ u, En estas ecuaciones u(t) = ω + θ(t) representa el ángulo recorrido sobre la traza a partir del nodo ascendente. u = 0 o es por tanto el nodo ascendente, u = 180 o el descendente, u = 90 o es el punto de mayor latitud, u = 270 o el punto de menor latitud. Cuando u ( 90 o, 90 o ) la traza se mueve de Sur a Norte, y cuando u (90 o, 270 o ) la traza se mueve de Norte a Sur. Si la órbita es polar (i = 90 o ) las ecuaciones resultan singulares. Para estas órbitas φ(t) = u(t) cuando u ( 90 o, 90 o ) y φ(t) = 180 o u(t) cuando u (90 o, 270 o ). Si la órbita es excéntrica no olvidar que θ(t) (y por tanto u(t)) evoluciona de acuerdo a las leyes horarias! 38 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cómputo de una posición sobre la Traza II El ángulo λ u (t) representa el ángulo que la traza proyectada sobre el Ecuador recorre, a partir del nodo ascendente, hacia el Este, y sin tener en cuenta el movimiento de la Tierra. Se puede calcular del triángulo de varias formas, por ejemplo tan λ u (t) = tan u(t) cos i o cos λ u (t) = cos u(t) cos φ(t). Es importante para corregir la solución obtenida tener en cuenta que, si la órbita es directa, u(t) y λ u (t) están en el mismo cuadrante, mientras que si la órbita es retrógrada están en cuadrantes opuestos (en este sentido, el primer cuadrante es opuesto al cuarto y el segundo opuesto al tercero). Si la órbita es polar (i = 90 o ) las ecuaciones resultan singulares. Para estas órbitas λ u (t) = 0 o cuando u ( 90 o, 90 o ) y λ u (t) = 180 o cuando u (90 o, 270 o ). Es decir sólo son posibles dos valores. 39 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cobertura geográfica I r R Se denomina cobertura geográfica de un satélite la zona de la Tierra visible por dicho satélite para cada instante. Dicha zona estará delimitada por la circunferencia terrestre donde es tangente a la esfera de la Tierra un cono de vértice el satélite. Desde un punto de esta circunferencia se vería el satélite justo en el horizonte. El radio angular Γ de dicha circunferencia viene dado por cos Γ = R R +h. En la lección de trigonometría esférica (círculos esféricos) se vio como calcular este tipo de circunferencias. 40 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Cobertura instrumental + R r Considerando el caso más realista de un instrumento (antena o sensor) con un ángulo de visibilidad más estrecho (α), se determina una circunferencia de radio angular γ Γ como en la figura. Se tiene que (R + h) sen( α = R sen(α ) + γ), luego γ = arc sen R +h sen α α. R Además, se define el ancho de huella w como la longitud del arco máximo tendido por la circunferencia de cobertura del instrumento. Se tiene pues que w = 2R γ (si γ está expresado en radianes). 41 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad I Un satélite es visible desde una estación si el vector estación-satélite s está por encima del horizonte geográfico de la estación. La condición matématica es que el ángulo de s sobre el horizonte (elevación, h) debe ser mayor que un valor h min, determinado por la instrumentación y topografía. De la figura, h = arc sen( s c) donde c = r e de la estación. Por otro lado s = ( Por tanto: h = arc sen visibilidad queda h > h min. r cos Ψ R r 2 +R 2 2R r cos Ψ R r r e. r 2 +R 2 2R r cos Ψ ) apunta al cénit y la condición de Puesto que r c = r cos Ψ podemos hallar Ψ a partir de r y c. 42 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad II Para r se tiene, usando los ángulos de Euler de la órbita: [r] R = r[t ] RF (Ω, i, ω + θ) 1 0 0 = r Por otro lado, para c: [c] R = cωc(ω + θ) sωs(ω + θ)ci sωc(ω + θ) + cωs(ω + θ)ci s(ω + θ)si c(lst)cφ s(lst)cφ sφ donde LST = GST 0 + λ + ω t es el tiempo sidéreo local de la estación. Se deduce: cos Ψ = cφ [c(lst Ω)c(ω + θ) + s(lst Ω)s(ω + θ)ci] + s(ω + θ)sisφ 43 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad III Las anteriores relaciones permiten calcular, para cada instante (recordando que LST, θ y r son función de t) la llamada función de visibilidad, que proporciona la elevación para cada t. Sólo cuando h > h min el satélite será visible. Estas ideas se pueden aplicar no sólo a satélites, sino a cualquier cuerpo observable desde la Tierra. El análisis será más o menos complicado según la complejidad del movimiento del cuerpo. Para un satélite en órbita circular este análisis se puede simplificar y obtener directamente de la representación de las trazas del satélite. 44 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad IV Para el caso circular la circunferencia de visibilidad será la intersección entre el cono de visibilidad (de ángulo 90 o h min y vértice la estación) y una esfera de radio R + h SAT, que luego hay que proyectar sobre la Tierra. En la figura ε = h min. El radio angular Φ del círculo de visibilidad se obtiene de la ( fórmula Φ = arc cos R R +h SAT cos h min ) h min. Con dicho ángulo se pueden emplear las mismas fórmulas explicadas en cobertura para dibujar la circunferencia. 45 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad V Ejemplo circular: la plataforma EURECA (1992-1993) [EUropean REtrievable CArrier]. 46 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad VI Ejemplo circular: satélite europeo de recursos ERS-1 con órbita polar. Obsérvese la deformación de los círculos cerca de los polos. 47 / 101

Trazas (Groundtracks) Cobertura Visibilidad Visibilidad VII Proyección estereográfica polar para el estudio de la visibilidad en las cercanías del polo. 48 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Si bien hay una gran posible diversidad para las órbitas geocéntricas, en la práctica se utilizan los siguientes tipos de órbitas: Geosíncronas/geoestacionarias. Órbitas bajas, especialmente la órbita heliosíncrona. Órbitas de alta excentricidad. Órbita media. Constelaciones. 49 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria I Se define la órbita geoestacionaria (ideal) como: Geosíncrona, es decir, su periodo es el de la Tierra (T = 23 h 56 m 4 s), por tanto ( ) T a GEO = µ 2 1/3 4π = 42164 km. (Nota: este cálculo se 2 puede afinar teniendo en cuenta el J2, ver problema 47) Circular (e = 0), ecuatorial y directa (i = 0). Por tanto R GEO = a GEO y h GEO = 35786 km. Para ubicar un satélite geoestacionario, por tanto, sólo necesitamos la longitud λ del punto del Ecuador sobre el que se encuentra fijo. Otra forma de dar la posición del satélite es mediante su longitud verdadera λ T (no se puede usar θ, ω, ni Ω). Se tiene que λ T (t) = GST(t) + λ y por otro lado puesto que n = ω, λ T (t) = λ T (t 0 ) + ω t. La Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco que ocupa aproximadamente 17 o en el horizonte. 50 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria II La Tierra vista desde GEO: Un satélite geoestacionario permanece inmóvil respecto a la Tierra: su vista es fija. Las antenas de recepción pueden ser por tanto fijas. Inconveniente: no se cubren bien las zonas polares (por encima de 81,3 o de latitud). La órbita GEO: La órbita GEO está muy congestionada (en sentido físico y de interferencias radioeléctricas). Está regulada internacionalmente. Se necesitan lanzadores potentes para llegar a GEO. 51 / 101

Órbita geoestacionaria III Eclipses: Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Los eclipses son importantes porque los paneles solares (principal fuente de alimentación) dejan de funcionar y se producen fuertes gradientes térmicos. El eclipse máximo se produce en los equinoccios. La temporada de eclipses comienza 21 días antes del equinoccio y finaliza 21 días después. (Ver prob. 8) 52 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria IV Cobertura de la Tierra: 53 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria V Cobertura total de la Tierra (excepto los polos): son necesarios tres satélites geoestacionarios. 54 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria VI Efecto de perturbaciones: Puesto que la órbita es ecuatorial, por simetría el J 2 no altera el plano de la órbita. (Pero exige afinar el cálculo de a, ver problema 47) Puesto que la órbita es de gran altitud, no existe resistencia atmosférica. La perturbación lunisolar tiene el efecto de sacar al satélite del plano ecuatorial (cambiando la inclinación) aproximadamente 1 o /año. A veces se denomina perturbación N-S. (Ver problema 34 para ver como cambia la forma de la traza). La presión de radiación solar tiene un efecto apreciable; el más importante es una perturbación periódica (periodo 1 año) de la excentricidad. (Ver problema 43 para ver como cambia la forma de la traza). El efecto más importante es el de la triaxialidad (J 22 ). Estas perturbaciones se tienen que compensar mediante maniobras (stationkeeping). 55 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria VII Perturbación N-S: Efecto en la traza: 56 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita geoestacionaria VIII Efecto de la triaxialidad (forma no perfectamente circular del Ecuador terrestre): El J 22 provoca que los satélites oscilen en longitud. La dinámica aproximada viene dada por la ecuación λ k 2 sen 2(λ λ S ) ( donde k 2 = 18 n R ) 2 J 22 y a λ S = 75,3 o es la posición de uno de los equilibrios. Se tiene k 2 0,002 o /dia 2. Las posiciones estables (ejes menores) se pueden utilizar como basurero espacial para GEO. 57 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio LEO (órbita baja) La órbita baja es la más utilizada, por su proximidad energética a la Tierra. Las estaciones espaciales se han situado en LEO. Se considera órbita baja a aquella órbita que no se extiende más allá de una altitud de 2000 km. Se evitan altitudes inferiores a 300 km ya que la resistencia atmosférica reduce mucho la vida útil. Las perturbaciones más importantes son el J 2 y la resistencia atmosférica. Muy utilizadas son las órbitas heliosíncronas. 58 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo I En el sistema geocéntrico ecuatorial, la proyección del Sol Medio en una esfera con la Tierra en su centro será un punto S (el punto subsolar medio) que define un meridiano solar (medio); éste punto se desplaza en el sentido antihorario con una velocidad de 360/365,25 o /dia. Sea AR M (α en la figura) la ascensión recta del Sol Medio: AR M = 360/365,25 o /dia. Por otro lado Ω, la ascensión recta del nodo ascendente, cambia debido a perturbaciones. Llamemos δ = Ω AR M. Una órbita es heliosíncrona si se cumple que δ cte. 59 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo II Del modelo de perturbaciones seculares con el J 2, se tiene que i = cte. mientras que d dt ( ) d 2 dt Ω = 3 2 J R 2n cos i p La condición que tiene que cumplir la órbita, por tanto, es Ω = AR M, es decir: 3 2 J 2 µ a 3 ( ) 2 R a(1 e 2 cos i = ) 2π 365,25 1 dia solar medio Para el caso de órbita circular de altura h, se cumple: cos i ( R R + h ) 7/2 = 0,0989 60 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo III Por tanto, existen múltiples órbitas heliosíncronas con diferente inclinación y altitud. No obstante, de la ecuación, cos i ha de ser negativo (luego i > 90 o, es decir, órbitas retrógradas); normalmente se usan alturas en LEO, con lo que cos i es pequeño, es decir, las órbitas son aproximadamente polares. Puesto que el ángulo δ es constante, se puede utilizar para identificar una órbita heliosíncrona concreta. Si δ = 0 o, entonces el nodo ascendente cruza el Ecuador a mediodía medio (y el nodo descendente a medianoche media). Esta órbita se llama 12h-24h (high noon orbit). Si δ = 90 o el nodo ascendente cruza el Ecuador al atardecer medio (y el nodo descendente, al amanecer medio). Esta órbita se llama 18h-6h (dusk-dawn). 61 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo IV 62 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo V Ventajas de la órbita heliosíncrona Los mecanismos de apuntado de los paneles solares al Sol se simplifican considerablemente, y se posibilitan largos periodos de iluminación solar; además, con una altura suficiente (1400 kilómetros) nunca se producen eclipses. Puesto que la hora solar y la hora solar media son aproximadamente iguales, las condiciones de iluminación en el paso por el Ecuador (es decir, la hora solar) son casi constantes. Más aún, la hora solar media en el paso por una latitud cualquiera (al atravesar un paralelo) también es constante. Ésta propiedad es tremendamente útil para las tareas de observación y reconocimiento. 63 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo VI La hora solar media en un punto de la tierra L es HSM = σ/15 + 12, donde σ = LST AR SM. Si el satélite pasa por dicho punto, entonces por un lado AR = Ω + λ u = LST. Luego HSM = Ω AR SM+λ u 15 + 12. La HSM en el Ecuador y, HSM 0, se da para λ u = 0: HSM 0 = Ω AR SM 15 + 12 = δ 15 + 12. Por otro lado, de la trigonometría esférica, sen λ u = tan φ tan i. Por tanto, se tiene: HSM = HSM 0 + arc sen ( tan φ 15 y como i y HSM 0 son constantes para un satélite heliosíncrono (δ cte.), HSM siempre es la misma para la misma latitud φ. tan i ) Se toma una solución del arc sen cuando se va de Sur a Norte y otra cuando se va en la otra dirección. Por tanto cada vez que un satélite heliosíncrono cruza un paralelo en un sentido (de Norte a Sur o de Sur a Norte) lo hace a la misma hora solar media HSM. 64 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Heliosincronismo VII 65 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Frozen orbits: altitud constante I El concepto de frozen orbits (órbitas congeladas) surge por la necesidad de conseguir órbitas con uno o más elementos orbitales que se mantengan constantes. En el caso de altitud constante, se busca una órbita cuyo vector excentricidad sea pequeño y varíe lo menos posible, a pesar de las perturbaciones por la forma de la Tierra (seculares +largo periodo). Esto es importante para los sistemas ópticos. El problema es que en la práctica no existen órbitas circulares, sin embargo una elección adecuada de una excentricidad, aunque sea muy pequeña, puede permitir que apenas existan variaciones de dicha excentricidad. El diseño se basa en los siguientes efectos del J 2 y J 3, que incluyen efectos de largo periodo: ω = ė = 3 4 nj 2 3 2 nj 3 R 2 ( p 2 5 cos 2 ) i 1 + 3 8e nj R 3 3 p 3 R 3 p 3 (1 e2 ) sen i cos ω sen ω sen i ( ) 5 4 sen2 i 1, ( 5 cos 2 ) ( i 1 sen 2 i e 2 cos 2 ) i, 66 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Frozen orbits: altitud constante II Para igualar estas perturbaciones a cero, en primer lugar uno elige ω = 90 o o ω = 270 o. Entonces la perturbación de largo periodo de e desaparece. Quedaría garantizar que ω es también cero, puesto que si no las variaciones de ω inducirían cambios en e. Recordando que p = a(1 e 2 ), podemos obtener de la ecuación de ω una cúbica en e cuyas soluciones nos darían la excentricidad adecuada (eligiendo la solución positiva más próxima a cero). Se demuestra (ver problema 48) que despreciando términos de orden 2 o mayores obtenemos la siguiente aproximación de la J 3 J 2 ( R a ) sen i sen ω. excentricidad: e = 1 2 Puesto que el valor obtenido es muy pequeño es la órbita deseada; se comporta mejor que una inicialmente circular! Esta órbita se usa en la práctica porque es muy estable no sólo para las perturbaciones J 2 y J 3 sino también frente a otras. 67 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbitas de alta excentricidad: Los Molniya Los Molniya ( relámpago en ruso) son una familia de satélites de comunicaciones de la antigua URSS. Puesto que los satélites en GEO no cubren bien altas latitudes (cercanas al polo), y gran parte del territorio ruso se encuentra muy al Norte, un satélite en GEO no proporciona una cobertura geográfica adecuada. Además dado que los sitios de lanzamiento rusos son de elevada latitud, la órbita GEO es muy costosa en términos energéticos. Solución: varios satélites en órbitas de alta excentricidad 68 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Molniya I Supongamos una órbita con los siguientes elementos: T 12 h, e = 0,75, es decir una órbita semi-síncrona (cada dos revoluciones pasa por la misma localización geográfica) y de alta excentricidad. Obtendríamos h p 300 km, h a 40000 km. Qué ángulo se recorre en dos horas desde el perigeo? De la ecuación de Kepler, n t = E e sen E, obtenemos que E = 1,78 rad luego θ = 2,54 rad 145 o. Por tanto en las cuatro horas restantes del semi-periodo se recorren los 35 o restantes. 69 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Molniya II Por tanto, ya que con 35 o se pueden cubrir las altas latitudes rusas, situando el apogeo en la zona de máxima latitud (φ = i), donde se quiere tener cobertura (ω = 270 o ), se pueden conseguir aproximadamente 8 horas de cobertura. Son necesarios pues tres satélites para obtener 24 h de cobertura. Es fundamental evitar que las perturbaciones del J 2 desplacen el apogeo (frozen orbit). La regresión de los nodos se puede compensar eligiendo adecuadamente el periodo del satélite. Puesto que dω dt = 3J 2nR 2 (5 cos 2 i 1), se elige i tal que 4p 2 dω 1 dt = 0. Por tanto, i = arc cos 5 = 63,4o, la llamada 70 / 101 inclinación crítica.

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Molniya III La órbita Molniya con sus dos apogeos diarios: uno en Rusia y otro en Norteamérica. La utilidad del segundo apogeo sobre Norteamérica (particularmente para la URSS durante la Guerra Fría) es evidente. 71 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita Tundra Otra órbita de alta excentricidad es la órbita tundra. Es una órbita geosíncrona inclinada con la i crítica (i = 63,4 o ) y de alta excentricidad, de forma que el apogeo se sitúa sobre Norteamérica. Se emplea para los satélites Sirius (radio por satélite); con 3 satélites se garantiza que 1 sobrevuela USA en todo momento. 72 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbita Media Se considera órbita media (MEO) la que está por encima de la órbita baja (más de 2000 km) y por debajo de la GEO. Al ser de mayor altitud, ofrece más cobertura que las órbitas LEO sin requerir la potencia de transmisión/recepción ni el coste de la GEO. Típicamente usada por constelaciones de satélites de navegación (GPS, Glonass, Galileo), o por satélites de comunicaciones polares. Contiene las órbitas semisíncronas circulares (con periodo igual a la mitad del periodo terrestre). 73 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Constelaciones I Para proporcionar cobertura durante 24 h no basta con un sólo satélite: son necesarios varios. Una constelación de satélites es un conjunto de satélites situados en órbitas coordinadas, de forma que ofrecen cobertura total o casi total. Un ejemplo serían varios satélites que comparten la misma traza de forma coordinada en el tiempo (ver problema 10). 74 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Constelaciones II Hemos visto ya varios ejemplos Tres satélites geoestacionarios proporcionan cobertura total del planeta, excepto los polos. Tres satélites Molniya proporcionan cobertura para Rusia. La órbita Tundra (tres satélites). Otros ejemplos son la constelación de satélites de GPS (unos 24 satélites en órbita media, a = 26600 km), la constelación Iridium (66 satélites en órbita baja) o la constelación Globalstar (unos 40 satélites, no ofrece cobertura total). 75 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Constelaciones tipo Walker Una constelación que contiene órbitas circulares, de altitud h e inclinación i constantes, con planos separados de forma pareja se denomina constelación de Walker. Está definida por tres números enteros: Número total de satélites t Número de planos orbitales p Espacio relativo entre satélites en planos adyacentes, f [0, p 1]. Con estos datos, la separación entre nodos ascendentes será 360/p o, la separación entre vehículos en el mismo plano 360p/t y la separación relativa entre satélites en planos adyacentes será 360f /t. Una constelación 15,5,1 tendrá 5 planos espaciados 72 o, con tres satélites cada uno separados por 120 o, y la separación entre satélites de planos adyacentes es de 24 o. 76 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Constelaciones tipo Walker: Ejemplos 77 / 101

Órbitas geoestacionaria LEO (órbita baja) y la órbita heliosíncrona Órbitas de alta excentricidad Otros: Órbita media, constelaciones, órbita cementerio Órbitas cementerio Para subsanar el problema de la basura espacial, se sitúan los satélites en una zona segura al final de su vida. Para los satélites en LEO éstos pueden ser eliminados simplemente provocando la reentrada. Para los GEO, la órbita cementerio está situada significativamente sobre la órbita original. De acuerdo a la IADC (Inter-Agency Space Debris Coordination Comitee) la altitud mínima de perigeo sobre A GEO debe ser: h = 235 + (1000C R m V ) km donde C R = (1 + ɛ) cos φ S 1,2 1,4. 78 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Introducción En general, no es posible alcanzar la órbita requerida para una misión directamente en el lanzamiento. El rango de inclinaciones que se pueden alcanzar es limitado. Las sondas lunares o interplanetarias no se suelen lanzar a su trayectoria definitiva, sino a una órbita de aparcamiento intermedia. El objetivo de la misión puede necesitar una órbita inicial que luego debe ser modificada. Además, debido al efecto de perturbaciones, las órbitas se degradan con el tiempo y es necesario corregirlas (stationkeeping). Por tanto, las maniobras para modificar una órbita son parte de cualquier misión. La forma de llevar a cabo una maniobra es mediante propulsión, proporcionada por motores cohete de combustible sólido o ĺıquido (en este curso no consideramos otros tipos de propulsión continua, como motores eléctricos o velas solares, que exigen integración numérica). 79 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Maniobra básica I Hipótesis fundamental: El tiempo de combustión de los cohetes es muy pequeño comparado con el periodo orbital del satélite. Entonces el efecto de la propulsión se puede asimilar a un impulso instantáneo V en la velocidad; la nueva velocidad V f = V i + V define una órbita diferente, con el mismo foco: 80 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Maniobra básica II En el caso más simple (maniobra coplanaria) la maniobra queda definida por el escalar V = V y el ángulo ψ que forma V con V i. Partiendo de la velocidad final deseada V f y ϕ (el ángulo entre V i e V f ), se obtienen ( V, ψ) mediante el teorema del coseno: V 2 = Vi 2 + Vf 2 2V i V f cos ϕ, y el teorema del seno: sen ψ = V f sen ϕ V. Obsérvese que la velocidad final se maximiza (minimiza) en el caso de que ψ = 0 o (180 o ). En tal caso V f = V i + V (V f = V i V ). Es decir, la dirección tangente es la de máximo aprovechamiento del impulso añadido. 81 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Consumo de combustible I El consumo de combustible viene dado por: V = V e ln m 0 + m p m 0 donde V e es la velocidad específica de escape del propulsante, m 0 es la masa sin propulsante y m p es la masa de propulsante. V e = I sp g donde I sp es el impulso específico ( y ) g = 9,81 m/s 2. De la anterior expresión, m p = m 0 e V Ispg 1 Obsérvese que si se requieren n maniobras: V TOTAL = V 1 + V 2 +... + V n ( = Ve ln m 0 + m p1 +... + m pn m 0 + m p2 +... + m pn + ln m 0 + m p2 +... + m pn m 0 + m p3 +... + m pn +... + ln m 0 + m pn m 0 = V e ln m 0 + m p1 +... + m pn m 0 = V e ln m 0 + (m p ) TOTAL m 0 ) 82 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Consumo de combustible II El razonamiento anterior no es válido si consideramos diferentes etapas, que no sólo constan del peso de combustible m pi sino también del peso estructural m si de cada etapa (que contiene al depósito), que se eyecta al consumirse. Por ejemplo, para dos etapas, se tendría: V 1 = V e ln m ( ) 0 + m s1 + m s2 + m p1 + m p2 m p1 = V e ln 1 + m 0 + m s1 + m s2 + m p2 m 0 + m s1 + m s2 + m p2 V 2 = V e ln m ( ) 0 + m s2 + m p2 m p2 = V e ln 1 + m 0 + m s2 m 0 + m s2 [( ) ( ) m p1 m ] p2 V TOTAL = V e ln 1 + 1 + m 0 + m s1 + m s2 + m p2 m 0 + m s2 En la anterior expresión (también para n etapas) se pueden buscar los valores óptimos de (m p1, m s1 ) y (m p2, m s2 ) que minimizan el consumo m p1 + m p2 para un valor de V TOTAL. Esta distribución óptima del combustible por etapas (ya considerada por Tsiolkovsky) permite alcanzar valores de V que no se podrían alcanzar con una sola etapa. 83 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Cambio de radio de perigeo/apogeo y circularización Regla: Para cambiar el apogeo, aplicar un V tangente en el perigeo. Para cambiar el perigeo, aplicar un V tangente en el apogeo. Ejemplo. Cambio de apogeo: Supongamos un perigeo r p, un apogeo inicial r ai y uno final r af. Por tanto a i = r p+r ai 2 y a f = r p+r af 2. Usando la ecuación de las fuerzas vivas en el perigeo: 2µ v i = r p µ a i y v f = Por tanto: V = v f v i = 2µ r p 2µ r p µ a f. 1 1 1+r af /r p 1 1 1+r ai /r p Si el objetivo es circularizar, entonces es necesario hacer r a = r p. En el ejemplo anterior, sería lo mismo que hacer ( r af = r p, y por tanto: V = µ 2 ) r p 1 1 1+r ai /r p 1 > 0 84 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Cambio genérico de órbita coplanaria En general un V arbitrario en el mismo plano provocará un cambio de a, e y ω. Conocidos (a i, e i, ω i ) y (a f, e f, ω f ), el punto de maniobra se obtiene de r i = a i (1 ei 2) 1+e i cos θ i = r f = a f (1 ef 2) donde θ i + ω i = θ f + ω f. 1+e f cos θ f, v i sólo depende de a i, r i y v f de a f, r f V = f (a i, a f, r i ). Usando los ángulos de trayectoria, ϕ = γ i γ f. Para encontrar γ f y γ i se usa la fórmula tan γ = e sin θ 1+e cos θ. Un proceso similar permite obtener (a f, e f, ω f ) a partir de (a i, e i, ω i ) y V, ψ. 85 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Rotación de la linea de ápsides INICIAL V ~ f FINAL ~ V V ~ i f ' r~ ~ V V ~ i V ~ ' f i r~! µ Se pretende rotar ω en una cantidad ω, sin modificar a ni e. 2µ r Por tanto, V f = V i = µ a. De la figura, el punto de aplicación de V vendrá dado por θ i = ω/2, por tanto r = a(1 e2 ) 1+e cos ω/2. Obsérvese que θ f = ω/2. Falta encontrar ϕ, que se deduce de ϕ = γ i γ f. Puesto que tan γ = e sin θ 1+e cos θ, se tiene que γ f = γ i, luego ϕ = 2γ i y que e sin ω/2 tan γ i = 1+e cos ω/2. Se deduce V = 2V i sen γ i. 86 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Cambio de plano orbital Supongamos que queremos mantener a, e, ω y θ pero queremos variar el plano (Ω e i). Si a no cambia, V f = V i = 2µ/r µ/a, por tanto el ángulo ϕ ( A en la figura) determina la maniobra, junto con la latitud φ en la que se debe efectuar la maniobra. De la trigonometría esférica se encuentran las fórmulas: cos A = cos i i cos i f + sen i i sen i f cos(ω f Ω i ) y sen φ = sen i i sen i f sen(ω f Ω i ) sen A Se tiene V = 2V i sen A/2. 87 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Cambio sólo de nodo o de inclinación Cambio de Ω sin cambiar i: De las fórmulas anteriores cos A = cos 2 i+sen 2 i cos(ω f Ω i ) y sen φ = sen2 i sen(ω f Ω i ) sen A. Usando la fórmula cos α = 1 2 sen 2 α/2 se puede deducir: sen A 2 = sen i sen Ω f Ω i 2. Se tiene entonces V = 2V i sen i sen(ω f Ω i )/2. Cambio de i sin cambiar Ω: cos A = cos i i cos i f + sen i i sen i f = cos(i i i f ) luego A = i i i f ; además, φ = 0. Se tiene entonces V = 2V i sen(i i i f )/2. 88 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Introducción Si la órbita final no tiene ningún punto en común con la órbita inicial, no es posible realizar la maniobra con un sólo impulso. Es necesario realizar una transferencia, con al menos dos maniobras intermedias de un sólo impulso. La órbita intermedia se denomina órbita de transferencia. En general existen infinitas posibles órbitas de transferencia. El coste de la transferencia será V = V 1 + V 2. Es importante determinar cuáles son las óptimas en algún sentido (mínimo consumo de combustible, mínimo tiempo de transferencia...). Inicialmente consideraremos transferencias coplanarias entre dos órbitas circulares. 89 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Transferencia de Hohmann I Luego V 1 = Llamando λ = r f ( 1 V 2 = V i λ 2 V T V i = 2 Dadas dos órbitas círculares de radios r i y r f, se puede demostrar que la transferencia de mínimo V usando dos impulsos es la llamada transferencia de Hohmann. El primer impulso lleva la órbita a una cuyo apogeo coincide con r f, mientras que el segundo circulariza la órbita. La elipse de transferencia de Hohmann cumple a H = r i +r f 2. 2µ r f µ a H. 2µ r i µ a H µ r, V i 2 = µ r ( f r i, se llega a V 1 = V i λ(1+λ) λ(1+λ) (λ 1) + 2λ ), luego se llega a 1 1+λ 1 ), λ 1. También T H = π a 3 H µ. 90 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Transferencia de Hohmann II El coste de la transferencia de Hohmann está representado en la figura más arriba, incluyendo transferencias interiores. Para λ tenemos el impulso de escape ( 2 1). Sólo para valores de λ en torno a la unidad es más económica la transferencia que el escape. Existe un máximo, λ 15,58, para el cual el costo es máximo. 91 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Transferencia biparabólica/bieĺıptica I Es posible mejorar la transferencia de Hohmann realizando más impulsos. La transferencia bieĺıptica requiere tres impulsos (que siempre son tangentes) y emplea dos órbitas de transferencia. La primera órbita de transferencia tiene como perigeo r i y apogeo r t ; mientras que la segunda tiene como perigeo r f y apogeo r t. Si r t = la transferencia se denomina biparabólica (caso a) ya que las dos órbitas de transferencia son parábolas. Se cumple a 1 = r i +r t 2 y a 2 = r f +r t 2. 2µ Se tiene V 1 = r i µ a 1 µ r, i V 2 = 2µ r t µ a 2 2µ r t µ a 1 y V 3 = µ r f + 2µ r f µ a 2. 92 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Transferencia biparabólica/bieĺıptica II Llamamemos como antes λ = r f r i β = r t r i. Se tiene V 1 = V i ( 2 2 1 1+β ), ( 1 ) V 2 = V 2 i β 2 λ+β 2 β 2 1+β ) 1 y V 3 = V i ( λ + 2 λ 2 λ+β. Por tanto: ( V T = V 2β i 1+β 1 + 2λ β(λ+β) 2 β(1+β) 1 λ + ( ) ( Si r t, entonces β y V T V i 2 1 1 + Se tiene que V T es decreciente con β, por lo tanto el anterior valor es el mínimo. El tiempo de transferencia será ( la suma de los) dos semiperiodos: T B = T 1+T 2 a 3 1 2 = π µ + a 3 2 µ 2β λ(λ+β) 1 λ ) ) y 93 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Comparación entre transferencias Se usan transferencias no tangenciales para disminuir los tiempos, si bien aumenta el coste. El aerobraking puede disminuir mucho el coste de una transferencia a una órbita de menor radio, ya que se obtiene un impulso gratis. En la figura, R = λ y R = β. La transferencia biparabólica (y por tanto la bieĺıptica) sólo mejora a la de Hohmann para λ > 12). Para λ [12, 15,58] es necesario tomar β grande para mejorar la transferencia de Hohmann. Para λ > 15,58 la bieĺıptica siempre mejora a la Hohmann para β > λ. Observación: el coste de ir a la órbita lunar es similar al coste de ir a GEO. 94 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Transferencia circular-eĺıptica y eĺıptica-eĺıptica Entre dos órbitas eĺıpticas (alguna de ellas posiblemente circular) coaxiales (con la misma ĺınea de ápsides), se puede encontrar una maniobra óptima tipo Hohmann. La trayectoria óptima conecta el apogeo de una de las órbitas con el perigeo de otra; la regla óptima consiste en elegir el mayor de los apogeos. Observación: para una órbita circular, los radios de apogeo y perigeo son iguales entre sí e iguales al radio nominal (todos sus puntos son perigeo y apogeo). En el caso c) es más económica la transferencia que la maniobra de un impulso. 95 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de plano I Para disminuir el coste de la maniobra de cambio de inclinación, se puede considerar una transferencia de tres impulsos. Consideremos el caso circular, con dos órbitas circulares de radio r 1 y diferencia de inclinación i. Si se utiliza una sóla maniobra, el gasto es V = 2V 1 sen i/2. Consideremos una órbita de transferencia con radio de perigeo r 1 y radio de apogeo r 2. Una vez alcanzado r 2, se cambia de plano y se vuelve por una órbita de transferencia similar. Por tanto: V 1 = 2µ r 1 2µ r 1 +r 2 µ r, V 1 3 = V 1. V 2 = 2 2µ r 2 2µ r 1 +r 2 sen i/2. 96 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Maniobra restringida de tres impulsos para cambio de plano II Se llega a λ OPT = Llamando λ = r 2 r1, se tiene: V T = ( 2λ 2V 1 1+λ 1 + 2 λ(1+λ) ). sen i/2 Por tanto, [ V T V 1 = 2 2λ 1+λ ( 1 + ) sen i/2 λ ] 1. Podemos buscar el valor de λ óptimo maximizando el corchete. sen i/2 1 2 sen i/2. De aquí obtenemos la siguiente regla: Si i 38,94 o, no emplear esta maniobra (no compensa). Si 38,94 o < i 60 o, emplear λ = λ OPT. Si i > 60 o, emplear λ (tan grande como sea posible). 97 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Transferencia de Hohmann con cambio de plano Es típico tener que realizar una maniobra para cambiar el radio y una maniobra para cambiar de plano. Es más económico realizar ambas maniobras simultáneamente. Se puede realizar el cambio de plano simultáneo con el primer impulso, con el segundo, o repartirlo entre ambos impulsos. El reparto del cambio de inclinación se puede realizar de forma óptima. La corrección en el V se encuentra usando el teorema del coseno. 98 / 101

Conceptos Generales de un solo impulso de más de un impulso. Transferencias Rendezvous Rendezvous e intercepción Rendezvous/intercepción: Encontrar una transferencia para ir de un punto dado de una órbita a un punto dado de otra. El problema genérico es equivalente al problema de Lambert; algunos casos particulares se pueden resolver mediante las maniobras y transferencias que hemos visto. Estudiamos el caso en el que ambos puntos están en la misma órbita, pero desfasados en su anomaĺıa verdadera. En dicho caso la maniobra de rendezvous se llama phasing. Para simplificar consideramos el caso de una órbita circular. 99 / 101