Teoría Espectral Stephen B. Sontz Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. (CIMAT) Guanajuato, Mexico Mini-curso impartido en Colima 29 septiembre 2016 - Tercer día
Introducción Hay dos dichos populares a propósito de la mecánica cuántica. Primero: Para aprender bien la mecánica cuántica, hay que resolver quinientos problemas. Segundo: Nadie comprende la mecánica cuántica. Pero no hay contradicción. El primero quiere decir que podemos resolver problemas en la mecánica cuántica a partir de unas reglas dadas, que podemos aprender con la práctica. El segundo quiere decir que no hay explicación de las reglas de la mecánica cuántica (hasta la fecha). Hoy vamos a ver las reglas de la mecánica cuántica en un modelo sencillo que se llama un modelo de dos niveles.
Sistemas de Dos Niveles He aquí una lista de varios ejemplos de sistemas de dos niveles. Moléculas al dentro de un laser. (Siempre y cuando solamente son importantes dos niveles de su energia.) Sistemas con spin 1/2. (Como electrones, quarks, protones, neutrones, algunos átomos y algunos núcleos. Spin es un tipo de momento angular. Con spin 1/2 hay exactamente los valores 1/2, 1/2 en una dirección dada. Fotones. (Un fotón tiene spin 1 y masa cero. Tiene dos valores 1, 1 en una dirección dada. Qubits. El qubit es el objeto básico de la computación cuántica y la información cuántica. Efectivamente, no es otro ejemplo, sino una aplicación posible de todos los ejemplos anteriores.)
Un Espacio Vectorial Un espacio vectorial de dimensión 2 sobre el campo C es { ( ) } C 2 α := : α, β C. β Definiciones: Para un par de elementos de este espacio ( ) ( ) α ψ = C 2 γ y φ = C 2, β δ definimos un producto interior por ψ, φ := α γ + β δ (donde α es la conjugación compleja) y una norma por ( ψ := ψ, ψ 1/2 = α 2 + β 2) 1/2. Se dice que ψ, φ C 2 son ortogonales si ψ, φ = 0. Se dice que ψ C 2 es un estado si ψ = 1.
Observables Identificamos dos estados ψ, φ C 2 si existe λ C tal que ψ = λφ. (Por lo tanto, λ = 1.) Un estado es la descripción completa en nuestro modelo matemático del sistema físico en un instante de tiempo. Los observables son ciertas matrices 2 2 que vemos también como operadores lineales que mandan C 2 a C 2. ( ) ( ) ( ) µ C 2 α β µ C 2 ν γ δ ν donde se trata del producto matricial de una matriz 2 2 por una matriz 2 1. El resultado siguiente viene en todo buen texto de álgebra lineal. (Por ejemplo, véase [1].) Teorema: Para cada matriz A, existe una matriz única A tal que φ, Aψ = A φ, ψ para todos vectores φ, ψ en C 2.
Observables Definiciones: La matriz A del teorema anterior se llama la matriz adjunta de la matriz A. Si A = A se dice que la matriz A es auto-adjunta. En la mecánica cuántica si A es auto-adjunta, también se dice que A es observable. En breve, una cantidad medible en el laboratorio, que tiene exactamente dos valores posibles σ y τ (reales), tiene una representación por una matriz 2 2 que es un operador auto-adjunto o un observable: A = A. La relación entre el observable A y los números medidos σ y τ es la siguiente: Hay dos estados ψ, φ C 2 tales que Aψ = σψ y Aφ = τφ.
Si A = ( α β γ δ Matrices de Pauli ) (, entonces A α = γ ) β δ que implica que α, δ R y β = γ. Entonces, ( ) a b ic A = b + ic d donde a, b, c, d R. O sea, {A = A } es un espacio vectorial sobre R de dimensión 4. Una base es la matriz identidad I con las matrices de Pauli: σ 1 = ( 0 1 1 0 ) σ 2 = ( 0 i i 0 ) σ 3 = ( 1 0 0 1 ) Se sigue que σ 2 1 = σ2 2 = σ2 3 = I σ 1 σ 2 = iσ 3 = σ 2 σ 1 σ 2 σ 3 = iσ 1 = σ 3 σ 2 σ 3 σ 1 = iσ 2 = σ 1 σ 3
Un Teorema Definición: Si Aψ = κψ para algún 0 ψ C 2 y κ C, se dice que κ es un eigenvalor de A y que ψ es un eigenvector de A. Teorema: Los eigenvalores de una matriz auto-adjunta A son reales. Demostración: Supongamos que κ C es un eigenvalor de A, es decir, Aψ = κψ con ψ 0. Entonces se tiene que ψ, Aψ = ψ, κψ = κ ψ, ψ = κ ψ 2. Además, usando A = A, se sigue que A ψ, ψ = Aψ, ψ = κψ, ψ = κ ψ, ψ = κ ψ 2. Pero ψ, Aψ = A ψ, ψ por la definición de A. Entonces (κ κ ) ψ 2 = 0. Usando ψ 0 (que implica que ψ 0), se sigue que κ = κ. Por lo tanto, el eigenvalor κ es real. QED.
Sobre Eigenvalores y Eigenvectores Teorema: Eigenvectores que corresponden a dos eigenvalores distintos de una matriz auto-adjunta A son ortogonales. Demostración: Supongamos que Aψ = κψ, Aφ = λφ, y A = A con κ λ, ψ 0 y φ 0. Ya sabemos por el teorema anterior que κ y λ son números reales. De un lado Del otro lado, usando A = A, φ, Aψ = φ, κψ = κ φ, ψ. A φ, ψ = Aφ, ψ = λφ, ψ = λ φ, ψ. De la definicíon de A (que implica φ, Aψ = A φ, ψ ), se sigue que (κ λ) φ, ψ = 0. Pero, por hipótesis, κ λ 0. Por lo tanto, se tiene que φ, ψ = 0, que quiere decir que φ y ψ son ortogonales. QED.
Mediciones Un resultado que necesitamos del álgebra lineal es: Teorema: Si A es una matriz auto-adjunta, entonces existe una base ortonormal de C 2 cuyos elementos son eigenvectores de A. Se llama el teorema espectral para matrices auto-adjuntas. Supongamos que un sistema físico de dos niveles se encuentra en un estado φ C 2, o sea φ = 1, y que queremos medir la cantidad que corresponde a un observable A que tiene eigenvalores λ 1 λ 2 y eigenvectores correspondientes que son estados ψ 1, ψ 2 C 2. Es decir, Aψ 1 = λ 1 ψ 1 Aψ 2 = λ 2 ψ 2 (1) Qué pasará? Un principio básico de la mecánica cuántica es que la medición nos dará precisamente uno de los dos eigenvalores λ 1, λ 2. Cuál?
Mediciones Notemos que ψ 1, ψ 2 es una base ortonormal del espacio C 2. Además, φ C 2. Entonces, podemos escribir el estado φ como una combinación lineal de los dos elementos de la base, es decir existen α 1, α 2 C tales que φ = α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 Se sigue que α 1 2 + α 2 2 = 1. Una regla de la mecánica cuántica es que la medición dará el valor λ j con probabilidad α j 2 = ψ j, φ 2 para j = 1, 2 En tal caso, despues de la medición el sistema se quedará en el estado ψ j. Se dice que ha sucedido una transición φ ψ j. Además, se dice que el número complejo α j = ψ j, φ es la amplitud de probabilidad para la transición φ ψ j. En cambio, como ya hemos visto, el número real α j 2 es la probabilidad de la transición φ ψ j para j = 1, 2.
Valor Esperado Resulta que el número real φ, Aφ tiene una interpretación probabilista importante. Usando que ψ 1, ψ 2 es una base ortonormal, calculamos que φ, Aφ = α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2, α 1 λ 1 ψ 1 + α 2 λ 2 ψ 2 = α 1 2 λ 1 + α 2 2 λ 2. La última expresión es la probabilidad α 1 2 de medir λ 1 (a saber, la fracción de veces que medimos λ 1 ) por el valor λ 1 y luego más la probabilidad α 2 2 de medir λ 2 (a saber, la fracción de veces que medimos λ 2 ) por el valor λ 2. Entonces, φ, Aφ es el valor esperado (en el sentido de la teoría de probabilidad) de las mediciones de A en el estado φ. La diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica consta más que nada en el uso de probabilidad en una manera fundamental en la mecánica cuántica.
Dinámica Para H auto-adjunta dada, la ecuación de evolución temporal es i dψ t = Hψ t, dt donde ψ t C 2 es el estado del sistema en el tiempo t R. Además, i = 1. Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden. Para tener un problema con solución única, vamos a dar una condición inicial ψ 0 = φ C 2, donde φ es un estado. Por EDO la solución para todo tiempo t R es ψ t = e ith/ φ La definición de la exponencial de una matriz M es la usual: e M := I + M + 1 2! M2 + 1 3! M3 + + 1 1 n! Mn + = k! Mk k=0
Dinámica Entonces, la solución del problema de la dinámica depende del conocimiento de la matriz e ith/, que podemos calcular usando el álgebra lineal. También por un resultado del álgebra lineal, se tiene que H auto-adjunta implica que e ith/ preserva la norma. Entonces, ψ t = e ith/ φ = φ = 1 para cada t R. Esto quiere decir que ψ t C 2 es un estado para cada tiempo t. Es la razón física por tomar H auto-adjunta. Ejemplo: H = ω σ 1. e itωσ 1 = I iωtσ 1 + 1 2! ( iωt)2 σ 2 1 + 1 3! ( iωt)3 σ 3 1 + 1 4! ( iωt)4 σ 4 1 + = I 1 2! (ωt)2 I + 1 4! (ωt)4 + i ( ωtσ 1 1 3! (ωt)3 σ 1 + 1 5! (ωt)5 σ 1 + = cos(ωt)i i sin(ωt)σ 1