Ejemplo 1 Cual es la velocidad de desplazamiento de los electrones en un alambre de cobre típico de radio 0,815mm que transporta una corriente de 1 A? Si admitimos que existe un electrón libre por átomo de cobre, la densidad de los electrones libres es la misma que la densidad atómica, relacionada con la densidad ordinaria, el número de Avogadro y la masa molecular por la expresión Para el cobre, Por tanto, La densidad electrónica es, por tanto, La velocidad de desplazamiento será: Vemos que las velocidades de desplazamiento típicas son del orden de 0,01 mm/s, es decir, muy pequeñas. Ejemplo 2. Velocidad de arrastre en un alambre de cobre Un alambre de cobre de 3.00 * 10^-6 m² de área de sección transversal conduce una corriente de 10.0 A. Determine la velocidad de arrastre de los electrones en este alambre. La densidad del cobre es 8.95 g/cm³.
Solución A partir de la tabla periódica de los elementos, encontramos que la masa atómica del cobre es 63.5 g/mol. Recuerde que la masa atómica de cualquier sustancia contiene un número de Avogadro de átomos, 6.02 * 10^23 átomos. Conocer la densidad del cobre nos permite calcular el volumen ocupado por 63.5 g de cobre. V = m / = 63.5 g / 8.95 g / cm³ = 7.08 cm³ Si suponemos después de esto que cada átomo de cobre aporta un electrón libre al cuerpo del material, tenemos n = 6.02 * 10^23 electrones / 7.09 cm³ = 8.48 * 10^22 electrones / cm³ = (8.48 * 10 ^22 electrones / cm³ ) ( 10 ^6 cm³ / m³) 8.48 * 10 ^28 electrones / m³ De la siguiente ecuación obtenemos la velocidad de arrastre Vd = I / nqa = (10.0 C /s) / (8.48 * 10 23 m ^-3) (1.60 *10 ^19 C) (3.00 * 10^-6 m²) = 2.46 * 10 ^-4 m/s Ejemplo 3. Hay paradoja? Hemos visto que un campo eléctrico debe existir en el interior de un conductor que conduce corriente. Cómo es esto posible en vista del hecho de que en electrostática concluimos que el campo eléctrico es cero dentro de un conductor? Razonamiento En el caso electrostático donde las cargas están estacionarias, el campo eléctrico interno debe ser cero debido a que un campo diferente de cero produciría una corriente (al interactuar con los electrones libres en el conductor), lo cual violaría la condición de equilibrio estático. En este capítulo tratamos con conductores que producen corriente, una situación no electrostática. La corriente se origina debido a una diferencia de
potencial aplicada entre los extremos del conductor, lo que produce un campo eléctrico interno. Así que no hay paradoja. Ejemplo 4. La resistencia de un conductor Calcule la resistencia de un cilindro de aluminio que mide 10.0 cm de largo y tiene un área de sección transversal de 2.00 * 10^-4 m². Repita el cálculo para un cilindro de vidrio de 3.0 * 10^10 *m de resistividad. Solución De las siguientes ecuaciones podemos calcular la resistencia del cilindro de aluminio: R = p L / A = (2.82 * 10 ^-8 *m) (0.100m / 2.00 * 1'^-4 m²) = 1.41 * 10^-5 De manera similar, para el vidrio encontramos R = pl / A = 3.0 * 10^10 *m) (0.100m / 2.00 * 1'^-4 m²) = 1.5 * 10^13 Como usted esperaría, el aluminio tiene una resistencia mucho menor que el vidrio. Ésta es la razón por la que el aluminio se considera un buen conductor eléctrico y el vidrio un conductor pobre. Ejemplo 5 La resistencia de un alambre de nicromo a) Calcule la resistencia por unidad de longitud de un alambre de nicromo de calibre 22, que tiene un radio de 0.321 mm. Solución El área de la sección transversal de este alambre es
A = r² = ( 0,321 * 10^-3 m)² = 3.24 * 10^-7 m² La resistividad del nicromo es 1.5* 10^-6 *m. De este modo, podemos usar la siguiente ecuación para encontrarla resistencia por unidad de longitud: R / = p/ A= 1.5 * 10^-6 *m / 3.24 * 10^-7 m² = 4.6 / m b) Si se mantiene una diferencia de potencial de 10 V a través de un alambre de nicromo de 1.0 m de largo, cuál es la corriente en el alambre? Solución Puesto que una longitud de 1.0 m de este alambre tiene una resistencia de 4.6, la ley de Ohm produce. I = V / R = 10 V / 4.6 = 2.2 A Observe en tablas que la resistividad del alambre de nicromo es casi 100 veces la del cobre. Por lo tanto, un alambre de cobre del mismo radio tendría una resistencia por unidad de longitud de sólo 0.052 /m. Un alambre de cobre de 1.0 m de largo del mismo radio conduciría la misma corriente (2.2 A) con un voltaje aplicado de sólo0.11v. Debido a esta elevada resistividad y a su resistencia a la oxidación, el nicromo se emplea a menudo en elementos calefactores de tostadores, planchas y calefactores eléctricos. Ejercicio Cuál es la resistencia de un alambre de nicromo de 6.0 m de largo y calibre 22? Cuánta corriente conduce cuando se conecta a una fuente de 120 V? Respuesta 28, 4.3 A Ejercicio Calcule la densidad de corriente y el campo eléctrico en el alambre suponiendo que por él circula una corriente de 2.2 A. Respuesta 6.7 * 10^6 A/ m²; 10 N / C Ejemplo 6: Determinación de la resistencia equivalente
Cuatro resistores se conectan como se muestra en la figura. Encuentre la resistencia equivalente entre ay c. Solución el circuito puede reducirse en pasos, como se muestra en la figura. Los resistores de 8.0 y 4.0 están en serie, por lo que la resistencia equivalente entre ay b es 12. Los resistores de 6.0 y 3.0 están en paralelo, de manera que en la ecuación 1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2, encontramos que la resistencia equivalente de ba ces 2.0. Por lo tanto, la resistencia equivalente de a a c es 14. b) Cuál es la corriente en cada resistor si se mantiene una diferencia de potencial de 42 V entre ay c? Solución La corriente en los resistores de 8.0 y 4.0 es la misma debido a que éstos están en serie. Utilizando la ley de Ohn y los resultados del inciso a), obtenemos I i = Vac / R eq = 42 V / 14 = 3.0 A Cuando esta corriente entre a la unión en b se divide, y una parte pasa por el resistor de 6.0 ( I1 ) y parte por el resistor de 3.0 ( I2 ). Puesto que la diferencia de potencial a través de estos resistores Vbc, es la misma (están en paralelo) vemos que 6I1 = 3I2 o I2 = 2I1. Empleando este resultado y el hecho de que I1 + I2 = 3.0 A, encontramos que I1 = 1.0 A e I2 = 2.0 A. Pudimos haber sugerido este resultado desde el principio al advertir que la corriente que circula por el resistor de 3.0 es el doble de la que circula por el resistor de 6.0 en vista de sus resistencia relativas y del hecho de que se les aplica a ambos el mismo voltaje.
Ejemplo 7: Tres resistores en paralelo Se tienen tres resistores conectados en paralelo. Una diferencia de potencial de 18 V se mantiene entre los puntos ay b a) Encuentre la corriente en cada resistor. Solución Los resistores están en paralelo y la diferencia de potencial a través de ellos es de 18 V. Al aplicar V = I R a cada resistor se obtiene I 1 = V / R1 = 18 V / 3.0 = 6.0 A I 2 = V / R2 = 18 v / 6.0 = 2.0 A I 3 = V / R3 = 18 V / 9.0 = 2.0 A b) Calcule la potencia disipada por cada resistor y la potencia disipada por los tres resistores. Solución La aplicación de P= I² R en cada resistor da como resultado 3.0 : P1 = I 1²R1 = (6.0 A)² (3.0 ) = 110 W 6.0 : P2 = I 2 ²R2 = (3.0 A)² (6.0 ) = 54 W 9.0 : P3 = I 3²R3 = (2.0 A)² (9.0 ) = 36 W Esto demuestra que el resistor más pequeño disipa la mayor potencia puesto que conduce la corriente más alta. (Advierta que es posible emplear también P =V ² / R para determinar la potencia disipada por cada resistor). La suma de las tres cantidades brinda una potencia total de 200 W. c) Calcule la resistencia equivalente de los tres resistores. Solución 1 / Req = 1 / 3.0 + 1/ 6.0 + 1/ 9.0 Req = 188 / 11 = 1.6 Ejercicio Con Req calcule la potencia total disipada en el circuito.
Respuesta 200W Ejemplo 8: Descarga de un capacitor en un circuito RC Considere un capacitor C que está descargado a través de un resistor R, a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor es un cuarto de su valor inicial? Solución De acuerdo con la ecuación, q(t) = Qe^-t/RC la carga en el capacitor varía con el tiempo. Para determinar el tiempo que tarda la carga q en disminuir hasta un cuarto de su valor inicial, sustituimos q(t) = Q/ 4 en esta expresión y despejamos t: ¼Q = Qe^-t/RC ¼ = e^-t/rc Tomando logaritmos en ambos lados, encontramos - ln 4 = - t /RC t = RC ln4 = 1.39 RC b) La energía almacenada en el capacitor disminuye con el tiempo a medida que se descarga. Después de cuántas constantes de tiempo esta energía almacenada de un cuarto de su valor inicial? Solución Con la siguiente ecuación, podemos expresar la energía almacenada en el capacitor en un tiempo t resulta t = ½ RC ln 4 = 0.693 RC Ejercicio Después de cuántas constantes de tiempo la corriente en el circuito RC es mitad de su valor inicial? Respuesta 0.693 RC