2º ESO UNIDAD 5.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ------- 1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO Objetivo 1.- Traducir del lenguaje natural al algebraico en diversas situaciones Objetivo 2.- Calcular valores numéricos de expresiones algebraicas y fórmulas para valores enteros especialmente en contextos reales EXPRESIONES ALGEBRAICAS Son aquellas que utilizan números, letras y operaciones entre ellos. Ejemplos: Para expresar un número menos 7, pondremos x 7 Si lo que queremos expresar es la suma de dos números, escribiremos m + n Las letras representan números indeterminados En el lenguaje algebraico podemos usar las letras que queramos, x, y, z, a, b, c, m, n, p, etc, etc. En una expresión algebraica, las letras se llaman variables En las expresiones algebraicas puede haber sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces, etc ACTIVIDADES 1 Escribe en lenguaje algebraico: a) La quinta parte de la suma de los cuadrados de dos números x e y b) Los múltiplos de 7 menos 3, usando la letra n para la variable c) El área de un triángulo de base b y altura h - 1 - VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el valor que se obtiene cuando sustituimos las letras por números y realizamos las operaciones. Por ejemplo, en la expresión algebraica 5m 2 n 2p + 50, el valor numérico para m = 3, n = 2, p = 6 es: 5.( 3) 2.( 2) 2.6 + 50 = 5.9.( 2) 2.6 + 50 = = 90 12 + 50 = 52 El valor numérico se puede usar para resolver problemas usando una fórmula. Para ello se sustituyen en la fórmula los datos Por ejemplo, si la fórmula de la velocidad media es v = d y queremos calcular la velocidad media t cuando recorremos 200 km en 2, 5 h, sustituimos d = 200 t = 2,5 Obtenemos: v = 200 = 80 km/h 2,5 d) La diferencia entre el volumen de un cubo de arista a y el de un ortoedro de dimensiones x, y, z e) El espacio que se recorre en t horas a una velocidad de 80 km/h f) Lo que pago por el taxi cuando recorro x km, siendo la bajada de bandera 2,25 y el precio del km 1,5 g) Si Ismael tiene x años, la edad que tenía hace 7 años h) El cubo de la diferencia de dos números p y q. i) La octava parte de la diferencia entre el doble de un número a y el triple de otro número b j) El precio de 3 kg de peras y 7 kg de naranjas si el precio un kilo de peras es p y el de un kilo de naranjas es n k) Un número impar usando la letra n
2º ESO UNIDAD 5.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS ------- 2 Jorge, Amalia y Lorena son aficionados a los videojuegos. Vamos a representar con x el número de videojuegos que tiene Amalia. a) Escribe en función de x las siguientes expresiones: 1) Disminuimos en cinco unidades el doble del número de videojuegos de Amalia 2) La suma del número de videojuegos de Amalia y su consecutivo 3) El cuadrado del número de videojuegos de Amalia aumentado en 1 unidad 4) El producto del número de videojuegos de Amalia por su inmediato anterior 5) El cubo del número de videojuegos de Amalia más el triple de los mismos b) Supongamos que Jorge tiene tres videojuegos más que Amalia y a Lorena le faltan dos para tener el doble que Jorge. Expresa matemáticamente, de la forma más sencilla posible, cuántos videojuegos tiene Jorge y cuántos Lorena. 2 5at 3 La fórmula e = vt +, siendo " v " la velocidad inicial, " t " el tiempo y " a " la aceleración, nos sirve para 2 calcular el espacio en función del tiempo cuando la velocidad va creciendo constantemente. Halla el espacio recorrido por un cohete en 2 horas con velocidad inicial de 60 km/h y aceleración de 100 km/h 2. Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 1 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 4.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Traduce a lenguaje algebraico: 1) El doble de un número m menos la tercera parte de su cuadrado 2) Lo que me cuesta pintar x metros cuadrados si el pintor me cobra 30 fijos y 0,50 por cada metro cuadrado 3) El área de un rectángulo de 6 cm de largo y z cm de ancho 4) La suma del triple de un número n y la mitad de su cuarta potencia 5) La resta de los cuadrados de dos números a y b 6) Si Celia tiene b años, la edad que tendrá dentro de 9 años 7) El precio de un telegrama de p palabras si cobran 1,25 por palabra 8) El precio del alquiler de un coche por d días si cobran 50 fijos y 12 por cada día 9) Si tengo x euros. La tercera parte del dinero que tengo más siete euros. 10) La cuarta parte de la suma de dos números m y n 11) La suma del triple y la mitad de un número a 12) La onceava parte del triple del cubo de un número x 13) El cuadrado de la suma de dos números x e y 14) La raíz cuadrada del doble de un número n 15) Lo que me cuesta una llamada de teléfono de m minutos sabiendo que el establecimiento de llamada vale 0,15 y cada minuto cuesta 0,064 b) Si A es el dinero de Ana y B el dinero de Bertín, expresa en lenguaje algebraico: 1) El doble del dinero de Ana 2) La tercera parte del dinero de Bertín 3) El dinero que tienen entre los dos 4) El cubo del dinero de Ana 5) Ana tiene 30 más que Bertín 6) El dinero de Bertín disminuido en 6 c) Calcula el valor numérico de: 1) 2x 2 y 10x + y 1 para x = 3, y = 2 2) (a b) 3, para a = 3, b = 5 3) 7x 3 y + xy 2 + 3 para x = 1, y = 2-2 -
2º ESO - UNIDAD 5.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS d) La velocidad del sonido es aproximadamente 340 m/s. Cuál es la distancia a la que ha explosionado un cohete, si desde que se ha visto el fogonazo hasta que se ha oído la explosión han transcurrido 3 segundos? Utiliza que d = vt, siendo d la distancia, v la velocidad y t el tiempo e) Halla los intereses que producen 6 500 colocados en un Banco al 3% de rédito durante 5 años sabiendo que la fórmula es I Crt 100 f) La fórmula C =, siendo C el capital que se coloca en el Banco, r el rédito y t el tiempo en años 5(F 32) 9 sirve para pasar de grados Fahrenheit a grados centígrados. Pasa 23 ºF a ºC. L(3n 4) g) Se ha comprobado que la velocidad V (en cm/sg) de ciertos peces es V, donde L es su 4 longitud (en cm) y n es el número de veces que mueve sus aletas en un segundo. Si un pez mide 10 cm y mueve sus aletas 14 veces por segundo, cuál será su velocidad? 2.- MONOMIOS. OPERACIONES Objetivo 3.- Realizar sumas, restas y productos de monomios semejantes con una variable en diversos contextos. MONOMIO Es una expresión que consta de una parte numérica llamada coeficiente seguida de una parte con letras y exponentes naturales llamada parte literal. GRADO DE UN MONOMIO Es el exponente, si sólo hay una letra o la suma de los exponentes, si hay varias letras. Los números se consideran monomios de grado 0 y se llaman monomios constantes. Por ejemplo, el número 3 es un monomio constante y su grado es 0, pues 3 = 3x 0 Más ejemplos de monomios: 3x 4 El coeficiente es 3, la parte literal es x 4 y el grado es 4 ab 3 c El coeficiente es 1, la parte literal es ab 3 c y el grado es 1+3+1 = 5 4m El coeficiente es 4, la parte literal es m y el grado es 1 x 3 El coeficiente es 1, la parte literal es x 3 y el grado es 3 MONOMIOS SEMEJANTES Son los que tienen la misma parte literal. Por ejemplo, 3x 2, 5x 2 son semejantes, pero 2x 2, 2x 3 no lo son - 3 - MONOMIOS OPUESTOS Son los que tienen la misma parte literal y los coeficientes son números opuestos. Por ejemplo, 6x 2 y 6x 2 son monomios opuestos
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS SEMEJANTES Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Ejemplos: 3x 2 + 5x 2 = (3 + 5)x 2 = 8x 2 2º ESO - UNIDAD 5.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS - 4 - PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las partes literales. x 3 7x 3 = (1 7)x 3 = 6x 3 Por ejemplo, (6x 4 ).( 5x 7 ) = 6.( 5) x 4+7 = 30x 11 Si los monomios no son semejantes entonces NO se pueden sumar ni restar. Por ejemplo, los monomios 3x 2 y 2x no se pueden sumar ni restar porque no son semejantes. La suma o resta de monomios no semejantes hay que dejarla indicada así: 3x 2 + 2x ó 3x 2 2x Siempre se puede efectuar la multiplicación de monomios sean o no semejantes ACTIVIDADES 1 Indica porqué las siguientes expresiones no son monomios: a) 3x 2 b) 2x + 3y c) 4 x 2 Reduce las siguientes sumas, restas y productos de monomios: a) a 2 b 6a 2 b ( a 2 b) + ( 2a 2 b) b) ( 3xyz 3 )( x)( 5x 2 y) d) 3b 3 En un ortoedro de x cm de ancho, el largo es el triple que el ancho y el alto es el doble del ancho Halla el polinomio que resulta de calcular: a) La suma del ancho, largo y alto b) La superficie de la cara de la base del ortoedro c) El volumen del ortoedro Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 2 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 4.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Dado el monomio a 3 bc 2. 1) Indica cuál es su grado 2) Escribe el monomio opuesto 3) Calcula el monomio semejante a él de coeficiente 4 b) Reduce las siguientes sumas, restas y productos: 1) 3x + x 2) a 2 10a 2 3) 7xy + 2xy xy 4) 3m + 2n 5) x + x 6) x + x 2 7) 3x 2 ( 2x 2 ) + ( x 2 ) 8) 3m 5 5m 5 9m 5 2m 5 + 8m 5 9) a ( 3a) + ( 2a) 7a 10) a 2 6a 2 ( a 2 ) + ( 2a 2 ) 11) 3a 2 ( 5b) 12) 4( 2x) 13) x( x) 14) ( 2x 4 ).(9x) 15) x ( 5x 2 ) 16) ( 3x 2 )(2x)( 7) 17) ( x 2 )( 2)( 8x 3 ) c) Escribe el monomio que resulta de hallar: 1) El perímetro de un triángulo equilátero de lado a 2) El área de un rectángulo que mide el triple de largo que de ancho 3) El volumen de un ortoedro de dimensiones a 2, 3a, b d) Se tiene un ortoedro de x cm de ancho, que mide el doble de largo que de ancho y su altura es el triple de su anchura. 1) Obtén la fórmula del volumen de dicho ortoedro. 2) Usa la fórmula para hallar el volumen del ortoedro, suponiendo que mida 2 cm de ancho.
2º ESO - UNIDAD 5.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS 3.- POLINOMIOS. OPERACIONES Objetivo 4.- Realizar sumas y restas de polinomios con una variable en diversos contextos Objetivo 5.- Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar un monomio por un polinomio con una variable en diversos contextos Objetivo 6.- Multiplicar dos polinomios con una variable en casos simples en diversos contextos POLINOMIO GRADO DE UN POLINOMIO Es una expresión algebraica formada Es el mayor de los grados de sus por la suma/resta de monomios no términos. semejantes. Cada monomio se llama término del Por ejemplo, 5x 4 + 3x 3 7 es polinomio. un polinomio de grado 4 POLINOMIO OPUESTO Es el que se obtiene cambiándole de signo a todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el opuesto del polinomio 3x 2 5x + 9 es 3x 2 + 5x 9 Si en un polinomio hay algún término formado por un sólo número, este término se llama término independiente. Según el número de términos de un polinomio, este se llama: binomio si tiene dos términos, trinomio, si tiene tres, etc. Por ejemplo, 5x 4 + 3x 3 7 es un trinomio de grado 4 y el término independiente es 7 Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios se reducen los términos semejantes realizando las sumas/restas de los mismos. Ejemplo: (7x 3 3x 6) (2x 3 + 10x 2 4) + (x 2 4x + 1) = 7x 3 3x 6 2x 3 10x 2 + 4 + x 2 4x + 1 = = (7x 3 2x 3 ) + ( 10x 2 + x 2 ) + ( 3x 4x) + ( 6 + 4 + 1) = 5x 3 9x 2 7x 1 Se pueden sumar polinomios colocando uno debajo de otro haciendo coincidir los términos semejantes. Ten en cuenta que para restar dos polinomios se le suma al primero el opuesto del segundo Ejemplo: Si p(x) = x 2 1, q(x) = 5x 2 2x + 9, r(x) = 3x 4. Entonces p(x) q(x) + r(x) se puede efectuar así: x 2 + 0x 1 5x 2 + 2x 9 3x 4 6x 2 + 5x 14 ACTIVIDADES 1.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Calcula la suma y la resta de los polinomios P(x) = x 2 3x + 1, Q(x) = 5x 2 + x 2. b) Calcula : x 4 + 5x 2 8x + ( x 3 + x 2 3x + 4) (x 4 5x 2 + 10) c) Dados los polinomios: P(x) = x 5 + 2x 4 x 3 + 3x 2 x + 1, Q(x) = 3x 4 + 2x 3 x + 3, R(x) = 5x 2 3x. Halla: 1) P(x) R(x) + Q(x) 2) Q(x) P(x) R(x) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA Basándose en que el área de las dos figuras es la misma: a.(b + c) = a.b + a.c Esta es la propiedad distributiva del producto respecto de la suma La propiedad distributiva se puede aplicar también cuando hay una resta: a.(b c) = a.b a.c - 5 -
PRODUCTO DE MONOMIO POR POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva. Ejemplo: 2x(3x 2 5x + 2) = = 2x.3x 2 2x.5x + 2x.2 = 6x 3 10x 2 + 4x 2º ESO - UNIDAD 5.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRODUCTO DE POLINOMIOS Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término de un polinomio por todos los términos del otro. Ejemplo: (5x 2 4x + 6).(3x 7) = = 5x 2 (3x 7) 4x(3x 7) + 6(3x 7) = = 15x 3 35x 2 12x 2 + 28x + 18x 42 = = 15x 3 47x 2 + 46x 42 Se pueden realizar las multiplicaciones poniendo un factor debajo de otro. Fíjate en los siguientes ejemplos: OPERACIONES COMBINADAS CON POLINOMIOS Para realizar operaciones combinadas se realizan primero las multiplicaciones y luego las sumas/restas de los términos semejantes. Ejemplo: 3x 2 (x 1) (x + 3)(2x 5) + x 2 = 3x 3 3x 2 (2x 2 + x 15) + x 2 = 3x 3 4x 2 x + 15 ACTIVIDADES (Continuación) 2 Calcula el perímetro y área de las siguientes figuras. Usando las expresiones obtenidas calcula el perímetro y área para x = 2 metros. 3 Sean los polinomios: P(x) = 2x 3 + 4x 2 + 2, y Q(x) = 2 2x. Calcula: 3x.P(x) (2x + 1).Q(x) Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 3 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 4.- Realiza tú las siguientes operaciones: a) 2x 4 ( 3x 2 + x 5) b) ( x 3 + 7x 2 x)x c) x 3 ( 2x 2 + 3x 1) d) [ x 5 + ( 2x 4 ) ( 7x 3 ) x 2 + 6x + 10]( x 4 ) e) 5x 3 ( 2x 2 + 3x 1) f) ( x 4 x 2 + x)( 2x) g) (3x + 5)(x 2 x + 6) h) ( 5x 3 + 3x 9)(5x + 3) i) ( x 2 + 9x)(2x 3 5x + 3) j) (5 7ab + 3ab 2 )( ab + 2b 2 a) k) 4x(x x 2 + 2) 5x + (3x 1)(2x 2 + 5) l) 5x 2 ( x 2 + 3x 2) + (5 2x)( 2x 2 ) m) 2m 2 5(3m 2 + m) + 2m 3 m(3m 2 m + 3 ) n) (5 c 3 )c 2 c 2 (c 3 3) ACTIVIDADES DEL LIBRO (UNIDAD 5) Apartado 1 (Expresiones algebraicas. Valor numérico) : 68 Apartado 2 (Monomios. Operaciones) : 67 Apartado 3 (Polinomios.Operaciones) : 30a)b), 57a)b)e)f) Autoevaluación: el 7-6 -