Especificación y Esimación de los MODELOS ARCH Horacio Caalán Alonso Noviembre de 0
Caracerísicas de las series financieras:. Son lepokuricas (achaadas y con colas más gordas).las relaciones enre ganancia y riesgo no son lineales 3.La volailidad aparece en clusers 4.Leverage effec: la volailidad es mayor con una caída de la variable
.4 DLIPC.40.35 V_IPC..30.0.5.0 -..5 -.4.0.05 -.6 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 06 08 0.00 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 06 08 0 6 5 4 DLIPC Bolsa Mexicana de Valores IPC Densiy 3 0 -.7 -.6 -.5 -.4 -.3 -. -..0...3.4.5 Hisogram Kernel
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARCH(M)
El modelos ARCH(m) asume que la varianza depende de las noicias pasadas ó de los shocks pasados h + ε + ε + L+ 0 m m = ε ε N( 0, h ) ε = h v ~ iidn( 0,) v ARCH parece más un MA ya que la varianza condicional es un MA de los residuales al cuadrado
La especificación genera dos implicaciones: a) La varianza debe ser posiiva y finia b) El méodo de esimación, debido a que la media y varianza de la serie deben esimarse de manera simulánea Debe cumplirse ) > 0 0 0 j Varianza posiiva ) i > j Para i > j las noicias más recienes ienen un mayor impaco
Especificación de los modelos ARCH ) Esimar la media condicional del la series de los rendimienos Usualmene se esima un modelo ARMA(p,q) de series de iempo, en algunos casos simples solo se uiliza la consane
Modelo para DLPOIL Crierio AR() AR() AR(3) AR(4) AR(5) AR(6) Akaike info crierion -.0765 -.066857 -.063485 -.068667 -.06730 -.0786* Schwarz crierion -.050* -.03506 -.0006 -.0546 -.00335 -.003334 Hannan-Quinn crier -.063763* -.0547 -.046608 -.04756 -.04879 -.048403 Dos crierios indican que es un modelo AR()
) Idenificar el efeco ARCH en el modelo ˆ ˆ ˆ ˆ ) Idenificar el efeco ARCH en el modelo k k e u u u u + + + + + = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ L 0 0 0 : 0 = = = k H L 0, 0, 0, : 0, 0, 0, : 0 k k H H L
3) Idenificar el ORDEN del modelo ARCH Correlograma sobre los residuales al cuadrado Orden del ARCH
Crierio ARCH() ARCH() ARCH(3) ARCH(4) Akaike info crierion -.0535 0535 -.93 93 -.8494* 8494* -.6438 6438 Schwarz crierion -.687* -.59046 -.5503 -.4398 Hannan-Quinn crier -.8833 -.9095 -.9386* -.8708
DPOIL cambios en los precios del peróleo Modelo ARCH(3): Los coeficienes son posiivos ARCH(3) < ARCH() < ARCH() El coeficiene de la consane es posiivo
El proceso ARCH debe ser esacionario eso se garaniza cuando m 0 = i i RESID(-)^ 0.406690 RESID(-)^ 0.3309 RESID(-3)^ 0.86 Suma 0.84535 En ese ejemplo el modelo ARCH es un proceso esacionario es decir la varianza no crece indefinidamene
Varianza observada y esimada.4.0.6. DLPOIL^ Varianza esimada.08.04.00 980 985 990 995 000 005 00
Debilidades del modelo ARCH(m) Las resricciones en los parámeros es más difícil que se cumplen cuando aumena el orden del ARCH La varianza solo se explica por las noicias no apora más información ió sobre la varianza de los rendimienos Tiende a sobre esimar la varianza de la serie No disingue enre choques posiivos o negaivos
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO GARCH Tim Bollerslev
Forward looking behaviour, requiere pronosicar adecuadamene la volailidad y el riesgo de un acivo La volailidad no es una serie observable en el momeno, se requieren daos hisóricos para esimar la volailidad Volailidad hisórica se esima con la varianza del rendimieno simple (cambio en el precio del acivo)
Una opción: Exponanially Weiged Moving Average Models (EWMA) que es una exensión del promedio hisórico pero haciendo que las observaciones más recienes engan un mayor peso σ = ( λ) λ j R j= 0 j R λ j = = "decay varianza a a facor" de los rendimein ed e os ( Riskmerics : 0.94)
La forma más sencilla es definida como: σ ( λ) R = λσ + + + Implica que la varianza del periodo siguiene como un promedio ponderado de la varianza acual y el rendimieno acual al cuadrado Se asume un parón sisemáico en la p evolución de la varianza
Una generalización del modelo ARCH(m) fue desarrollada por Bollerslev (986) al proponer que la varianza condicional dependa de sus propios rezagos m p = + ε + β 0 i i j i= j= h h i ε N( 0, h ) ε = h v v ~ iidn ( 0 0, ) ( La especificación GARCH se define como un modelo ARCH de orden infinio (Bollerslev, 986)
Especificación de los modelos GARCH(m,p) ) Esimar la media condicional de la series de los rendimienos ) Idenificar el efeco ARCH 3) Idenificar el orden del modelo 3) Idenificar el orden del modelo GARCH(m,p)
Varianza rezagada p j = β jh i m i = ε i i Noicias o shocks
Ejemplo para DLIPC h = 0.00096 + 0.ε + 0. 765h Modelo GARCH(,)
Crierios GARCH(,) ) GARCH(,) GARCH(,) GARCH(,) ) Akaike info crierion -.953648* -.950757 -.95604 -.94604 Schwarz crierion -.896595* -.8894 -.8834 -.8664 Hannan-Quinn crier. -.9309* -.9346 -.94307 -.9467 (Bollersle, 986) demuesra que un modelo GARCH(,), iene las propiedades esadísicas saisfacorias para capurar la volailidad en los daos
.35.30 Varianza observada y.5 esimada.0.5.0.05.00 80 8 84 86 88 90 9 94 96 98 00 0 04 06 08 0 DLIPC^ VF_DLIPC
Resricciones en el modelo GARCH > 0 0 i β β j 0 0 los modelos GARH requiere que la varianza condicional sea no negaiva max( m, p) ( i + β i ) < i La varianza no crece al infinio describe un proceso esacionario
h = 0 0. 00096 = 0.00096 + 0.ε + 0. 765h = 0. β = 0.765 El shock de las noicias Volailidad de un periodo anerior + β = 0.986894 El modelo GARCH es esacionario
EXTENSIONES DE LOS MODELO GARCH
Modelo GARCH-M, ejemplo DLIPC Variable en la ecuación de la varianza
Modelo exponencial GARCH (EGARCH) (Nelson, 99) + + + = ρ β μ ε * 0 ) ln( ln q i q i h e h = = = + + + β μ 0 ) ln( ln j j j i i i i i i h h h h Coef. posiivos
TGARCH (Threshold GARCH) ( ) Γ + + + = r p m h h ε γ β ε = = = Γ + + + = k k k k j j j i i i h 0 h ε γ β ε
Especificación y Esimación de los MODELOS ARCH Horacio Caalán Alonso Noviembre de 0