Probabilidad y Estadística Tema 11 Estimadores puntuales y de intervalo Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Describir los conceptos de los estimadores puntuales y de intervalo. Aplicar los conceptos de intervalos de confianza para poblaciones normales.
Introducción al tema Una cadena de centros comerciales del norte del país adquirió los establecimientos de un competidor y fusionó las tiendas adquiridas a su esquema de tiendas y distribución. El problema principal al que se enfrentaba el equipo de integración era las diferentes formas de almacenar y explotar la información. El equipo de integración tomó muestras de ventas para cada línea producto y estimó un promedio de ventas anual para cada producto de la compañía. Sin embargo el equipo se preguntaba si realmente la estimación obtenida de las ventas anuales era suficiente para considerarla como un dato que de otra forma hubiera sido obtenido de todas las tiendas. Introducción al tema La correcta estimación puntual que llevó a cabo la compañía adquirente, está basada en una serie de propiedades que nos llevan a decir que un cálculo basado en una muestra es representativa de la población. Te invito a que juntos descubramos la forma en que se puede construir un intervalo de confianza para un estimador puntual y validar que la información obtenida de la muestra es representativa de la población.
Estimación Puntual La estimación puntual es un número (denominado punto) que se utiliza para estimar un parámetro poblacional. La media muestral es el mejor estimador de la media poblacional. Otros estimadores puntuales de una población son la varianza muestral y la desviación estándar. Propiedades de un estimador puntual Insesgado Consistencia Intervalo Suficiencia Un estadístico muestral es insesgado cuando el valor esperado del estadístico muestral es cercano al estadístico poblacional. Un estimador es asintóticamente insesgado si su posible sesgo tiende a cero al aumentar el tamaño de la muestra. Sean α y β dos estimadores insesgados de un parámetro θ desconocido, decimos que α e más eficiente que β si la varianza de β es mayor a la varianza de α. Un estimador asintóticamente insesgado θ, cuya varianza tiende a cero al aumentar el tamaño de la muestra, es un estimador consistente. Un estimador es suficiente cuando no da lugar a pérdida de información, es decir, cuando la inferencia basada en θ es tan buena como si la estimación se hubiera hecho sobre la población.
Estimación de Intervalo La estimación de intervalo expresa la amplitud dentro de la cual probablemente se encuentra un parámetro poblacional. El intervalo en el que se espera esté el valor real del parámetro poblacional se le denomina Intervalo de Confianza. Por ejemplo, el intervalo de confianza para la media poblacional es el intervalo que tiene una mayor probabilidad de contener la media poblacional. Intervalo de confianza de 95% Indica que el 95% de las medias muestrales, de un tamaño de muestra específico seleccionadas de una población se hallarán dentro de más o menos 1.96 desviaciones estándares de la media poblacional hipotética.
Intervalo de confianza de 99% Indica que el 99% de las medias muestrales, de un tamaño de muestra específico seleccionadas de una población se hallarán dentro de más o menos 2.58 desviaciones estándares de la media poblacional hipotética. Estimación de intervalo De dónde provienen los valores de 1.96 y 2.58? Veamos el caso del valor 1.96: el 95% central de las medias muestrales se encuentra en cualquiera de los lados de la media poblacional. 0.95 / 2 = 0.4750. Entonces, el área a la derecha de la media es de 0.4750. El área a la izquierda de la media también es de 0.4750.
Estimación de intervalo Utilizamos la tabla de la distribución normal estándar para obtener el valor de 0.4750: Estimación de intervalo -2.58-1.96 1.96 2.58 95% 99%
Error estándar de la media El error estándar de la media es la desviación estándar de la distribución muestral de las medias muestrales. Error estándar de la media El error estándar de la media se calcula mediante la siguiente fórmula: Donde: n = Error estándar de la media = Desviación estándar de la población = Tamaño de la muestra
Error estándar de la media Si no se conoce, y el tamaño de la muestra es mayor o igual a 30, la desviación estándar de la muestra sirve para aproximar la desviación estándar de la población. Donde: s n = Error estándar de la media = Desviación estándar de la población = Tamaño de la muestra Elaboración de intervalos de confianza Para construir un intervalo de confianza de 95%, la fórmula es: Para el intervalo de confianza del 99%:
Elaboración de intervalos de confianza En un experimento se trata de seleccionar una muestra aleatoria de 256 administradores o gerentes para el estudio. Un elemento de interés es su ingreso mensual. La media muestral se calcula como $ 35,420 pesos y la desviación estándar de la muestra es de $ 2,050 pesos. Cuál es el ingreso medio estimado de todos los administradores y gerentes? Cuál es el intervalo de confianza de 95%? Elaboración de intervalos de confianza El ingreso medio estimado de la población es de $35,420. La media muestral es un estimador puntual de la media poblacional. El intervalo de confianza del 95%. Considerando la fórmula, entonces: El intervalo de confianza de 95% para el ingreso mensual de todos los administradores y gerentes es entre $35,168.87 y $35,671.13.
Elaboración de intervalos de confianza Si hubiera que seleccionar 100 muestras de tamaño 256 de la población de administradores para calcular las medias muestrales y los intervalos de confianza, entonces: La media poblacional del ingreso mensual se encontraría en 95 de los 100 intervalos de confianza 5 de los 100 intervalos de confianza no contendrían a la media poblacional. Cierre La imposibilidad que en ocasiones se tiene para obtener información de una población, nos obliga a inferir características de dicha población a través del estudio de las características de un subconjunto de esa población. De ese subconjunto llamado muestra, se obtienen datos que representan un estimador puntual que sirve de estimación del valor real de toda la población. Como vimos durante el tema, la media de una muestra es un buen estimador de una media poblacional.
Cierre Sin embargo, si las condiciones de tiempo, costo u otras lo permiten, podemos hacer diferentes estudios sobre varias muestras de la misma población. Es decir, si tomamos varias veces la muestra y les aplicamos las mismas técnicas y obtenemos los mismos estimadores, podemos demostrar que nuestro estimador puntual es un buen estimador de valor de la población. En el siguiente tema revisaremos la inferencia de parámetros poblacionales a partir de la toma de distintas muestras de la población, lo que nos permitirá calcular y estimar datos poblacionales a partir de los estimadores puntuales de varias muestras de la población. Te invito a conocer y a aplicar estas técnicas durante el transcurso del siguiente tema. Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 6 Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill.
Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI