Realizado por: Juan Manuel Bardallo González Miguel Ángel de Vega Alcántara

CONTROL POR COMPUTADOR Temario. Ingeniería Informática. Realiado por: Juan Manuel Bardallo Gonále Miguel Ángel de Vega Alcántara Huelva. Curo 06/07.

INDICE Tema. MODELIZACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS. Introducción.. Sitema de control realimentado..3 Tranformada Z..4 Tranformada Z invera..5 Función de tranferencia de un itema dicreto..6 Ejemplo de dieño..7 Análii por computador de itema dicreto: Simulación mediante MATLAB. Tema. SISTEMAS MUESTREADOS. Introducción.. Mantenedore y Muetreadore de eñal..3 Función de tranferencia de un itema dicreto..4 Función de tranferencia en Z modificada..5 Ejemplo de dieño. Tema 3. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS 3. Introducción. 3. Criterio de Jury. 3.3 Etabilidad en itema muetreado. 3.4 Ejemplo de dieño. Tema 4. ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS 4. Introducción. 4. Repueta temporal de itema dicreto. 4.3 Simplificación por polo dominante en itema dicreto. 4.4 Identificación de itema mediante eñale de prueba. 4.5 Ejemplo de dieño.

Tema 5. RESPUESTA TEMPORAL DE LOS SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS 5. Introducción. 5. Error de etado etacionario. 5.3 Error de etado etacionario con realimentación no unitaria. 5.4 Nº de tipo y u influencia en lo errore de etado etacionario. 5.5 Ejemplo de dieño. Tema 6. LUGAR GEOMÉTRICOS DE LAS RAÍCES 6. Introducción. 6. Traado del Lugar Geométrico de la Raíce para itema dicreto. 6.3 Efecto de la adición de polo y cero al itema. 6.4 Ejemplo de dieño. Tema 7. CRITERIO DE NYQUIST 7. Introducción. 7. Criterio de etabilidad de Nyquit para itema dicreto. 7.3 Ejemplo de dieño Tema 8. DISCRETIZACIÓN DE REGULADORES CONTINUOS 8. Introducción. 8. Dicretiación de reguladore continuo. 8.3 Efecto de la dicretiación obre la etabilidad. 8.4 Regulador PID dicretiado. 8.5 Ejemplo de dieño. Tema 9. DISEÑO DE REGULADORES DISCRETOS 9. Introducción. 9. Dieño de reguladore dicreto mediante el Lugar Geométrico de la Raíce. 9.3 Dieño por íntei directa. 9.4 Dieño de reguladore en tiempo mínimo. 9.5 Ejemplo de dieño

Control por Computador Tema : Modeliación de Sitema Dicreto Introducción Repreentación de eñale en MatLab >>typeofsignal Secuencia De aquí en adelante ecribiremo la ecuencia como: {Xk} {0,, -, 3.5 } k 0 Nota: Trabajaremo en el rango poitivo del tiempo, por tanto, toda la eñale para tiempo menore que 0 valdrán 0. Delta de Kronecker. E la equivalente a la delta de dirac en tiempo dicreto {δ k } {, 0, 0, 0, } Si k < 0 la ecuencia valdrá 0 Señal Ecalón {u k } {,,,, } Si k > 0 iempre vale en k < 0 iempre 0 Señal Rampa {r k } {,, 3, } Su pendiente iempre vale independientemente de la ecala de tiempo que uemo; en k > 0 - - Bavegoal

Sitema Dicreto La entrada erá notada como u y la alida erá notada como y Etático: La alida en un intante de tiempo ólo depende de la entrada en ee mimo intante de tiempo. y k fu k Dinámico: La alida en un intante de tiempo puede depender de cualquier entrada o alida previa o futura y k fy k-, y k-, y k, u k-, u k-,u k, u k Trabajaremo con itema Dinámico Cauale y LTI. Sitema Cauale: Sitema que no tienen variable futura Sitema Dinámico Cauale: Sitema que no dependen de entrada o alida futura, ólo de la alida anteriore y/o de la entrada actual y/o anteriore. Sitema LTI: Sitema Lineale Invariante en el Tiempo. La expreión general de ete tipo de itema e la iguiente: y k a y k- a y k-. an y k-n b 0 u k b u k- b u k-. bm u k-m Nota: a y b al er invariante en el tiempo erán contante. Secuencia de Ponderación: Repueta del itema cuando tenemo una entrada pulo. {g k } Repueta con entrada {δ k } Si analiamo la repueta ante el pulo, tendremo la repueta frente a cualquier entrada, ya que cualquier eñal e puede dicretiar en eñale pulo de ditinta altura. Para cualquier eñal, aplicando el teorema de uperpoición, podemo calcular la alida como la umatoria de todo lo pulo dicreto que forman la eñal. y k k g k i ui i 0 Salida ección de ponderación entrada - - Bavegoal

Ejemplo. Cálculo de la ección de ponderación y la alida de un itema para una entrada delta. Ecuación del itema: y k yk 0. 5 yk uk a Secuencia de ponderación hata k 5 k 0; y 0 y - 0.5 y - u - 0 Nota: hemo dicho que toda la eñale en intante negativo valen 0 por tanto: y - y - u - y 0 0 k y y 0 0.5 y - u - 0 k y y -0.5 y 0 u 0 Nota: u 0 al valer la eñal pulo, y k 3 k 4 k 5 y 3 y 0.5 y u y 3 y 4-0.5 0.5 y 5 0.5-0,5 0 0 La ecuencia de ponderación ería entonce {g k } {0, 0,,, 0.5, 0, } b y k para una entrada ecalón La entrada de tipo ecalón iempre vale {u k } {,,.} 0 y 0 g k u i g 0 u 0 0 0; i 0 y g k u i g u 0 g 0 u 0 0 0 i 0 y g u 0 g u g 0 u 0 0 y 3 g 3 u 0 g u g u g 0 u 3 y 4 g 4 u 0 g 3 u g u g u 3 g 0 u 4 0.5.5 y 5.5-3 - Bavegoal

c Repreentación en MatLab cc_00.m En MatLab diponemo del comando filter, cuyo parámetro on B, A y u. MatLab pone la y en un lado de la igualdad y la u al otro, por eo, para adaptar nuetra fórmula, depejaremo lo término de y. y k y k 0. 5 yk uk A coeficiente que multiplican la y Cambiamo el igno, el primer elemento e el que multiplica a y k y por eo iempre uele er >>A [ - 0.5] B coeficiente que multiplican la u >>B [0 0 ] Creamo el vector equivalente a la eñal pulo delta >>delta [,ero,5] Ejecutamo: >>g filterb,a,delta >>g 0 0.0000.0000 0.5000 0 Para repreentar la ecuencia de ponderación del itema uamo el comando tem >>temg, filled Creamo el vector equivalente a la eñal ecalón para el apartado b y repetimo lo mimo pao, A y B ya etán calculado >>u one,6 >>y filterb,a,u >>temy, filled Probamo lo mimo apartado para vectore delta y u de 30 y 3 componente. Vemo que amba entrada on muy parecida aunque con valore diferente, amba ocilan alrededor de un valor hata que e etabilian en ee valor. - 4 - Bavegoal

Ejemplo. Simular la ecuencia y k -3y k- -y k- u k, hata k 0 elemento porque MatLab empiea en, para una entrada impuliva delta y una eñal ecalón. cc_00.m En ete cao: >>A [,3,] >>B [,0,0] >>delta [, ero,0] >>u one, Vemo que la uma e má grande cuanto má tiempo, eto indica que el itema e inetable, para que ea etable, debe tender a un valor 0, como en el cao anterior. - 5 - Bavegoal

Sitema de Control Realimentado Etabilidad de un itema Lo fundamental en un itema e que ea etable. Un itema e etable, i para una ecuencia de entrada acotada, la ecuencia de alida etá también acotada. Cumple la condición de etabilidad i la uma de la ecuencia de ponderación e una ecuencia finita: 0 i < g i Si conocemo la Planta de un itema, podemo aber para que entrada la alida e la deeada. El problema e que i hay un error, e va acumulando hata poder hacer el itema inetable, ete tipo de control e llama control en lao abierto nunca lo haremo. Lo que haremo erá comparar la alida del itema, con la que nootro queremo rt eñal de referencia, i a éta eñal le retamo la alida obtenemo el error. Si hacemo que ete error tienda a cero tendremo la alida deeada, para ello en función del error iremo cambiando la planta para obtener, aproximadamente, la alida deeada. Al er la alida una medida fíica, neceitamo un enor que la tranforme en una magnitud eléctrica para poder compararla. - 6 - Bavegoal

Tanto la referencia, el error, como la alida, on magnitude temporale. Uaremo un computador para que partiendo del error calcule la entrada de la planta para que la alida ea la que queremo, como el error e analógico, e neceario un Sample and Hold y un CAD para la entrada del computador. Tendremo una entrada y alida del computador binaria y uaremo un mantenedor y un CDA para que la entrada a la Planta del itema ea analógica. El mantenedor e neceario para que la alida del CDA no ean punto dicreto, de manera que mantenga la eñal a un valor hata que el computador cambie el valor. Ete itema dicreto, ya no ería de lao abierto ino de Lao cerrado, no ería el único equema. Otro poible equema: Si el enor poee alida digital - 7 - Bavegoal

Definicione Nivel de Cuantificación Q: e define como el nivel que hay entre do punto adyacente de la curva de cuantificación, y e define como el intervalo de ecala completa FSR partido por elevado al número de bit n. Q FSR n Dependiendo de cuanto tenemo que repreentar y de cuanto bit tengamo para ello, el cambio de un valor a otro erá mayor o menor. Error de cuantificación: Error que cometemo al paar de una eñal de infinito valore a una eñal que poee valore dicreto finito. Variará dede 0 hata ½ Q Dependerá del valor que etemo cuantificando, por la ecala x introducimo el valor analógico y el factor de ecala devuelve el valor digital, i etamo en un valor de ½ Q etamo devolviendo 0, por tanto el error erá ½ Q Q Q Q Q Q El error lo trataremo como un ruido llamado ruido de cuantificación, i el número de bit e uficiente ete ruido no erá ignificativo - 8 - Bavegoal

Tranformada Z unilateral Eto quiere decir que nuetra eñale tendrán valor dede cero en adelante, hacia atrá valdrán 0. Por lo general erán continua. Si por cualquier motivo, la eñal fuera dicontinua, tendría que erlo en el 0, en ete cao tomaremo el valor a la derecha del 0. Delta no la conideraremo dicontinua. Definición La tranformada Z de una eñal x k iempre que x k 0 para k < 0, e una erie de potencia en k con coeficiente x k y que e exprea con X. X Z{xk} k 0 k x k ; Nota: pertenece a lo número complejo, a bj. Dearrollando la erie: X x0 x - x - x3-3 Ventaja de uar la tranformada Z. Se ua una expreión encilla, uaremo una tabla de tranformada, lo que haremo erá convertir una ecuación en diferencia en una expreión algebraica que erá má fácil de uar. Propiedade de la tranformada Z - Multiplicación por una contante Z{a xk} a x - Linealidad Z{a xk b yk} a x b y - Tranlación en el tiempo Z{xt-n T} Z -n x; Nota: T e el tiempo de muetreo tranlación a la derecha, 7 y 9 de la tabla de propiedade de la tranformada. n i Z{xt n T} Z n x i 0 x i Z ni Nota: tranlación a la iquierda, 6 y 8 de la tabla. - 9 - Bavegoal

Teorema del valor inicial No permite conocer el primer elemento de una ecuencia in conocer la ecuación diferencial. Generalmente lo abremo y no erá neceario calcularlo. x 0 lim X Teorema del valor final Permite calcular el último valor de una ecuencia cuando k tiende a infinito. x lim X lim X Ejemplo. Calcular el valor final de la expreión: x x? at e x - / e -a t - 0 / e -a t 0 Ejercicio. Calcular la tranformada Z de la expreión: yk 0.7 yk- 0. yk- 0.8 uk- Z {yk} Y Z{ 0.7 yk-} -0.7 Z - Y Z{0. yk-} 0. Z - Y Z{0.8 uk-} 0.8 Z - U Tranformada Z de la expreión: Y -0.7 Z - Y 0. Z - Y 0.8 Z - U Sacamo factor común: Y 0.7-0. - 0.8 Z - U Y 0.8 Z - / 0.7-0. - U Podemo aber la alida del itema a cualquier eñal, por ejemplo para la delta de kronecker: uk deltak U Para una eñal ecalón: uk {,,,,.} U / - / - Para obtener de nuevo yk ería neceario hacer la tranformada invera de la expreión. - 0 - Bavegoal

Función de Tranferencia de un Sitema Dicreto Sería un modelo del itema, para el ejemplo anterior: Y / U 0.8 Z - / 0.7-0. - Eta ecuación e lo que vamo a llamar función de tranferencia: Tranformada Z de la alida, dividida por la Tranformada Z de la entrada iempre que la condicione iniciale ean 0. También e puede definir como la alida del itema para una entrada delta. Z{ecuencia de ponderación fk } Veremo a continuación como ería para el cao general: yk a y k- a y k-. an y k-n b 0 u k b u k- b u k-. bm u k-m La expreión general de una función de tranferencia erá entonce: Y a - a - a3-3. - an -n U b0 b - b - b3-3 bm -m G Y U b0 b - b - b3-3 bm - m a - a - a3-3.- an - n Si multiplicamo y dividimo por Z n no quedarían la Z con exponente poitivo G b0 n b n - n b n - a n - a n - b3 n - 3 bm n - m a3 n - 3.- an Si calculamo lo valore que hacen cero el denominador de la ecuación habremo calculado lo Cero, i calculamo lo que hacen cero el denominador erán lo Polo, eto valore no ervirán para calcular la etabilidad del itema. Si lo polo on mayore que uno, el itema erá inetable. - - Bavegoal

Veremo como e define una función de tranferencia en MatLab: cc_003.m G tfnum,den,t num: vector de coeficiente del numerador den: vector de coeficiente del denominador T: periodo de muetreo, i indicamo - quiere decir que no tenemo definido el periodo de muetreo G pkcero,polo,ganancia,t cero: vector con lo cero de la función de tranferencia polo: vector con lo polo ganancia: e un valor que multiplica a la función de tranferencia Ademá podemo paar de una forma a otra: G pktf G tfpk Comando para imular en forma de función de tranferencia: impule imula el itema para una entrada impulo tep imula para una entrada ecalón. lim imula para una entrada genérica. inicial imula para una condición inicial ditinta de cero y para ninguna entrada. Simularemo la ecuencia calculada anteriormente para una entrada impulo y una entrada tep Y 0.8 - / 0.7-0. - Primero e neceario paar a exponente poitivo, multiplicando y dividiendo por el mayor exponente: G 0.8 / 0.7 0. >> G tf0.8,[ -0.7 0.],- Si uamo pk la función e muetra en forma de factore, para aber lo cero y polo exiten la funcione: >>erog >>poleg - - Bavegoal

Tranformada Z invera Veremo como paar del dominio de Z al dominio del tiempo nuevamente. Exiten cuatro procedimiento: - Aplicando la tabla Sólo no irve para expreione encilla, i on compleja la tranformamo en encilla - Diviión larga: Una ve que tenemo lo cociente, realiamo la diviión de lo polinomio, e un proceo tedioo que puede dar lugar a expreione extraña - Integral de Curvatura: Integral compleja, muy complicada de realiar - Fraccione Simple: Tranformamo el cociente de polinomio en fraccione de coeficiente má pequeño a lo que poder aplicar la tranformacione directa de la tabla. Bucaremo hacer la fraccione imple de Y /, una ve calculada paamo la multiplicando. Teniendo fraccione imple pueden aparecer cuatro cao: o Raíce reale ditinta o Raíce reale iguale: Tienen alguna multiplicidad o Raíce compleja ditinta o Raíce compleja iguale: Son itema de orden 4, nootro trabajaremo con itema de orden Uaremo el método de lo Reiduo para reolverla En MatLab contamo con el comando reidue - 3 - Bavegoal

Veremo uno ejemplo de cada cao: Ejemplo. En la iguiente ecuación en diferencia calcular yk yk t a yk rk- y0 r0 0 Lo pao a eguir on: Z{ecuencia} depejamo Y Z - {Y} Y y0 a Y R r0 Como tenemo que y0 y r0 on cero, no queda: Y a Y R Y R - a Suponemo que la entrada e una delta, tenemo: rk deltak R Y / -a yk a k Aplicamo la tabla para realiar la tranformada invera, en ete cao en la fila 8 Ejemplo. Hecho anteriormente: yk? G Y / U 0.8 - / 0.7-0. - Veremo la alida cuando la entrada e una eñal ecalón U / - Hallamo Y G U - { } yk - 0.8 Y - - 0.7 0. - - - - 0.7-0.8-0. - - - 0.7 - - 0. -3 Simplificando en el denominador: - 0.8 Y paando a exponente poitivo, - - -3 -.7 0.8-0. multiplicando y dividiendo por 3 obtenemo: 0.8 Y 3 -.7 0.8-0. En MatLab podemo reolver la raíce de un polinomio mediante el comando root cc_004.m >>root[, -.7, 0.8, -0.] Obtenemo que on, 0.5 y 0. - 4 - Bavegoal

- 5 - Bavegoal Cálculo de lo Reiduo para Raíce Reale En ete apartado veremo la forma de calcular lo reiduo para polo reale imple y múltiple. - Raíce Reale Simple multiplicidad :... 3 3 p B p B p B A B Y p p p3 Son la raíce del polinomio A 0 p, p, erán lo polo Para calcular cada B i haremo: p i i p i A B B - Raíce Reale Múltiple multiplicidad > Cuando la raíce on reale hay polo repetido, la expreión a uar e la iguiente: 3... p B p B p B A B Y n n Para calcular lo B i en ete cao e procede de la iguiente forma:! p i n i i i i A B p d d B

En MatLab tenemo un comando que no calcula lo B i : [R,P,k] reidueb,a B y A on la funcione R on lo reiduo P on lo polo k: i B e puede dividir por A, MatLab lo calcula y lo devuelve en k A continuación haremo un ejemplo de cada tipo y lo comprobaremo en MatLab, ademá aprovecharemo el ejemplo del día anterior para calcular la tranformada Z invera. 0.8 Ejemplo. Evaluar el itema Y U 0.7 0. a Una entrada pulo uk δk U A partir de Y vamo a calcular la tranformada invera. para: Primero paaremo lo exponente a poitivo: Y 0.8 0.7 0. Para realiar la tranformada invera e neceario decomponer la expreión en funcione imple. Para decomponer en raíce e neceario tener en el denominador; como no lo tenemo, dividimo por en ambo término: Y 0.8 0.7 0. Para calcular la raíce del polinomio del denominador lo haremo mediante MatLab: >>root[, -0.7,0.] Obtenemo p 0. y p3 0.5, p ería la raí de la que multiplica el denominador, e decir p 0; - 6 - Bavegoal

Tenemo entonce que el cociente del polinomio e: Y 0.8 B B B3 0.7 0. 0. 0.5 0.8 0.8 0.8 B p / 8 0. 0.5 / 0. 0.5 0. 0.5 p 0 Como en p e igual a 0, B no queda 0.8 / -0. -0.5 8. El 0 que multiplica el cociente e elimina con la del denominador, por eo el denominador no e 0 Realiamo lo mimo pao para calcular B y B3: 0.8 0.8 0.8 B p / 0. 3.3 0. 0.5 / 0. 0.5 0. 0. 0.5 p 0. 0.8 0.8 0.8 B3 p3 / 0.5 53.3 0. 0.5 0. / 0.5 0.5 0.5 0. p3 0.5 Ahora utituyendo en la ecuación: Y 8 3.3 5.33 0. 0.5 3.3 5.33 Y 8 0. 0.5 Ahora, mediante la tabla línea y 8 calculamo la tranformada invera de cada una de la expreione, quedando la expreión dependiendo ólo y excluivamente del tiempo k: yk 8 δk - 3.3 0. k 5.33 0.5 k - 7 - Bavegoal

Si uamo impule para repreentar la función Y y luego repreentamo eta función dándole valore a k, debemo obtener la mima gráfica cc_005.m Siendo: 0.8 y Y U 0.7 0. y yk 8 δk - 3.3 0. k 5.33 0.5 k Si hacemo ete mimo ejercicio en MatLab obtendremo: cc_005.m >> [R,P,K] reidue0.8,[ -0.7 0. 0] R 5.3333-3.3333 8.0000 P 0.5000 0.000 0 K [] - 8 - Bavegoal

b Una entrada ecalón uk {,,,,.} U Como ya e calculó el día anterior: Y -.7 - - 0.8 0.8 - - 0. -3 Al igual que ante, paamo todo lo exponente a poitivo multiplicando y dividiendo por el mayor exponente 3 : 0.8 Y 3.7 0.8 0. Dividimo en lo do término por Y 3 0.8.7 0.8 0. Primero lo calcularemo en MatLab: >>[R,P,K] reidue0.8,[ -.7 0.8-0.] R.0000-5.3333 3.3333 P.0000 0.5000 0.000 Tenemo en ete cao que el valor para el numerador de lo ditinto polo etá en R, erá para el polo, -5.33 para el 0.5 y 3.333 para el 0.. Vemo que etamo en el cao de raíce reale y imple ya que on toda ditinta, la decompoición del polinomio no queda en ete cao: Y 3 0.8 5.33 3.33.7 0.8 0. 0.5 0. - 9 - Bavegoal

Para hacerlo manualmente debemo calcular la raíce, i e de orden 3 podemo calcular la raíce en MatLab o e no darán, no erá neceario calcularla en ningún cao: >>root[ -.7 0.8-0.] Como era de eperar obtenemo, 0.5 y 0.. Calculamo B, B y B3 de la mima forma que ante: 0.8 0.8 B p / 0.5 0. / 0.5 0. p B p 0.5 5.33 B 3 p3 0. 3.33 A continuación calcularemo la tranformada Z invera. Primero multiplicamo toda la expreión por la que divide a Y: 5.33 3.33 Y 0.5 0. La expreión e imilar a la anterior, por tanto, uando la tabla obtenemo: yk k 5.33 0.5 k 3.33 0. k k yk 5.33 0.5 k 3.33 0. k - 0 - Bavegoal

A continuación realiaremo un ejemplo con raíce reale múltiple Y B 3 Ejemplo. Evaluar el itema 3 A para: Tenemo un único polo en - tre vece multiplicidad 3, en ete cao el procedimiento erá ligeramente ditinto a lo anteriore: Y B 3 B B B3 3 3 A En ete cao para calcular cada Bi, atenderemo a la repectiva fórmula: 0 d B n 3 3 3 0 3 / B p 0! d A / p p En ete cao la derivada 0 de B / A ería el propio cociente, eto quiere decir que no hay que derivar. Por otro lado el factorial ería igual a Para calcular B tenemo que calcular la derivada con repecto a de lo que teníamo ante, como 3 e eliminó en el denominador y numerador, la derivada e del polinomio 3, con lo que no queda, quedando la expreión: B 0! p El factorial en ete cao también vale Para calcular B3 volvemo a calcular la derivada de lo que teníamo ante quedando B 3! p 3 En ete último cao el factorial de e - - Bavegoal

Por último, al igual que ante, depejamo la expreión Y y realiamo la tranformada invera. Y 3 En la fila 7 de la tabla obtenemo la tranformada del primer término, quedando entonce como: k k k Fila 7: Z a 3! a paando a poitivo 3 a En la fila 8 e muetra el cao general Realiamo la tranformada invera de lo do término de la ecuación de Y.- Z k k k k 3 Z 3 k k.- Z k La expreión final que no queda e la iguiente: k k y k k k Se puede implificar aún má teniendo en cuenta que: - k- - k - - - - k Nota: Quedando entonce la expreión como: yk - k k k- - - k - k k k - - Bavegoal

Para probar eto en MatLab uaremo: impule tep cc_006.m Y 3 Repreentamo la expreión yk y la Función de Tranferencia 3 para una entrada delta y una entrada ecalón dándono lo mimo reultado: yk - k -kk- Función de Tranferencia para una entrada impulo Función de Tranferencia para una entrada ecalón - 3 - Bavegoal

Cálculo de lo Reiduo para Raíce Compleja Simple Aquí calcularemo lo reiduo con polo complejo imple lo polo complejo múltiple dada u dificultad no lo etudiaremo, para luego poder calcular la Tranformada Z invera. Lo método a uar on:. Utiliar el método de lo reiduo para polo reale MatLab: reidue. Se obtienen reiduo complejo no aparecen en la tabla, una ve obtenido eto reiduo erá neceario operar para quitar lo número complejo y poder realiar la tranformada invera.. Bucar Fraccione Simple de la forma: a b ; donde lo polo erían δ ω δ j ω. También erá neceario realiar alguna operacione. Luego podremo reolverla comparando con la expreione de la tabla do última fila de la tabla no ogata, ó 6 y 7 de la tabla ogata Z c co b T c co b T c c k co b k T Z c en c co b T b T c c k en b k T - 4 - Bavegoal

A continuación evaluaremo un itema con ete egundo método para u mejor comprenión: Y B Ejemplo. Calcular la tranformada Z invera de A 5 Dada eta expreión vamo a ir calculando lo pao neceario para a b δ ω tranformar eta expreión en fraccione compleja imple del tipo: Para ver i e viable realiarlo por el método, obtenemo la raíce del denominador, podríamo hacerlo a mano, pero ejecutaremo mejor el comando en MatLab, para ver i realiarlo: >>root[ 5] an -.0000.0000i -.0000 -.0000i Se obtiene un reultado complejo, para ello, obtamo mejor hacerlo por el egundo método. Por lo que comparamo la expreión del denominador de nuetra expreión con el denominador de la primera de la expreione a comparar: 5 c co b t c Comparamo lo que multiplica a la en ambo lado de la igualdad, lo mimo con la y con el término independiente: co b t co b t c 5 5 c c 5 Depejando bt obtenemo: b T ar co. 0344rad 5 Nota: En MatLab el arcoeno e obtiene con el comando aco aco-qrt5-5 - Bavegoal

Por otro lado, tenemo la iguiente propiedad: en bt co bt, de donde podemo depejar enbt para hallar u valor. en bt co bt 5 5 Ya tenemo lo neceario para comparar la expreión del principio con la de la tabla decrita anteriormente: c 5 bt.0344rad co bt en bt 5 5 Como iempre, paamo la del denominador de Y al otro lado de la igualdad Y 5 Y 5 Bucaremo una combinación de la expreione anteriore. Generalmente erá una uma de amba. Z c co b T c co b T c Z b T b T c en c co c De la expreione a comparar elegiremo, primero ecogemo la de mayor orden, y en una primera intancia el denominador: c co bt 5 5 Ahora operaremo en la expreión de Y para que el numerador valga la expreión obtenida: Quitamo el que multiplica a la y dejamo un ola, dejando y por otro lado 5 6 Y 5 5 5-6 - Bavegoal

- 7 - Bavegoal Dividimo la expreión en do umando, una comparable con la expreión de la tabla y la egunda expreión la tranformaremo para que coincida con la expreión de la tabla Separando la expreión en umando obtenemo: 5 5 5 Y Se ve claramente que el primer umando coincide con la expreión de la Z -, por tanto, podemo calcular u tranformada invera de manera directa: co.0344 5 5 k Z k Ahora calcularemo la tranformada invera del otro umando de la ecuación anterior: 5 5 Z Para ello, al igual que ante, vemo cuanto tiene que valer cada término del numerador de la expreión para que la expreión ea la que bucamo: bt en c 5 5 utituyendo en la expreión anterior tenemo:.0344 5 5 5 5 5 0 k en Z Z k Juntando la tranformada invera calculada, obtenemo la olución..0344 5 co.0344 5 k en k k y k k Nota: k 5 5 puede ponere como 5 k/

Para comprobar que e correcto podemo imularlo en MatLab: cc_007.m Simularemo la Función de Tranferencia y la Ecuación en Diferencia reultante al realiar la Tranformada Invera y la repreentación de amba debe er idéntica. Como entrada uk uaremo la delta de kronecker. Primer definimo la Función de Tranferencia. Uamo tf indicando coeficiente del numerador y denominador y un periodo de muetreo indefinido Y tf[ 0],[ 5],- Le aplicamo a la Función de Tranferencia una entrada impulo delta de kronecker: [y,k] impuley; Ahora definimo la Ecuación en Diferencia reultante. Calculamo bt: bt aco- / qrt5; Calculamo yk egún nuetra ecuación, y * 5.^k /.* cobt * k 5.^ k/.* inbt * k; y e y deberían er iguale, para ello la repreentamo en la mima gráfica con ditinto colore: plotk,y,'bo',k,y,'r'; legend'y_ impule','y_ olucion'; - 8 - Bavegoal

- 9 - Bavegoal Ejercicio. Reolver la iguiente ecuación en diferencia:.5 3 0.5 0.5 k u k u k u k y k y k y Siendo uk δk entrada pulo delta de kronecker Para reolverla tenemo que obtener y en función de k, e decir, que no dependa ni de k, ni k. Para ello, calcularemo la tranformada Z de la expreión, depejaremo Y y luego haremo la tranformada Z invera de la expreión uando alguno de lo método aprendido. { }.5 0.5 0.5 3 U U U Y Y Y k y Z Sacamo factor común Y y U quedando entonce:.5 0.5 0.5 3 U Y Depejando Y: 0.5 0.5.5 3 U Y Introducimo como entada δk U quedándono: 0.5 0.5.5 3 Y Ahora para calcular la Tranformada Invera, paaremo lo exponente a poitivo multiplicando y dividiendo el término de la derecha por 3 : 0.5 0.5.5 3 3 Y Como no etá en la tabla, lo paamo a fraccione imple, para ello, primero paamo dividiendo al lado iquierdo de la ecuación: 0.5 0.5.5 3 Y

Lo primero erá calcular la raíce del denominador, para ello, ayudándono de MatLab: >>root[ -0.5 0 0.5] an 0.5000 0.5000i 0.5000-0.5000i -0.5000 Obervamo que e obtienen do raíce compleja imple y una real imple. La ecuación no queda de la iguiente forma: Y A 0.5 B C σ ω Nota: donde igma e la parte real y omega e la parte imaginaria La explicación de la fórmula compleja e obtiene de realiar la operación de la raíce reale con la raíce compleja: A A 0.5 0.5 j 0.5 0.5 j Si umamo la expreión obtenemo: A 0.5 0.5 j A 0.5 0.5 j 0.5 0.5 j 0.5 0.5 j Vemo que en el denominador no queda una multiplicación del tipo a b a -b donde a - 0.5 y b 0.5j quedando entonce la uma de lo operando al cuadrado, como abemo, j -, quedando entonce en el denominador la expreión dicha anteriormente σ ω Realiamo lo cálculo del primer denominador de la expreión principal: A i B A p i.5 0.5 0.5 0.5 0.5 p 0.5 i 0.5.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Nota: 0.5 e eliminaría con el del denominador - 30 - Bavegoal

Ahora calcularemo B y C, para ello, primero calcularemo la uma que teníamo: Y A σ ω B C 0.5 0.5 σ ω El numerador debe valer lo mimo que el numerador que teníamo al principio - -.5, para reolverlo, dejamo la expreión en forma de polinomio e igualamo lo coeficiente que no queden la con la, la con la etc A σ ω B C 0.5.5 Nota: -0.5 0.5 Realiando la operacione obtenemo: A A 0.5 A 0.5 A B 0.5 B C 0.5 C.5 Agrupando lo coeficiente de cada x tenemo: A B A 0.5 B C 0.5 A C.5 Igualando término a término: A B - -A 0.5 B C -.5 0.5 A C Como ya hemo calculado anteriormente A, no facilita lo cálculo. Sino la hubiéemo calculado, también podríamo calcularla ahora, ya que tenemo 3 ecuacione con 3 incógnita. Obtenemo: A, B -3 y C Y La expreión de utituyendo A, B y C no queda: Y 3 0.5 0.5 0.5 Y 3 0.5 0.5 0.5 Expreada la Función de Tranferencia en fraccione imple comparando con la expreione de la tabla podemo calcular la Tranformada Invera. Primeramente comprobaremo lo reultado obtenido con MatLab. - 3 - Bavegoal

Reolviendo eto en MatLab deberíamo obtener lo mimo reultado, vamo a comprobarlo: Calculamo lo reiduo mediante el comando reidue, devuelve en r lo reiduo, en p lo polo y en k, i exiten, lo polinomio imple reultante de dividir lo do polinomio. La entrada de la función on lo coeficiente del numerador y denominador >>[r,p,k] reidue[- -.5 ], [ -0.5 0 0.5] r -.5000-0.5000i -.5000 0.5000i.0000 p 0.5000 0.5000i 0.5000-0.5000i -0.5000 Como la mayoría de la vece k no contiene ningún valor. Hay que tener en cuenta, que a cada reiduo, le correponde el polo de u mima poición, de ete modo tenemo, egún MatLab: Y 0.5.5 0.5 j.5 0.5 j 0.5 0.5 j 0.5 0.5 j MatLab no da la fraccione por eparado, para poder uarla umamo la raíce compleja:.5 0.5 j.5 0.5 j 0.5 0.5 j 0.5 0.5 j.5 0.5 j 0.5 0.5 j.5 0.5 j 0.5 0.5 j 0.5 0.5 Eto también podemo realiarlo en MatLab, ino definimo ninguna variable con el nombre de j, automáticamente, MatLab entiende que e trata de un número complejo, lo polinomio e repreentan como vectore, entonce ejecutamo:.5 0.5j * [ 0.5 0.5j] [ 0.5 0.5j] *.5 0.5j Obtenemo [-3, ] -3 por lo que efectivamente no da el reultado eperado Y 3 0.5 0.5 0.5-3 - Bavegoal

Expreada la función en fraccione imple procedemo a calcular la Función de Tranferencia Invera. Pero primeramente depejamo Y quedándono: 3 Y 0.5 0.5 Z 3 y k Z Z 0.5 0.5 { Y } La primera de la tranformada e directa: Z -0.5 k 0.5 La egunda de la tranformada tenemo que compararla con la fórmula 6 y 7 de la tabla de tranformada. Primero compararemo lo denominadore ya que amba fórmula a comparar 6,7 tienen el mimo denominador: 0.5 - c cob T c - c cob T 0.5 c Depejamo c: c 0.5 y teniendo c depejamo el coeno. co bt 0.5 Si multiplicamo y dividimo por 0. 5 la expreión no queda como co bt 0.5 Calculamo b T: 0.5 0. rad bt ar co 7854 Ahora calculamo el eno con la ayuda de la propiedad en bt co bt por lo que depejando el eno no queda: en bt 0.5 0.5-33 - Bavegoal

- 34 - Bavegoal Tra todo lo cálculo realiado, reumimo lo iguiente valore: rad bt bt en bt c 0.7854 0.5 0.5 co 0.5 Comparamo primero el numerador de la expreión de la Z - que tiene el coeno. bt c 0.5 0.5 co Para poderlo comparar tenemo que coneguir que el numerador de nuetra expreión tenga Neceitamo tener la ola, por eo, dividimo el numerador entre 3 y acamo el -3 fuera. 0.5 3 3 Z Retamo ½ a lo /3 que multiplican a la y no quedan -/6: 0.5 6 3 Z Dividiendo el numerador en umando: 0.5 0.5 3 Z Z Nota: En el egundo término introducimo el -3 multiplicando, de ahí el ½ que no queda. Ahora podemo ya calcular la Z - del coeno; co0.7854 0.5 3 0.5 3 k Z k

Para realiar la egunda expreión reultante, como ya tenemo el denominador y tenemo ólo una en el numerador, haremo la tranformacione necearia para que lo numeradore ean iguale. Z 0.5 c en bt 0.5 0.5 0.5 Como vemo, lo que neceitamo, e exactamente lo que tenemo, por tanto podemo aplicar la tranformación directamente. Z 0.5 0.5 k en0.7854 k Uniendo la tre expreione obtenemo yk: k k y k 0.5 3 0.5 co0.7854 k 0.5 en0.7854 k k Podríamo acar k 0.5 como factor común para dejar la expreión má legible. A continuación vamo a comprobar que realmente la olución e correcta.. Tenemo la ecuación en diferencia del itema. La función de tranferencia 3. La ecuación a lo largo del tiempo En MatLab, para el primer cao uaremo filter, para la egunda, lo haremo con impule y para la tercera implemente daremo valore a k y repreentaremo yk en eo valore, toda deberían dar el mimo reultado. cc_008.m - 35 - Bavegoal

Ejercicio. Reolver la iguiente Ecuación en diferencia, iendo la entrada aplicada una eñal ecalón de amplitud. y k 0.5 y k 0. y k 0.008 y k 3 u k u k 3 uk {,,,,,, } Lo pao a eguir on:. Aplicar la tranformada Z a la ecuencia. Depejar Y 3. Aplicar la tranformada Z - mediante lo método vito anteriormente. Realiamo la tranformada Z Z { y k } 0.5 Y 0. Y 0.008 3 Y U 3 U Agrupamo la Y por un lado y la U por otro: Y -0.5-0. - -0.008-3 U - -3 Dividimo Y entre U para obtener la función de tranferencia y paamo la a exponente poitivo multiplicando y dividiendo entre el mayor exponente en poitivo: 3 3 3 0.5 0. 0.008 0.5 0. 0.008 Y G U Eta función de tranferencia la podemo imular en MatLab mediante tep, que imula la entrada de una eñal ecalón. Otra opción e uar impule, para imular la entrada de una delta, pero para ello, tendríamo que multiplicar la expreión anterior por la tranformada de U eñal ecalón que e. Multiplicamo la expreión anterior por la tranformada de la eñal ecalón: Y 0.5 0. 0.008 3 3 0.5 0. 0.008-36 - Bavegoal

Ahora abemo que uno de lo polo e, que hace cero a -, el reto lo calculamo mediante MatLab y obtenemo: >>root[ -0.5 0. -0.008] Obtenemo: 0. 0. 0.j Paamo la del numerador dividiendo a Y para que no quede una en el numerador y podamo comparar en la tabla. Ecribiendo la expreión decompueta en factore obtenemo: Y 0. 0. 0. Nota: El polo complejo ale de σ ω con 0. 0.j Decomponiéndolo en fraccione imple obtenemo: Y 0. A C D 0. 0. 0. 0. B 0. Sumando la fraccione y comparando el reultado con la expreión de la iquierda podríamo obtener A, B, C y D. Para hacerlo de forma má rápida, calcularemo lo reiduo, lo polo y el término independiente con reidue, de eta manera obtendremo la incógnita. [R,P,K] reidue[,],conv[ -05 0. 0.008],[ -] La función conv, la uamo para multiplicar polinomio, eto lo uaremo porque en el denominador de la expreión de la iquierda tenemo un factor de do polinomio. Si ejecutamo por eparado conv, podemo comprobar que realmente da el reultado de multiplicar ambo polinomio - 37 - Bavegoal

Al ejecutar el comando obtenemo: R 4.900 B 0.884.4706i 0.884 -.4706i -46.6667 A P.0000 0.000 0.000i 0.000-0.000i 0.000 K [] Ahora aignamo a caa reiduo de R el polo aignado en P, vemo que el primer reiduo e correponde a B y el último a A, lo otro do al er complejo hay que calcularlo igualando la expreione. Sutituyendo A y B por u valore obtenemo: 0. 46.6667 4.9 C D 0. 0. 0. 0. 0. Según MatLab tenemo que el reiduo 0.884.4706i va aociado al polo 0.000 0.000i y lo mimo con el otro, utituyendo tendremo: 0.884.4706 j 0.884.4706 j 0. 0. j 0. 0. j Realiamo la uma, para calcular lo producto podemo uar MatLab: 0.884.4706i*[, -0.0.j] 0.884-.4706i*[, -0.-0.j] an 4.7684-6.94 El primer reultado correponde al primer producto y lo mimo ocurre con el egundo. - 38 - Bavegoal

Sutituyendo en la ecuación ya tenemo calculado toda la incógnita y tenemo la función decompueta en fraccione imple: Y 46.6667 4.9 4.76 6.94 0. 0. 0. Nota: Hemo uado MatLab para acelerar lo cálculo, pero hay que aber calcularlo a mano. Aplicamo ahora la Z - uno a uno a todo lo término, ante, pero ante depejamo Y: Y 46.6667 4.9 4.76 0. 6.94 0. 0. La tranformada invera de la do primera fraccione on directa: 46.6667 Z 46.6667 0. 0. k 4.9 Z 4.9 k iempre e k 4.9 ; como k e iempre poitivo, podemo aegurar que Para realiar la tranformada invera del término que falta, lo compararemo con la repectiva fórmula para ir obteniendo lo que no interee, primero prepararemo el denominador comparándolo con la fórmula del coeno o el eno ya que on iguale. -0. 0. 0. - 0. 0. -0.4 0.08 Eta expreión tiene que er igual a c cobt c, comparado amba obtenemo -0.4 0.08 c cobt c 0.08 c c 0.08 0.4 0.4 co bt co bt 0.707 c bt arco0.707 45º 0.7854 rad MatLab lo devuelve en radiane enbt 0.707; como el ángulo e 45º, el eno e igual que el coeno; - 39 - Bavegoal

Ahora paamo a bucar lo numeradore uando la mima técnica. Ante utituimo en el numerador de la fórmula del coeno, lo valore calculado para aber con qué expreión tenemo que comparar c cobt - 0.83 0.707-0. 4.76 6.94 Z ; como la 0. 0. debe etar ola, acamo el 4.76 no queda entonce: 4.76 Z 6.94 4.76 0.4 0. 4.76 Z 0. 0. 0. Como neceitamo que a la la multiplique 0., dividimo 0.4 en 0. 0. quedando entonce: 0. 0. 4.76 Z 0. 0. Dividimo la expreión en do umando acando uno de lo -0. del numerador: 4.76 Z 0. 0. 0. 4.76 Z 0. 0. 0. La tranformada del primer umando e directa 4.76 Z 0. 0. 0. 4.76 0.83 k co0.7854 k Ahora paamo a comparar el numerador del egundo umando con el numerador de la expreión del eno: c enbt 0.83 0.707 0. Como vemo, tenemo exactamente lo que neceitamo, tan olo acamo el igno - fuera de la expreión, una ve hecho tenemo la tranformada directa: 4.76 Z 0. 0. 0. 4.76 0.83 k en0.7854 k - 40 - Bavegoal

Uniendo toda la tranformada obtenemo la expreión final. Al haber ido aproximando a lo largo de lo cálculo, la gráfica obtenida erá ligeramente ditinta a la obtenida directamente mediante la función de tranferencia. co0.7854 k en0.7854 k k y k 46.6667 0. 4.9 4.76 0.83 k A continuación lo probaremo en MatLab iguiendo lo pao iguiente: cc_009.m - Repreentación de la Función de Tranferencia Y Podemo calcular y uamo tep o depejamo Y y uamo impule U a. G tf,-; tep b. Y G U Si multiplicamo G U, la entrada ería un pulo, no un ecalón. No hay que olvidar que Y/U G impule - Repreentación de la Ecuación en Diferencia mediante filter filter u oneiek - Repreentación de la Ecuación obtenida - 4 - Bavegoal

Al obervar la gráfica vemo que el itema e etable ya que tiende a valer 5, aunque la alida e incorrecta ya que le etamo dando de referencia una eñal ecalón de valor y no 5. Ete problema ocurre porque el itema con el que etamo tratando e en lao abierto, má adelante aprenderemo como realimentar al itema para que tienda al valor que queramo. Ete error e conocido como Error de Etado Etacionario. Para calcular ete error uaremo el teorema del valor final de la tranformada Z para no tener que calcular la fórmula yk, teniendo eta fórmula podemo calcular el valor cuando k tiende a infinito. Obtendríamo: lim yk k 4.9 El teorema del valor final lo tenemo al final de la tabla de tranformada, ahí vemo que no dice que podemo calcular: y lim y k lim Y lim k Y Para demotrarlo lo calcularemo con el ejemplo anterior: Y G U Y 3-0.5 0. - 0.008 - y lim Y lim 3 0.5 0. 0. 008 0.5 0. 0.008 4.900-4 - Bavegoal

Tema. Sitema Muetreado Introducción Cuando vimo el equema de lo itema de control, vimo que neceitábamo converore A/D y D/A, para poder tratar la eñale analógica en el PC debemo digitaliarla, para ello, la muetrearemo, digitaliaremo y la introduciremo al PC. Ete control no puede er intantáneo, por ello, haremo una dicretiación. Veremo el efecto que tiene el muetreo y la reconverión de la eñal obre el itema. Uaremo lo concepto de: - Muetreo mediante Impulo: Muetreo ideal - Recontrucción mediante un mantenedor de orden 0 - Recontrucción mediante un mantenedor de orden no lo uaremo - Tranformada * etrella A partir de eto concepto veremo como aplicar la tranformada Z - 43 - Bavegoal

Muetreo Mediante Impulo Tenemo una eñal que queremo muetrear tenemo que elegir un periodo de muetreo íncrono o aíncrono que no dirá cada cuanto vamo a medir la eñal. Para el análii uaremo el íncrono contante, eto quiere decir que muetrearemo la eñal cada T egundo. Suponemo que el muetreo e ideal, por eo lo llamamo mediante impulo. Tendremo un interruptor que recibe como entrada la eñal a muetrear xt, cerrará cada T egundo y dará a u alida x*t. En realidad nunca podremo contruir un itema que de una alida exacta con una eñal impuliva, ino que tendremo el valor de la eñal durante un tiempo muy pequeño, que erá el que tarde el interruptor en abrir y cerrar, ete tiempo erá infinitamente menor que la contante de tiempo del itema, por ello upondremo que e cero y por tanto la eñal erá un impulo. Z<<<Z Z 0-44 - Bavegoal

En ete cao x*t erá igual al tren de impulo. Por tanto erá igual a la uma de todo lo impulo; la amplitud de cada pulo erá el valor de la eñal en el intante muetreado por δt, con eto no queda: x*t x0 δ t xt δt -T xt δt T. Reumiendo ería: x t x k T δ k 0 t k T Si tenemo una ecuencia de pulo unitaria, erían una erie de impulo unitario y al multiplicarlo por la eñal obteniendo no da: δ t k 0 δ t k T x * t x t δ t Eto e puede ver como una modulación donde x*t e la eñal muetreada, xt e la Moduladora y δt la portadora. - 45 - Bavegoal

El muetreador olo tendrá valore de la eñal en lo intante de muetreo, el problema ería que tuviéemo otra eñal ditinta pero con lo mimo valore en lo intante de muetreo. Eto implica que ete itema puede tener la mima alida para ditinta entrada, por tanto no puede tener función de tranferencia, no e LTI, tendremo que bucar un método para poder aplicar la tranformada. Para aegurarno de que la eñal que etá entrando e la deeada tendremo que aplicar el teorema del muetreo para elegir el periodo de muetreo. Comprobaremo eto mediante un ejercicio. Ejercicio. Repreentar en MatLab la eñal ecalón, repreentar la iguiente en π t eñal: y repreentar luego amba con un periodo de muetreo de. t.5.4.3.. y ecalon y eno 0.9 0.8 0 3 4 5 6 7 8 9 0 k Se oberva que en ete cao la eñale muetreada on iguale, por eo el periodo de muetreo no ería correcto. - 46 - Bavegoal

Tranformada de Laplace Uaremo la tranformada de Laplace L { t } T { x t T } e L δ La propiedade de la tranformada de Laplace erán la mima que la de Z. Aplicaremo la tranformada de Laplace a la eñal muetreada: X *... L L{ x * t } L{ x0 δ t } L{ x T δ t T } L{ x T δ t T } { x k T δ t k T }... Haremo la tranformada de cada umando. X * T k x0 x T e x T e... x k T L δ t T e L δ t e T T Nota: { } { } e kt Poniéndolo en forma de umatoria: X * L { } x * t k 0 x k T e kt A eta expreión e le llama la Tranformada Etrella de xt Definición de la Tranformada Z X k 0 x k T k Si lo comparamo con la expreión de la Tranformada Etrella vemo que on idéntica, olo que en lugar de e tenemo, i definimo e Eto quiere decir que: Ln T kt X X * ln T Podemo calcular la tranformada Z de una eñal dicreta en lugar de la tranformada de Laplace de una eñal en tiempo continuo, má difícil. De eta forma - 47 - Bavegoal

cuando tengamo una eñal en tiempo continuo, hallaremo la tranformada X* y Ln luego la paaremo a tranformada Z utituyendo por. T También podríamo reolver ete problema mediante la integral de convolución, y aunque no la vamo a ver, í veremo alguna propiedade que no pueden ervir: π Nota: tengamo en cuenta que: ω para la propiedade iguiente. T Propiedade de la Integral de Convolución x * t x t δ t k T X * π j c j k 0 c j X p e T p dp L{ft gt} Integral de Convolución En la expreión de la integral, p e una expreión compleja, la reolución e encuentra en la página 84 a 87 del Ogata. Alguna propiedade on: Si integramo cogiendo un camino hacia la iquierda: - Si el denominador de la expreión X e de mayor grado en que el numerador, podemo calcular la X* de la iguiente forma: * X reiduo de - e X T polo en un polo de X Si el camino e integra por la derecha alen do reultado: - Si el denominador de X tiene grado má en que el numerador: X * X j ω k T k - Si el denominador tiene un grado má en que el numerador: X * X j ω k x0 T k - 48 - Bavegoal

Propiedade de la Tranformada Etrella:. X* e periódica en, con periodo jω X* X*jω Demotración: Eto ale de la definición de tranformada etrella: X * k 0 x k T e Probaremo con jω : kt X * jω k 0 x kt kt e x kt e kt jω k 0 k 0 x kt e kt jktω k 0 x kt kt jktω e e Nota: π jkt jktω T jk π e e e co- Π k j en0 egún la formula de Euler e abj cob j ena Vemo que on iguale, por tanto la propiedad e cierta.. Si X tiene un polo en X* tiene polo en m jw para m 0,,,3, e decir, tendrá infinito polo. - 49 - Bavegoal

Teorema del Muetreo Para que la eñal original pueda er recontruida a partir de una eñal muetreada, la frecuencia de muetreo debe er como mínimo el doble de la mayor de la frecuencia de la eñal original de entrada. ω ω ω π T En la práctica eto no e uficiente, en la práctica e elige entre 0 y 0 vece uperior a la frecuencia má alta de la eñal de entrada. Eto e debe a que el proceo de recontrucción no e ideal debido a que lo elemento empleado no on ideale. 0ω ω 0ω Como aber la máxima frecuencia de la eñal de entrada? Si la entrada e conocida, abremo eta frecuencia, en el cao de no controlar eta entrada, en principio no tenemo por qué conocerla. Lo que hacemo e uponer un periodo de muetreo y colocamo en la entrada de nuetro itema un filtro Pao Bajo a ω aeguramo que a la entrada no habrá ninguna eñal con una frecuencia mayor a eta. Fijando ω aeguraremo que la eñal de entrada nunca tendrá una frecuencia mayor procedente de eñale de ruido, para poner ete límite e upone que el itema e conocido, de lo contrario nunca podríamo aber que límite de frecuencia poner. - 50 - Bavegoal

Por qué el teorema del muetreo falla? Supongamo una eñal de entrada cualquiera con una frecuencia máxima limitada ω, tendrá ganancia 0 en ω tanto por la iquierda como por la derecha. Si recordamo, la expreión de la tranformada etrella: X * x jω k x0 T k Si hacemo un etudio en frecuencia, utituimo por jω quedando entonce: X *jω T - k xjω jω k Al etar multiplicada por k indica que la eñal e periódica con frecuencia w, con Π periodo. Eto indica que i repreentamo el módulo de la eñal muetreada en ω frecuencia, tendremo eta eñal repetida cada periodo, con una ganancia T ya que multiplica a toda la eñal. Si ω fuee exactamente ω cada eñal comenaría juto cuando terminara la anterior, de eta manera, para frecuencia mayore no e olaparían, i la frecuencia fuee menor, al olapare, la ganancia no ería la de la eñal de entrada. - 5 - Bavegoal

El hecho de que la eñal muetreada ea periódica preenta el inconveniente de que i la eñal de entrada contiene frecuencia alta, eta frecuencia e repetirá también en frecuencia baja y eto afectará a la hora de recontruir la eñal. Ete efecto e conoce como Dedoblamiento o Aliaing. La forma de reducir ete efecto e, como e comentó, colocar un filtro pao bajo en la entrada. Nootro no lo trataremo matemáticamente, upondremo que ete efecto etá controlado. - 5 - Bavegoal

Mantenedore y Muetreadore de eñal Recontrucción de la Señal Continua a partir de la Señal Muetreada Queremo recontruir la eñal muetreada para volver a obtener la eñal de entrada. Para ello, la primera de la condicione erá cumplir el teorema del muetreo. Luego, con un filtro de ganancia T y que quite la eñal muetreada para frecuencia mayore a ω ω y, tendríamo la eñal de entrada. Ete filtro e conoce como Mantenedor Retenedor, Recontructor Ideal con ganancia T. A partir de la epecificacione en frecuencia, e podrían obtener la epecificacione en el tiempo realiando tranformada invera de Fourier no la veremo. La función Repueta Impuliva del Recontructor Ideal e define como: w t en yt w t - 53 - Bavegoal

Si repreentamo eta alida en el dominio del tiempo veremo que el itema reponde ante de que llegue la entrada. Eto e debido a que el recontructor ideal e un itema NO CAUSAL, depende de la entrada futura y eto no e fíicamente realiable no podemo adivinar el futuro. Con ete itema el teorema del muetreo í no erviría, pero al er no realiable el teorema del muetreo no e cumple en la realidad y por eta raón nunca podremo recontruir una eñal de entrada exactamente. Mantenedore Hold Cauale Mantenedore de Orden N Neceitamo un itema al que le llega una eñal; mediante un muetreador obtenemo la eñal muetreada que entrará en un mantenedor que dará una alida ht que debe er lo má parecida poible a la eñal de entrada, ete muetreador erá Gh n. Nootro veremo lo de orden 0 y. Si repreentamo la eñal muetreada en el tiempo tendremo: - 54 - Bavegoal

En función de cuanta eñale anteriore tengamo erá el orden del mantenedor. En el cao de tener uno de orden 0, lo único que podemo hacer e traar una línea recta hata la iguiente muetra. Si diponemo de la eñal anterior orden, traaríamo una línea recta. Aumentando el grado la alida e parecerá má a la entrada, el problema e que al aumentar el orden e aumenta la complejidad, en la realidad e ve que de orden 0 a orden la mejora e poco ignificativa, por ello, en la gran mayoría de cao e ua el de orden 0 debido a u encille. La ecuación general de un mantenedor de orden n que erá la que cree lo trocito de curva erá: hkt τ a n τ n a n- τ n- a n- τ n- a τ a 0 Vemo que entonce, la ecuacione del mantenedor de orden 0 y erían: hkt τ a 0 hkt τ a τ a 0-55 - Bavegoal

En lo intante exacto de muetreo, τ 0, teniendo entonce que todo lo término de la ecuación on 0 excepto el término independiente a 0 que debería valer la propia eñal xkt quedando entonce la ecuación: hkt τ xkt. Para el cao de un mantenedor de orden : hkt τ a τ xkt. Circuito Muetreador Mantenedor de orden 0 Hold 0 Sitema Híbrido El muetreador tiene una entrada en tiempo continuo y da como alida una eñal dicreta y el retenedor e al revé, entrada dicreta y alida continua - 56 - Bavegoal

Retenedor de Orden 0 Hold 0 El itema para una entrada muetreada devuelve una alida en tiempo continuo manteniendo la eñal de entrada contante hata el iguiente intante de muetreo. Veremo como hallar la función de tranferencia del itema. Para calcularla, introducimo cualquier eñal de entrada en el retenedor de Orden 0 y vemo la alida producida, a amba expreione entrada / alida le calculamo u tranferencia de Laplace, por último dividiremo la tranformada de Laplace de la alida entre la tranformada de la entrada, dándono como reultado la Función de Tranferencia del Retenedor de Orden 0. G h0 H X * En primer lugar aplicaremo una entrada al itema, en nuetro cao, una eñal impulo porque e la má imple. La ecuación del mantenedor de orden 0 era: hkt τ xkt cuando 0 τ T Veremo como e comporta un mantenedor de orden 0 ante una eñal de entrada impulo en lo intante: k 0: hτ x0 ; recordemo que era una entrada delta k : ht τ xt 0; k : ht τ xt 0; Vemo que ya iempre no quedaría 0. Eto quiere decir que para la entrada impulo, la alida del itema ería dede t 0 hata T y 0 el reto del tiempo. Debemo repreentar ht como una ola ecuación, mediante la ecuacione anteriore la tenemo definida a troo. La ecuación de ht ería: ht - t-t; para t 0-57 - Bavegoal

Lo que tenemo e una eñal que iempre vale retada por una que vale a partir de t T. Ahora paaremo a calcular la Tranformada de Laplace de la eñal de entrada y alida. Para el cao de la eñal de alida tenemo: -T -T e H L{ ht } L{ - t - T } e Eta ería la función de alida del retenedor pero en el dominio de Laplace. La tranformada de la entrada ería: L{x *t} X * k 0 xkt e -kt x0 e 0 xt e -T x0 0 0 Tenemo que la función de tranferencia del itema e: -T H e G h0 X * Como vimo un muetreador no tiene función de tranferencia ya que para ditinta entrada podía dar la mima alida, in embargo, el itema muetreador retenedor i poee función de tranferencia, por ello, cada ve que tengamo un muetreador tendremo que tener un retenedor para poder calcular la función de tranferencia y poder analiarlo. Teniendo la función de tranferencia del retenedor podemo aproximar la eñal de entrada xt. Veremo como e comporta en frecuencia el retenedor calculado anteriormente. Para ello, utituiremo por jω quedando entonce: G h0 -Tj e jω jω ω - 58 - Bavegoal

Si repreentamo eta función en frecuencia vemo que no e comporta como el retenedor ideal. ω La diferencia e que en frecuencia 0, í vale la eñal pero en la frecuencia vemo que no vale la ganancia que queríamo tener T y para frecuencia mayore tampoco vale lo que queremo 0, eto upondrá que la ditinta ganancia e irán umando y produciendo un error, por eo en la realidad e emplea una frecuencia entre 0 y 0 vece la ω para alejar la ganancia lo má poible de la eñal original que queremo obtener. Si repreentamo el ángulo, vemo que el defae va de -90 a -80º con repecto a la eñal original, coa que no queríamo. Si tenemo un itema que cambia lentamente, la eñale de entrada tiene frecuencia muy baja, el filtro de orden 0 e muy parecido al ideal. En cambio para eñale de alta frecuencia debemo elegir un periodo de muetreo muy alto, para alejar la ganancia que introducen ruido. - 59 - Bavegoal