ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS. 1. Introducción

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Resumen. En este texto desarrollamos la teoría básica de las álgebras booleanas y su relación con los espacios topológicos compactos T 2 cero-dimensionales. Índice 1. Introducción 1 2. Espacios topológicos 2 3. Conjuntos parcialmente ordenados y retículas 10 4. Retículas distributivas, filtros y teorema de representación de Birkhoff-Stone 16 5. Álgebras booleanas 19 6. Álgebras booleanas y anillos booleanos 23 7. Teoremas de Representación y Dualidad de Stone 28 8. Filtros y compactaciones de Wallman 32 9. Compactaciones cero-dimensionales 37 10. Completación de un álgebra booleana 40 11. Teorema de extensión de Sikorski 43 12. Álgebras booleanas libres 46 13. Ideales y cocientes de álgebras booleanas 50 14. Celularidad de álgebras booleanas 55 15. El teorema de Balcar-Franěk 61 Referencias 71 1. Introducción El presente texto es una síntesis de la teoría básica de las Álgebras Booleanas haciendo incapié en su relación con la Topología y en particular con los espacios topológicos compactos T 2 cero-dimensionales. Pretendemos ofrecer al lector un material suficiente que le sirva de consulta o le inicie en estos temas. Así, en estas notas trataremos fundamentalmente sobre álgebras booleanas, filtros y compactaciones de espacios topológicos. Hay pocos temas como estos que se prestan de maravilla para observar la manera en que interactúan las diferentes Date: Abril de 2012. Key words and phrases. Retículas, álgebras booleanas, compactaciones de Wallman, compactaciones cero-dimensionales, álgebras booleanas libres, ideales y cocientes de álgebras booleanas. El primer autor agradece al Programa de Becas Posdoctorales en la UNAM 2011-2012 por el apoyo recibido. El trabajo de investigación del segundo autor ha sido auspiciado por el proyecto PAPIIT IN115312. 1

2 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA ramas de la matemática unas con otras. El Álgebra, la Topología, la Lógica y la Teoría de Conjuntos parecen fundirse en ciertos momentos cuando tratamos estos temas, y recobran su identidad cada vez que se tratan ejemplos concretos o en las demostraciones de teoremas específicos. Como se precisa en la lista de temas a tratar en el Contenido, daremos una revisión a las ideas y resultados básicos de la Topología General, hablaremos de retículas, compactaciones de Wallman y compactaciones cero-dimensionales, y veremos los Teoremas de Dualidad de Stone que relacionan las álgebras booleanas con los espacios compactos T 2 cero-dimensionales. Además trataremos sobre completaciones de álgebras booleanas, álgebras booleanas libres y cocientes de álgebras booleanas. Trataremos las σ-álgebras de los conjuntos de Borel, de los conjuntos medibles según Lebesgue y de los conjuntos de Baire, y terminaremos la exposición discutiendo sobre la celularidad de algunas álgebras boolenas. La historia de las álgebras booleanas se inicia con el trabajo de George Boole [2] publicado en 1854. Boole estableció algunas entidades algebráicas relacionadas con los valores de verdad falso, 0, y verdadero, 1, y con las operaciones lógicas de disyunción,, conjunción,, y negación, (es decir, el álgebra booleana de dos elementos); y también relacionadas con el álgebra de las operaciones conjuntistas de intersección ( ), unión ( ) y complementación (\) definidas en la colección P(X) de todos los subconjuntos de un conjunto dado X. La teoría moderna de las álgebras booleanas se inicia en los años 1930 con los trabajos de M. H. Stone [14] y [15] relacionados a este tema. La teoría de álgebras booleanas tiene aplicaciones a varias áreas de la matemática, principalmente a la lógica, a la topología, a la teoría de la medida y al análisis funcional. El presente texto tiene una orientación topológica aunque se muestran algunos ejemplos en los que es manifiesta la relación de las álgebras booleanas con otras disciplinas matemáticas diferentes a la topología. Para la elaboración de estas notas han sido consultadas algunas fuentes, principalmente [1], [10] y [13]. Incluso, algunas partes de los textos en las secciones 9, 10 y 11 son copias traducidas de sus correspondientes en el excelente trabajo de A. Blaszczyk. Otros trabajos que han dado soporte a este texto son [4], [7], [8], [12] y [18]. Con respecto a las cuestiones topológicas tratadas aquí, el lector puede consultar [3], [5] y [6]. En general, en este texto se usará simbología típica. Por ejemplo, si X es un conjunto y F X, X \F es el conjunto {x X : x F }; el símbolo χ F denotará la función característica del conjunto F ; es decir, χ F : X {0, 1}, χ F (x) = 1 si x F y χ F (x) = 0 si x F. Si f : X Y es una función y F X y G Y, entonces f[f ] es igual a {f(x) : x F } y f 1 [G] = {x X : f(x) G}. 2. Espacios topológicos En esta sección veremos los conceptos topológicos básicos y algunos teoremas fundamentales en esta materia. Definiciones 2.1. (1) Una topología en un conjunto X es una colección T P(X) que satisface (a) los conjuntos y X pertenecen a T, (b) si A y B son elementos de T, entonces A B T, y (c) si A T, entonces A T.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 3 (2) Un espacio topológico es una pareja (X, T ) en donde X es un conjunto y T es una topología en X. (3) A los elementos en una topología T de un conjunto X les llamaremos conjuntos abiertos de X. Un subconjunto F de X es cerrado en (X, T ) si X \ F es abierto. (5) La cerradura de un subconjunto E de un espacio topológico X es el conjunto cl X E = {F X : E F y F es cerrado en X}. (6) El interior de un subconjunto E de un espacio topológico X es el conjunto int X E = {A X : A E y A es abierto en X}. (7) Una base de una topología T es una subcolección B de T tal que cada elemento de T se puede representar como la unión de elementos que pertenecen a B. Una subbase de una topología T es una subcolección S de T tal que la colección B = {S 0 S 1 S n : n N y S 0, S 1,..., S n S} es una base para T. Una base local de X en un punto x X, es una colección B x T tal que x B para cualquier B B x, y si A T con x A, entonces existe B B x que satisface B A. Las topologías extremas en un conjunto X son la topología discreta, P(X), y la indiscreta {, X}. En el conjunto {0, 1}, la coleccion F = {, {0}, {0, 1}} es una topología diferente a su topología discreta; a la pareja ({0, 1}, F) se le llama espacio de Fréchet. Para cada conjunto X, la colección T c = {A X : X \ A < ℵ 0 } es una topología conocida como la topología cofinita en X. Dado un conjunto X y una colección B P(X) que satisface (i) X = B y (ii) para cada A, B B y cada x A B existe C B tal que x C A B, podemos considerar la colección T de todos los subconjuntos en X que son la unión de alguna subcolección de elementos de B. Resulta que T es una topología en X que tiene como una de sus bases a B. A esta topología T se le llama topología generada por B como base. Ahora bien, si a cada punto x X le asociamos una colección B(x) P(X) de tal modo que (i) para cada x X, B(x) es no vacío y cada U B(x) contiene a x, (ii) si x V B(y) para x, y X, entonces existe U B(x) que satisface U V, y (iii) para cada x X y cualesquiera dos U, V B(x), podemos hallar A B(x) tal que A U V, entonces la colección T = {A X : A B con A = A}, en donde B = x X B(x), es una topología en X que tiene a B como base; además, para cada x X, B(x) es base local de x en (X, T ). Más generalmente, para un conjunto X y un conjunto no vacío S P(X) podemos definir una topología T S como sigue: sea B = {S 0 S 1 S n : n N y S 0, S 1,..., S n S}; entonces B {X} es una base para una topología T S en X de la cual S es subbase. Observe que un conjunto F de un espacio X es cerrado si y sólo si cl X F = F, y un conjunto A es abierto si y sólo si int X A = A. Definición 2.2. Un espacio topológico X es T 2 ó Hausdorff si para cada dos puntos x, y X podemos encontrar dos abiertos A y B tales que x A, y B y A B =.

4 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Recordemos que una métrica en un conjunto X es una función d : X X R que satisface las siguientes condiciones para cualesquiera tres elementos x, y, z en X: 1. d(x, y) 0, 2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y, 3. d(x, y) = d(y, x), y 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Si d es una métrica en X, a la pareja (X, d) le llamaremos espacio métrico. Un ejemplo es la métrica euclideana e en R n (n N) definida por ( n ) 1/2 e((x 1,..., x n ), (y 1,..., y n )) = (y i x i ) 2 i=1 para cualesquiera puntos (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) en R n. Para cada espacio métrico (X, d) la topología T d generada por d es aquella que tiene como base la colección de conjuntos de la forma B(x, ɛ) = {y X : d(x, y) < ɛ} en donde x X y ɛ es un número real positivo. La topología en R n generada por su métrica euclideana es llamada la topología usual o euclideana. Un espacio topológico (X, T ) es metrizable si existe en X una métrica d tal que T d = T. En este caso diremos que d define a la topología T. Observe que para cada conjunto X, el espacio topológico (X, P(X)) es metrizado por la distancia discreta d : X X R definida por { 0 si x = y d(x, y) = 1 si x y. Observaciones 2.3. Sea d una métrica en un espacio (X, T ) que define la topología T. Entonces: 1. el espacio (X, T ) es T 2 ; 2. la función d : X X R + dada por d (x, y) = min{d(x, y), 1} es una métrica acotada por 1 en X que define también a T ; 3. cada punto x X posee una base local numerable (es decir, (X, T ) es primero numerable). En efecto, la colección B x = {B(x, 1/n) : n N} es una base local de x en (X, T ). Si (X, T ) es un espacio topológico y Y X, podemos definir una topología natural T Y en Y como sigue T Y = {Y A : A T }. A T Y le llamamos topología relativa en Y con respecto a (X, T ), y la pareja (Y, T Y ) recibe el nombre de subespacio de (X, T ). Observe que si B es una base de T, entonces la colección {Y B : B B} es una base de T Y. Además, si B y es una base local en X de y Y, entonces {Y B : B B y } es una base local de y en el subespacio Y. Dado un subconjunto Y de R n, su topología euclideana es la topología relativa en Y con respecto a la topología euclideana en R n.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 5 Dada una colección {(X j, T j ) : j J} de espacios topológicos no vacíos, podemos considerar en su producto cartesiano X = j J X j = {f : J j J X j f(j) X j para cada j J} la topología producto o topología Tychonoff generada por la base formada por los conjuntos de la forma (*) [j 1,..., j n ; A 1,..., A n ] = {f X : i {1,..., n}[f(j i ) A i ]} en donde n N, j 1,..., j n J y A i T i para cada i {1,..., n}. Cuando para cada j J, X j es igual a un mismo espacio dado Y, denotaremos al producto j J X j por Y J. Es un buen ejercicio demostrar que la topología euclideana en R n, con n N, coincide con la topología producto de n copias de la recta euclideana R. Proposición 2.4. Un producto de espacios metrizables {X j : j J}, con X j > 1 para toda j J, es metrizable si y sólo si el conjunto J es numerable. Demostración. Para cada j J sea d j una métrica en X j que define su topología. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que cada d j está acotada por 1 (observación 2.3-(2)). Si J es finito, la función d : j J X j j J X j R + definida como d((x j ) j J, (y j ) j J ) = máx{d j (x j, y j ) : j J} constituye una métrica en j J X j que define la topología producto en j J X j. Si J es infinito, podemos identificar a J con N y definir d : n N X n n N X n R + como d((x n ) n N, (y n ) n N ) = d n (x n, y n ) 2 n. n N La métrica d define la topología producto en n N X n. Ahora bien, supongamos que J > ℵ 0 y que cada X j tiene más de un punto. Para probar que el producto no es metrizable bastará con demostrar que X = j J X j no es primero numerable (observación 2.3-(1)). Sea f X arbitrario y supongamos que B 0, B 1,..., B n,... es una colección numerable de abiertos canónicos (del tipo señalado en (*)) que contienen a f. Digamos que B k = [j k 1,..., j k n k ; A k 1,..., A k n k ]. Tomemos el conjunto M = {jl k : k N y 1 l n k }. Como J > ℵ 0 y M es numerable, podemos encontrar j 0 J \ M. Sea A un abierto en (X j0, T j0 ) diferente a X j0 y que contenga a f(j 0 ) (véase la observación 2.3-(1)). Resulta que f pertenece al abierto [j 0 ; A] y ningún B n está contenido en [j 0 ; A]; lo cual prueba que X no es primero numerable, y por lo tanto no es metrizable (observación 2.3-(3)). Así por ejemplo, la proposición 2.4 nos dice que los espacios producto R ω, N ω y [0, 1] ω son metrizables pero R ω1, N ω1 y [0, 1] ω1 no son metrizables. Sean (X, T ) y (Y, S) dos espacios topológicos. Una función f : X Y es continua si f 1 [A] es un conjunto abierto en X para cada A S. La función f : X Y es abierta si f[b] S cada vez que B T ; y f es encaje si la función f : X f[x] es inyectiva, continua y abierta (f[x] equipado con la topología de subespacio).

6 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Además f : X Y es un homeomorfismo si es un encaje suprayectivo. Para un producto j J X j y un k J, denotaremos con π k a la función proyeccción sobre el k factor, es decir para cada f j J X j, π k (f) = f(k). Resulta que cuando consideramos la topología producto j J X j, cada proyección es continua y abierta, y una función g definida en un espacio Z y con valores en el producto j J X j es continua si y sólo si π j g es continua para cada j J. Dos espacios topológicos X y Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. El símbolo X = Y significará que los espacios X y Y son homeomorfos. Una propiedad P aplicable a espacios topológicos es propiedad topológica si cada vez que X satisface P y X = Y, se concluye que Y satisface P. Una propiedad topológica es hereditaria si cualquier subespacio Y de un espacio topológico X que satisface P, también tiene P. Y una propiedad topológica P es productiva si el producto de cualquier familia de espacios no vacíos cada uno de ellos con P satisface P. Que dos espacios X y Y sean homeomorfos significa que todas las propiedades y relaciones topológicas que acontecen en X se reproducen fielmente en Y a través de un homeomorfismo h : X Y, y en cualquier argumentación planteada en términos topológicos es posible intercambiar uno de ellos, digamos X, por el otro, Y, manteniéndose verdaderas las conclusiones. Definiciones 2.5. (1) Un espacio topológico X es completamente regular si para cada x X y cada subconjunto cerrado F de X que no contenga a x, existe f : X [0, 1] continua tal que f(x) = 0 y f(y) = 1 para todo y F. (2) X es un espacio Tychonoff si es T 2 y completamente regular. Cada espacio metrizable es un espacio Tychonoff, y todo subespacio de un espacio Tychonoff hereda esta propiedad. Además, el producto de espacios Tychonoff es un espacio Tychonoff. (También la propiedad T 2 es hereditaria y productiva.) Para dos espacios topológicos X y Y, denotaremos con el símbolo C(X, Y ) al conjunto de funciones continuas con dominio en X y rango contenido en Y. En el caso en que Y es el espacio euclideano de los números reales, sólo escribiremos C(X) en lugar de C(X, R). Una colección C C(X, Y ) separa puntos de X si para cada x, y X diferentes, existe f C tal que f(x) f(y). Además, diremos que C separa puntos de cerrados en X si para cada F X cerrado y x X \ F, podemos encontrar f C que satisface f(x) cl Y f[f ]. Para un subconjunto C de C(X, Y ), existe una función natural definida en X y con valores en Y C llamada la función evaluación e C : X Y C definida por e C (x)(f) = f(x). Proposición 2.6. Para espacios topológicos X y Y se cumple: 1. La función e C : X Y C es continua. 2. Si C C(X, Y ) separa puntos en X, entonces e C es inyectiva. 3. Si C separa puntos de cerrados en X, entonces e C : X e C [X] es abierta. 4. Si C separa puntos y puntos de cerrados en X, entonces e C es un encaje. Demostración. (1) e C es continua pues para cada f C, π f e C = f. (2) Si x, y X son diferentes, existe f C tal que f(x) f(y). Entonces e C (x)(f) e C (y)(f). Es decir, e C es inyectiva.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 7 (3) Sea A un subconjunto abierto de X. Consideremos un punto q e C [A] arbitrario. Sea a A tal que e C (a) = q. Obsérvese ahora que el subconjunto cerrado X \ A de X no contiene al punto a. Entonces existe una función g C tal que g(a) cl g[x \ A]. Como Y \ cl g[x \ A] es abierto y la función π g : Y C Y es continua, tenemos que el conjunto πg 1 [Y \ cl g[x \ A]] = {y Y C : y(g) cl g[x \ A]} es abierto en Y C. Notemos ahora que q πg 1 [Y \ cl g[x \ A]] e C [X] e C [A] y que πg 1 [Y \ cl g[x \ A]] e C [X] es un subconjunto abierto de e C [X]. Por lo tanto, podemos concluir que e C [A] es un subconjunto abierto de e C [X]. (4) Esta afirmación es una consecuencia de los incisos anteriores. Teorema 2.7 (Tychonoff, [16]). Un espacio X es Tychonoff si y sólo si X es homeomorfo a un subespacio de un cubo [0, 1] J para algún conjunto J. Demostración. El conjunto C = C(X, [0, 1]) separa puntos y puntos de cerrados en X pues X es Tychonoff. Por la proposición 2.6, e C : X [0, 1] C es un encaje. Por otra parte, si X es homeomorfo a un subespacio de un cubo, entonces es un espacio Tychonoff ya que ésta es una propiedad topológica, hereditaria y productiva. Definiciones 2.8. (1) Una colección de conjuntos C de un conjunto X es cubierta de X si C = X. Una cubierta C de un espacio topológico es abierta si cada elemento de C es un conjunto abierto de X. (2) Un espacio topológico (X, T ) es compacto si cada cubierta abierta de X contiene una subcolección finita que aún cubre a X. Es fácil demostrar las siguientes proposiciones que usaremos varias veces en las siguientes secciones: Proposiciones 2.9. 1. Cualquier subespacio compacto de un espacio Hausdorff X es cerrado en X. 2. Cualquier subespacio cerrado de un espacio compacto comparte esta propiedad. 3. La imagen continua de un espacio compacto es compacta. 4. Una función continua y biyectiva f : X Y es un homeomorfismo si X es compacto y Y es T 2. Un espacio topológico X es normal si para cada dos subconjuntos cerrados ajenos F y G de X, existen abiertos ajenos de X, A y B, tales que F A y G B. Un espacio topológico X es completamente normal si para cada dos subconjuntos cerrados ajenos F y G de X, existe una función continua f : X [0, 1] tal que f[f ] {0} y f[g] {1}. Una demostración del siguiente resultado fundamental puede encontrarse en [5, Theorem 1.5.11] o en [6, Teorema 3.19.1]. Teorema 2.10 (Lema de Urysohn, [17]). Un espacio topológico X es normal si y sólo si X es completamente normal.

8 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Como consecuencia del Lema de Urysohn cada espacio normal T 2 es Tychonoff. Además es fácil demostrar: Proposición 2.11. Todo espacio compacto T 2 es normal. Por lo tanto, concluimos: Proposición 2.12. Todo espacio compacto T 2 es un espacio Tychonoff. La clase de los espacios compactos constituye, junto con la clase de los espacios metrizables, el centro generador alrededor del cual se ha desarrollado una gran parte de la teoría topológica. Ejemplos clásicos de espacios compactos T 2 son el intervalo I = [0, 1] y cualquier espacio topológico finito con su topología discreta. Además del Lema de Uryshon, otro resultado que forma parte de los cimientos de la Topología General es el siguiente teorema demostrado por Tychonoff en 1935. (Una demostración puede encontrarse en [5, Theorem 3.2.4] o en [6, Teorema 3.16.1].) Teorema 2.13 (Tychonoff, [16]). El producto de espacios compactos es un espacio compacto. Así resulta que para cualquier conjunto J, los espacios [0, 1] J y {0, 1} J son también espacios compactos. Una colección F de subconjuntos de X tiene la propiedad de la intersección finita si cada subcolección finita G de F satisface G. Un resultado clave sobre espacios compactos, el cual suele usarse para probar el teorema 2.13 y que usaremos en secciones posteriores (véase por ejemplo la demostración del teorema 8.10), es el siguiente que relaciona la compacidad con familias de cerrados con la propiedad de la intersección finita. (La demostración del resultado puede hallarse, por ejemplo, en [5], Theorem 3.1.1.) Proposición 2.14. Un espacio topológico X es compacto si y sólo si cualquier familia F de subconjuntos cerrados en X con la propiedad de la intersección finita, tiene intersección no vacía, es decir, F. Un subespacio Y de un espacio topológico X es denso en X si cada subconjunto abierto no vacío de X tiene intersección no vacía con Y. Definición 2.15. Una compactación de un espacio X es una pareja (K, h) tal que K es un espacio compacto, h es un encaje de X en K, y h[x] es denso en K. Dos compactaciones (K 1, h 1 ) y (K 2, h 2 ) de X son equivalentes (en símbolos, K 1 X K 2 ) si existe un homeomorfismo H : K 1 K 2 tal que H h 1 = h 2. Como consecuencia de lo dicho en los teoremas 2.7, 2.9 y 2.13 obtenemos: Teorema 2.16. Un espacio X es Tychonoff si y sólo si X posee una compactación T 2. Demostración. Sea X un subespacio denso de un compacto T 2 K. El espacio K es Tychonoff y esta propiedad es hereditaria. Por lo tanto, X es Tychonoff. Ahora, si X es Tychonoff, entonces se puede sumergir como subespacio en un cubo K = [0, 1] J (teorema 2.7). Este último es compacto y T 2 por el teorema de Tychonoff (2.13), así que cl K X es una compactación T 2 de X.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 9 Un espacio X es localmente compacto si cada x X posee una vecindad compacta, es decir, x está en el interior de algún subconjunto compacto de X. El espacio euclideano R n es un ejemplo de un espacio localmente compacto que no es compacto. Igualmente cualquier espacio discreto infinito es localmente compacto y no es compacto. Para un espacio (X, T ) localmente compacto, podemos definir lo que recibe el nombre de compactación por un punto o compactación de Alexandroff αx que es el conjunto αx = X {p}, en donde p X, y una base de su topología es B = T {A αx : p A y X \ A es compacto en X}. El espacio αx así definido es compacto y es T 2 si X lo es. Por lo tanto, cualquier espacio localmente compacto T 2 es Tychonoff. Para cada espacio Tychonoff X, la colección C(X, [0, 1]) separa puntos de cerrados de X, así que podemos definir: Definición 2.17. Sea X un espacio Tychonoff. La compactación de Stone-Čech de X, que denotaremos con el símbolo βx, es la cerradura en K = [0, 1] C(X,[0,1]) del subespacio e[x] (o más exactamente, es la pareja (cl K e[x], e)), en donde e es la función evaluación definida por C(X, [0, 1]) (véase la proposición 1.6). Se dice que un subconjunto Z de un espacio topológico X es nulo si existe una función f : X R continua tal que Z = {x X : f(x) = 0}. Si este es el caso, a Z se le denotará con Z(f). Además, a un subonjunto de un espacio X le llamaremos conulo si es el complemento de un conjunto nulo. El siguiente teorema nos proporciona algunas caracterizaciones fundamentales de la compactación de Stone-Čech. Teorema 2.18. La compactación de Stone-Čech βx de un espacio Tychonoff X cumple las siguientes propiedades equivalentes: 1. para cualquier función continua f : X Y, donde Y es un compacto T 2, existe una única función continua f : βx Y tal que f e = f; 2. para cualquier función continua f : X [0, 1], existe una única función continua f : βx [0, 1] tal que f e = f; 3. para cualesquiera dos nulos ajenos Z 1, Z 2 de X se cumple: cl βx e[z 1 ] cl βx e[z 2 ] = ; 4. para cualesquiera dos nulos Z 1, Z 2 de X se cumple: cl βx e[z 1 ] cl βx e[z 2 ] = cl βx e[z 1 Z 2 ]. Además, si (K, h) es una compactación de X que cumple alguna de las condiciones anteriores cuando βx es substituida por K y e por h, entonces K X βx. Un subconjunto A de un espacio topológico X es cerrabierto si es, a la vez, cerrado y abierto. A la colección de subconjuntos cerrabiertos de un espacio X la denotaremos con CA(X). Una clase de espacios topológicos Tychonoff que jugará un papel especial en este trabajo es aquel de los espacios X T 2 que tienen la característica de que la colección CA(X) constituye una base para su topología. A estos espacios les llamaremos cero-dimensionales. Cualquier espacio discreto es cero-dimensional. Además, esta propiedad es hereditaria y productiva, por lo cual cada subespacio de un cubo de Cantor {0, 1} M es cero-dimensional cualquiera que sea el conjunto M.

10 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Ejemplo 2.19 (Espacios Topológicos Linealmente Ordenados). Dado un conjunto linealmente ordenado (X, ) (véase la definición en la sección 2) podemos considerar la colección S = {L a : a X} {D a : a X} de subconjuntos de X en donde para cada a X, L a = {x X : x < a} y D a = {x X : x > a}. Podemos generar una topología T en X usando a S como subbase generadora (véanse los párrafos posteriores a las definiciones 2.1). A la topología T se le conoce como la topología en X generada por. Un espacio topológico (X, T ) es linealmente ordenable si existe un orden lineal en X tal que T coincide con T. Cualquier espacio linealmente ordenable es Tychonoff. Es bien conocido que la topología generada por el orden usual en R coincide con su topología euclideana. Otro ejemplo de espacio linealmente ordenable es el espacio de números ordinales numerables [0, ω 1 ) considerado con el orden de los números ordinales o. Este espacio es localmente compacto y cero-dimensional. Además, si a [0, ω 1 ) le añadimos el primer ordinal no numerable ω 1, entonces obtenemos el espacio [0, ω 1 ] que es compacto y resulta ser tanto la compactación por un punto de [0, ω 1 ) como su compactación de Stone-Čech (puede consultarse [7]). En general, dado un número ordinal α, usaremos el símbolo [0, α) para designar al conjunto α considerado con su topología definida por el orden usual o en α. Al espacio [0, α + 1) lo denotaremos también como [0, α]. 3. Conjuntos parcialmente ordenados y retículas Una relación binaria R en un conjunto A es un subconjunto de A A. Escribiremos indistintamente (a, b) R ó arb para señalar que a y b están relacionados según R. Una relación R en A es 1. reflexiva si para cada a A, ara. 2. antisimétrica si a, b A, arb y bra implica a = b. 3. transitiva si a, b, c A, arb y brc, entonces arc. 4. asimétrica si a, b A y arb, entonces bra no ocurre. 5. total o lineal si para cada a, b A se tiene que arb ó bra. A una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva en un conjunto A le llamaremos orden parcial en A y lo denotaremos con el símbolo, y diremos que a es menor o igual que b (a, b A) si a b. A la pareja (A, ) le llamaremos conjunto parcialmente ordenado Una relación asimétrica y transitiva en A es llamada orden parcial estricto y será denotado con <. Dado un orden estricto < en A, la relación definida en A como a b si y sólo si a < b ó a = b es una relación de orden parcial; reciprocamente, si es una relación de orden parcial en A, entonces la relación definida en A como a < b si y sólo si a b y a b es un orden estricto en A. El símbolo a b significa que a b es falsa. Análogamente con a b. Un orden parcial en A que además es lineal es llamado un orden lineal en A y, en este caso, a la pareja (A, ) se le llama conjunto linealmente o totalmente ordenado. Un subconjunto C de un conjunto parcialmente ordenado (A, A ) es una cadena si C con el orden A es un conjunto linealmente ordenado. Ejemplos de conjuntos parcialmente ordenados son (P(X), ) y (R, R ) en donde X es un conjunto, es la relación de inclusión y R es la relación de orden usual definida en el conjunto de los números reales R. Además (R, R ) es totalmente ordenado, y (P(X), ) es totalmente ordenado si y sólo si X tiene a lo más un elemento.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 11 Sea (A, ) un conjunto parcialmente ordenado, y sea B un subconjunto de A. Un elemento a A es 1. cota superior (respectivamente, cota inferior) de B si b a (respectivamente, a b) para todo b B. Además, a A es 2. mínima cota superior o supremo (respectivamente, máxima cota inferior o ínfimo) de B si a es cota superior (resp., cota inferior) de B y para cada cota superior c de B (respectivamente, para cada cota inferior c de B) se cumple que a c (respectivamente, c a). Obsérvese que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado puede carecer de cotas como es el caso de R en (R, R ), o por el contrario tener muchas cotas como puede apreciarse en el caso de [0, 1) en (R, R ). Por otro lado si un conjunto B de un conjunto parcialmente ordenado (A, ) tiene una mínima cota superior o supremo (respectivamente, una máxima cota inferior o ínfimo), esta debe ser única y la denotaremos por B (resp., B). Obsérvese también que, aún si el subconjunto B de (A, ) tiene una mínima cota superior o una máxima cota inferior, ésta no necesariamente pertenece a B. Un elemento a en un conjunto parcialmente ordenado (A, ) es el mínimo o el primer elemento (resp., el máximo o el último elemento) de A si es el ínfimo (resp., el supremo) en A. Si tales elementos existen en el conjunto (A, ) suelen denotarse por 0 y 1 respectivamente. Por ejemplo, para el conjunto (P(X), ) tenemos que 0 = P(X) = y 1 = P(X) = X. Por fin, un elemento a en un conjunto parcialmente ordenado (A, ) es un elemento minimal (resp., un elemento maximal) en A si a no es mayor (resp., menor) a ningún otro elemento de A. Por cierto, los axiomas conjuntistas sobre los que nos estamos apoyando en este texto son los usuales de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección (véase [8]). Este último lo aplicaremos en varias ocasiones expresado en términos de la siguiente proposición equivalente: Proposición 3.1 (Lema de Kuratowski-Zorn). Sea (X, ) un conjunto parcialmente ordenado. Si cada cadena de (X, ) tiene una cota superior, entonces X contiene un elemento maximal. Definición 3.2. Un conjunto parcialmente ordenado A = (A, ) es una retícula si para cada par de elementos a, b A, existen en A el supremo y el ínfimo de {a, b}, a los cuales denotaremos con a b y a b, respectivamente. Observaciones 3.3. (1) Si A = (A, ) es una retícula, entonces las siguientes proposiciones se cumplen para cualesquiera a, b, c A: R0 a b es equivalente a la igualdad a b = a y esto a su vez equivale a a b = b; R1 a = a a = a a; R2 a b = b a y a b = b a; R3 (a b) c = a (b c), y (a b) c = a (b c); R4 a (a b) = a, y a (a b) = a. (2) A un conjunto A con dos operaciones binarias, : A A A que satisfacen las propiedades marcadas con R1 hasta R4 en el inciso anterior, se le puede asociar un orden parcial definido por R0; con este orden, para a, b A, el -ínfimo

12 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA de {a, b} es a b y el -supremo de {a, b} es a b. Así pues, esta es una forma alternativa de definir una retícula (A, ). Cuando queramos hacer hincapié en las operaciones y de una retícula (A, ) escribiremos (A,,, ). Además, si A = (A, ) tiene elemento mínimo 0 y máximo 1, usaremos también las notaciones (A,,,, 0, 1), (A,,, 0, 1) ó (A,, 0, 1) para remarcar los símbolos con los que denotamos las relaciones reticulares en A y los elementos mínimo y máximo de A. Por último, usaremos simplemente la letra A para designar una retícula cuando no sea necesario llamar la atención sobre los signos usados para indicar sus relaciones reticulares y los elementos singulares de ella. Definición 3.4. Una retícula (A, ) es completa si para cada B A diferente del vacío, existen a, b A tales que a es el supremo de B y b es el ínfimo de B; es decir, a = B y b = B. Ejemplos 3.5. (1) Es claro que cualquier conjunto linealmente ordenado (X, ) es una retícula. Además, el conjunto linealmente ordenado (X, ) es completo si y sólo si carece de huecos. Recordemos que un hueco en X es una pareja (L, D) de subconjuntos de X, posiblemente vacíos, tal que (a) L D = X, (b) x < y para cada x L y y D, y (c) L carece de máximo y D no tiene mínimo. Otra forma de caracterizar los conjuntos linealmente ordenados completos es: el conjunto linealmente ordenado (X, ) es completo si y sólo si el espacio topológico (X, T ) (véase 2.19) es compacto. Así, por ejemplo, el intervalo [0, 1] con su orden usual y el conjunto de ordinales [0, ω 1 ] con el orden de los números ordinales son retículas completas. (2) Para cada conjunto X, la colección P(X) con las operaciones = y = y el orden constituye una retícula completa pues para cada = B P(X), B = B y B = B. (3) Dado un espacio topológico (X, T ), la colección T con las operaciones A B = A B y A B = A B y el orden forma también una retícula completa. En efecto, para cada B T no vacía, B = B y B = int( B). (4) Un conjunto G de un espacio topológico (X, T ) es un abierto regular de X si G = int X (cl X G). Denotemos por AR(X) a la familia de los abiertos regulares en X. Consideremos en AR(X) las operaciones A B = int X cl X (A B) y A B = A B. Entonces AR(X) con estas operaciones y el orden parcial de la inclusión es una retícula. Además AR(X) es una retícula completa ya que si U AR(X), U = intx cl X ( U) y U = int X cl X ( U) constituyen el supremo y el ínfimo de U en AR(X), respectivamente. Corroboremos que, en efecto, si U AR(X), int X cl X ( U) es el supremo de U en AR(X) (probar que int X cl X ( U) es el ínfimo de U en AR(X) se lleva a cabo de modo análogo): Para cualquier U U se cumple U U. Por lo tanto U = int X cl X U int X cl X ( U). Esto es, int X cl X ( U) es una cota superior de U. Tomemos ahora otra cota superior de U, digamos W AR(X). Tenemos que, para cada U U, U W ; por lo cual U W. Entonces int X cl X ( U) int X cl X W = W.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 13 Ahora veremos ejemplos de retículas no completas. Ejemplo 3.6. Escribiremos Z(X) para representar a la familia de todos los conjuntos nulos de un espacio topológico X. Resulta que Z(X) con la relación de orden es una retícula. En efecto, si f y g son funciones continuas definidas en X y con valores en R, entonces Z(f) Z(g) = Z(f) Z(g) = Z(f 2 + g 2 ) y Z(f) Z(g) = Z(f) Z(g) = Z(f g). La retícula (Z(X), ) no es necesariamente completa como se puede apreciar cuando tomamos como espacio X a la compactación por un punto αw = W {p} del espacio discreto W de cardinalidad ℵ 1. En este espacio el punto p es un elemento fuera de W, cada subconjunto de W es abierto en αw y un subconjunto V de αw que contiene a p es abierto si y sólo si W \ V < ℵ 0. Afirmamos que si g C(αW ) y p Z(g), entonces Z(g) \ W es numerable. En efecto, Z(g) = n g 1 [( 1/n, 1/n)] y como cada g 1 [( 1/n, 1/n)] es abierto en αw y contiene a p, entonces αw \ g 1 [( 1/n, 1/n)] es finito, por lo cual Z(g) \ W es numerable. Veamos ahora que Z(αW ) no es completa. Comencemos por notar que si F W es finito, entonces χ F : αw R, la función característica de F, es continua y, por lo tanto, αw \ F Z(αW ). Ahora probaremos que si Y W satisface Y = W \ Y = ω 1, entonces C = {F : F es un subconjunto finito de Y } carece de supremo en Z(αW ). En efecto, si Z(f) es una cota superior de C, entonces αw \Y Z(f); en particular, p Z(f) y por ende W \Z(f) es numerable. Entonces, para cada q Z(f) \ Y se tiene que A = αw \ {q} es una cota superior de C en Z(αW ) para la cual Z(f) A. Ejemplo 3.7. Sea X un espacio topológico y C(X) el anillo de funciones continuas definidas sobre X y con valores reales. En C(X) podemos definir las operaciones (f g)(x) = máx{f(x), g(x)} y (f g)(x) = mín{f(x), g(x)} para cualesquiera f, g C(X) y x X. El orden parcial determinado por estas operaciones binarias es f g si y sólo si f(x) R g(x) para todo x X, en donde R es el orden usual en R. Esta retícula no es necesariamente completa como se puede apreciar cuando tomamos como espacio X al espacio αw definido en el ejemplo 3.6. Para demostrar que (C(αW ), ) no es completa se puede seguir una argumentación semejante a la dada en el ejemplo 3.6 ya mencionado. Ejemplo 3.8. Sea (X, T ) un espacio topológico y sea CA(X) la colección de los subconjuntos cerrabiertos de X. Resulta que CA(X) con las operaciones y y el orden es una retícula. Obsérvese que 1. {X, } CA(X), 2. CA(X) = {X, } si y sólo si X es conexo, y 3. CA(X) = P(X) si y sólo si X es discreto. Si X es el espacio euclideano de los racionales Q, la retícula de los cerrabiertos en X, CA(Q), no es completa. En efecto, sea U = {B CA(Q) : B (0, )}. Si

14 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA V es una cota superior de U en CA(Q), entonces debe suceder que V contiene a Q (0, ). Como V es cerrado, entonces 0 V. Como V es abierto, existe r Q con r < 0 y (r, ) Q V. Sea s un número irracional tal que r < s < 0. Entonces (s, ) Q CA(Q), es cota superior de U y no es mayor a V. Ejemplo 3.9. En el conjunto de los números naturales N consideramos la relación dada por la fórmula siguiente: x y x y; es decir, x y si el número natural x divide a y. Esta relación es un orden parcial. Resulta que (N, ) es una retícula con x y igual al mínimo común múltiplo de x y y, y en donde x y es el máximo común divisor. Además, si x y entonces x debe ser un número menor o igual que y. Es entonces claro que (N, ) no tiene último elemento. En particular, (N, ) no es completa. Ejemplo 3.10 (Compactaciones T 2 de espacios topológicos). Sea X un espacio Tychonoff. Si (K, h) es una compactación T 2 de X, entonces K 2 2κ, donde κ = X, porque la función φ : X P(P(X)) definida mediante φ(x) = {U X : U es un abierto en K que contiene a x} es inyectiva. Esta observación garantiza la existencia de un conjunto K(X) de compactaciones T 2 de X que satisface lo siguiente: 1. Siempre que (K 0, h 0 ), (K 1, h 1 ) K(X) cumplan (K 0, h 0 ) X (K 1, h 1 ) (ver 2.15) se concluye que (K 0, h 0 ) = (K 1, h 1 ). 2. Para toda compactación T 2 (K, h) de X existe (K 0, h 0 ) K(X) tal que (K, h) X (K 0, h 0 ). En otras palabras, K(X) es un sistema completo de representantes para la relación X (observe que la clase K(X) no es un conjunto pero K(X) sí lo es). En K(X) podemos definir la relación (K 1, h 1 ) (K 2, h 2 ) si existe una función continua g : K 2 K 1 tal que g h 2 = h 1. Es un ejercicio rutinario el probar que la relación restringida a K(X) es un orden parcial. Ahora probaremos que todo subconjunto no vacío de K(X) tiene supremo. Con esta idea en mente, fijemos {(K s, h s ) : s S} K(X), donde S. Sea Y = s S K s el producto topológico, π s : Y K s la proyección en la coordenada s y sea e : X Y la única función que satisface π s e = h s, para cada s S. La función e es continua y separa puntos de cerrados, por lo cual es un encaje (véase la proposición 2.6). Así la pareja (cl Y e[x], e) es una compactación de X. Por la propiedad (2) enunciada arriba, existe (K, h) K(X) de tal suerte que (cl Y e[x], e) X (K, h). Es ahora posible constatar que S = (K, h). En particular, el único elemento de K(X) que es equivalente (según X ) a la compactación de Stone-Čech de X es igual al supremo de K(X) según fue señalado en la definición 2.17 y el teorema 2.18. Es costumbre llamar a un conjunto parcialmente ordenado (P, ) que contiene al supremo de cada uno de sus subconjuntos no vacíos semiretícula completa superiormente y al supremo de (P, ), máximo proyectivo. Así, ( K(X), ) es una semiretícula completa superiormente y su máximo proyectivo es el único elemento equivalente a (βx, e) (véase 2.18-(1)).

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 15 La semiretícula ( K(X), ) es una retícula completa si y sólo si X es T 2 y localmente compacto T 2 (para una demostración de esto véase la proposición 4.3.(e), pag. 253 de [13].) Definición 3.11. Sean A = (A, A, A, A ) y B = (B, B, B, B ) dos retículas. Diremos que B es una subretícula de A si B A y para cualesquiera dos elementos a, b B, a B b = a A b y a B b = a A b. Como consecuencia de esta definición resulta que si a, b B, a B b si y sólo si a A b. En particula, si A = (A, A, A, A ) es una retícula y B A, entonces (B, A, A, A ) es una subretícula de A. Para un espacio topológico (X, T ), las retículas T, Z(X) y CA(X), definidas en los ejemplos 3.5-(3), 3.6 y 3.8, respectivamente, son subretículas de (P(X),,, ). Por otro lado, la retícula AR(X), definida en el ejemplo 3.5-(4), no es necesariamente una subretícula de la retícula (P(X),,, ). Por ejemplo, en el espacio euclideano R, (0, 1) y (1, 2) son abiertos regulares pero (0, 1) (1, 2) = (0, 2) (0, 1) (1, 2). Definiciones 3.12. 1. Sean A = (A, A ) y B = (B, B ) dos conjuntos parcialmente ordenados y sea h : A B una función. h es un homomorfismo de orden si a A b implica h(a) B h(b) para cualesquiera a, b A. La función h : A B es un epimorfismo de orden si h es un homomorfismo de orden suprayectivo. La función h : A B es un monomorfismo de orden si es inyectiva y tanto h como h 1 : h[a] A son homomorfismos de orden. En el caso en que h : A B es un monomorfismo de orden y además es suprayectiva, entonces diremos que h es un isomorfismo de orden, y que A y B son conjuntos parcialmente ordenados isomorfos. 2. Sean A = (A, A, A, A ) y B = (B, B, B, B ) dos retículas. Una función h : A B es un homomorfismo reticular si h(a A b) = h(a) B h(b) y h(a A b) = h(a) B h(b) para cualesquiera a, b A. La función h : A B es un epimorfismo reticular si es un homomorfismo reticular suprayectivo. La función h : A B es un monomorfismo reticular si h es inyectiva y tanto h como h 1 : h[a] A son homomorfismos reticulares. Si h : A B es monomorfismo reticular y es suprayectiva, entonces diremos que h es un isomorfismo reticular, y en este caso diremos que A y B son dos retículas isomorfas. Observaciones 3.13. Sean A = (A, A, A, A ) y B = (B, B, B, B ) dos retículas, y sea h : A B una función. Entonces: 1. si h es un homomorfismo reticular, (h[a], B, B, B ) es una subretícula de B a la que denotaremos por h[a]; 2. si h es un homomorfismo reticular entonces h es un homomorfismo de orden; 3. h es un monomorfismo reticular si h es un homomorfismo reticular inyectivo; y 4. si h es un monomorfismo reticular entonces h es un monomorfismo de orden. Ejercicio 3.14. Demuestre, exhibiendo ejemplos, que los siguientes enunciados son ciertos. 1. Existen homomorfismos de orden que no son retículares. 2. Hay monomorfismos de orden que no son monomorfismos de retículas.

16 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA En la sección 3 vamos a determinar bajo qué condiciones una retícula (A,,, ) es isomorfa a una subretícula de una retícula del tipo (P(X),,, ). Si tal cosa sucede, diremos que (A,,, ) tiene una representación conjuntista. Ejercicio 3.15. Sean A y B dos conjuntos parcialmente ordenados y sea f : A B una función suprayectiva. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. f es un isomorfismo de orden. 2. Para cualesquiera a, b A se tiene que a A b es equivalente a que f(a) B f(b). Ejercicio 3.16. Si las retículas A y B son isomorfas y A es completa, entonces B es completa. 4. Retículas distributivas, filtros y teorema de representación de Birkhoff-Stone ( ) Para cualquier retícula A = (A,,,, 0, 1) y elementos a, b, c A, se tiene que (a b) (a c) a (b c). La igualdad en la desigualdad ( ) no se cumple necesariamente en cualquier retícula. Por ejemplo, si A = {0, x 1, x 2, x 3, 1} y las únicas posibles desigualdades en A son 0 < x i < 1 para i {1, 2, 3} (es decir, x i x j si i j, i, j {1, 2, 3}), entonces 0 = (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) < x 1 (x 2 x 3 ) = x 1 1 = x 1. Las retículas que satisfacen la igualdad en ( ) estarán en el centro de nuestra atención, así que les asignaremos un nombre: Definición 4.1. Una retícula (A,,, ) es distributiva si para cualesquiera a, b, c A se cumple: a (b c) = (a b) (a c). Se puede demostrar que una retícula (A,,, ) es distributiva si y sólo si para a, b, c A se cumple a (b c) = (a b) (a c). Observaciones 4.2. 1. Todo conjunto linealmente ordenado es una retícula distributiva. 2. Una retícula del tipo (P(X),,, ) siempre es distributiva. 3. Si A es una retícula distributiva y B es una subretícula de A, entonces B es distributiva. 4. Sea (A, A ) una retícula distributiva que no tiene elemento mínimo (resp., máximo). Entonces, existe una retícula distributiva (B, B ) con mínimo (resp., máximo) tal que (A, A ) es subretícula de (B, B ). 5. Sean (A, A ) y (B, B ) dos retículas. Supongamos que (A, A ) es distributiva y que h : A B es un epimorfismo reticular. Entonces, (B, B ) es distributiva.

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 17 Demostración. La prueba de estas proposiciones es simple. Presentamos aquí sólo las demostraciones de (4) y (5). (4) Sea B = A {0} en donde 0 es un elemento que no pertenece a A. Definimos en B el orden B como sigue: 0 < B a para cualquier a A y, si a, b A, a < B b si y sólo si a < A b. Es fácil corroborar que 0 es el elemento mínimo de (B, B ), que (A, A ) es subretícula de (B, B ) y que esta última es distributiva. De manera análoga se procede en el caso del máximo. (5) Sean a, b, c B. Como h es una función suprayectiva, existen x, y, z A tales que h(x) = a, h(y) = b y h(z) = c. Entonces (a b) (a c) = (h(x) h(y)) (h(x) h(z)) = h((x y) (x z)) = h(x (y z)) = h(x) (h(y) h(z)) = a (b c). Como consecuencia de (2) y (3) en las observaciones anteriores, resulta que si (X, T ) es un espacio topológico, cada una de las retículas T, CA(X) y Z(X) definidas en los ejemplos 3.5-(3), 3.6 y 3.8 son distributivas. Es posible demostrar también que las retículas AR(X), C(X) y (N, ) de los ejemplos 3.5-(4), 3.7 y 3.9 son distributivas. Definición 4.3. Sea A = (A,,,, 0, 1) una retícula con elemento mínimo 0 y elemento máximo 1. Una colección F de A es un A-filtro o filtro en A, o simplemente filtro si no hay posibilidad de confusión, si 1. 0 F y F, 2. si a, b F, entonces a b F, and 3. si a F y b A es tal que a b, entonces b F. Cuando el conjunto A del álgebra booleana A es de la forma P(X), es usual referirse a un filtro en P(X) como filtro en X. Observaciones 4.4. Sea A = (A,,,, 0, 1) una retícula y sea a A \ {0}. Entonces 1. La colección F a = {b A : b a} es un A-filtro. 2. Si F es un A-filtro y a A \ F satisface que a x 0 para cualquier x F, entonces F (a) = {b A : existe x F tal que a x b} es un A-filtro que contiene propiamente a F. Un A-filtro F es primo si cada vez que tengamos a, b A con a b F, entonces a F ó b F. Finalmente, un A-filtro F es un A-ultrafiltro (o simplemente ultrafiltro) si no existe un A-filtro G que contenga a F propiamente. Observe que si A es distributiva, entonces todo A-ultrafiltro es primo. En efecto, supongamos que a, b A \ F. Si sucediese que a x 0 para cada x F, entonces F (a) sería un A-filtro con F F (a) (observación 4.4-(2)) y, por ende, a F. Procediendo de manera análoga con b se obtiene la existencia de x, y F de tal modo que a x = b y = 0. Ahora podemos emplear la distributividad de A para concluir que (x y) (a b) = 0 y como x y F, esto implica que a b / F. Ejercicio 4.5. Muestre que existe una retícula no distributiva A en la que hay A-ultrafiltros que no son A-filtros primos. En los dos lemas que siguen, A = (A,,,, 0, 1) es una retícula, F es un A- filtro y a A \ F. Además, al conjunto S = {G : G es un A-filtro, F G y a G} lo consideramos con su orden. Lema 4.6. Existe un A-filtro M que es maximal en el conjunto (S, ).

18 ROBERTO PICHARDO-MENDOZA AND ÁNGEL TAMARIZ-MASCARÚA Demostración. Si C S es una cadena en (S, ), entonces C pertenece a S y es cota superior de C. Aplicando ahora el Lema de Kuratowski-Zorn, resulta que existe un A-filtro maximal M en S. Lema 4.7. Si A es distributiva y si M es un A-filtro maximal de (S, ), entonces M es primo. Demostración. Supongamos que M no es primo. Entonces existen b, c A tales que b c M pero M {b, c} =. Los A-filtros M(b) y M(c) contienen propiamente a M (observación 4.4-(2)). Como M es maximal en S y como F M(b) M(c), entonces debe suceder que a M(b) M(c). Por lo tanto, existen m 1, m 2 M tales que b m 1 a y c m 2 a. Así que, (b m 1 ) (c m 2 ) a. Ahora bien, b c M y m = m 1 m 2 M. Entonces, (b c) m M. Como A es distributiva, (b c) m = (b m) (c m). Además, (b m) (c m) (b m 1 ) (c m 2 ). Pero esto significa que a M, lo cual es una contradicción. Concluimos que M debe ser primo. Conservando la notación de los lemas 4.6 y 4.7 y del párrafo anterior al lema 4.6, si a x 0 para todo x F, entonces M es un A-filtro primo que no es A-ultrafiltro. Observe además que tomando a = 0 en el lema 4.6 se obtiene que todo A-filtro está contenido en un A-ultrafiltro. Diremos que una retícula (A,,, ) tiene una representación conjuntista si es isomorfa a una subretícula de una retícula de la forma (P(X),,, ). No es difícil probar el siguiente resultado. Lema 4.8. Sea A una subretícula de B. Si B tiene una representación conjuntista, así también A. Teorema 4.9 (Teorema de representación de Birkhoff-Stone). Una retícula tiene una representación conjuntista si y sólo si dicha retícula es distributiva. Demostración. Si A = (A,,, ) tiene una representación conjuntista, entonces existe un conjunto X y una subretícula B = (B,,, ) de (P(X),,, ) tal que A es isomorfa a B. De las observaciones en 4.2-(2) y 4.2-(3), concluimos que A es distributiva. Supongamos ahora que A = (A,,, ) es distributiva y que tiene un elemento mínimo 0 y uno máximo 1. Vamos a encontrar un conjunto X tal que la retícula A es isomorfa a una semiretícula de (P(X),,, ). Tomamos X = {F A : F es un A-filtro primo}. Definimos φ : A P(X) como φ(a) = {F X : a F }. Para a, b A, se cumple que φ(a b) = φ(a) φ(b) y φ(a b) = φ(a) φ(b). Además, φ(0) = y φ(1) = X. Es decir, φ es un homomorfismo de retículas. Vamos ahora a probar que φ es una función inyectiva. Sean a, b A con a b. Entonces a b ó b a. Supongamos que sucede lo primero. Tomemos F a = {x A : a x}. F a es un A-filtro y b F a. Aplicando los lemas 4.6 y 4.7, podemos encontrar un A-filtro primo M que contiene a F a, y por ende contiene a a, y no contiene a b. Por lo tanto φ es inyectiva. Por lo dicho hasta aquí, φ es un isomorfismo reticular entre A y (φ[a],,, ) que es subretícula de (P(X),,, ) (véanse las observaciones 3.13). Finalmente, si la retícula distributiva A carece de un mínimo o de un máximo, podemos encontrar una retícula distributiva B que posee mínimo y máximo, y tal

ÁLGEBRAS BOOLEANAS Y ESPACIOS TOPOLÓGICOS 19 que A es subretícula de B (véase la observación 4.2-(4)). Por lo ya demostrado, B tiene una representación conjuntista. Ahora sólo resta aplicar el lema 4.8. 5. Álgebras booleanas Consideremos una retícula A = (A,,,, 0, 1). Diremos que b A es un complemento de a A si a b = 1 y a b = 0. Si A es distributiva y a A tiene un complemento, éste es único. Definición 5.1. Un álgebra booleana es una retícula distributiva A = (A,,,, 0, 1) tal que cada elemento en A tiene un complemento. Para cada a en un álgebra booleana A, denotaremos con a al único elemento en A que es complemento de a. Al operador : A A definido por a a, le llamaremos complementación. Ejemplos 5.2. El primer ejemplo que hay que mencionar es el álgebra booleana trivial {0} en donde 1 = 0 y las operaciones, y son las triviales. Por otra parte, todos los ejemplos de retículas estudiados en la sección 2, son retículas distributivas. De ellos, (P(X), ) es un álgebra booleana con mínimo y máximo X, y el complemento de cada A P(X) es X \ A. Para un espacio topológico (X, T ), la cuarteta (CA(X),,, X) es también un álgebra booleana en la cual el complemento de A CA(X) es X \ A. Además, la retícula de abiertos regulares es también un álgebra booleana en donde 0 =, 1 = X y para cada abierto regular A, A = X \ cl X A. En cambio, T y Z(X) son retículas acotadas por 0 = y 1 = X, pero no necesariamente todos sus elementos tienen complemento. Ejemplo 5.3. (Álgebras booleanas de Lindenbaum) El ejemplo que presentamos ahora ejemplifica la conexión entre las álgebras booleanas y la lógica. Sea L un lenguaje de primer orden y sea S una teoría (es decir S es un conjunto arbitrario de fórmulas en L). Consideramos en S la relación de equivalencia φ ψ si y sólo si φ ψ. Es decir, φ ψ si y sólo si φ ψ es formalmente probable a partir de los axiomas de S en el cálculo clásico de predicados. El conjunto B(S) de todas las clases de equivalencia [φ] con φ S es un álgebra booleana bajo las siguientes operaciones: [φ] [ψ] = [φ ψ], [φ] [ψ] = [φ ψ], [φ] = [ φ]. en donde y dentro de los corchetes representan la conjunción y disyunción lógicas y es la negación. Además, B(S) está acotada por en donde φ es una fórmula arbitraria. 0 = [φ φ] y 1 = [φ φ]. Para cada dos elementos a, b de un álgebra booleana (A,,, ), al elemento a b lo denotaremos también por a \ b, y a se usará para denotar (a ). Las relaciones contenidas en la siguiente proposición son de gran importancia y su demostración es sencilla.