SUBJECT MATEMÁTICAS GRADE ONCE LEARNING UNIT OPERANDO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES TITLE OF LEARNING OBJECT EJE CURRICULAR ESTÁNDAR DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Construcción de algunos números Irracionales Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. ü Construir algunos irracionales con regla y compás, para determinar su posición en la recta numérica. ü Reconocer el conjunto de los irracionales a partir de procesos históricos. ü Clasificar los números irracionales y sus propiedades. ü Construir algunos irracionales con regla y compás. SCO: Reconoce el conjunto de los números irracionales. 1. Investiga sobre el origen de los números irracionales. 2. Relaciona las características del período de las cifras decimales de un número con el conjunto de los irracionales. 3. Determina los números irracionales como aquellos que presentan relación con los números cuadrados y cubos perfectos. 4. Conjetura a partir de los números cuadrados y cubos perfectos la definición de número irracional.
HABILIDADES/CONOCIMIENTOS Introducción Objetivos SCO: Identifica el conjunto de los números irracionales. 5. Diferencia los números racionales e irracionales. 6. Clasifica los números en irracionales trascendentes e irracionales algebraicos. 7. Establece jerarquía entre los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales. 8. Determina las propiedades de los números irracionales. 9. Aproxima números irracionales a racionales para realizar cálculos. SCO: Modela con construcciones el conjunto de los números irracionales. 10. Determina que los números irracionales trascendentes no son construibles con regla y compás. 11. Argumenta sus conclusiones sobre números irracionales no construibles. 12. Relaciona la división de segmentos con regla y compás con la construcción de números racionales. 13. Construye números irracionales con regla y compás. 14. Realiza construcciones con programas interactivos para comprobar su procedimiento. 15. Identifica aplicaciones de algunos números irracionales (pi, e, número de oro, etc.).
FLUJO DE APRENDIZAJE Actividades principales Actividad 1: Origen de los números irracionales. Actividad 2: Números irracionales trascendentes y algebraicos. Resumen Tarea Evaluación Glosario Bibliografía El estudiante profundizará sobre la extensión de los conjuntos de números irracionales. Etapa Flujo de aprendizaje Introducción Introducción Enseñanza/actividades de aprendizaje Emplear la animación para indagar en los estudiantes acerca del cálculo de la diagonal de una forma rectangular, con el fin de llegar a la conclusión del uso del teorema de Pitágoras. Pregunta de comprensión: Cómo se podría calcular la medida de la diagonal de un cuadrado? Recursos recomendados Recurso de imagen. Material imprimible Plataforma Desarrollo El docente presenta el tema El estudiante debe deducir la respuesta a partir de nociones propias y preconceptos. Actividad 1: Introducción Recurso de imagen. Plataforma
Diseños superficiales En esta sección analizaremos algunos conceptos que debemos considerar en la construcción y diseño de toldos para tiendas o locales dedicados al comercio. Tomaremos por referencia la empresa D&T, la cual diseña sus toldos sobre bases que tienen las siguientes especificaciones: largo y ancho de igual medida, como lo muestra el prototipo (observar la parte lateral del prototipo). Si se conocen las dimensiones de la base del toldo, cómo debemos calcular su ancho? Desarrollo El docente Actividad 1: Recurso de
presenta el tema Definir medidas irracionales Un negocio dedicado a las comidas rápidas solicita un toldo para ubicarlo en el frente de su negocio. Los dueños informan a la empresa D&T que la base ya está construida, además que tienen todas las medidas excepto la de la diagonal!". Frente del toldo: animación acerca de las medidas irracionales. Ludica Punto de reflexión Imagen 1. Diseño del autor. Lateral del toldo:
Imagen 2. Diseño del autor. Se ha definido la medida del ancho del toldo por la letra #. Para poder hallar esta medida emplearemos el teorema de Pitágoras. h & = ( & + ( & h & = 1 & + 1 & (sustituimos los valores de los catetos) h & = 1 + 1 h & = 2 h & = 2 h = 2 La medida del ancho del toldo es 2 m. Características del ancho del toldo Al calcular la medida de la diagonal obtenemos:
2 = 1,414213562373095 Es un número decimal, del cual se derivan infinitos dígitos decimales. No se define un periodo en la parte decimal del número. Los números con las características mencionadas se denominan irracionales. Representemos el ancho del toldo como un número racional Observa la manera de obtener un número racional a partir de un número decimal. 5,67 8 3,46 (Tiene 1 por numerador) 5,67 8:: 8:: (Amplificamos por para eliminar la parte decimal de 8 8:: 8:: 3,46) 8;5 <: 567 8:: (Obtenemos el resultado) (Se simplifica el número racional)
Para el caso del ancho del toldo 2, al tomar su forma decimal, debido a que los decimales son infinitos, no podemos definir una potencia de 10 que permita obtener un número racional de 1,414213562373095 Por lo tanto, 2 es un número inconmensurable (no se puede representar como un número racional). Por esto pertenece al conjunto de los números irracionales =. Solicitudes del cliente: El cliente desea que el ancho del toldo se duplique. Para este caso podemos tomar dos caminos: sumar dos veces la medida o multiplicar por 2 la medida. 1er caso: 2 + 2 = 1,414213562373095 + 1,414213562373095 = 2,828427124746190 Podemos observar que la suma de dos números irracionales puede dar como resultado otro número irracional. Dado que la suma no se puede realizar de la manera
como se hace con los números racionales, lo dígitos decimales se redondean y se realiza una suma entre números racionales. Esto da un resultado aproximado al número real. 2do caso: 2 2 = 2 1,414213562373095 = 2,828427124746190 Dado que el número dos se puede clasificar como número natural, entero o racional, al multiplicar cualquier número de los conjuntos mencionados por un número irracional siempre dará como resultado otro número irracional. Esta multiplicación no se puede realizar de la forma como se operan los números racionales. Por lo tanto, redondeamos los dígitos decimales del número irracional para obtener un número racional aproximado. El cliente desea conocer la medida del largo más el ancho del toldo. Recuerda que el largo del toldo mide 9 m y el ancho
2. Para averiguar el total de la medida, ancho con largo, sumamos las dos cantidades. 9 + 2 = 9 + 1,414213562373095 =10,414213562373095 Podemos observar que al sumar un número N, Z o Q con un número irracional, el resultado siempre será también un número irracional. Hasta el momento establecemos: De la suma de dos números racionales podemos obtener un número racional o un número irracional. De la suma de un número racional con un número irracional siempre obtenemos un número irracional. Del producto entre un número racional con un número irracional siempre obtenemos un número irracional. Definición de número irracional a partir de los cuadrados y cubos perfectos Los números cuadrados son aquellos que surgen de @ & tal que @ B. Observa algunos ejemplos de números cuadrados:
Imagen 13. Recuperada de: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_dida cticos/eso/actividades/algebra/pautas/numeros_figurados/t eoria.htm Los números cúbicos son aquellos que surgen de @ 5 tal que @ B. Observa algunos ejemplos de números cúbicos.
Imagen 14. Recuperada de: http://vemqueteexplico.blogspot.com.co/2012/01/numeros.html Números irracionales a partir de los números cuadrados Si el número natural es un número cuadrado, el resultado es otro número natural, como se muestra a continuación: 1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5
A partir del comportamiento de la raíz cuadrada de los números cuadrados, podemos afirmar que toda raíz cuadrada de un número natural D, tal que D no sea número cuadrado, es un número irracional. De igual manera ocurre con la raíz cúbica de un número cúbico, dará como resultado otro número natural. Por lo tanto, a partir del comportamiento de la raíz cúbica de los números cúbicos, podemos afirmar que toda raíz cubica de un número natural D, tal que D no sea número cubo, es un número irracional. Punto de reflexión Cuáles son los números irracionales que se encuentran entre los números cuadrados 9 y 16? Desarrollo Desarrollo de la actividad Para este punto hacer que los estudiantes nombren algunos números y, de esta manera, que se vayan dando cuenta que son infinitos los números irracionales que se encuentran entre 9 y 16. Actividad de aprendizaje Recurso de imagen 1) Investia quién fue Hipaso de Metaponto y qué relación tiene con el origen de los números irracionales. Preguntas verdadero/fals o
(Desarrolla este punto en la guía imprimible bajo las orientaciones del docente) 2) Un número irracional es aquel que: a. Tiene finitos dígitos decimales. b. Es decimal periódico. c. Tiene infinitos dígitos decimales y no tiene un periodo. d. Se encuentra sobre una misma línea recta. Preguntas de selección multiple 3) Imagina que ahora los lados de la base miden 3 m cada uno. Calcula la medida del ancho del toldo y determine a qué conjunto numérico pertenece la medida.
Imagen 3. Diseño del autor. 4) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Da uno o varios ejemplos que argumenten cada afirmación: a. El producto entre dos números irracionales da como resultado un número racional. (v) o (f) b. El cociente entre dos números irracionales siempre da como resultado un número irracional. (v) o (f) c. El cociente entre dos números irracionales da
como resultado un número irracional. (v) o (f) d. La diferencia entre dos números irracionales da como resultado un número racional. (v) o (f) (Desarrolla en la guía imprimible los ejemplos que argumentan las afirmaciones). 5) Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales o irracionales y ordénelos de mayor a menor. @. 34 7 F. 14 (. 8 H. 3 3 I. 20 J. 5 3 L K. 121 h. 81 (Desarrolla este punto en la guía imprimible según las orientaciones del docente). Solución: 1) El estudiante desarrolla la investigación según las orientaciones del docente. 2) c 3) El estudiante desarrolla en guía imprimible el cálculo de la medida 18. 4) A. v B. f C. v D. v 5) El estudiante desarrolla en la guía imprimible según
las orientaciones del docente Desarrollo El docente presenta el tema Actividad 2: Introducción El número divino Recurso de animación acerca del número divino. Uno de los misterios más destacados en el campo de las matemáticas es la proporción áurea, también conocida como el número áureo, el número divino, el número de oro o phi (ɸ). Este número se encuentra en la naturaleza, en el Universo, en diseños de logos famosos, en importantes obras de arte e incluso en el cuerpo humano. Hombre de Vitrubio por Leonardo Da vinci @ F 1,618033988749 Actividad interactiva. Recurso de animación acerca de los numeros no algebraicos. Animación 3. Recuperada de: http://artivinilo.com/fr/home/231- hombre-de-vitruvio.html
Dialoga en clase: Qué otras razones dan como resultado el número divino empleando las medidas de las partes del cuerpo? Desarrollo El docente presenta el tema Desarrollo de contenidos Números irracionales algebraicos El cuadrado que encierra al hombre de Vitrubio realizado por Leonardo da Vinci. Actividad 2 en interactivo Imagen 004, 005, 006, 007, 008, 009, 010, 011 y 012. Para hallar el valor de la diagonal debemos hallar la solución a la ecuación # & 2. # & 2 =0 # & = 2 # & = 2 # = 2 La diagonal mide 2 y es un número irracional, lo cual denominamos número irracional algebraico por las siguientes características: Es un número irracional. Es solución de una ecuación polinómica. Es raíz de un número entero.
Números no algebraicos (trascendentes) Si el número irracional no tiene las características de un número irracional algebraico se denomina número trascendente. Por ejemplo, definamos la razón entre el perímetro que encierra al hombre de Vitrubio y el diámetro de la misma. Imagen 4. Recuperada de: http://artivinilo.com/fr/home/231- hombre-de-vitruvio.html Determinaremos la razón entre la circunferencia igual a 18,85 cm y el diámetro igual a 6 cm. 8O,O< 7 = 3,1416 Supongamos que ahora las medidas son igual a 6,28 cm y diámetro igual a 2 cm. circunferencia
7,&O & = 3,14 Ahora las medidas son circunferencia igual a 43,98 cm y diámetro igual a 14 cm. 65,PO 86 = 3,14142857 Al continuar con más circunferencias de diferentes tamaños y realizar la razón entre la medida de la circunferencia con la medida del diámetro, obtendremos un valor aproximado a 3,141592653589793 el cual denominamos número pi (Q). Determinemos el diámetro Ya se ha definido que la razón entre el perímetro y el diámetro es igual a Q. Si sabemos que el perímetro del círculo que encierra el hombre de Vitrubio mide 20 cm, cuánto mide el diámetro? Al plantear la ecuación: &: R = Q 20 = #Q # = &: S Recuerda que al emplear una calculadora, el artefacto
empleará el número Q con una cantidad de decimales aproximados, más no la cantidad real de decimales que tiene dicho número. # = 6,366197723675814 Lo cual es un valor aproximado al diámetro, más no el valor real. Por lo tanto los números irracionales trascendentes no pueden ser solución real de una ecuación polinómica. Representaciones sobre recta real de números racionales La representación de &O la siguiente manera. < sobre la línea real se desarrolla de 1) Trazamos el segmento!t. 2) Sobre el segmento!t construimos cinco segmentos iguales.
Imagen 5. Dieño del autor. 3) Trazamos el segmento B". Imagen 6. Diseño del autor. 4) Trazamos segmentos que pasen por el punto T, L, K y J que sean paralelos al segmento B".
Imagen 7. Diseño del autor. 5) Podemos observar que los puntos U, V W y Z dividen el segmento!" en 5 partes iguales. Así debemos dividir las demás unidades. Este procedimiento es conocido como teorema de Thales. 6) Finalmente, al tener todas las unidades divididas en cinco partes cada una, tomamos tantas partes como lo indique el numerador y así hemos hemos ubicado un número racional sobre la recta. Imagen 8. Diseño del autor. De esta manera, hemos representado un número racional por medio de la división de unidades sobre la línea real empleando regla y compás. Representación sobre la recta real de un número irracional Para la construcción con regla y compás de números racionales empleamos el teorema de Pitágoras, con el cual determinamos la medida de la diagonal de un rectángulo, por ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Medidas: "U =1 y "! =1 Por teorema de Pitágoras:!U & = "U & +!" &!U = "U & +!" &!U = 1 & + 1 &!U = 1 + 1!U = 2
!U=VU por ser radios de una misma circunferencia. Por lo tanto queda construido VU como el número irracional 2 sobre la línea real.
De la anterior construcción queda definida la medida: VU = 2 Por el punto D (el número irracional) siempre se trazará un segmento perpendicular de medida 1. VW =1 Por teorema de Pitágoras: UW & = VU & + VW & UW = VU & + VW & UW = 2 & + 1 & UW = 2 + 1 UW = 3 UW=UX por ser radios de una misma circunferencia. Por lo tanto queda construido UX, que tiene como medida
el número irracional 3, sobre la línea real. Números irracionales no construibles con regla y compás Con anterioridad se ha mostrado que los números irracionales algebraicos son construibles con regla y compás. Son números que pueden provenir de la solución de una ecuación polinómica, pero en el caso de los números trascendentes, estos no son solución de una ecuación polinómica, ni tampoco son construibles con regla y compás. A diferencia de los números irracionales, que provienen de una raíz y se construyen con regla y compás por medio del teorema de Pitágoras, hasta la actualidad no se ha encontrado una manera geométrica de construir con regla y compás los números trascendentes, por ejemplo el número Q, el número ɸ, o el número de Euler I. Desarrollo Desarrollo de la actividad Actividad de aprendizaje Guía imprimible 1) Calcula los siguientes cocientes y concluye acerca de los resultados obtenidos. a. El cociente entre la medida de la altura de las rodillas hasta el ombligo y la medida de la planta del pie hasta el ombligo. b. El cociente entre la medida del codo hasta la Interactivo
punta del dedo anular y el antebrazo. c. El cociente entre la medida de la altura de las rodillas hasta el cuello y la medida de la altura de las rodillas hasta el ombligo. (Desarrolla esta actividad en la guía imprimible según las indicaciones del docente). 2) Construye en la siguiente plataforma (https://www.geogebra.org/m/yhmm8vgx ) los números: a. &< O b. 7 & c. 88 d. 8O P e. 11 (Desarrolla esta actividad en la guía imprimible según las indicaciones del docente). 3) Clasifica los siguientes números en irracionales algebraicos ó trascendentes: @. 21 b. 13 c. I d. 2Q e. sen(2) f. 10 Solución: 1) Desarrollo en la guía imprimible.
2) Desarrollo en la guía imprimible. 3) Irracionales algebraicos ( 21; 13 y 10). 4) Irracionales trascendentes ( I; 2Q y sen(2) ). Resumen Resumen Se definen las diferencias entre números racionales e irracionales. Construcción de números racionales e irracionales con regla y compás. Clasificación de números irracionales en: números irracionales algebraicos y números irracionales trascendentes. Los números irracionales trascendentes no son construibles con regla y compás. Origen de los números irracionales y el descubrimiento de números irracionales trascendentes clásicos. Teorema de Pitágoras como fundamento para la construcción de los números irracionales de la forma @, tal que @ _. Aproximación de números irracionales a números racionales para la realización de cálculos. Tarea Tarea Tarea 1 Investiga sobre el número de Euler y su origen. a. Construye con regla y compás los números 2 y 3 en una misma recta real y determina una posición Infografia Guía imprimible Ejercicios y problemas para resolver
aproximada del número I. Tarea 2 Calcula los primeros 10 valores en la siguiente generalidad, iniciando desde cero. 1 + 8` ` a) Calcula la suma de los primeros 10 términos. b) Qué relación tienen con el número I? Evaluación Evaluación Comprueba tus conocimientos: Para las preguntas 1 y 2 completa la frase: Recurso en interactivo. 1) El número Q se obtiene del entre perímetro del circulo y diámetro de la misma. a. productos b. cociente c. producto d. cocientes Cociente Correcto. Según la historia, el número pi proviene del realizar el cociente entre la medida del perímetro del circulo y la medida del diámetro de la misma.
Las demás opciones Incorrecto. Debes revisar el origen de los números irracionales. 2) Una de las características de un número irracional algebraico es ser de la forma tal que @ _. a. @ b. @ a c. b d. @ a a @ Correcto. Una de las características de los números irracionales algebraicos es ser la raíz de un entero. Las demás opciones Incorrecto. Debes revisar las características de un número irracional algebraico. 3) Indica la operación que da como resultado un número irracional: a. 2 8 &; b. 5 c. 5 + 6 & d. 12 12
c Correcto. La suma entre un número racional y un número irracional siempre da como resultado un número irrac onal. a, b y d Incorrecto. Debes revisar las propiedades de los números irracionales 4) Indica si son falsas o verdaderas cada una de las siguientes afirmaciones: a. La razón entre la altura de una persona y la altura del piso al ombligo da como resultado el número Q. (f) o (v) b. Todo número irracional es construible con regla y compas. (f) o (v) c. Opción correcta Correcto. Conoces sobre el origen de los números irracionales. Opción incorrecta Incorrecto. Debes revisar el origen y las propiedades de los n meros irracionales. 5) Clasifica cada número en racional, irracional algebraico e irracional trascendente. Número Clasificación
3 5 Racional Irracional algebraico (correcta) Irracional trascendente cos(3) Racional Irracional algebraico Irracional trascendente (correcta) 30 Racional 2 Irracional algebraico (correcta) Irracional trascendente 36 Racional (correcta) 9 Irracional algebraico Irracional trascendente Opción correcta Correcto. Todo número entero se puede representar como un número decimal. Opción incorrecta Incorrecto. Debes revisar la representación racional de los números enteros. Solución: 1) Cociente 2) @ 3) c 4) a. f b. f 5) Respuesta en la tabla. Glosario Glosario Conmensurable: dos números reales diferentes de cero son conmensurables cuando la razón o cociente entre ellos Herramienta de glosario
da como resultado un número racional, de lo contrario se denomina inconmensurable. Métrica: unidades de medida definidas. Bibliografía Bibliografía González, P. (s.f) Historia de la matemática para la enseñanza secundaria. Los elementos de Euclides. Recuperado de: http://www.xtec.cat/sgfp/llicencies/200304/memorie s/elementseuclides1.pdf (s.a) (s.f) Números irracionales. Matemáticas 2 A y B. Recuperado de: https://investigacionmatematica.wikispaces.com/file/ view/5+numeros+irracionales.pdf (s.a) (s.f) Sección Áurea en Arte, Arquitectura y Música. Recuperado de: http://matematicas.uclm.es/itacr/web_matematicas/t rabajos/240/la_seccion_aurea_en%20arte.pdf Rivas, D. (s.f). Los números, operaciones y sus propiedades. Apuntes de las clases de Cálculo 10. Recuperado de: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/derivas/apuntes_ca lculo10/%20losnumeros.pdf