37 Determinantes 11 Definición de determinante Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de cada columna como se ilustra en la siguiente figura: 9 7 5 3 1 (1) 0 8 6 4 2 3 6 9 7 4 Además, hacer una elección de elementos de esta forma no es suficiente Hay, en general, muchas formas de elegir n elementos de forma que se cumpla dicha condición y es necesario realizar todas las elecciones posibles Ejercicio (a) Cuál es el número total de dichos productos en una matriz de tamaño 3 3? (b) Cuál es la fórmula general que nos da el número de dichos productos para una matriz de orden n? Solución: (a) 6 (b) n! Para cada elección de n elementos elegidos como se ha dicho, tenemos que hallar el producto todos ellos y volver a elegir otros n elementos tomando sólo uno de cada fila y uno de cada columna y hallar su producto y así sucesivamente Definición El determinante de una matriz cuadrada es la suma equilibrada de todos esos posibles Definición de determinante productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila de forma que estén todos en distintas columnas Qué es una suma equilibrada? La expresión suma equilibrada en la definición de deter- Significado de minante significa que cada uno de esos productos va multiplicado por +1 o por 1 según cómo se hayan elegido los factores Concretamente, cada uno de esos productos va multiplicado por suma equilibrada ( 1) p siendo p el número de intercambios de filas y columnas que sean necesarios para colocar todos los factores de ese producto en la diagonal Por ejemplo, para el producto de los elementos elegidos en (1), el número de intercambios 1 Versión de 16 de junio de 2017, 17:42 h
12 Consecuencias inmediatas de la definición de filas o columnas es p = 3 ya que se necesitan tres intercambios: 9 7 5 3 1 F 1 F 2 9 7 5 3 1 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2 3 6 9 7 4 F 3 F 5 3 6 9 7 4 3 6 9 7 4 0 8 6 4 2 9 7 5 3 1 F 4 F 5 por lo tanto el sumando correspondiente a esta elección de elementos es: ( 1) 3 6 2 9 3 2 3 6 9 7 4 9 7 5 3 1 0 8 6 4 2 Si todos los factores se han elegido sobre la diagonal, p = 0 y el producto va multiplicado por ( 1) 0 = 1 El ejemplo típico de esto es el de cualquier matriz identidad En ella hay un único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero: es el producto de los elementos de la diagonal Por tanto tenemos: Matriz identidad orden n, El determinante de una matriz identidad es 1 Si I n es la matriz identidad de det I n = 1, det( I n ) = ( 1) n Matriz diagonal Igual que en una matriz identidad, en una matriz diagonal el producto de los elementos de la diagonal es el único producto de elementos elegidos de distintas filas y columnas que no da cero Por lo tanto: d 1 0 0 det 0 = 0 d 1 d n 0 0 d n Determinante de una matriz 2 2 El ejemplo general no trivial más sencillo de cálculo de determinantes es el del determinante de una matriz 2 2, A = a b c d En este caso sólo hay dos productas posibles: ad y bc El primero llevará signo positivo y el segundo negativo, por tanto: a b det = ad bc c d 12 Consecuencias inmediatas de la definición Determinante de la matriz traspuesta Dado que la definición de determinante es simétrica respecto a las filas y columnas, el valor del determinante de una matriz es igual al de su traspuesta det(a T ) = det A Consecuencia: Toda propiedad de los determinantes enunciada en términos de filas y columnas se cumple también al sustituir cada ocurrencia de la palabra fila por columna y cada ocurrencia de la palabra columna por fila 2
12 Consecuencias inmediatas de la definición Matriz con una fila o columna de ceros Si todos los elementos de una fila o de una columna son cero el determinante es cero (Puesto que en cada uno de los productos hay un factor igual a cero) det a b 0 d e 0 = 0 g h 0 Efecto de un intercambio de filas o columnas Si se intecambian las posiciones de dos filas o de dos columnas de una matriz, se cambia el signo de su determinante (ya que se cambia el signo de cada sumando en la suma equilibrada ) Consecuencia 1: Si P jk es la matriz elemental que intercambia las filas j y k, (a) det(p jk A) = det A (b) det P jk = 1 (c) det(p jk A) = det P jk det A Consecuencia 2: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero (ya que intercambiando esas dos filas o columnas el determinante no cambia y a la vez cambia de signo) det a b a d e d = 0 g h g Trasladar una fila arriba o abajo o una columna a derecha o izquierda Trasladar una fila hacia arriba atravesando k filas es colocarla justo encima del bloque formado por las k filas inmediatamente anteriores sin alterar el orden de esas k filas Esto es equivalente a realizar k intercambios de filas y por tanto el determinante queda multiplicado por ( 1) k Lo mismo ocurre al trasladar una fila atravesando k filas hacia abajo o cuando esto se hace con columnas en lugar de filas Si se traslada una fila hacia arriba o abajo atravesando un bloque de k filas o se tralada una columna a derecha o izquierda atravesando un bloque de k columnas, el determinante queda multiplicado por ( 1) k 1 Ejercicio de tarea Usa la propiedad anterior para demostrar que si en una matriz se traslada todo un bloque de h filas hacia arriba o abajo atravesando un bloque de k filas, el determinante queda multiplicado por ( 1) hk Usa este resultado para calcular 0 In det I m 0 Efecto de un reescalado de una fila o columna Si se multiplican todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz por un número, se multiplica su determinante por ese número Consecuencia 1: Si E λ es una matriz elemental de reescalado por el escalar λ, (a) det(e λ A) = λ det A (b) det E λ = λ (c) det(e λ A) = det E λ det A Consecuencia 2: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas que son una múltiplo de la otra, su determinante es cero (ya que es un múltplo del determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales) 3
13 Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o columna det a b 3a d e 3d = 3 det a b a d e d = 0 g h 3g g h g Múltiplo escalar de una matriz Si una matriz cuadrada de orden n la multiplicamos por un número p, todas las columnas quedan multiplicadas por p, luego el determinante de la matriz queda multiplicado por p n veces, es decir, el determinante queda multiplicado por p n Esta propiedad nos permite contestar a la siguiente pregunta: 5 7 2 2 Ejercicio: Sea A = 0 3 0 4 5 8 0 3 Sabiendo que det A = 20 calcular det(3a) 0 5 0 6 Solución: det(3a) = 3 4 20 = 1620 Matriz triangular Si todos los elementos encima o debajo de la diagonal son cero, todos los productos en los que intervenga un elemento fuera de la diagonal son cero y el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal a 11 0 0 a 11 a 21 a m1 det a 21 a 22 = 0 a 11 a mm = det 0 a 22 a m2 a m1 a m2 a mm 0 0 a mm 13 Cálculo del determinante por desarrollo de cofactores de una fila o columna Desarrollo por la primera columna Si queremos calcular un determinante, necesitamos formar todos los posibles productos que se pueden formar eligiendo un elemento de cada fila y de cada columna Esto se puede hacer ordenadamente de la siguiente forma: Primero formamos todos los productos en los que aparece el primer elemento de la primera columna, a 11 La suma de todos estos productos (cada uno con su signo) es igual a a 11 multiplicado por el determinante de la matriz A 11 que se obtiene al eliminar en la original la primera fila y la primera columna, es decir (ver más abajo), el determinante del menor del elemento (1, 1) Después formamos todos los productos en los que interviene el segundo elemento de la primera columna, a 21 La suma equilibrada de estos productos es igual a a 21 multiplicado por el determinante de la matriz A 21 que se obtiene al eliminar en la original la segunda fila y la primera columna (el menor del elemento (2, 1)) Continuando de esta manera, vemos que el determinante de la matriz se puede expresar como una suma de productos de los elementos a i1 de la primera columna, cada uno de ellos multiplicado por el determinante de una matriz de un orden menor que la dada: det A = a 11 det A 11 a 21 det A 21 + ± a n1 det A n1 (2) Para entender perfectamente esta forma de calcular un determinante necesitamos introducir algunos conceptos: Menor de un elemento Dada una matriz A, se llama menor del elemento que ocupa la posición (i, j) (es decir, fila i, columna j) y se denota A ij a la matriz obtenida al eliminar toda la fila i y toda la columna j de la matriz dada 4
14 Consecuencias no tan inmediatas de la definición Cofactor de un elemento Dada una matriz cuadrada A, se llama cofactor del elemento que ocupa la posición (i, j) al determinante det A ij del menor de ese elemento multiplicado por +1 o 1 dependiendo de si i + j es par o impar Así, el cofactor del elemento (i, j) de la matriz A se calcula por la fórmula: C ij = ( 1) i+j det A ij Usando cofactores, la fórmula (2) se puede escribir: det A = a 11 C 11 + + a n1 C n1 Los cofactores de los elementos de una fila o columna nos permiten calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la fórmula de expansión del determinante por los cofactores de una fila o columna La expansión del determinante de una matriz n n, A = (a ij ) por la columna j es: det A = a 1j C 1j + + a nj C nj La expansión del determinante de la misma matriz por la fila i es: det A = a i1 C i1 + + a in C in 14 Consecuencias no tan inmediatas de la definición Efecto de descomponer una fila o columna como suma de dos Si en una matriz cuadrada se descompone una fila o columna como suma de dos, su determinante se descompone en suma de dos (esto se demuestra desarrollando el determinante por los elementos de dicha fila o columna) det a b c + p d e f + q = (c + p)c 13 + ( f + q)c 23 + (k + r)c 33 g h k + r = (cc 13 + f C 23 + kc 33 ) + (pc 13 + qc 23 + rc 33 ) = det a b c d e f + det a b p d e q g h k g h r Efecto de sumar o restar a una fila otra fila o a una columna otra columna Si en una matriz cuadrada se le suma o resta a una fila otra fila o a una columna otra columna, su determinante no cambia det a b c + b d e f + e = det a b c d e f + det a b b d e e = det a b c d e f g h k + h g h k g h h g h k Efecto de una operación de reemplazo de una fila o columna Si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un escalar el determinante de la matriz no cambia det a b c + 3a d e f + 3d = det a b c d e f g h k + 3g g h k Consecuencia: Si A es una matriz cuadrada y E es una matriz elemental de reemplazo del mismo tamaño que A, 5
15 Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada (a) det(ea) = det A (b) det E = 1 (c) det(ea) = det E det A Con lo anterior se completan las consecuencias de los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas En el siguiente ejercicio se obtiene una importante propiedad de la que se obtendrán consecuencias en el ejercicio 4 2 Ejercicio de tarea (a) Usando el hecho de que toda matriz unitriangular inferior (triangular matriz unitriangular inferior con unos en la diagonal) multiplicada por la izquierda por cualquier matriz efectúa sobre ésta una sucesión de operaciones de reemplazo de filas que no cambian el determinante, justifica que si M es una matriz unitriangular inferior entonces det(ma) = det A (3) (b) Usa las propiedades de la traspuesta para deducir, a partir de (3), que si N es una matriz unitriangular superior det(an) = det A (4) Pista: (a) M es el producto de matrices elementales de reemplazo de filas 15 Cálculo de un determinante por reducción a forma escalonada De las propiedades enunciadas en la sección anterior se deduce que si una matriz A se transforma, mediante operaciones elementales de filas, en una matriz escalonada U y solamente se han usado operaciones de reemplazo y de intercambio (o sea, sin usar operaciones de reescalado, lo cual, por otra parte, siempre es posible), entonces el determinante de la matriz escalonada U es igual al determinante de A multiplicado por ±1 dependiendo de si el número de operaciones de intercambio ha sido par o impar En otras palabras, si U es una forma escalonada de A obtenida sin operaciones de reescalado y con r operaciones de intercambio, entonces det A = ( 1) r det U Al aplicar esta técnica de cálculo de un determinante no es necesario limitarse a operaciones elementales de filas Se pueden realizar operaciones elementales de filas y de columnas mezcladas según convenga, teniendo cuidado de contabilizar en r el número total de intercambios de filas y columnas Puesto que toda matriz cuadrada escalonada es triangular, el determinante de U es igual al producto de todos los elementos de su diagonal y en consecuencia, el determinante de A es igual a ( 1) r multiplicado por todos los elementos de la diagonal de U Si A no es inversible (es decir, es singular) entonces la matriz escalonada U tiene algún elemento de la diagonal igual a cero y en consecuencia su determinante es cero Recíprocamente si U tiene determinante cero, algún elemento de su diagonal es cero y su número de pivotes es menor que el número de columnas Esto implica que A es necesariamente singular, Por tanto tenemos: Proposición cero: Una matriz es singular (no tiene inversa) si y sólo si su determinante es igual a det A = 0 si y sólo si A es singular 6
16 Teorema fundamental del cálculo de determinantes 16 Teorema fundamental del cálculo de determinantes Teorema (a) De los efectos que tiene sobre el determinante de una matriz el realizar operaciones elementales de filas (véase más arriba) se deduce que para toda matriz elemental E y toda matriz A del mismo tamaño se verifica det(ea) = det E det A (5) (b) Del apartado (a) se deduce que si A y B son dos matrices cuadradas del mismo tamaño, det(ab) = det A det B (6) Demostración: Basta demostrar (b) ya que el apartado (a) se ha justificado ampliamente más arriba En el caso de que A no es inversible entonces AB tampoco lo es y, por la proposición de la sección anterior, ambos miembros de la ecuación son iguales a cero Si A es inversible entonces es igual a un producto de matrices elementales: A = E 1 E k y en consecuencia: det(ab) = det(e 1 ) det(e 2 E k B) = = det E 1 det E k det B = det(e 1 E k ) det B = det A det B Corolario 1 Si A es una matriz inversible, entonces det(a 1 ) = 1 det A (7) Corolario 2 Si A y B son dos matrices semejantes (esto es, existe una matriz inversible, M, tal que A = MBM 1 ) entonces, det A = det B 17 Ejemplos de determinantes especiales (a) Si en una matriz cuadrada de orden n todos los elementos de una columna son iguales a p, su determinante es igual a p multiplicado por un determinante de orden n 1 Lo mismo ocurre si todos los elementos de una fila son iguales Se resta la primera fila de cada una de las demás, con lo que la columna en cuestión se convierte en (p, 0,, 0) y ahora se desarrolla el determinante por esa columna det a b p d e p = det g h p a b p d a e b 0 g a h b 0 ( = ( 1) 1+3 d a e b p det g a h b (b) Si en una matriz cuadrada de orden n la suma de los elementos de una fila es igual a la de los de otra fila cualquiera (todas las filas tienen la misma suma) entonces el determinante es igual a esa suma multiplicada por un determinante de orden n 1 Para verlo, realizamos sobre la matriz original las siguientes operaciones de reemplazo: Sumamos a la primera columna todas las demás columnas, con lo cual la primera columna tiene todos los elementos iguales y estamos en la situación del ejemplo anterior det a b c b c a = det a + b + c b c a + b + c c a c b a a + b + c b a ( c b a c = (a + b + c) det b b a c ) ) 7
18 Determinantes de matrices por bloques 18 Determinantes de matrices por bloques Sean A y C matrices cuadradas (no necesariamente del mismo tamaño) y sea B una matriz con el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que C, de forma que se puede formar la matriz por bloques 0 C Entonces det = det A det C (8) 0 C Esto es una sencilla consecuencia del teorema fundamental (ver ecuación (6)) combinado con la siguiente identidad: ( A 0 I A = 1 ) B, 0 C 0 I 0 C pero también puede demostrarse de forma independiente del teorema fundamental usando solamente la definición de determinante Esa demostración independiente se basa en la observación de que al formar los productos de elementos que forman el determinante de 0 C, si en un producto determinado apareciese un elemento en posición (i, j) que cae dentro de B, también habría uno del bloque nulo bajo A a la izquierda de C y por tanto ese producto sería cero Cada uno de los productos no nulos es, pues, un producto de dos factores: un factor que es uno de los productos que forman det A y otro factor que es uno de los productos que forman det C Usando las propiedades de la traspuesta es muy sencillo deducir de (8) su versión traspuesta : A 0 det = det A det C (9) B C La fórmula (8) (y análogamente la (9)) sigue siendo cierta en un caso más general Supongamos que A es una matriz n n partida en k k bloques (no necesariamente del mismo tamaño) y tal que los bloques de la diagonal, A ii para i = 1, k, son cuadrados (siendo el tamaño de A ii, p i p i ) y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas, A 11 A 12 A 1k 0 A 22 A 2k A = 0 0 A kk Entonces el determinante de A es el producto de los determinantes de las matrices de la diagonal: det(a) = det(a 11 ) det(a kk ) (10) Esta fórmula puede deducirse de (8) por el método de inducción 3 Ejercicio de tarea Si A es una matriz inversible y M = C D es una matriz cuadrada, demuestra I 0 CA 1 = I C D 0 D CA 1 B y usa el ejercicio 2-ecuación (3) para deducir de ello det = det A det(d CA 1 B) C D Las operaciones de matrices por bloques son una poderosa herramienta para demostrar algunas fórmulas que aparentemente no tienen nada que ver con las matrices por bloques Como ejemplo, el siguiente ejercicio demuestra la fórmula (6) 8
18 Determinantes de matrices por bloques 4 Ejercicio de tarea El objetivo de este ejercicio es demostrar el teorema fundamental del cálculo de determinantes, det(ab) = det A det B, usando solamente las propiedades de las operaciones de matrices por bloques Para ello hacemos los siguientes pasos donde A, B, C y D son matrices cuadradas del mismo tamaño e I es la matriz identidad del mismo tamaño que A, B, etc: (a) Demuestra que C D det = det C D ) ) ( C D ) ( I I 0 I ) ( I 0 I I ( I I 0 I Pista: Calcula el producto (b) Usa el resultado anterior combinado con (9) (supuesto demostrado independientemente del teorema fundamental) para deducir det = det( C) det B C 0 (c) Usa la multiplicación de matrices por bloques para comprobar la identidad A 0 I B A AB = I B 0 I I 0 y deduce de ella, del apartado anterior y del ejercicio 2-ecuación (4), que A 0 det(ab) = det I B (d) Combina (9) con el resultado anterior para deducir la fórmula buscada Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3, Ejercicio 4 9