2016 Módulo 4 - Electrotecnia MÉTODO DE CORRIENTES DE MALLAS MÉTODO DE POTENCIALES DE NODOS Ing. Rodríguez, Diego 01/01/2016
MÉ TODO DÉ LAS CORRIÉNTÉS DÉ MALLA El método de las corrientes de malla consiste en asignar a cada malla una corriente desconocida, formando así las corrientes de malla II e III, de tal forma que tengan todo el mismo sentido, por ejemplo el de movimiento de las agujas del reloj. Las corrientes de rama quedan fácilmente identificadas, en función de las corrientes de malla. Se eligen las mallas asignándoles una corriente con sentido arbitrario, denominada corriente de malla. Se escriben las ecuaciones de la segunda ley de Kirchhoff para cada malla considerando las intensidades de corrientes de malla como variables desconocidas. Se forma un sistema de ecuaciones linealmente independiente y se resuelve. Luego se relacionan las corrientes de malla con las corrientes de rama. Supongamos el siguiente circuito: Ia Ic Ib Planteamos las ecuaciones correspondientes, utilizando las corrientes de malla: Malla I: V 1 + I 1. R 1 + (I 1 I 2 ). R 2 + V 2 = 0 Malla II: V 1 + I 1. R 1 + (I 1 I 2 ). R 2 + V 2 = 0 Página 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta: I1= 1,2 A I2= 1,4 A Luego, las corrientes de rama (reales) son: Ia = I1 = 1,2 A Ib = I1 I2 = - 0,2 A (*) Ic = I2 = 1,4 A (*) El signo menos significa que el sentido de la corriente de rama Ib es opuesto al que se asignó originalmente. Página 2
MÉTODO DE MALLAS CON GENERADORES DE CORRIENTE Cuando tenemos un circuito que se desea analizar por el método de las corrientes de malla y existen generadores de corriente ideales, estos no se pueden transformar en generadores de tensión. Lo importante es asignar a los generadores de corriente presentes en la red, una tensión generadora desconocida que viene determinada por el resto del circuito. Considérese por ejemplo el circuito de la fig. que contiene dos generadores de corriente que no se pueden transformar en fuentes de tensión. I 3 I 1 I 2 Primero se asignan los valores us2 y us3 a las tensiones de ambos generadores, con las polaridades indicadas en la fig. del circuito. Se definen a continuación las corrientes de circulación de mallas: I1, I2 e I3 y se escriben las ecuaciones de malla correspondientes de acuerdo con lo explicado en el epígrafe anterior, lo que da lugar a: Malla 1: 28 + I 1. 1 I 3. 1 u s2 = 0 Malla 2: + I 2. 2 I 3. 2 I 3. 1 + I 2. 3 + u s2 = 0 Malla 3: + I 3. 1 I 1. 1 I 2. 2 + I 3. 2 + u s3 = 0 Se observa que disponemos de 3 ecuaciones con 5 incógnitas: I1, I2, I3, us2, y us3. Se requieren entonces dos ecuaciones adicionales que se obtienen relacionando las intensidades de los generadores de corriente, con las corrientes de las mallas a las que afecta Página 3
Así, en el circuito se tiene: 5 = I 3 1 = I 1 I 2 se observa de las ecuaciones anteriores, que la corriente de la malla I 3 ya se conoce, porque está determinada por el generador de corriente existente en esa malla, es decir: I3 = - 5 A. De este modo el problema se limita al cálculo de las corrientes de las mallas 1 y 2 únicamente. En principio parece que el problema se ha reducido a un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, sin embargo la realidad es aún más simple. Obsérvese que si se suman las ecuaciones de las mallas 1 y 2 de, se elimina la variable de paso us2, dando lugar a Entonces, se tiene: De donde, Que junto con I3 = 5 A dan los valores de las corrientes de malla, que se deseaban determinar. Se habrá observado que las variables intermedias us2 y us3 no son necesarias para resolver el circuito. De hecho el problema requiere únicamente formular las ecuaciones: Las dos primeras ecuaciones representan las corrientes fijadas por los generadores de intensidad. La tercera ecuación procedía de la suma de las ecuaciones de las mallas 1 y 2 de y representa la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff al lazo ABCEFG suma de las mallas 1 y 2. Este lazo determina en definitiva un circuito cerrado que solo contiene generadores de tensión e impedancias, evitando los generadores de corriente cuya tensión se desconoce. Página 4
MÉ TODO DÉ LOS POTÉNCIALÉS DÉ NODOS En el análisis por nodos se parte de la aplicación de LKC a cada nodo del circuito para encontrar al final todos los voltajes de nodo del circuito. El método de los potenciales de nodos (o de las tensiones de nudo) es un procedimiento de análisis que se utiliza en teoría de circuitos para calcular la respuesta. Consiste en aplicar explícitamente la primera Ley de Kirchhoff a los nudos independientes del circuito (todos menos uno). Para que el sistema de ecuaciones sea consistente debe haber una ecuación por cada nodo. Así el número de incógnitas (voltajes de nodo) es igual al número de ecuaciones (una por nodo). Como ejemplo, vamos a analizar el siguiente circuito de la figura. r = 6 ramas, n = 4 nodos, Si se aplica Kirchhoff a cada una de las ramas efectivas y a cada uno de los n- 1 nodos efectivos, esto dará un sistema de r+n 1=9 ecuaciones linealmente independientes. Ahora si se aplica el método de los potenciales de nodo, al circuito visto por sus nodos efectivos, habrá: b = n 1 = 4 1 = 3 nodos linealmente independientes. Como se ve, por el método de los potenciales de nodos, 3 es el número de ecuaciones a resolver, en lugar de las 9 que habría que resolver por la aplicación directa de las leyes de Kirchhoff. Una vez seleccionado, en forma arbitraria, el conjunto mínimo de nodos B, C y D para el caso, se le asigna a cada rama del circuito, una corriente con Página 5
sentido arbitrario y se escribe, por primera ley de Kirchhoff, una ecuación por cada uno de los n 1 nodos arbitrariamente seleccionados. Nodo B : i1 + i2 i3 = 0 Nodo C : i2 i4 i5 = 0 Nodo D: i3 + i4 + i6 = 0 Como por ley de Ohm o por segunda ley de Kirchhoff, la corriente de cada rama puede ser escrita en función de los potenciales de sus nodos extremos y de los elementos que la componen, tal como se muestra a continuación resultarán: Sustituyendo las anteriores, ordenando y separando variables se llega a: Página 6
Si el método de potenciales de nodo descrito, se aplica a cualquier otro circuito, siempre se llegará a obtener un sistema de ecuaciones similares, lo que sugiere la posibilidad de una sistematización del método. De acuerdo con lo dicho, las ecuaciones podrían ser escritas directamente de acuerdo con las siguientes reglas: 1) Por cada ecuación se pone un signo igual. 2) A la izquierda del signo igual se escribe la suma algebraica de los cocientes formados por: cada fuente de tensión dividida por el total de resistencias en serie de la rama. Dicha suma se refiere a cada rama de este tipo que converja al nodo en cuestión. El signo que le corresponderá a cada término será: a) positivo si el nodo del circuito está relacionado con el borne positivo de la fuente de tensión b) negativo si el nodo se encuentra vinculado al negativo de dicha fuente. 3) A la derecha del signo igual se desarrolla la siguiente suma de términos: a) Término propio: con signo positivo se desarrolla un término correspondiente a la incógnita del propio nodo. Para tal fin se abre paréntesis y se escribe la suma de las inversas de las resistencias (conductancias) de las ramas que convergen al nodo en cuestión. Dicha suma es multiplicada por el potencial del nodo correspondiente a la ecuación que se escribe. b) Términos mutuos: son todos los términos restantes, uno por cada una de las incógnitas mutuas que tiene cada nodo. Todos los términos mutuos tienen signo negativo y se forman por el producto de la inversa de la resistencia (conductancia), de cada rama compartida con cada nodo adyacente y por el potencial del nodo adyacente con quien comparte dicha rama. Página 7
Mé todo dé los nodos con généradorés dé ténsio n Cuando se dispone de una red que se desea analizar por el método de las tensiones de nudo y existen generadores de tensión ideales, estos no se pueden transformar en generadores de corriente, por lo que parece a primera vista que la presencia de estos generadores va a complicar el estudio del circuito, ya que sus corrientes no son conocidas, pues dependen del circuito exterior. El análisis de este tipo de circuitos sigue el desarrollo convencional, tratando a los generadores de tensión como generadores de corriente, cuyas intensidades son desconocidas. De un modo análogo, estas intensidades son variables de paso que pueden eliminarse sumando dos a dos las ecuaciones. A las ecuaciones resultantes deben añadirse entonces las tensiones entre nudos, que fijan las fuentes de tensión; la solución se obtendrá resolviendo el sistema de ecuaciones resultantes. Considérese por ejemplo el circuito de la figura, en el que se tienen dos generadores de tensión que no pueden transformarse en generadores de corriente. Asignamos a estos generadores dos corrientes desconocidas is1 e is2 en el sentido considerado. Página 8
Si se toma el nudo 4 como referencia, al aplicar el método de los nudos resulta: las ecuaciones que imponen los generadores son: la ecuación d) nos da ya el valor de la tensión del nudo 1 (respecto a tierra), por lo que no hace falta utilizar la ecuación a) correspondiente a este nudo. Al sumar las ecuaciones b) y c) se elimina la variable de paso is2 resultando el siguiente sistema de ecuaciones: Teniendo en cuenta, De donde se obtiene, Que es la solución del problema. Conocidas estas tensiones de los nudos se podrán calcular fácilmente las corrientes en las diversas ramas de la red. Página 9
Éjércicios 1 Utilizando el método de corrientes de malla, encontrar el valor de las corrientes indicadas. 2 Utilizando el método de las corrientes de mallas encuentre la intensidad de las corrientes del siguiente circuito. Verifique que la potencia que entrega la fuente se disipa en las resistencias. 3 Calcular la corriente que circula por la resistencia de 20 Ohm aplicando el método de mallas. Página 10
4 Mediante el método de las tensiones de nodos, halle las corrientes de las ramas y las tensiones en los nodos. Verificar las corrientes calculadas por el método de las mallas. Rtas.: I1=1,271 A ; I2=0,534 A ; I3=0,566 A ; I4=0,737 A ; I5=0,705 A ; I6=0,032 A ; VA=5 V ; VB=3,526 V ; VC=3,398 V 5 - Calcular por el método de los nudos la potencia suministrada por el generador de corriente del circuito de la figura: (P = 48 W) 6 - Mediante el método de los nodos halle las corrientes en las ramas. Rtas.: I1=-3,361 A ; I2=-3,106 A ; I3=5 A ; I4=-7 A ; I5=0,255 A ; I6=-3,894 A ; UX1=162,13 V ; UX2=155,74 V ; VA=-6,383 V ; VB=155,74 V Página 11