INTRODUCCIÓN Y AGRADECIMIENTOS

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1 ÍNDICE

2 INTRODUCCIÓN Y AGRADECIMIENTOS El preente trabajo pretende er el egundo de lo do que han de er entregado para optar al título de Diplomado en Etudio Avanzado DEA por la Univeridad Autónoma de Madrid UAM habiendo ido el primero Etudiamo diferente reultado relacionado con la ditribución de lo número primo, la función zeta, ditribucione de u cero, etcétera, diponiendo lo reultado en lo capítulo que comentamo brevemente a continuación Capítulo : Repao de la Publicación Original de Riemann En ete capítulo introductorio recorremo la única publicación que Bernhard Riemann hizo en teoría de número, jutificando alguno pao y comentando todo aquello que no eté claro o que ea incorrecto No daremo prueba ehautiva de cada uno de lo pao, ino que iremo dando referencia a otra parte del trabajo La idea e permitir eguir la idea originale de Riemann de forma encilla evitando en la medida de lo poible el perderno en lo detalle Capítulo : Reultado Auiliare Damo demotracione riguroa y eplicacione detallada de todo lo pao incompleto en el original de Riemann Etá organizado en eccione numerada que e correponden con la referencia dada en el capítulo Capítulo 3: Teorema de lo Número Primo En la do primera eccione pueden encontrare do demotracione completa del teorema de lo número primo: una uando teoría de Fourier y la otra utilizando únicamente método de variable compleja En la última ección de ete capítulo reumimo otra ocho demotracione alternativa de ete teorema

3 Capítulo 4: Ditribución de Cero para la Función Zeta de Riemann Ete último capítulo conta de cinco eccione en la que etudiaremo eencialmente cómo e ditribuyen lo cero de la función zeta de Riemann en la banda crítica, y cómo el conocer dicha ditribución no permite obtener información de cómo e ditribuyen lo número primo dentro de lo entero Apéndice : Reultado Auiliare Breve eplicacione de todo aquello reultado teorema o teoría importante que e han uado en la demotracione a lo largo del preente trabajo Apéndice : Trabajo Original de Riemann Para que ea má encillo el hacer conulta incluimo una traducción al inglé del trabajo original de Riemann Ete trabajo e encuentra diponible en Internet y e la referencia [] Bibliografía AGRADECIMIENTOS AQUÍ La notación que e emplea en ete trabajo e má o meno etándar, alvo quizá un poco en el primer capítulo intentando acercarno al original de Riemann de forma que la comparacione con el Apéndice fueen má encilla Haremo eplícito alguno ímbolo por i pudieen reultar confuo: ℜ denota la parte real del número complejo ℑ e la parte imaginaria del número complejo 3 [ ] Función parte entera: el mayor entero menor o igual a 4 { } Función parte fraccionaria: { } [ ] 5

4 Hay que eplicar la notación y la de Landau Sobre la notación de Landau, ver ecc 98 de [E] pág 99

5 Capítulo : Reviión del Trabajo de Riemann Introducción En 859 Bernhard Riemann publica u único trabajo en teoría de número E un trabajo de una profundidad etraordinaria que no orprende, entre otra mucha coa, por u actualidad alvo alguna cuetión notacional menor E uno de eo cláico que aparecen como referencia en mucho libro y artículo y cuya influencia e deja entir hoy en día de forma notable debido, fundamentalmente, a la famoa hipótei de Riemann Varia rama de la matemática contemporánea han urgido para dar repueta o ampliar idea epueta en ete trabajo y ha ido también uno de lo motore má importante para u poterior dearrollo Como curioidad incluimo una breve decripción de alguno problema y teoría matemática y fíica relacionada: referir a conequence of the Riemann Hypothei Incluir un breve reumen aquí Uno de lo foco de invetigación má activo en la actualidad en teoría de número gira entorno a una de la afirmacione que aparece en u publicación y que todavía queda por demotrar: la conocida como hipótei de Riemann Éte e eguramente el problema abierto má importante, o al meno el má famoo, que actualmente tienen planteada la matemática Hay vario premio para aquél o aquello que conigan demotrar u veracidad (curioamente el premio no e hará efectivo i e encuentra un contraejemplo de forma numérica) Véae, por ejemplo, la página del Intituto Clay de Matemática en wwwclaymathorg El título original en epañol del trabajo de Riemann e puede traducir por algo aí como obre la ditribución de número primo menore que una

6 cantidad dada (el original en alemán Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben gröe) Puede encontrare una traducción al inglé del original alemán en el Apéndice de ete mimo trabajo Eiten etupenda publicacione que cuentan con muchíimo detalle la vida y obra de B Riemann, por lo que en ete trabajo no haremo cai ningún comentario hitórico Para ituar al autor diremo que actualmente B Riemann etá coniderado, junto con Euclide, I Newton, L Euler y K F Gau, como uno de lo matemático má importante e influyente de toda la hitoria En ete capítulo hacemo un eguimiento de la publicación de Riemann comentando brevemente alguno punto que pueden parecer ocuro, pero que admiten una eplicación encilla Todo aquello que requieran de una eplicación má profunda, o má larga, e dejarán para el capítulo egundo Lo que pretendemo e que en un primer etudio tengamo una viión general de la idea originale del autor impidiendo, en la medida de lo poible, perderno en lo detalle Siguiendo eta diviión, ería recomendable realizar una primera lectura de ete capítulo ignorando la referencia, de forma que e obtenga una viión global Poteriormente, y una vez que hayamo aimilado la idea de Riemann, podríamo realizar una egunda lectura reviando cada una de la referencia en profundidad Riemann divide u trabajo en do parte que diferencia claramente: en la primera introduce todo lo concepto y fórmula que neceitará poteriormente en la egunda, donde hace un dearrollo en el que pretende dar una fórmula que aproime eactamente la función de ditribución de lo número primo Anticipándono un poco diremo que deafortunadamente u dearrollo no e uficientemente riguroo y ni iquiera podemo coniderar que diee una demotración acetable del teorema de lo número primo, ya que una parte importante de u trabajo decana en la aún no probada hipótei de Riemann Reumimo brevemente el equeleto del trabajo de Riemann, iguiendo u

7 orden de epoición: Definición y continuación analítica a todo el plano complejo de la función Propiedade báica de la función zeta: no e multivaluada, tiene un único polo imple en y e anula en lo entero pare negativo 3 Enunciado y demotración de la ecuación funcional 4 Fórmula aintótica para el número de cero que la función relacionada con la tiene en la banda crítica 5 A partir de la fórmula anterior jutifica la factorización de como producto de u raíce 6 Introducción de f y F : funcione que no permiten etudiar la ditribución de lo número primo 7 Relación de eta funcione con la zeta de Riemann 8 Fórmula eplícita para la función y aparición del logaritmo integral 9 Fórmula eplícita para f, obtenida a partir de la que e comenta en el punto anterior Fórmula eplícita para F a partir de la obtenida para f uando inverión de Möbiu Mejora de la aproimación de Gau y Legendre y poible continuacione de u trabajo Lo que í conigue Riemann aunque de forma no riguroa e mejorar la etimacione y propueta heuríitica que aparecen en lo trabajo de Gau y otro autore (referimo al lector a [P] por ejemplo) y etablecer de nuevo de forma no riguroa una fórmula eacta para la función de ditribución de lo número primo como dearrollo en erie de funcione del tipo logaritmo integral En mi opinión, u mayor aportación fue aclarar en qué entido el logaritmo integral aproima la ditribución de lo primo dentro de lo entero, etableciendo de eta forma un conteto adecuado para el etudio del problema, y orientando en gran medida una buena parte de la invetigación poterior hata

8 nuetro día Hecho Preparatorio: Propiedade Báica Riemann parte de la identidad de Euler que relaciona lo número entero con la uceión de lo primo () n n p primo p La demotración e encilla e ingenioa, conecuencia del teorema fundamental de la aritmética (lo entero e decomponen de manera eencialmente única como producto de primo), por lo que paamo a demotrarla a continuación y definimo de pao la función Empezamo partiendo de la fórmula para la erie geométrica aplicada a la función p n, donde repreentamo la uceión de lo número primo por { p, p, p 3, } p pn m n m y por lo tanto N p k k n j N,j donde lo entero {n N,, n N,, n N, 3, } on todo aquello que pueden er factorizado como producto de potencia de lo primo p k con k,, N Haciendo N obtenemo la identidad de Euler

9 El principal problema e que de eta manera tenemo la función definida ecluivamente para ℜ, aí que nuetro próimo objetivo junto con Riemann e definirla para todo valor complejo y probar, de pao, que tiene únicamente un polo imple en y e finita para todo valor finito de la variable Lo coneguimo a partir de la definición de la función : () e d Uno de lo poco cambio notacionale que comentamo en la introducción tiene lugar aquí En la época de Riemann e repreentaba a la función gamma uando una pi mayúcula y la definición era levemente ditinta La relación entre amba e batante encilla:, e decir, traladamo una unidad a la derecha en el eje de abcia En lugar de, conideramo la integral e n d a partir de la que e igue, uando la igualdad y aplicando el cambio de variable t n ddt / n, la iguiente cadena de identidade: e n d e t t n n d n Ahora hacemo el umatorio en n y, uando la fórmula para una erie geométrica de razón e, obtenemo por fin la epreión 3 Obervemo que lo cambio de umatorio con integración etán plenamente jutificado por la convergencia aboluta de la erie Recordemo que debido a la definición de la funcione utilizada hata ahora etamo uponiendo de manera implícita que ℜ

10 (3) e d Eta epreión e válida únicamente cuando ℜ, con lo que por ahora no hemo coneguido nada Lo que e le ocurre a Riemann e coniderar la epreión e d a partir de la cual obtiene la identidad 4 La jutificación completa de dicha identidad e un poco larga aí que la preentamo en la ección de (4) e d ien donde e el camino definido en la figura En dicha ección jutificamo detalladamente por qué 4 no da la etenión a todo el plano complejo de la función Jutificamo también la iguiente propiedade de la función : no e multivaluada, tiene un único polo en y 3 e anula cuando e un entero par negativo (que por definición on lo conocido como cero triviale) 3 Ecuación Funcional Riemann continúa enunciando y demotrando lo que actualmente e conoce

11 como la ecuación funcional de (e la fórmula 34 que podemo encontrar un poco má adelante) Llama la atención el hecho de que dé do demotracione diferente de eta fórmula ya que Riemann era un matemático muy económico en u publicacione (parco en eplicacione y demotracione) Eta brevedad en u epoicione hace que la tarea de eguir u idea y ratrear la procedencia de éta ea batante complicado en general En ete entido recomendamo la referencia [E], en la que el autor hace epoicione muy completa, comparando con trabajo anteriore de otro autore y del propio Riemann Nootro ahora vamo a fijar nuetra atención en la relación de la fórmula de Poion con la función zeta, intentando de eta forma ver de dónde pudo etraer Riemann u inpiración En la ección 3 pueden encontrare la do demotracione completa que Riemann dio de la ecuación funcional En cierto entido e puede decir que la ecuación funcional para la función zeta no e má que la aplicación de la fórmula de Poion a la función f La anterior afirmación y lo cálculo que reproducimo a continuación deben er entendido como orientativo, e decir, poco riguroo No no vamo a preocupar en eceo por demotrar dónde on aplicable la fórmula ino olamente por etablecer formalmente relacione entre la funcione en la que etamo intereado Empezamo calculando la tranformada de Fourier de la función f r ℝ e ir d r ℝ f : y e iy dy r en

12 r En la egunda igualdad, dentro de la uceión de identidade anteriore, hemo hecho el cambio de variable y r d dy / r para hacer aparecer la función gamma Poteriomente hemo uado 4 y en la última identidad hemo utilizado alguna propiedade báica de la función gamma (véae la ección A5 del Apéndice ) Obervar que la operacione anteriore on válida al meno cuando r y ℜ Uando la notación, aplicando la fórmula de Poion a la función y coniderando la identidade anteriore, obtenemo la ecuación funcional para la función zeta de Riemann: (3) Como ya hemo comentado anteriormente, la identidade y cálculo precedente deben entendere ólo a nivel formal, ya que cuando uno de lo lado de la igualdad 3 converge, el otro no tampoco en ℜ De hecho la ecuación funcional no e puede demotrar in alguna forma de continuación analítica, de forma que Riemann neceitó argumentar de forma má cuidadoa aplicando la fórmula de Poion a funcione de decaimiento rápido Eligió como funcione de decaimiento rápido la familia de la gauiana probablemente debido a que utiliza una identidad que atribuye a Jacobi y que e válida preciamente para eta funcione En u trabajo hace referencia a una publicación de Jacobi donde, curioamente, no aparece eplícitamente dicha identidad, ino en otro documento [J] en el que Jacobi atribuye eta identidad a Poion Definimo la función pi mediante la fórmula:

13 e n (3) n La identidad de Jacobi a la que no referimo e (33) / Eta función no tiene abolutamente nada que ver con la que introduciremo en la ección 5 La demotración no e muy complicada una vez abemo que la tranformada de Fourier de y g e e g y e y La ecuación funcional para la función zeta e enuncia de mucha forma diferente dependiendo de la aplicación que e le quiera dar o incluo de quién la vaya a utilizar (véae otra en A57, por ejemplo) Una de la forma má comune e la ya ecrita anteriormente y que repetimo para futura referencia: (34) Eencialmente 34 no etablece una imetría con repecto a la linea vertical ½ Dicha imetría debe entendere en el entido de que conocido el comportamiento en la parte derecha de ea línea, conocemo el comportamiento en la parte izquierda y vicevera 4 Número de Cero y Factorización Para finalizar eta primera parte de u trabajo, a la que Riemann denomina preparatoria, define una nueva función a partir de que conidera má adecuada para hacer cálculo Etablece do hecho importante para ella:

14 el número de cero que eta función tiene en la banda crítica hata altura T y u factorización como productorio de u raíce Riemann empieza haciendo el cambio de variable it / donde la variable t puede tomar de nuevo valore complejo y define (4) t / La anterior definición urge a partir de la ecuación funcional depué de multiplicar por /, ya que de otra forma tendríamo do polo, uno para y otro para véae la identidad 34 Para llegar a la identidad 4 hemo uado una de la propiedade báica de la función gamma, a aber, que A partir de la definición 4 coneguimo de nuevo una función entera que tiene lo mimo cero que la función zeta de Riemann pero cuya epreión para la ecuación funcional e mucho má compacta: Para verlo bata con utituir 4 en 3 Nootro, al igual que el reto de lo trabajo poteriore a la publicación de Riemann, uaremo la variable en lugar de la t propueta en dicho trabajo, e decir, no haremo el cambio de variable que Riemann propone La única diferencial utancial reide en el hecho de que al hacer / it la banda crítica paa de er { ℂ } al conjunto B { t ℂ i / t i / } El cambio de variable, como tranformación, gira / radiane en entido horario y deplaza media unidad en dirección vertical la variable independiente t Seguramente Riemann hizo u cambio penando en la hipótei de Riemann: para que aí lo cero de fueran reale

15 figura 4 Depué de una erie de operacione que podemo encontrar detallada en la ección 4, Riemann llega a la epreión: { (43) t 4 d[ 3 / ' ] d /4 co t } log d Continúa u trabajo haciendo do afirmacione que neceitan una pequeña eplicación: la primera e que la integral anterior etá acotada Eto lo podemo ver obervando que e una función del tipo e t, de forma que por má que derivemo eguiremo obteniendo una función de decaimiento rápido, con lo que la integral erá convergente (obervar que la parte del coeno etá acotada en valor aboluto por ) La egunda afirmación que hace Riemann e que 43 e puede dearrollar como erie de potencia en t : la variable t ólo aparece dentro de la función coeno, que e par Paamo ahora junto con Riemann a etablecer una fórmula que no permita etimar el número de cero que denotaremo por N T de la función t en la banda crítica B dentro del intervalo [,T ] Hoy en día e conoce como fórmula de Riemann von Mangoldt, ya que fue éte último quien dio la primera demotración completa en el año 95 (habían paado 46 año

16 dede la publicación del original de Riemann) (44) N T T log T T La demotración de eta fórmula puede encontrare en la ección 5 Por fin llegamo a la parte que ha traído y igue trayendo a lo matemático de cabeza durante prácticamente iglo y medio: la famoa hipótei de Riemann (que mejor debiéramo llamar conjetura de Riemann, pero no voy a er yo a eta altura quien le cambie el nombre) A continuación podemo encontrar una traducción libre del original de Riemann al epañol La he hecho baándome en do traduccione al inglé (véane la referencia), aí que epero haber ido relativamente fiel al original Riemann e eprea, má o meno, en lo iguiente término: Uno de hecho encuentra aproimadamente ete número de raíce entre eta cota y e muy probable que toda la raíce ean reale A uno dede luego le gutaría tener una demotración riguroa de ete hecho, pero he dejado de lado la búqueda de eta demotración depué de alguno intento en vano porque no e neceario para el próimo pao en mi invetigación Eplicamo brevemente ete enunciado: como él ua la definición 4 para la función t, La banda crítica e ahora el intervalo [ i /,i / ], y e por eo que él dice lo de que toda la raíce ean reale (normalmente en lo libro encontramo el enunciado toda la raíce tienen parte real ½ ) Donde aparece uno de hecho encuentra aproimadamente ete número de raíce e refiere a lo que nootro ahora conocemo como fórmula de Riemann von Mangoldt, e decir 44 Por último Riemann etablece una fórmula que decompone la función t

17 como producto de u raíce Una vez má una jutificación completa de eta decompoición llevó batante tiempo e hizo que Hadamard dearrollae u teoría de funcione entera y u teorema de factorización Una epoición introductoria, aunque uficientemente detallada, puede encontrare en la referencia bibliográfica [C] o en la ección A7 en el Apéndice de ete mimo trabajo Nootro a continuación daremo una jutificación poco riguroa de eta decompoición A la fórmula que queremo llegar e a 45 Repreentaremo por a la raíce de la ecuación 4, t, mientra que uaremo la letra griega rho,, para la raíce, e decir, in hacer el cambio de variable que propone Riemann en u trabajo La relación que eite entre amba repreentacione de la familia de raíce e encilla: i / Siguiendo el original de Riemann y realizando el cambio de variable que él propone llegaremo a: t log (45) log t log Eencialmente eto lo podemo entender de la iguiente manera: todo polinomio con coeficiente en ℂ (teorema fundamental del álgebra) e decompone en factore lineale Lo término independiente en lo monomio on preciamente la raíce del polinomio (e la típica repreentación de un polinomio como producto de u raíce ) Algo muy imilar e lo que hacemo aquí: (46) t C t j j Eto no convergerá porque el término contante e no va a ir a infinito i dearrollamo el producto, aí que por una cuetión meramente notacional lo epreamo como en 47 Tendremo que normalizar la raíce para que la igualdad e mantenga: por abuo de notación en ambo cao llamamo a la raíce j

18 t (47) t C j j Ahora hemo de obervar que, por la ecuación funcional, la raíce on imétrica con repecto al eje imaginario (conjugada), con lo que podemo ecribir j t (48) t j, donde hemo aplicado que t / t / t / Si por último etraemo el logaritmo de 48 obtendremo la fórmula que aparece en el trabajo de Riemann Podemo penarlo de otra manera: eencialmente de lo que e trata e de caracterizar a la función a travé de u cero y ingularidade, e decir, como la función log tiene la mima ingularidade que alvo que on de tipo logarítmico en lo mimo punto que y no tiene ninguna otra ingularidad, entonce log tendrá la mima que la uma formal log La concluión e que i la uma anterior converge y e comporta cerca de tan bien como log, entonce la uma anterior y la función log difieren en, a lo umo, una contante aditiva Haciendo obtenemo el valor log para eta contante Hallando la eponencial no queda la fórmula que etablece Riemann, que igual que 48: El punto que aparece como má ocuro en eta demotración e la convergencia del umatorio: la convergencia e condicional (no aboluta) por lo que hemo de epecificar un orden Dicho orden e el correpondiente a poner

19 de forma creciente la raíce en función de la magnitud de u módulo Demotrar entonce la convergencia depende de probar que la denidad vertical de la raíce e del tipo log T / Para encontrar una prueba detallada de eta última afirmación referimo al lector a la ección 5 Para ver que la función no e anula para ℜ uamo la repreentación ' n n, Cuya demotración puede conultare al comienzo de la ección 3 Como el miembro derecho la erie e convergente para ℜ e tiene que la función zeta no e puede anular Uando la ecuación funcional vemo que lo mimo ocurre para ℜ (alvo lo cero triviale, véae la ección 3) Eta banda que no queda en la que parecen etar ubicado el reto de lo cero e lo que e conoce como banda crítica Reumimo lo que Riemann ha hecho en u trabajo hata el momento En primer lugar ha definido la función zeta que ya había definido Euler pero en lugar de uar variable real, utiliza variable compleja Poteriormente etiende la definición de dicha función a todo el plano complejo y demuetra lo que conocemo actualmente por ecuación funcional A continuación hemo jutificado una fórmula para el número de raíce que tiene la función (equivalentemente, la función zeta) en la banda crítica hata altura T y, para concluir, hemo dado un dearrollo para la función como producto infinito A lo largo del preente trabajo, en epecial en la próima ección, veremo el para qué de cada uno de eto reultado 5 Función de Ditribución de lo Primo Riemann da por concluida la parte introductoria o preparatoria de u trabajo y comienza a etudiar la ditribución de lo número primo Hata ahora hemo

20 preentado una erie de funcione y hemo etablecido alguna de u propiedade má importante Eta funcione y u propiedade la uaremo en lo que reta de capítulo para etablecer la ley que igue la ditribución de lo primo y el orden del error que cometemo La idea báica e la que ha perdurado dede entonce en el enfoque analítico del problema de la ditribución de lo primo: partimo de una ecuación integral para que interpretamo como la tranformada de Fourier de cierta otra función f A continuación depejamo f en dicha ecuación (hablando en término de tranformada de Fourier, invertimo el operador) de forma que no quede f en función de Reulta que la f tiene mucho que ver con la ditribución de lo primo, como veremo poteriormente Empezamo definiendo la función que no va a repreentar la ditribución de lo número primo Sea F una función tal que cuando no ea primo no dé el número de primo menore que él, y cuando ea igual a un primo incremente dicho valor en media unidad, e decir, F { p ℕ { p ℕ { p primo, p } p primo, p } i no e primo i e primo } de tal forma que cuando la función de ditribución tenga un alto, ea válida la iguiente identidad: F F F Recordemo que vamo a uar erie de Fourier y que cuando una erie de ete tipo aproima una función con un alto finito, en ee punto la erie converge al valor medio Éte e otro itio en el que la notación ha quedado un poco defaada en el original: actualmente eta función no uele repreentare mediante F, ino por Tenemo la iguiente identidade cuya demotración e trivial:

21 p p d, p p d, En la ecuación tomamo logaritmo de forma que no queda: (5) log log p p p p 3 p 3 p p p En la última igualdad hemo uado el dearrollo en erie de Taylor de la función logaritmo, recordamo la fórmula log 3 3 El dearrollo e válido i de forma que obtenemo una primera retricción de lo valore a lo que la fórmula erá aplicable: p log p e log p ℜ En realidad el conjunto de valore en el que e válida la identidad 5 e algo má retringido ℂ ℜ a ya que cada término de la erie en la última igualdad de 5 etá acotado debido a la iguiente etimación: p p p p p a ib p p a p p a p Definimo ahora la función que uaremo para el etudio de la ditribución de lo primo y la que hemo utilizado en lo comentario introductorio a eta ección f n n F n F F F 3 3

22 Eta e la función que invertiremo uando Fourier poteriormente y que etá íntimamente relacionada con Dicha relación e la que vamo a probar en lo próimo párrafo: log (5) f d De nuevo Riemann deja mucho detalle al lector ya que, como veremo inmediatamente, probar eta identidad no e trivial Hemo coniderado el incluir la demotración de 5 en ete capítulo y no en el iguiente como hemo hecho con el reto porque no parece muy intructivo el razonamiento, ademá de er una de la identidade fundamentale en el trabajo de Riemann Empezamo nuetra demotración con la iguiente obervación: F p, F p, 3 F p3, iempre que no ea un primo Eto e porque al coniderar aquella potencia n éima de primo que no ecedan al número, hemo de tener n en cuenta ólo lo primo que ean anteriore a La iguiente fórmula e ahora encilla de demotrar, bata con dearrollar lo umando: f m 3 F F F m 3 p m Para terminar la demotración de 5 uaremo la fórmula de umación de Abel (apéndice, ección A3) aplicada a log log log p 3 p p p 3

23 m p m m p lim m m p m p m La última identidad la ecribimo de eta manera porque queremo aplicar la fórmula de Abel al umatorio má interno Obervemo que etamo en la hipótei de dicho teorema, pero en lugar de hacer la umación con repecto a una variable muda repreentada por una n o cualquier otra letra, la hacemo con repecto a p m, e decir, aplicamo la fórmula de umación de Abel haciendo la iguiente utitucione: ap m m, A a p m m m p p, m iendo el valor de a en el reto de lo cao, e decir, a n n p Conúltee el ignificado de eta notación y la correpondiente funcione en el apéndice, ección A3 m Tenemo pue que: lim m p m p m lim lim m p m [ t m p t m ] dt Al er el primer umando igual a cero cuando porque ℜ, no queda que

24 lim m p m [ t m p t m ] dt, luego m lim p m m m [t m p t [ t m m p t m ] m dt ] dt t f t dt Meter el umatorio dentro de la integral e jutifica por la convergencia aboluta de la integral, aí que, reumiendo, hemo obtenido: (53) log f d y hemo vito que la identidad tiene validez en el conjunto { ℂ ℜ }, con lo que hemo terminado de demotrar 5 Riemann paa ahora a etudiar la ecuación (54) g h d log Ya que d log d /, al cambiar la medida hemo de cambiar también lo

25 límite de integración y Lo que pretendemo e invertir la tranformada manteniendo la parte real de contante, obteniendo de eta forma algo del tipo (55) i h y a i g y d a i Riemann no e preocupa en aboluto de i e poible aplicar la fórmula de inverión de Fourier en ete cao o no En concreto, una vez hecho el cambio de variable et que no permite eprear nuetra ecuación 53 de forma má adecuada (má parecida a la forma habitual en la que olemo ver la tranformada de Fourier), obervamo que la función f et e a t, a, que no quedae muy buena dede el punto de vita de erie de Fourier: alto finito, idénticamente cero i t y tiende a cero má rápido que cualquier polinomio cuando t No hace falta ningún teorema ofiticado de erie de Fourier para ver que podemo aplicar el teorema de inverión La integral 55 repreenta, para un valor de y donde la función h y tenga un alto, el valor medio entre lo do valore de h y a ambo lado de la dicontinuidad E por eto que definimo en u momento F de forma que tuviee ete alto Queda jutificada por tanto la iguiente identidad: (56) f y a i i a i log y d Obervemo que en prácticamente todo lo trabajo poteriore al de Riemann obre la ditribución de primo no e ua la función log, ino u derivada Eto no llevaría a hacer un dearrollo imilar al que hemo venido haciendo hata aquí, pero con la diferencia de que debemo uar en lugar de la función f, definida por la fórmula (57) n n, con

26 n log p { m i n p con m ℤ en otro cao }, iendo n el ímbolo de von Mangoldt Eta función que acabamo de definir no tiene nada que ver con la que hemo introducido en la ección 3 Deafortunadamente el uo de la mima letra para la do funcione e etándar Ahora no queda claro cuál e la relación entre la ditribución de lo número primo y la función zeta Si regreamo a la eccione anteriore y repaamo la funcione que introdujimo allí con Riemann y la propiedade que enunciamo y demotramo, veremo por dónde pretende continuar: manipular la integral y hacer aparecer el logaritmo integral, de forma que obtengamo una erie en la que el primer término ea dicha función Una vez hecho eto podremo etimar el orden del error que cometemo i etimamo el orden de la erie que no queda al coniderar todo lo término de dicha erie alvo el primero Eto, al meno dede un punto de vita epeculativo como e el de ahora, debiera darno el orden correcto del error en la aproimación que Gau propuo 6 Manipulacione en la Ecuación Integral En eta ección lo único que haremo erá, a partir de una erie de manipulacione má o meno complicada, llegar a una ecuación que no relacione la función f con el logaritmo integral Li Por comodidad para el lector volvemo a ecribir la ecuación 4: / Uando lo que enunciamo y demotramo en la eccione, 3 y 4, depejando, utituyendo y etrayendo logaritmo obtenemo la iguiente identidad:

27 (6) log + log log log log log Obérvee que i uáemo el cambio de variable que Riemann propone, el umatorio que incluye a la raíce en la fórmula anterior ería: log / Volviendo obre un comentario anterior (el párrafo que igue a la fórmula 56) fijémono en la que etá diviendo al logaritmo de la función zeta en dicha fórmula: éta e la razón por la que no e utiliza 4, ino la má cómoda 43 El problema que e no preenta e que al utituir 6 en 56 obtendremo epreione para la integrale que no erán convergente Por ejemplo, i no fijamo en el término / log, no daría lugar a una integral del tipo i a i u log d e e du que no e convergente Riemann propone reolver el problema de divergencia de la erie integrando por parte, de forma que no queda la iguiente cadena de identidade: f y i a i a i log y d

28 i [ a i a i log y log y a i i log y [ ] a i d [ y d log log y d a i log ] d ] y d d a i Para jutificar la última igualdad ólo hay que hacer un etudio encillo de lo do denominadore y lo do numeradore encerrado entre corchete de la parte a evaluar entre a i y a i, ya que al er a vemo que todo etá acotado meno la en el primer denominador Tenemo por tanto que a i (6) f i log [ d log ] d d a i Al utituir 6 en eta última epreión cada uno de lo umando tendrá la forma 63, donde la e una variable que en cada cao utituiremo convenientemente de forma que recuperemo lo repectivo umando a i (63) ± i log a i d [ log d ] d Uno de lo cinco umando, el término log, no tiene la forma 63 Operando normalmente obtenemo para ete cao que u valor e

29 a i i log a i log d log De hecho Riemann en u trabajo referimo al lector al apéndice comete un error un poco tonto, ya que log no e el valor de ete término i hacemo el cambio de variable que él propone Si no quedamo con la variable entonce ería correcto, en cuyo cao habría que ecribir log que e el valor correpondiente; pero de hecho Riemann hace un cambio de variable y paa a utilizar la función i t / véae la fórmula 4 con lo que el término que él ecribe log debiera er en realidad log / El primero en percatare de ete error fue Genocchi etando Riemann aún vivo Para un análii má detallado invitamo al lector a la ección 6 del primer capítulo de la referencia [E] El único término que no queda claro que tenga la forma 63 e el correpondiente a log / A partir de la definición de la contante de Euler y de la fórmula de Weiertra para la función e un ejercicio encillo demotrar la igualdad 64 en la que vemo claramente que ete término también cumple lo anteriormente enunciado (64) log lim M [ M log n logm n ] Tenemo por tanto que (65) d log d n d log n d Recordamo que la contante de Euler viene definida por la fórmula

30 lim [ N N n n log N ] Lo que no interea ahora e poder calcular eactamente el valor de la epreión 63 y relacionarla con el logaritmo integral Nootro preentamo aquí directamente el reultado y referimo al lector a la ección 4 para ver todo lo detalle La olución que allí encontramo depende del igno de la parte real de : i éta e negativa tenemo que a i (66) i log d [ log ] d d a i log d C, mientra que i e poitiva no queda a i (67) i log a i d [ log d ] d log d C A continuación vamo a aplicar la fórmula 66 y 67 a cada uno de lo cinco umando de 6 Poteriormente, juntando toda la epreione, obtendremo una de la fórmula centrale de todo nuetro dearrollo: 68 Ya hemo comentado anteriormente el valor para el término log, que no queda él mimo El término log / deaparece al dividirlo por y derivar, con lo que no contribuye a la uma: ya hemo terminado con lo do primero En el cao de log la vale, con lo que no queda el logaritmo integral E decir, el término principal en el dearrollo que etamo bucando

31 logd Li La fórmula anterior debemo entenderla como valor principal de la integral en el entido de Cauchy, que e define como: Li lim dt log t logdtt Paamo ahora al término log / En ete cao aplica la fórmula 66 con n Sutituyendo en 65 no queda una erie geométrica de primer término 3 / log y razón Operando y teniendo en cuenta el igno y lo límite de integración obtenemo d log El último término que no queda e el que ale de la decompoición de como producto de u raíce (la que tienen parte real poitiva) En la mayor parte de lo que reta de trabajo uaremo la repreentación de la raíce in hacer el cambio de variable propueto por Riemann, e decir, la familia repreentada por rho Ete dearrollo puede hallare en la referencia [E]; nootro para facilitar el eguimiento del original eguiremo la propueta de Riemann, por lo que en lo párrafo que vienen a continuación uaremo la alfa, eto e, habiendo hecho el cambio de variable propueto por Riemann Empezamo pue por decomponer la uma de cuadrado como uma por diferencia: log / log / i log / i

32 Para poder aplicar la fórmula 66 y 67 ólo tenemo que traladar en media unidad la variable independiente, e decir, hacer el cambio de variable / con lo que la raíce también e traladarán en media unidad Aplicamo la fórmula ante mencionada con i / en el primer cao y i / en el egundo, de manera que la contribución de ete último término erá Li / i Li / i Ecribiéndolo en función de la rho la epreión e: [ Li Li ] ℑ Ya ólo no reta ponerlo todo junto para obtener la epreión que bucábamo: la que no relaciona la ditribución de lo primo y el logaritmo integral, o lo que e lo mimo, una fórmula que aproima la ditribución de lo primo dentro de lo entero (68) f Li [ Li Li ] ℑ + d log + C Hemo comentado anteriormente que en u trabajo Riemann etablece incorrectamente la contante C log, ya que iguiendo u notación tendría que haber ecrito C log / En cualquier cao, y i no quedamo con la definición para en lugar de la que ua Riemann / i t, el valor eacto e log log

33 7 Concluión Hemo llegado por fin al punto en el que tenemo una epreión para la ditribución de lo número primo relacionando éta con el logaritmo integral Ahora podemo depejar F y ecribirla en función de f uando la fórmula de inverión de Möebiu 7 Recordemo que Riemann repreenta por F la cantidad de primo que hay hata el número : ya comentamo anteriormente que hoy en día e repreenta habitualmente uando para eta aplicación la notación La fórmula de inverión de Möbiu dice que i f e una función que viene epreada en la forma n n f entonce (7) F m F n m m f m, Una demotración de 7 puede encontrare en el Apéndice, ección A4 en ete mimo trabajo También pueden conultare la referencia [P] o la ección 9 del capítulo de [E] En la fórmula 68 tenemo cuatro término El principal Li crece a medida que aumenta la El último la contante permanece fija El tercero la integral va diminuyendo a medida que la variable tiende a infinito No queda únicamente el umatorio en la raíce de parte imaginaria poitiva, a la que nootro repreentamo con la letra griega rho Riemann llamó erróneamente a ete término periódico, ya que de hecho u comportamiento e ocilatorio no e encillo de probar que ocila a medida que aumentamo la variable Riemann propone una nueva aproimación que pretende mejorar la propueta

34 por Legendre y Gau: no quedamo ólo con el término principal en 68 el logaritmo integral e ignoramo el reto Ete término e el único que utituimo en 7, de manera que obtenemo (7) F Li n Li Li n n Li n Li Li Li Li Empíricamente 7 e demuetra como batante mejor aproimación que la propueta por Legendre y Gau (e decir, aproimar por el logaritmo integral, que e lo que en el capítulo 3 denominaremo teorema de lo número primo) La idea e que lo término ocilatorio que hemo ignorado eperamo e cancelarán uno con otro en mayor o menor medida Mientra má cancelación haya, mejor aproimación erá 7 Incluimo a continuación una tabla en la que podemo obervar cómo la nueva aproimación mejora coniderablemente la que teníamo de Legendre y Gau En media, en el rango que hemo coniderado, la mejora e de un 75% aproimadamente Eta tabla e un etracto de la que podemo encontrar en [L], y que viene parcialmente reproducida en [E] Error Riemann: R Error Gau: G Reducción error ( R /G} 3 3 7% 9 93% 3 55 % % % %

35 Error Riemann: Reducción error Error Gau: G R ( R /G} % % % % Hemo vito cómo Riemann mejora utancialmente la propueta de Gau, ya que no ólo propone una mejor aproimación, ino que u dearrollo no permite ver y entender de dónde ale el mágico logaritmo integral No obtante Riemann fue batante conciente de la limitacione y problema que u aproimación acarreaba: paamo a comentarlo en má detalle a continuación El reultado má importante en eta publicación de Riemann e la fórmula 68 A partir de ella obtenemo la aproimación 7 y una fórmula analítica eacta 73 para el error que e comete al ignorar lo término ocilatorio: N (73) F n n n N Li n / n Li orden menor n El problema principal e que Riemann no tiene etimación alguna del orden de lo término ocilatorio Li / n De hecho reulta batante orprendente que ean tan pequeño como parecen dar a entender lo etudio empírico llevado a cabo por Lehmer en [L] y otro autore Se puede demotrar que la erie definida por la fórmula Li Li converge condicionalmente, por lo que lo pequeña o lo grande que ea la uma total dependerá de la cancelación de umando, e decir, del igno de cada

36 umando y u contribución Mucho de lo término crecen en valor aboluto como ℜ, log log aí que alguno de ello crecen tan rápido como / log Li que e mayor que Li de forma que eperamo que para un uficientemente 3 grande no ean depreciable frente a Li Riemann e limita a decir en u trabajo que ería intereante etudiar el efecto de lo término ocilatorio en la ditribución de lo primo En [E] e comenta que hata donde abe el autor (H M Edward) nunca e ha llevado a cabo eta labor Siguiendo a Edward eplicamo con un poco má de detalle en qué entido propone Riemann etudiar la aportacione de eto término periódico Si derivamo la epreión 68 para f obtenemo df [ log ℜ co log log log ] d, donde hemo aplicado / i i / co log E evidente que etamo uponiendo la hipótei de Riemann, ya que i no la epreión hubiee ido levemente diferente: co log, donde e la parte real de la raíz correpondiente y u parte imaginaria Por la definición que hicimo de f, la medida df e d multiplicada por la uma de la denidad de primo, la mitad de la denidad de la potencia cadrada de primo, la tercera parte de la denidad de la potencia cúbica de

37 primo, etcétera Vemo que / log no debiéramo conidarlo como una aproimación a la denidad de primo menore que una cantidad dada como ugirió Gau ino a la medida df, eto e, a la denidad de lo primo má la mitad de la denidad de la potencia cuadrada de lo primo, etcétera Dado do número uficientemente grande a b, la aproimación que e obtiene al tener en cuenta un número finito de la raíce b f b f a b dt co log t dt logt t log t a a debiera er una aproimación batante buena ya que por un lado podemo depreciar el término ² dlog, y por otro la integrale para grande ocilan muy rápidamente cuando crece, aí que deben hacer contribucione pequeña Recordemo que i / Riemann propone en u trabajo invetigar el número de que on ignificativo en la epreión anterior, e decir, la influencia de lo término ocilatorio en la ditribución de lo primo 8 Comentario Finale Aquí damo por concluído el análii de la publicación de Riemann; hemo vito lo que hemo ido capace de demotrar y, para terminar, vamo a ver qué queda por probar: alguno agujero han ido rellenado por trabajo poteriore al de Riemann, otro permanecen abierto a día de hoy En primer lugar etá el hecho de que la ecuación i / tiene aproimadamente T / log T / raíce reale en el rango T Ete hecho, i lo interpretamo como que el error relativo cometido tiende a cero

38 a medida que T crece, permanece hoy en día como problema abierto La factorización que hace Riemann de la función e baa en la etimación comentada en el párrafo anterior, con lo que tampoco podemo decir que eta cuetión e etableciera con total rigor Hubo que eperar hata 893 para que Hadamard diera la primera demotración completa de la factorización, y hata 95 para que von Mangoldt probara la etimación para el número de raíce en el intervalo ℑ T La cuetión original, e decir, la validez de la aproimación propueta por Gau uando el logaritmo integral logdt t (8), permanece completamente in reolver en el trabajo de Riemann El problema e equivalente a ver i Li Li No fue hata 896 que Hadamard y de la Vallée Pouin de manera independiente demotraron el teorema de lo número primo, e decir, la fórmula 8, utilizando método alternativo Eta pequeña crítica final en aboluto pretende demerecer el etraordinario trabajo de Riemann, ya que en mi opinión u valor principal ha ido no tanto dar olución a problema, ino plantear adecuadamente y orientar de forma correcta el etudio de la ditribución de lo número primo dentro de lo entero

39 Capítulo : Reultado Auiliare Introducción En ete capítulo hemo decidido incluir demotracione riguroa de todo aquello razonamiento que han quedado pendiente de jutificar en el capítulo, terminando de eta manera nuetro análii detallado del trabajo original de Riemann La epoición de cada uno de lo reultado e inconea en el entido de que no podemo ir leyéndelo uno detrá de otro, ino que debiéramo acceder a ello cuando lleguemo a la correpondiente referencia en el capítulo Para tal fin, lo ideal ería hacer una primera lectura del capítulo obviando la referencia y, una vez hayamo aimilado la idea generale, releer el capítulo iguiendo toda y cada una de ella En la ección demotraremo una erie de propiedade de la función zeta de Riemann tale como que no e multivaluada, que e anula en lo entero pare negativo, encontraremo u único polo y calcularemo el reiduo y probaremo que puede etendere analíticamente a todo el plano complejo Riemann en u trabajo da do demotracione diferente de la ecuación funcional, iendo la epoición eceivamente intética y dejando mucho pao intermedio in jutificar En la ección 3 podemo encontrar amba demotracione detallada La ección 4 la dedicamo a demotrar la fórmula 43 y a partir de la cual Riemann deduce importante propiedade de u función zeta

40 La penúltima ección de ete capítulo, la 5, etudia la denidad vertical de raíce de la ecuación, probando que igue la ley log T Cerramo el capítulo con la ección 6 que bajo el título cálculo intermedio incluye todo lo cálculo que quedaron pendiente en la ección 6 Propiedade Báica de la Función Zeta En eta ección veremo que la función zeta admite una etenión a todo el plano complejo con un polo imple de reiduo en Demotraremo ademá que no e multivaluada y que e anula para valore entero pare negativo Para llevar a cabo eta demotracione Riemann ua la identidad 4 (ver un poco má adelante) Nuetro objetivo inmediato e demotrar dicha identidad y e a lo que dedicaremo lo iguiente párrafo En u publicación Riemann propone coniderar un camino de integración que tenga una forma como la dibujada en la figura Lo realmente importante, como veremo en un momento, e que evitemo que nuetro camino de integración pae por lo polo de la función en realidad la función únicamente tiene un polo en el origen i e entero no poitivo por lo que la gráfica e implemente un ejemplo: debe venir de, ir a y rodear el origen de coordenada

41 γ ε ε γ ε γ ε ε figura Obervemo que el valor de la integral no depende del que elijamo Eto e cierto por el teorema de Cauchy: la integral valdrá cero mientra no contenga algún polo (véae la ección A6 en el apéndice ) Siendo ecrupuloo dede un punto de vita técnico tendremo que aegurarno, para poder aplicar el teorema de Cauchy, de que la función tienda a cero rápidamente Para eto valdría por ejemplo con que ℜ Traduciendo todo eto a nuetro cao tenemo que la integral erá independiente del camino iempre que nuetro camino de integración no encierre ningún múltiplo de i Acabamo de jutificar la fórmula: () e d lim e d Como abemo por la definición de la función logaritmo, el conjunto de valore complejo {z ℂ ℜ z } on ingulare para dicha función Como por definición tenemo que e log,

42 el logaritmo de lo determinamo de forma que ea real para valore negativo de la variable Eencialmente etamo haciendo el cambio de variable z z con lo que {z ℂ ℜ z } e ahora el conjunto de valore ingulare, que e preciamente el que etamo rodeando con Hemo definido el argumento para el logaritmo log log i Arg de la iguiente manera: lim Arg lim Arg, Nuetro próimo pao erá calcular el límite en la fórmula, para lo que dividiremo nuetro camino en tre trozo: C, C y C 3 como e indica en la figura 3 Paamo ahora a calcular la integral para cada uno de lo tre camino Sutituyendo la definición obtenemo la iguiente identidad: e d e log e i Arg e d C ε ε C 3 C figura 3

43 En el camino C El orden del denominador en la integral e e O, con lo que e O ℜ O ℜ De eta forma, i lo integramo a lo largo de podemo etimar la integral multiplicando por la longitud, de forma que no quedará ℜ O e Como el e arbitrario, haciéndolo tender a cero, terminamo En el camino C i Arg e e i Arg d e e e i i e d que tra una poca manipulacione algebraica no queda igual a e e d i 3 En el camino C 3 De manera completamente análoga:

44 i Arg e i Arg e d e i e e e i d Haciendo la correpondiente manipulacione obtenemo una epreión muy imilar: i e d e En reumen, hemo dividido la integral de camino anterior en tre parte y hemo calculado la contribución de cada una de ella Lo ecribimo todo junto en la iguiente cadena de igualdade: e d lim e log e i Arg e e i i e d e e d d ien e d ien No quedamo con el primer y último miembro de la cadena de identidade anterior para llegar a la mima fórmula que aparece en el trabajo de Riemann: (4) e d ien

45 Eta identidad no va a permitir, con un poco de efuerzo adicional, jutificar la afirmacione que hace Riemann en u trabajo; on la tre que tenemo a continuación: La fórmula 4 no etiende la definición de a todo el plano complejo Eto e debe a que la integral del miembro izquierdo en 4 etá definida para todo valor de la variable,, que e puede ver obervando que la integral converge para todo lo valore de la variable, ya que una eponencial crece má rápidamente que una potencia y ademá la función que define e analítica (compleja) porque la convergencia e uniforme en dominio compacto Eta última afirmación podemo demotrarla uando el teorema de Morera: toda integral de una función dada que e anule obre camino cerrado dentro de un dominio define una nueva función analítica en ee dominio La única poible ecepcione ahora on lo cero de la función gamma; eto lo tratamo un poco má adelante Hemo eleccionado la rama de la función logaritmo de manera unívoca, con lo que no e multivaluada La función tiene valor finito iempre que Vamo a probar que efectivamente el valor de la función e finito alvo para Para probar eta afirmación haremo uo junto con la ecuación 4 de una de la ecuacione funcionale que conocemo para la función gamma, / en (véae la ección A5 del Apéndice ) Para empezar repreentaremo el miembro izquierdo de 4 como la uma de lo tre camino C, C y C 3, con lo que obtenemo la iguiente epreión para la función :

46 (5) donde, como ante, I log i e + i d + e I log i e d e d e Por 5 vemo que el único punto conflictivo paa a er, ya que la función zeta etá perfectamente definida para el reto de lo valore entero de la variable, lo que no indica que lo polo de la función gamma e compenan con cero que la integral debe tener en eo mimo punto Cuando hacemo la contribucione del primer y del tercer camino e cancelan mutuamente, quedándono ólo la contribución de la circunferencia Vamo a ver que la función zeta tiene en un polo de orden uno Para ello podríamo calcular directamente el valor del reiduo, o bien obervar que cuando e tiene que ~ Por otro lado dearrollando en erie de Taylor la función eno no quedaría que en ~ Ademá e d ~ e d i Aí que finalmente no queda que ~,

47 3 La función e anula para todo lo entero negativo pare Por último, al tener la función polo de orden uno en lo entero negativo e tiene que ~ C n cuando n Como por Taylor en ~ n vemo que lim n en Deducimo pue que la función debe anulare en lo entero pare negativo 3 Ecuación Funcional Eta ección etá relacionada con la 3, en la que hicimo una erie de comentario obre la ecuación funcional para la ecuación zeta, u relación con la ecuación de Poion, pero dejamo en el aire la do demotracione detallada que Riemann da en u trabajo Hay varia propueta que pretenden eplicar de dónde pudo acar Riemann la inpiración para bucar (y encontrar) la ecuación funcional Una de ella la relaciona con la famoa fórmula de Euler que eprea el valor de la función zeta para lo número pare, tanto poitivo como negativo: n n n Bn n! donde lo Bn on lo llamado número de Bernoulli, que vienen definido como lo coeficiente del dearrollo en erie de potencia

48 e n Bn n! n, en particular tenemo que / 6 Hitóricamente era éte uno de lo problema que má intrigaban a u maetro Nombre Bernoulli epecialmente la forma cerrada para que acabamo de ecribir y que L Eurler demotró atifactoriamente Degraciadamente Bernoulli moría poco ante de que Euler pudiee comunicarle u reultado E decir, aparte de la que e comenta obre la fórmula de Poion en la ección 3, Riemann habría intentado deducir la relación de Euler a partir de la ecuación integral 4 o alguna de u equivalente Como hemo comentado anteriormente, Riemann dio do demotracione diferente de eta ecuación, que paamo a jutificar en detalle En la primera demotración la idea e volver a uar el teorema de lo reiduo obre el mimo camino que uamo en la ección (véae la figura ), pero recorriéndolo en entido contrario y cerrando por fuera Llamaremo a nuetro camino de integración y lo decompondremo en la do parte que podemo encontrar detallada en la figura 3 a continuación: R, donde R e la cirunferencia eterior y erá el recorrido interior Obervemo que e i y ólo i tenemo que la parte real de e cero y la parte imaginaria ℑ i n con n ℤ {} Por lo tanto nuetro polo etarán dipueto obre el eje imaginario

49 figura 3 Para R tenemo la iguiente cadena de identidade: i e d R Re e k n,, n k n i k k, i k i k Como tenemo que i i i e log i e log i

50 i e i en i e, finalmente no queda la identidad (3) i e d en n R k k Acotamo a continuación la integral anterior En primer lugar tenemo que en la circunferencia R la función e etá acotada independientemente de R, y por otro lado abemo que ℜ, aí que podemo reemplazar R por como camino de integración en 3 Sutituyendo todo eto en la igualdad 4 obtenemo la fórmula de la ecuación funcional que, aunque en principio e válida ólo para ℜ, por continuación analítica podemo etender para todo : en Con eto finalizamo la primera de la demotracione que encontramo en el trabajo de Riemann La egunda de ella, como ya comentamo en la ección 3, e baa en el uo de la identidad de Poion o de u verión particular conocida como identidad de Jacobi

51 Reviar y hacer referencia eplícita donde aparezca el comentario una vez añadido el apéndice En u trabajo Riemann hace aparecer la gauiana comentando que la imetría de la función zeta que él decubrió a partir de la ecuación funcional le llevó a coniderar / en lugar de en el término general de la función zeta En la región ℜ tenemo la repreentación integral e d n n t e t dt Como anteriormente, hacemo el umatorio cambiamo el orden de integración con el de umación que queda jutificado por la convergencia aboluta en la región ℜ Definiendo n t t e n (33) tenemo la iguiente identidade: t t dt t t dt t t dt Como hemo comentado anteriormente, Riemann neceitaba aplicar la fórmula de umación de Poion a una función de decaimiento rápido La función elegida erá la t definida a continuación El hecho de elegir la gauiana no e abolutamente eencial, ino má bien por conveniencia ya que él conocía la identidad de Jacobi Sin embargo podemo coniderarla como una elección realmente inpirada ya que no conduce a la teoría de forma modulare

52 Conideramo la función: n t t e t La fórmula de umación de Poion aplicada a la función f e recordemo tiene por tranformada f t no produce la identidad: t e e n t t t, e n t Epreado de otro modo: t t t, t t t t Procedemo por fin a evaluar la identidad 33 t t dt t t dt t Sutituyendo ete valor obtenemo: t t dt t dt t, que

53 (34) t t t dt G Vemo que la ecuación 34 e la ecuación funcional obervando que la relación G G produce: G G Una de la conecuencia que podemo deducir directamente a partir de la ecuación funcional e que, aparte de lo cero triviale, lo único cero que tiene la función etán todo ituado en la región { ℂ ℑ }, que e lo que e conoce como banda crítica Depejando de 34 vemo inmediatamente que el conjunto {, 4, 6, } on cero de, ya que {,, 3, } on polo de la función Eto on lo denominado cero triviale 4 Repreentación de la función En la ección 4 dejamo pendiente la demotración de la identidad 43, a partir de la que Riemann prueba una erie de importante propiedade de la

54 función zeta En eta ección vamo a ver dicha relación la repetimo por comodidad: { (4) t 4 3/ d [ ' ] d / 4 co } t log d Epreamo de nuevo la identidad 34, pero en lugar de uar t lo pondremo en función de t : (4) [ ] d Hacemo la iguiente manipulacione: + d { [ ' [ / / / ]} d / / / / / + d [ ] ] d ' [ ] d 3 ' [ ] d

55 3 [ ' d 3 d [ ' ] d ' [ ] + d 3 d [ ' ] d Si derivamo la identidad obtenemo (43) 4 ' Sutituyendo eta última igualdad en la erie de identidade anteriore tendremo finalmente (44) 4 { d [ 3/ ' ] d / 4 coh } log d 5 Número de Cero y Factorización

56 En eta ección daremo la demotración riguroa de lo hecho que han quedado pendiente en la ección 4 En concreto vamo a probar que la denidad vertical de raíce de la ecuación igue la ley log T / La demotración que incluimo a continuación reproduce la que puede encontrare en la referencia [C] Empezamo tomando un valor T de forma que la función, equivalentemente, no tenga ningún cero en la línea ℑ T Obervemo que no uamo el cambio de variable propueto por Riemann (véae la ección 4) A continuación conideramo el camino dibujado en la figura 5, que e un rectángulo de vértice it, it, it, it y que etá orientada en entido poitivo (antihorario) Llamaremo a la parte de ee camino ituada entre y / it

57 figura 5 El principio del argumento véae A66 en el apéndice no permite ecribir la iguiente erie de identidade: N T ℑ { ℑ ' d 4 ℑ ' log ' d ' } d Como ya hicimo anteriormente (véae la ección ) conideramo la rama de la función logaritmo correpondiente a tomar argumento en, Evaluamo cada una de lo umando de la última igualdad, de forma que tenemo en primer lugar: log d log it log it log log 3 i T En egundo lugar: ' / / d log Lo umamo y etraemo la parte imaginaria 4 i T

58 ℑ ' / log d / d { T log T } T O logt Para eta última identidad hemo uado la fórmula de Stirling: véae A58 en el Apéndice Acabaríamo la demotración i pudiéemo probar que ℑ ' d { } O log T Una forma de probar eto conite en dividir el camino en tanta parte como cambio de igno tenga ℜ a lo largo de dicho camino Si, por ejemplo, { a, b } e uno de eo trozo, tendremo que ℜ a ℜ b con lo que, { a, b } ecluyendo lo punto etremo, tendrá igno contante No interea el hecho de que, entonce, la curva, [ a, b], etará contenida en uno de lo emiplano ℜ ó ℜ Véae la figura 5

59 b, a,b a figura 5 Tenemo que ℑ ' d { } ℑ log b log a [ a,b], { i ℑ a, ℑ b tienen igual igno, i ℑ a, ℑ b tienen ditinto igno } i llamamo m al número de cero que tiene ℜ en el camino obtenemo la iguiente acotación ℑ ' { d} m [a, b] Ahora bien, como fácilmente e oberva a partir de la definición de, no

60 hay ningún cero en la línea vertical { i, } (gracia al vemo que la parte real e iempre mayor que cero) Sólo no falta por analizar el trozo de comprendido entre lo punto it y it / ; para ello uaremo la fórmula de Jenen (véae Apéndice, Sección A8) Ante, no obtante, haremo una pequeña tranformación que no implifique un poco la vida: definimo la función para que tenga lo mimo cero que ℜ en el tramo que no interea, pero éta lo tendrá ubicado en el intervalo [ /, ] [ it it ] Aplicamo por fin la fórmula de Jenen con z, R7/ 4, r 3/ y gracia a la etimacione para la función zeta que podemo encontrar en la ección 33 no queda la deigualdad: 7 m 6 CT 3 4 Tomando logaritmo obtenemo lo que bucábamo con lo que hemo finalizado la demotración de la fórmula de Riemann von Mangoldt 6 Cálculo Intermedio En eta ección vamo a decribir en detalle todo lo cálculo neceario para jutificar la identidade 66 y 67 Empezaremo por obervar que d [ log d ]

61 Si la parte real de e menor que la de la integral e anula porque el camino de integración que hemo elegido no contendría ningún polo del integrando (teorema de Cauchy, Apéndice, ección A6) Véae la figura 6 Luego lo que hemo de hacer e hallar el valor cuando la parte real de ea mayor que la de, e decir, ℜ a ℜ (6) i a i a i d T(R) ΓR R a T(R) figura 6 Aplicando el teorema de lo reiduo ólo hemo de probar que la parte correpondiente a R e anula cuando R para ver que la integral en 6 e anula Tenemo que

62 a it R a it R Ahora bien, en R d d R y y y a y k k R E evidente que T R cuando R Por tanto no queda que R d a R k a longitud de R R k Tomando límite vemo que la integral e nula Paamo ahora al cao que no queda pendiente: cuando la parte real de e mayor que la de T(R) Γ R R a T(R)

63 figura 63 Conideramo el recinto que e encuentra dibujado en la figura 63 De forma análoga a como hemo procedido anteriormente obtenemo a i i Re a i d i, Re R, d que no ale de poner, repectivamente, en y en La demotración concluye obervando que lim R d R al igual que ante, y por idéntico motivo Como ya comentamo en la ección 6, queremo hacer aparecer el logaritmo integral, aí que epreamo 6 como una integral Si la parte real de e negativa tenemo que i a i a i d d

64 mientra que i e poitiva a i i a i d d Hemo coniderado el cao en el que la parte real de e negativa o poitiva, ecluyendo de eta manera la poibilidad de que la parte real ea igual a cero, de forma que no no afectaría el hecho de que hubiee raíce en el eje imaginario Calculamo por fin el valor de 63 Lo primero que haremo erá integrar por parte y depué aplicar la fórmula de derivación d d log Obtenemo: a i i log d [ log ] d d a i i a i a i log d log d C en el cao de que la parte real de ea negativa Para el cao en el que la parte real de ea poitiva, eta última identidad e tranforma en

65 a i i log a i d [ log d ] d log d C

66 Capítulo 3: Teorema de lo Número Primo 3 Introducción Ya comentamo en la ección 8 que no e puede coniderar el trabajo de Riemann como una demotración del teorema de lo número primo, ya que e dejan en él demaiada laguna Toda ella e han coneguido ir rellenando meno la hipótei de Riemann que, como eplicamo en ea ección, reulta central en el dearrollo que Riemann hace Lo primero en dar una demotración completa del teorema de lo número primo de manera independiente utilizando fundamentalmente variable compleja fueron Hadamard y de la Valleé Pouin, en 896 Eiten mucho enunciado equivalente del teorema de lo número primo, iendo una de la forma má comune el preentarlo de la iguiente manera: (3) i, ~ log Eta aproimación debe entendere como que el error relativo de amba epreione tiende a cero a medida que la variable independiente tiende a infinito, e decir, lim / log En la literatura, obre todo en la cláica, e prefiere el uo del logaritmo integral a 3, que etá má en la línea de Legendre, Gau, Riemann, etc Amba epreione on del mimo orden aintótico, por lo que dede el punto de vita del teorema de lo número primo e indiferente el uar una u otra En el capítulo 3 de la referencia [P] e encuentra una demotración encilla de eta afirmación De la Valleé Pouin probó una fórmula que e utiliza para demotrar

67 que efectivamente Li e mejor aproimación en el entido de que lo errore relativo que e cometen on menore Recomendamo el capítulo 5 en [E] para ampliar detalle Actualmente e conocen mucha demotracione alternativa del teorema de lo número primo En ete capítulo vamo a dar do de ella: la primera ección 3 e relativamente corta y utiliza la fórmula de inverión de Fourier La egunda ección 33 e mucho má elaborada y uamo en ella únicamente variable compleja Poteriormente, en la eción 44, comentaremo brevemente alguna otra demotracione y reultado Dentro de la diferente prueba que actualmente e conocen del teorema que ahora no ocupa cabe detacar la que publicaron Selberg y Erdö en la que e uan únicamente método elementale (lo cual no quiere decir que la demotración ea elemental, ino má bien todo lo contrario) 3 Primera Demotración: Teoría de Fourier En eta ección incluimo una demotración no detallada del teorema de lo número primo uando análii de Fourier No centraremo en motrar la idea general de la prueba má que en detallar minucioamente cada uno de lo pao Para todo aquello detalle que dejamo al lector ugerimo la referencia bibliográfica Dym McKean, donde e pueden encontrar demotracione completa Para empezar vamo a etablecer la identidad 3 La demotración no e larga, aunque requiere un poco de trabajo Puede conultare la definición del ímbolo de von Mangoldt en 57 log log p, p de modo que derivando obtenemo

68 ' luego ' p p log p p logp p log pp log pp p e decir, ' n 3 n, n Aplicando ahora la fórmula de umación de Abel fórmula A3 del Apéndice con a n n y obtenemo ' (3) d Paamo a eplicar la idea de la demotración del teorema de lo número primo uando análii de Fourier Lo primero e definir la función (3) f b ', que evaluamo en ib, con Hacemo el cambio de variable e y en la integral en 3, de forma que no queda f b [e y e y e y e ib y dy ] ib Ahora multiplicamo ambo lado por e k b, iendo k C ℝ (que

69 repreenta el conjunto de funcione de decaimiento rápido) e integramo en el conjunto de valore b Utilizando que la función etá acotada por log e jutifica la identidad e ib k b f b db y e y e y dy k y [e ] No e difícil demotrar, aunque requiere algún efuerzo, que el valor aboluto de la función f b e O b 4 y que en el límite tiende a una función f cuando hacemo (eta última afirmación la podemo encontrar demotrada en la ección iguiente) Si uponemo eto cierto tendremo entonce que e ib k b f b db k y [ e y e y dy ] donde etamo uponiendo cierta uniformidad en el límite para poder introducirlo dentor de la integral Sabiendo que la función k f e integrable el lema de Riemann Lebegue véae A en el Apéndice no da la iguiente cadena de identidade: lim k y e y e y dy lim lim k y dy k y dy Nuetro próimo pao va a er elegir la tranformada de Fourier de k como en la figura 33, en la que lo parámetro y cumplen Dicho parámetro erán ajutado convenientemente un poco má adelante

70 ^ k β α β α Figura 33 Tenemo por ahora que k y dy lim k y e y e y dy lim inf lim inf e lim inf e y e y dy e e Procediendo de manera completamente análoga k y dy lim k y e y e y dy

71 lim up e y e y dy lim up e lim up e e Poniéndolo todo junto finalmente no queda lim inf lim up e e Terminamo la demotración haciendo primero y luego 33 Segunda Demotración: Variable Compleja En eta ección damo una demotración completa alternativa a la que encontramo en la ección anterior del teorema de lo número primo uando únicamente variable compleja Tiene la ventaja de permitir atibar la relación entre el término de error y lo cero de la función En primer lugar obervamo que trabajar directamente con la función de ditribución complica técnicamente lo cálculo, por lo que e prefiere trabajar con la función, que ya definimo en 57 Lo que vamo a demotrar ahora e que no da lo mimo trabajar con una función que con la otra En concreto, i hacemo tender la variable a infinto, tendremo que

72 ~ i y ólo i ~ log, con lo que demotrar el teorema de lo número primo paa a er equivalente a probar que ~ A continuación vamo a hacer notar que para un primo fijo p, el número de entero n de la forma pi e el mayor entero j tal que j log p log, aí que tenemo log j log p p log p p log p log Coneguir una cota inferior no e epecialmente complicado: upongamo que e cumple que y que y, entonce tendremo y y y p log y log Partiendo de eto: y de donde lim inf log log Terminamo la demotración haciendo tender delta a cero en la iguiente cadena de deigualdade lim inf log lim up log En lo pao anteriore hemo demotrado la primera de eta deigualdade, la otra e hace de forma completamente análoga, con lo que damo por finalizada la demotración

73 De nuevo ocurre que trabajar directamente con no daría alguno problema de convergencia un poco delicado, aí que volvemo a tranformar el problema y conideraremo una función relacionada con ella batante má regular Para coneguir eta regularización trabajaremo con la función en media, e decir, uaremo u integral: t dt Lo que vamo a demotrar a continuación e que i ~ / entonce e tiene que ~ Con eto reducimo la demotración del teorema de lo número primo a probar la ley aintótica ~ / Nuetro objetivo inmediato e ver que efectivamente eto e aí Para ello upongamo que tenemo, como n para todo n ℕ, la función e creciente, aí que para todo e cumple la deigualdad t dt De forma que tenemo (33) ² Vamo a uar ahora el para encontrar una deigualdad imilar a 33, pero en el otro entido Para todo, de forma análoga, tenemo

74 (33) t dt Si hacemo tender a infinito: (333) (334) ² ~ ² ~, Como y on arbitrario, combinando 33, 333 y 334 obtenemo el reultado al hacer tender (y aproimando y a uno) con lo que terminamo la demotración A partir de ahora y en lo que reta de ección vamo a orientarno a demotrar el teorema de lo número primo que a tenor de lo vito hata el momento toma la forma: ~ / i Lo primero que no va a interear e etablecer una relación entre y la función de Riemann Sea it y upongamo ademá que y que c, entonce c i (335) i c i ' d donde el camino de integración e la línea c Uno de lo pao má importante en la demotración de 335 e el reultado que obtuvimo en la ección 6, en concreto allí probamo la fórmula 6 que

75 vuelve a erno de utilidad La ecribimo de nuevo adaptando la notación al cao que ahora no ocupa: c i (336) { i i d c i i } A continuación vamo a probar que efectivamente ~ / Obervemo que para todo tenemo la iguiente cadena de igualdade: t dt t dt n dt n n n t n En la última igualdad hemo intercambiado el orden entre umatorio e integral Obervemo que lo mimo e deduce de manera trivial cao de que conideráemo Aplicando 336 para todo tenemo que n n n n [ n /n n c i n i c i / n d ] con c Al er c podemo intercambiar el orden entre umatorio e integral ya que tenemo convergencia aboluta:

76 [ c i ] [ / n d n n c n n c i n c d c ] Acabamo por fin con la demotración de 335: c i i n i d [ ] n c i c i i ' d c i Etamo intereado en coneguir alguna etimacione para el valor aboluto de la función zeta de Riemann en el entorno de la línea (en la propia línea y a u izquierda) para por fin demotrar el teorema de lo número primo Empezamo la recta final encontrando una epreión adecuada para la función zeta donde uamo la fórmula de Abel: (337) n n [t ] t dt [ ] t dt {t}t dt { }

77 t{t } dt {} Haciendo tender a infinito obtenemo la fórmula que no interea: (338) { t } dt t Ya en u momento véae la ección etudiamo la etenión analítica de la función zeta de Riemann a todo el plano complejo Obervemo en cualquier cao que la ecuación 338 no da una continuación analítica de la función zeta para La etimacione comentada anteriormente que neceitamo no dan el orden del invero de la función zeta de Riemann y de lo valore aboluto de la función y u derivada Son la cuatro que pueden encontrare a continuación Como iempre, ea i t y upongamo ademá que y t Tenemo entonce que O log t ' O log t (339) (33) 3 Si ademá e tiene que y entonce O t (33) 4 Eite ademá una contante poitiva A tal que i hacemo t tenemo, para, que

78 A O log t (33) Empezamo demotrando la primera de ella Combinando 337 y 338 para, t y tenemo que (333) n n {} {t } t dt {t } t {} dt Deducimo la iguiente deigualdade: (334) n n n n t t du u t Si tenemo que, t y entonce n n t t log 3 t Si hacemo t obtenemo log t 4O log t que demuetra 339 La demotración de 33 podemo encontrarla derivando la ecuación 333 con repecto a y continuando de manera completamente análoga a lo que acabamo de hacer Para demotrar 33, y teniendo en cuenta que

79 , t y, e igue entonce de 334 que n n [ ] du u t t t 3t 3t Ecogiendo de nuevo t probamo la etimación 33 ya que no quedaría t 3 Sólo no falta por demotrar 33 Partimo de una deigualdad y una identidad igualmente imple de probar: (335) 3 4 co co co, log m p p m m Obtenemo la iguiente igualdade: (336) log it ℜ cn n n it c n n cot log n n donde el coeficiente viene definido de la iguiente manera: c n / m { m i n p, p primo y m ℕ en otro cao }

80 Combinando 335 y 336 no quedará log it it 3 4 c n n 3 4 cot log n cot log n n Coniderando ólo lo tendremo (337) 3 4 it i t Gracia a eta última deigualdad podemo ver que la función zeta no tiene ningún cero en la línea vertical Si uponemo que el punto it e un cero de entonce, por la analiticidad de la función zeta de Riemann en la línea it y it alvo el polo que tiene en el punto, la parte izquierda de la ecuación 337 debe converger a un número finito egún hacemo tender, contradiciendo el hecho de que la parte derecha de la mima ecuación divergería Continuamo demotrando la etimación 33 Podemo uponer, in pérdida de generalidad, que ya que para tendríamo p p p p Suponemo ahora que y t Uando la etimación 339 obtenemo it it A it log t iendo A una contante aboluta poitiva De log t log t e igue

81 3/ 4 (338) it A log /4 t donde de nuevo A e una contante poitiva aboluta Obérvee que eta última deigualdad igue iendo válida incluo cuando, al tomar límite, e llega a tener Supongamo que tenemo y que, t, entonce uando 33 obtenemo it it ' it d A3 log t, donde una vez má la contante A3 e poitiva y aboluta Si combinamo eto con 338 obtenemo la iguiente deigualdade (339) it it A3 log t 3/ 4 A log / 4 t A3 log t Por otro lado, i y t, en vita de 338, la deigualdad 339 igue iendo válida De aquí e igue que 339 e cierta i conideramo la retriccione, t y Lo que haremo ahora erá ecoger un tal que 3 /4 A log /4 t A3 log t, o dicho de otra manera, iendo t t de tal forma que, ecogemo A A3 4 log 9 t En ete cao tendremo demotrada la etimación 33, ya que i t A3 log t A4 log 7 t

82 Etamo por fin dipueto para demotrar el teorema de lo número primo Gracia a la identidad 335 podemo eprear c i G i d, c i con c, y G ' Sabemo que, eceptuando el polo que tiene en el punto, G e analítica para y que para alguna contante aboluta poitiva A tenemo la acotación A 3 / (33) G O t log t log t t para todo t t Sea y conideremo el contorno que delimita el iguiente conjunto de egmento (véae la figura 33) L [ iu, it ] L [ it, it ] { } L 3 [ it, it ] L 4 [ it, it ] L 5 [ it, iu ] M [ c iu, iu ] M [ iu, c iu ] Repreentado en la iguiente figura

83 + iu c + iu M L5 α + it L4 + it L3 L it α it L M iu c iu Figura 33 donde T T ma {t, }, T, y U lo ecogemo de forma que atifagan la iguiente condicione: G it dt T El rectángulo [, ] [ T,T ] no contiene cero de la función zeta de Riemann Eto e poible ya que la función no tiene cero en la linea y al er analítica puede tener como mucho un número finito de cero en la región [ /, [ T, T ] 3 Debe er U T Por el teorema de lo reiduo de Cauchy ección A6 en el apéndice tenemo que

84 c i U G i i d c i U + G j d Mj 5 G i j Lj d + Re G, donde para cada tenemo que Re G, / Ahora vamo a ir acotando la integrale en cada uno de lo egmento G d L G d L G L5 G it dt G d M G L3 d d TM, T L4 donde d log,, M M, T M up G L L 3 L 4 M Aplicando 33 a lo egmento M tenemo la iguiente acotacione c G Mj d U 3 / c d U 3 / log

85 Combinando toda eta deigualdade obtenemo la iguiente acotación i c i U G d c i U M log TM c 3 / U log Haciendo U no queda M log TM Y, finalmente, haciendo obtenemo la demotración del teorema de lo número primo: 34 Demotracione alternativa Siguiendo el equema de demotración que hemo uado en la ección anterior e pueden dar mucha prueba alternativa del teorema de lo número primo A continuación vamo a decribir por encima alguna de eta demotracione, que pueden er ampliada en el capítulo de la referencia [P3] En toda ella vamo a hacer uo del iguiente teorema tauberiano: upongamo que tenemo una función f definida en el intervalo [,, donde f e monótona y no decreciente Sean m y n número reale y upongamo ademá que n Si f t dt n m log,,

86 entonce n (34) f m n log, Baándono en el trabajo de Chebyhev y la funcione que él introdujo podríamo dar la cuatro demotracione iguiente: Chebyhev Como ' d entonce tenemo i i i ' d Siguiendo lo pao que hemo detallado en la ección 3 llegamo a una epreión para, a partir de la que deducimo (34) t dt Eta e la manera que hemo elegido para demotrar el teorema de lo número primo Podríamo concluir aplicando 34 a 34 para ver que Lo primero trabajo en lo que e coniguió demotrar el teorema de lo número primo uaron: Hadamard: t t dt

87 tt dt de la Valleé Pouin: Hay mucha prueba imilare a éta que utilizan el mimo equema de demotración y que pueden er conultada en el capítulo de la referencia [P3], como ya e comentó previamente Riemann Ya hemo comentado a lo largo del capítulo que Riemann no demotró el teorema de lo número primo (tampoco Chebyhev), pero, al igual que éte último, tenía todo lo ingrediente Empezamo recordando que como log d tendremo log F f d donde e define, al igual que en el capítulo, f n F n n iendo F la cantidad de número primo que hay ante del número Entonce:

88 (344) f i i log d i La integral 344 e condicionalmente convergente, aí que tendremo que etimarla cuidadoamente para deducir f log De eta forma obtenemo f O log log o log 3 Riemann Si definimo REVISAR ESTA FÓRMULA He de bajarme el artículo de Internet primero J entonce i J J t t dt log d i El pao iguiente conite en etimar la integral para obtener J log Como anteriormente e aplica la identidad 34 que no permite concluir que

89 J log Ete método para la demotración del teorema de lo número primo e el que podemo encontrar en la referencia [P3] y [G] 4 Littlewood La prueba del teorema de lo número primo que Littlewood no muetra en [L3] la lleva a cabo etudiando la tranformada invera de Mellin de ' / Recordemo que la tranformada de Mellin e define formalmente como H h d Littlewood relaciona eta tranformada invera con la función de Chebyhev, que como ya vimo en la eción 5 viene definida por la identidad n n, iendo n el ímbolo de von Mangoldt He de bajarme el artículo de Peteren de Internet ante de comentar lo de el teorema tauberiano

90 Capítulo 4: Ditribución de Cero para la Función Zeta de Riemann 4 Introducción Ete capítulo conta de cinco eccione en la que báicamente etudiaremo cómo e ditribuyen lo cero de la función zeta de Riemann en la banda crítica La primera ditribución que trataremo eccione 4 y 43 e en horizontal, e decir, vamo a etudiar cuánto cero hay en función de la altura a medida que no acercamo o no alejamo de la línea crítica Lo que no dice la hipótei de Riemann a ete repecto e que toda la raíce etán en dicha línea, con lo que la denidad debiera er cero fuera de ella En egundo lugar ección 44 no preocuparemo de la cantidad de cero que la función zeta tiene en la línea crítica El reultado que aquí demotramo, debido a Hardy, prueba que eiten infinita raíce en dicha línea, que e diferente de lo que hemo probado en la ección 5 El reultado de Hardy ha ido mejorado conecutivamente por Hardy y Littlewood, Selberg, Levinon y otro La última ección, ección 45 titulada hipótei de lo primo conecutivo, no muetra cómo el tener información obre la ditribución de lo cero de la función zeta no permite conocer cómo e ditribuyen lo primo dentro de lo entero y el epaciamiento máimo que podemo eperar entre primo conecutivo La demotracione que e reproducen en ete capítulo no on tan detallada como la que pueden encontrare en lo anteriore Se han dejado alguna laguna que no reviten epecial dificultad, dándoe iempre indicacione de

91 uno de lo poible camino a eguir para finalizar la demotracione En cualquier cao, por i urge algún obtáculo que pudiee parecer inalvable, e proponen referencia en la que e detallan dicha prueba Salpicaremo el preente capítulo con alguna nota hitórica El lector intereado en conocer má en profundidad el dearrollo de eto reultado puede conultar la bibliografía propueta 4 Etimacione Horizontale de Denidad de Cero En eta ección vamo a etudiar la ditribución horizontal de lo cero de la función zeta de Riemann en la banda crítica, e decir, vamo a etimar el orden de la cantidad de cero que la función zeta tiene egún no movemo en horizontal al acercarno o alejarno de la línea crítica Para implificar la epoición e intentar evitar en la medida de lo poible que no perdamo en lo detalle técnico y dejemo de ver la idea que rigen la demotracione, incluimo cierto reultado que conideramo auiliare en la ección 43, haciendo la referencia oportuna Algo imilar a lo que hicimo en el capítulo y el Empezamo definiendo de forma precia la función que no dará la ditribución de lo cero Sea i t, entonce llamaremo N,T al número de cero de la función zeta con abcia mayor o igual que hata altura T, e decir, el conjunto: N,T Card { con y t T } Obervar que como tenemo imetría con repecto a la línea crítica y al eje de abcia, el número total de cero en la banda crítica erá 4 N, T Con lo que llevamo etudiado hata el momento tenemo ya cierta información obre eta ditribución Por un lado demotramo en lo capítulo y que la

92 función N /,T en la banda crítica e como T log T multiplicada por una contante mientra por otro, el teorema de lo número primo no viene a decir que N,T Por último, i no movemo al mundo de la conjetura, lo que afirma la hipótei de Riemann con eta notación e que N,T para todo valor de la variable mayor que / Eto último (no referimo a la hipótei de Riemann) e ha revelado como un problema realmente complejo, de forma que eperamo poder obtener f, donde el juega un papel parecido al etimacione del tipo O T logaritmo que multiplica a la T en la etimación T log T comentada anteriormente La primera tentativa en eta dirección conite en interpolar linealmente ambo valore de manera que f / y f Epreado en un fórmula: N,T O T, que e lo que e conoce como hipótei de denidad Dicha interpolación lineal puede vere en la figura 4, en la que la imetría con repecto a la línea vertical la línea crítica e eplica por la ecuación funcional ½

93 figura 4 En la literatura iempre que e etudia la hipótei de denidad e menciona, aunque ea de paada, la hipótei de Lindelöf: para todo e tiene que i t O t En realidad Lindelöf conjeturó que etaba acotada para todo /, coa que no e cierta Se puede demotrar que la hipótei de Riemann implica a la de Lindelöf y éta a la de denidad, de forma que tenemo la iguiente cadena: HR HL HD Con la hipótei de denidad etamo diciendo que, cao de no cumplire la hipótei de Riemann, el número de cero aumenta en la cercanía de la línea crítica La importancia y lo orprendente de eta conjetura de la hipótei de denidad e que, tratando de etimar la ditancia que hay entre primo conecutivo, parece tener la mima implicacione que la hipótei de Riemann, e decir, parecen er igualmente fuerte La etimacione relativa a N,T e obtienen habitualmente a partir de valore en media de la función zeta Lo progreo en eta dirección epecialmente para cercana a / e topan con la gran dificultad que upone etimar lo momento de la funcón zeta en la línea crítica y u cercanía Depué de eta pequeña introducción vamo a centrar nuetra atención en enunciar y demotrar reultado concreto Deafortunadamente hoy por hoy no e abe demotrar la hipótei de denidad, pero í alguno reultado que van en eta mima dirección, aunque on algo má débile, y que e conocen genéricamente como teorema de denidad A partir de ahora, y en lo que reta de ección, vamo a demotrar do de eto teorema: el primero de ello

94 e un poco débil en cuanto a la concluión, pero no ervirá para probar el egundo, que e batante má fuerte El primer teorema de denidad que vamo a probar dice que que dado un fijo comprendido en el intervalo /, e cumple la etimación (4) N,T O T Para demotrar eto partimo de la identidad n n O a la que hemo aignado el identificador 43 en la ección 43 En dicha ección podemo encontrar una indicación de cómo probarla A partir de ella e puede demotrar la igualdad T it dt T O T log T que e una etimación del momento de orden do de la función zeta de Riemann, a la que en la ección 43 hemo denominado 434 De nuevo referimo al lector a dicha ección para ver una demotración completa No queda poco para terminar la prueba de 4 Para ello uaremo la deigualdad de Jenen (véae la ección A8 en el apéndice ), que no da la cota: T (43) log it dt T T it dt T O T log T

95 Uamo 434 en la última identidad de 43 Combinando eta etimación con 438 deducimo que N,T d O T Para concluir la prueba elegimo, de forma que (44) N,T N, T d / N, T d OT Eta primera etimación etá muy lejo de la hipótei de denidad, como habíamo comentado anteriormente Su interé radica en que uando la mima idea que aparecen en u demotración vamo a mejorar ete reultado coniderablemente, que e a lo que no vamo a dedicar en lo que no reta de ección Para llegar a eta mejora procederemo de la iguiente manera: en lugar de relacionar N,T con la función directamente, multiplicaremo a éta por otra función M X que no uavice u comportamiento errático, manteniendo lo cero intacto Para ello partimo de la invera de la identidad de Euler, e decir, de p p n n n,

96 donde lo coeficiente n vienen definido por la fórmula n { k i n p p p k i tal que p n } con Nootro vamo a elegir eta función etupenda regularizadora como la que define la uma parciale de la anterior: M X nn n X, de forma que cuando X ea grande eperamo que el producto de amba eté cerca de A partir de eta funcione podemo definir una tercera, a la que denominaremo f X, que actuará como un contador de cero de la función en el dominio que conideremo La definición e f X M Intuitivamente podemo penar que f X etará cerca de cero normalmente, ecepto para lo cero de la función que etará cerca de uno Nuetro objetivo e comparar dicha función con N,T para lo que recomendamo reviar brevemente la fórmula 436 y 437 enunciada y demotrada en la próima ección En concreto vamo a demotrar que para / fijo tenemo (45) N,T O T 4 En la figura 46 motramo en azul la ditribución correpondiente a la hipótei de denidad y en verde la de 45

97 ¾ ¾ ½ figura 46 Para probar 45 lo primero que hemo de ver e que (47) n O T n T, cuya demotración puede conultare en la argumentación inmediatamente poterior a la fórmula 434 A partir de 47 y aplicando 437 obtenemo una etimación del orden para la función que a nootro no interea, e decir, f X bn n O T n M X

98 bn n O T n X, con b n i n X ó n XT, y b n d n para cualquier n, donde hemo repreentado por d n a la función divior A partir de lo vito hata ahora, tenemo la iguiente cadena de identidade: T (48) T n bn n dt n m O T [ T X n XT bn bm n m T n X [ ] m n it n dt n O bn T ] n m XT n m log m/ n O TX O TX Para terminar la demotración no queda báicamente por probar 49 que e lo que hemo uado para la última igualdad en la cadena anterior de identidade

99 (49) n m T n m logm /n O T log T Dividimo la uma en do trozo: el primero de ello, al que llamaremo S, erá aquél en el que lo término cumplan n m / ; en ete cao, para el logaritmo, e cumplirá log m / n C y, por tanto, [ S n T n m T O n n T ] n m log m / n O T En el egundo, S, ecribimo nm k, con lo que log m n log k m k m y por tanto, S m T [ [ O k m/ m T m n m log m/ n T m m / m T m k m k m/ k k ] ] log T O T Juntando la acotacione para S y S tenemo lo que queríamo

100 Si hacemo X T en 48 no quedan lo do umando del mimo orden, con lo que e tiene T bn n T dt O T 4 n 43 Reultado Auiliare En eta ección de reultado auiliare vamo a probar cuatro teorema neceario para la demotración de 4 y 45 En primer lugar tenemo la identidad 43 que no da una aproimación a la función zeta y una etimación del orden del error que cometemo Veremo una indicación de la demotración con referencia donde encontrar prueba detallada Relacionada con eta igualdad tenemo a 434, que e una etimación del momento de orden do para la función zeta de Riemann Como generalización de eta etimación daremo otra, 437, que no erá útil para 45 (nuetro egundo teorema de denidad enunciado y demotrado en la ección anterior) Finalizaremo con la fórmula 438 que no relaciona la función de denidad de cero N,T y la zeta de Riemann Para finalizar eta pequeña introdución comentaremo que e fácil probar que la media T it dt T para ℜ e aproima de manera uniforme para egún hacemo tender T al valor Dicha demotración puede encontrare al comienzo de la ección 97 de la referencia [E] Parece natural

101 preguntare i el valor medio de en ℜ erá preciamente éte para todo / : Landau demotró en 98 que efectivamente eto e aí En la referencia [E] anteriormente mencionada podemo encontrar una demotración diferente debida a Hardy y a Littlewood a la que nootro incluimo aquí Empezamo con la primera de ella Sea it y upongamo que tenemo un que cumple t, entonce e cierto uniformemente en que (43) n n O Como ya hemo comentado anteriormente daremo olamente la idea de la demotración Para empezar tendríamo que probar que dada f función de variable real en el intervalo [ a, b], con derivada continua y monótona en dicho intervalo y que cumple f ', ocurre que b (43) a n b e i f n e a i f d O La demotración de eta identidad e eencialmente la fómula de umación de Poion, que podemo encontrar detallada en la página 7 de la referencia [J] Llamamo la atención obre el orden del error: el correcto e el que hemo ecrito en 43 Incluir referencia libro Titchmarh Suponiendo N un entero, podemo terminar la prueba de 43 aplicando 43 a la iguiente repreentación de la función zeta:

102 (433) n N N n n N n N { } d N N { } N d Vemo que el último umando e O t N Aplicamo ahora 43 al umatorio de la última igualdad de 433 con / y con f t log, llegando tra una erie de manipulacione a n n N N O N O Sutituyendo todo eto en la egunda identidad de 433 terminamo la prueba de 43 Lo iguiente que vamo a tratar en eta ección de reultado previo e de etimar el momento de orden do para la función zeta de Riemann, que e para lo que vamo a uar la identidad 43 Supongamo / fijo, entonce e tiene que T (434) it dt T O T log T

103 Si en 43 hacemo t no queda n it n t O t S O t donde hemo definido de manera implícita S n n N iendo N entero etrictamente mayor que Definimo T ma m, n, tenemo la iguiente cadena de identidade: T (435) T S dt n m m T m it dt m t T n n T n t { it n T n n T m n n n T Teniendo en cuenta la etimacione O dt n T T n n T it [ ] } m m it m it [ ] n n n m i log n m T [ m n n m log m n ]

104 O T n n T n O T n T,, terminamo la demotración haciendo la correpondiente utitucione en 434 y en la última identidad de 435, en la que también hemo uado 49 En tercer lugar vamo a enunciar y demotrar un teorema que no permitirá en la ección 4 mejorar 44 Recordamo la Definición que dimo en la ección anterior de la aplicación f X M donde M X n X n n El teorema en el que etamo intereado dice que i para algún X X,T tal que T l X T A e cumple que cuando T T (436) f X dt O T l log m T T / uniformemente en /, con l poitiva, no creciente y con derivada acotada, y donde m e una contante, entonce l m log T (437) N, T O T uniformemente en log T

105 No vamo a incluir la demotración de ete reultado ya que e eencialmente igual a la prueba que daremo nootro de la igualdad 438 a continuación Si e prefiere conultar una demotración eplícita, puede encontrare en la página 4 de la referencia [J] Para demotrar nuetro primer reultado de denidad en la ección 4 neceitamo la fórmula 438 que podemo encontrar a continuación Lo que hacemo en ella e relacionar eplícitamente la función con el número de cero que tiene hata altura T En concreto e tiene que i / y hacemo T, entonce T (438) N, T d log it dt O log T Para demotrar la identidad 438 definimo en primer lugar el rectángulo donde integraremo la función zeta, R {, t T } Tenemo la iguiente igualdad: log d log d log it d R T + i [log it log it] dt Ete último umando e puede reecribir de la iguiente manera T i ' it it it d dt Aplicando el teorema de lo reiduo ' d d

106 it ' d [ it it it ] ' d i N, T log it log i N,T Una vez lo ponemo todo junto y no quedamo ólo con la parte imaginaria obtenemo algo que e parece mucho a 438: N, T d T log it dt arg [ it ] d T log it dt K donde K e independiente de T Sólo hemo de etimar el orden de lo do umando retante y habremo concluído la demotración de 438 Para el último de ello tenemo que T log it dt ℜ n n it n i log n O, donde n e el ímbolo o función de von Mangoldt que ya definimo en 57 Para el primero e puede probar (véane página 58, 59, y de [J]) que arg [ i T ] d O logt Algo muy parecido a eto etá demotrado hacia el final de la prueba de la fórmula de Riemann von Mangoldt el párrafo anterior a la figura 5 en la ección 5 Juntando toda eta etimacione obtenemo el reultado cuando

107 T no e la ordenada de un cero y argumentando por continuidad, para el cao general 44 Teorema de Hardy Como ya hemo comentado en la ección anterior lo reultado obre denidade de cero no aportan información obre la poible ditribución horizontal de lo cero de la función zeta en la banda crítica ( poible porque de er cierta la hipótei de Riemann no habría ningún cero fuera de la línea crítica, e decir, la ditribución concentraría todo lo cero en dicha línea) El primero en aportar información obre lo que ocurre con lo cero en la línea crítica fue Hardy en [H] en donde demuetra que la función zeta tiene infinito cero Poteriormente Hardy y Littlewood en [H] demuetran que hay al meno KT cero en el intervalo [, it ], reultado mejorado poteriormente por Selberg en [S] a KT log T, e decir que al meno una porción poitiva de lo cero etá en la línea Hacia finale del iglo veinte N Levinon probó que como mínimo una tercera parte de lo cero etán en la línea crítica, reultado mejorado poteriormente hata un cuarenta por ciento (que e el mejor conocido hata la fecha) Una referencia intereante e [C] En eta ección daremo una demotración completa del reultado de Hardy: la función tiene infinito cero en la recta / Hoy en día e conocen diferente prueba de ete hecho; la que nootro preentamo aquí etá cogida del libro de H M Edward y la memoria de J Jiménez Urroz, referencia [E] y [J] repectivamente, y e baa en la fórmula de inverión de Fourier aplicada a la función / it : recordamo que en la ección 4 probamo que lo cero de amba funcione coinciden

108 Si en 33 hacemo el cambio t t obtenemo (44) u Gu du que e válida para ℜ y donde G u u, iendo t la función que allí e define Para poder etender la fórmula a tendremo que eliminar de alguna manera la ingularidad que la función G u tiene en el cero La iguiente identidad de Euler no da una pita de cómo podríamo proceder n cuyo análogo en el cao continuo e d d d E claro que amba fórmula carecen de entido ya que la regione de convergencia on dijunta ℜ y ℜ repectivamente Nuetra eperanza e que en la iguiente identidad í ea cierta: (44) u G u u du Obervemo en primer lugar que en ete cao tenemo convergencia aboluta Para comprobar 44 definimo una función que ea u continuación analítica en la región anteriormente comentada En concreto conideramo

109 v G v dv v G v v dv, que e analítica en ℜ y coincide con la funcione que no interean en lo intervalo deeado: con v G v dv v en ℜ y con G v v dv en ℜ Luego la identidad 443 que aparece a continuación e cierta iempre que a e encuentre en el intervalo a (443) G a i i a i a i i a i d d En la última igualdad hemo uado la ecuación funcional de la función La idea que Hardy ua en u demotración e eencialmente obtener concluione para el integrando a partir de lo que ya conocemo obre G y en epecial cierta ingularidade Vamo a ver a continuación que eta función y toda u derivada tienden a cero cuando i e i/ 4 pero no de cualquier manera: la no puede alir de la banda B que definimo un poco

110 má adelante, por ejemplo, ea i ; i hacemo tender épilon a cero convendremo que i, pero la erie que define a G ería divergente G n e e n i e n i n n i e G i G i Aplicamo ahora la ecuación funcional G G de forma que continuamo la cadena de identidade anteriore con G G i G i G i i i i e n n impar i e e n G n i 4 i i 4 i Como e tiende a cero cuando u má rápidamente que cualquier potencia de u, vemo que G y toda u derivada tienden a cero a medida que e aproima a i dede el interior de la banda B (véae un poco má adelante) /u Lo iguiente que hemo de obevar e que G no ólo etá definida para valore reale de, ino que e también analítica en toda la banda B { ℑ log 4 4 }

111 alvo en la frontera, donde la función tiene alguna ingularidade Diremo de paada, ampliando un comentario previo, que on preciamente eta ingularidade la que uaremo en la demotración del teorema de Hardy Para demotrar la anterior afirmación conideramo 443 para valore complejo de la variable De eta manera, en la banda B, podemo acotar el integrando uando para el primer factor la fórmula de Stirling: t O t A e 4, mientra que para el egundo tendremo que a it ± t ℑ log Ke Aí, la integral define una función analítica y por continuación analítica la igualdad 443 eguirá iendo cierta en B En dicha igualdad no va a interear dehacerno del denominador, coa que coneguimo aplicando el operador a ambo lado de la identidad d d, obteniendo de eta manera: H a i i d a i E claro, al igual que la función G anterior, que también H y toda u derivada tienden a cero cuando e aproima a iei / 4 Si hacemo el cambio de variable ulog y tomamo a/ no queda:

112 u H e it e u itu e dt o equivalentemente u e H eu n itu it n n! dt Al tener convergencia aboluta en el integrando podemo intercambiar el umatorio con la integral, de forma que podemo integrar término a término Una vez hecho eto no queda la identidad u u e H e c n iu n n donde cn n! n it t dt Vamo a terminar por fin la demotración del teorema de Hardy uando reducción al aburdo Supongamo que / it que recordemo e real tuviera ólo un número finito de cero, entonce a partir de un cierto T la función tendría igno contante (que in pérdida de generalidad uponemo poitivo) entonce n! c n it t n dt T it t T T n dt it t n dt

113 n K T K T n de donde vemo que c n ería poitivo para todo n n, tomando un n uficientemente grande Aquí e donde e llega a la contradicción pueto que u/ u por un lado toda la derivada de la función e H e tienden a cero cuando e aproima u i / 4 a lo largo del eje imaginario, mientra que por otro lado eto no e poible ya que e uma de coa poitiva 45 Hipótei de lo Primo Conecutivo El problema del que no vamo a ocupar en eta ección e el de encontrar el menor hh de tal manera que, dado un uficientemente grande, el intervalo [, h] contenga al meno un primo Epreándolo en término de la función de ditribución de lo número primo el problema e enuncia diciendo que queremo encontrar el menor h para el que e cumple la deigualdad (45) h, o, de forma equivalente, (45) h En la ección 5 del capítulo podemo encontrar la definición y alguna propiedade de la función Si tenemo un h uficientemente grande por ejemplo del orden de y como o, e tendrá que (453) h h o No interea encontrar el h má pequeño para el que e iga manteniendo eta relación aintótica

114 Si repreentamo por p n al n éimo número primo, reformulamo el problema de lo primo conecutivo como aquél conitente en determinar lo menore valore y ' tale que e cumpla la deigualdad ' (454) p n pn pn log p n Sin hacer un análii ehautivo podemo anticipar que el etudio de la diferencia h va a er batante complicado porque e puede interpretar como el análii de la derivada de una función que etá al borde de la no convergencia véae la fórmula eplícita 455 para la función un poco má adelante Ya demotramo en la ección X una fórmula eplícita para la función Tomando un T y repreentando por a la parte imaginaria de lo cero de la función zeta, tenemo que (455) : T O log T Si en dicha fórmula hacemo un buen etudio de la ubicación de lo cero de la función zeta, obtendremo reultado no triviale para el problema de lo primo conecutivo Lo que vamo a demotrar e que la hipótei de denidad / uponiéndola cierta implica p n p n pn, que e lo que e conoce como hipótei de lo primo conecutivo Nuetro proceder erá empezar probando un reultado algo má general para, poteriormente, deducir el nuetro como corolario En concreto vamo a ver que i N,T O T b para / y con b, entonce 454 e cierta para cualquier fijo, iempre que / b Si para h e cumple 453 y uponemo que en el intervalo, h

115 no hay primo, entonce tenemo por un lado que h log p p h m m m / m log p p h log m m log m m /m / m p h / m { h / m / m } log { h } log h o h Con eto llegamo a una contradicción, ya que por 453 abemo que h h Terminaremo i coneguimo demotrar que eto e cumple para todo h tal que h / b A partir de la fórmula 455 tenemo (456) h h T h O log T Llamaremo S al egundo umando de la anterior igualdad Cada uno de lo umando de S e pueden acotar de la iguiente manera:

116 h h y dy h Para aprovechar la información que tenemo obre lo cero dividimo la uma egún u parte real De eta forma y teniendo en cuenta la anterior acotación h S T T N T log u log du T log u X, u du, donde X a,b u e la función caracterítica del intervalo a, b Metiendo la uma dentro de la integral y teniendo en cuenta que N u,t X, u T no queda h S N T log u N u,t du Ahora uaremo el hecho de que la función zeta (referire a la ección X) no tiene cero en la región definida por A log log T log T Si definimo la función eta como el cociente anterior, e decir, mediante la fórmula T A entonce log log T log T,

117 N u,t u T { OT b u u T } Teniendo en cuenta la fórmula de Riemann von Mangoldt identidad 44 obtenemo T S N T O log T b b h T O T log T O log T b T Tb Sutituyendo eto en 456 reulta h h O h T log T Tb T { } O h log O log T Eligiendo T con / t, lo do primero término on o con lo que h h o h i h Para terminar mencionaremo que Cramer, baándoe en argumento probabilítico, conjeturó algo mucho má fuerte: en concreto y ' El propio Cramer demotró que, aumiendo la hipótei de Riemann, e llega a probar /, ' y parece er que no e puede ir má allá A partir de ete punto la hitoria e complica con aportacione de Selberg ( cómo no!), Hoheiel, Heilbronn, Iwaniec y otro

118 APÉNDICE Comparar con el apéndice que tiene [J] A Introdución En ete apéndice, para comodidad del lector, preentamo una erie de reultado auiliare que e uan en el preente trabajo y que hemo coniderado adecuado incluir como referencia rápida Para epoicione detallada, demotracione completa o ampliación de detalle, e incluyen alguna referencia bibliográfica El orden en el que e eponen lo tema en ete primer apéndice e en el que pueden er neceitado i eguimo un orden lineal en la lectura del trabajo Pero tampoco ería deaconejable empezar leyendo el preente trabajo por ete apéndice para refrecar alguno teorema e ir acotumbrándono a la notación Lo tema tratado on algo dipare, pero fundamentalmente tratamo teoría de variable compleja, teoría de Fourier, alguna fórmula de umación y alguno teorema relativo a órdene de funcione y acotacione A Tranformada de Fourier y Sumación de Poion Hemo uado a lo largo de ete trabajo la teoría de tranformación de Fourier y la fórmula de umación de Poion Recordaremo brevemente alguna de la fórmula y teorema que e han uado y recomendando al lector la referencia Dym y McKean para una epoición completa de eto reultado Dada una función integrable, f L ℝ, u tranformada de Fourier e define mediante la fórmula

119 f y (A) i y f e d ℝ y la invera de dicha tranformación, e decir, la invera de la tranformada de Fourier e f y (A) f e i y d ℝ Con repecto al comportamiento en el infinito tenemo el teorema de Riemann Lebegue, que no dice que la tranformada tiende a cero Má concretamente tenemo que i f L ℝ entonce lim f y (A3) y Una de la identidade que con má frecuencia e utilizan en el análii de Fourier e la que no relaciona cómo cambia la norma de una función al hacer u tranformada Cuando e trata de funcione uficientemente regulare por ejemplo perteneciente al epacio L la norma L no varía Eto e lo que afirma la identidad de Plancherel: (A4) f d f y dy ℝ ℝ Otra identidad de ete tipo, pero de naturaleza completamente diferente, e la conocida como fórmula de umación de Poion: (A5) f m f m m ℤ m ℤ Hay que obervar que toda eta igualdade no on válida para cualquier función, ino que etán limitada a u repectivo conjunto, que dicho ea de pao no e en general nada encillo encontrar cuále on y cómo e definen

120 Ademá, eta identidade admiten generalizacione a epacio de dimenión uperior La demotración de la fórmula de umación de Poion e encilla e ingenioa y no no reitimo a no incluir aquí lo pao eenciale Dada una función f uficientemente regular, e decir, tan regular como neceitemo para que lo pao que hagamo a continuación ean correcto, hay do forma inmediata de aociarle una función periódica de período : i m (A6) F f m y G f m e m ℤ m ℤ La fórmula de umación de Poion e conecuencia de la identidad FG Para ver eta última igualdad tendríamo que uar la unicidad del dearrollo de una función periódica en una erie trigonométrica Tenemo por definición (comparar con A) que el m éimo coeficiente de Fourier, i conideramo el intervalo [,], e (A7) f m f e i m d [,] Sutituyendo en la identidade A6, uando A7, que FG y haciendo la variable obtenemo el reultado Una ecelente referencia para eto tema, en la que adema podemo encontrar una demotración del teorema de lo número primo, e el libro de Dym y McKean [X] A3 Sumación de Abel La fórmula de umación de Abel no permite repreentar relacionar erie e integrale y e muetra como una herramienta muy útil debido al hecho de que en general no erá má encillo tratar con integrale que con uma Empezaremo eta ección definiendo la denominada funcione aritmética,

121 que on la que no van a interear para la fórmula de Abel: on aquella que etán definida obre lo entero con valore en lo reale o en lo complejo Sea a n una función aritmética y una función con derivada continua definida en [, [ Definimo la uma de a n hata el punto mediante la fórmula: (A3) A a n n La fórmula de Abel la encontramo a continuación: (A3) n a n n A At ' t dt Si no omo epecialmente quiquilloo podemo afirmar que lo que tenemo e eencialmente una fórmula de integración por parte La demotración e batante encilla y no la incluimo únicamente por motivo de brevedad Puede conultare una prueba completa junto con alguna aplicacione y aclaracione adicionale en la referencia [C] A4 Fórmula de Inverión de Möbiu En lo iguiente párrafo enunciamo y demotramo la fórmula de inverión de Möbiu; daremo también alguna eplicacione e interpretacione adicionale Eencialmente el contenido que preentamo etá tomado de la ección 9 del capítulo de la referencia [E] La fórmula de inverión de Möbiu e encillamente la tranformada invera de la fórmula del producto de Euler p (A4) p

122 en el entido que eplicamo a continuación El operador uma que aigna a cada función f la erie f n n y que tuviee como alida puede er invertido al componerlo con el operador que aigna a la función f la imagen f f p y que tuviee como alida p Por otro lado, la fórmula (A4) p n n p n no muetra que la compoición de lo operadore f f f p puede er ecrito en la forma f n f n n donde m e la función de Möebiu que viene definida por la fórmula: k m i m e el producto de k primo ditinto cuando tenga algún divior cuadrado { } iendo Podemo ecribir la fórmula de inverión de Möbiu de la iguiente forma, que e la que hemo uado para la función zeta de Riemann (A43) g f n n f n gn n A5 Propiedade de la Función Gamma

123 Para completar ete apéndice de referencia y hacer el trabajo lo má autocontenido poible, incluimo en eta ección alguna propiedade báica de la función Gamma La definición uual, que e la que dimo en el capítulo primero, e a partir de la integral de Euler (A5) t e t dt que e válida únicamente para ℜ La fórmula de Weiertra (A5) e [ n e n n ] donde e la contante de Euler, no permite etender la definición a todo el plano complejo Ademá, vemo en A5 que la función gamma no e anula nunca y tiene polo imple para,,, La función gamma ha ido etudiada ampliamente y e conocen hoy en día una gran cantidad de ecuacione funcionale que on válida para ella Entre eta ecuacione detacamo la iguiente: (A53) (A54) (A55) in Eta última e conoce como fórmula de duplicación de Legendre Combinando eta tre última identidade no queda

124 (A56) co Con eta última igualdad e obtiene la forma antiimétrica de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann: (A57) co Una fórmula aintótica intereante e la debida a Stirling, válida egún para lo ángulo arg, para todo fijo:, log log (A58) log donde, e decir que el orden en la aproimación e O De forma trivial, y en la mima hipótei, e verifica también que: (A59) ' log O A6 Tre Teorema de Cauchy El nombre de Cauchy etá aociado a tre teorema fundamentale dentro de la variable compleja El primero de ello, conocido implemente como teorema de Cauchy, afirma que i tenemo una función analítica f z en un dominio D implemente coneo y una curva cerrada C totalmente contenida en el

125 dominio, entonce (A6) f z dz C El egundo e la llamada fórmula integral de Cauchy E una fórmula muy notable que muetra que lo valore que toma una función analítica en el contorno de un dico determinan por completo lo valore de la función en el interior del dico En concreto, i tenemo una función analítica f z en el dico z R y llamamo C a la circunferencia z R, iendo z un punto cualquiera tal que z, entonce (A6) f z i f d z C A continuación enunciamo el teorema de Morera, que e un recuro etraordinariamente útil para demotrar la analiticidad de una función ya que, normalmente, e má encillo demotrar la eitencia de una integral que la de una derivada Supongamo que tenemo una función f z continua en un dominio D y que ademá verifica f z dz C para todo triángulo C que eté contenido en dicho dominio D, entonce la función f z e analítica en dicho dominio Detacamo el hecho de que no le etamo imponiendo ningún tipo de retricción al dominio Incluir Ppio del módulo máimopág 49 y 5 del libro Levinon Redheffer Depué del tercer teorema de Cuachy El tercero de lo teorema de Cauchy a lo que no referíamo anteriormente e el conocido como teorema de lo reiduo de Cauchy En cierto entido e una generalización del teorema de Cauchy enunciado en primer lugar, ya que

126 no da el reultado del cálculo de la integral A6 para el cao epecial en el que la curva cerrada que conideremo contenga alguna ingularidad, e decir, iempre que la función deje de er analítica con ingularidad de tipo polo en el dominio delimitado por la curva cerrada que conideremo El teorema dice que i tenemo una función analítica f z en un dominio D que ea implemente coneo ecepto en un número finito de punto j en lo que f puede tener ingularidade ailada, y i C e un contorno de Jordan curva cerrada y imple que no paa por ninguna de la ingularidade, entonce (A63) f z dz i Re f z, j j C La notación Re f z, j repreenta el reiduo de la función f z en el punto z j Vamo a repaar brevemente a continuación do manera de calcular lo reiduo de una función dada, f z, en un punto z Para ampliar eta ección no ólo la parte de reiduo, ino lo reultado de variable compleja en general recomendamo la referencia [L] En primer lugar tenemo la propia definición: coincide con el primer coeficiente de la parte principal (eto e, la parte ingular, la que aporta polo, la que tiene potencia de eponente negativo) del dearrollo en erie de Laurent de la función E decir, que tendríamo que calcular el dearrollo en erie de Laurent de la función y quedarno con el primer coeficiente Se ha convertido en notación etándar, por imilitud con lo dearrollo en erie de Taylor, el repreentar a ete coeficiente por a Como egundo método para el cálculo de reiduo, cao de que la función e puede repreentar como el cociente de otra do que ean analítica, e decir, f z g z h z,

127 y el polo ea imple, podemo calcularlo directamente uando la fórmula (A64) a g h ' Si el orden del polo e m, eite una fórmula que generaliza a la anterior: (A65) a d m m! d z m m [ z j f z ] z Eta fórmula on uficiente para la mayoría de lo cao que e no preentan a lo largo del preente trabajo Un apecto muy intereante del teorema de lo reiduo de Cauchy e la poibilidad de utilizarlo para obtener información acerca del número de cero que una función analítica puede tener en el interior de un cierto dominio Si en lugar de una función analítica conideramo una función meromorfa analítica alvo en una cantidad finita de punto donde puede tener polo, pero no ingularidade eenciale obtendremo información acerca del número de cero meno el de polo, e decir, podríamo interpretar lo polo como cero de multiplicidad negativa La intencione comentada en el párrafo anterior la llevamo a cabo en el iguiente teorema: empecemo coniderando una función meromorfa f z en un dominio implemente coneo D que contiene a un contorno de Jordan C, y upongamo que ninguno de lo polo ni de lo cero de la función e encuentran obre el contorno de Jordan Sea N el número de cero y P el número de polo que la función tiene en el interior del contorno, contándoe cada uno de acuerdo a u multiplicidad, entonce (A66) i ff 'zz dz N P C El teorema que acabamo de comentar, enunciado en la forma que encontramo

128 má adelante A67, e lo que e conoce como principio de variación del argumento: i conideramo la imagen por f z del contorno C, no queda que la integral anterior podemo interpretarla como el número de vuelta que dicha curva (la tranformada) da alrededor del origen de coordenada del plano complejo tranformado (eencialmente obtenemo que la integral anterior e el logaritmo obre una curva cerrada) Epreado en una fórmula: (A67) N P { arg f z }C A7 Funcione Entera de Orden Finito Dada una función entera f z diremo que e de orden finito i crece meno rápidamente que que la eponencial de una potencia, e decir, i eiten do contante poitiva C y tale que f z C e z En ete cao definimo el orden de la función por la iguiente fórmula: (A7) f z inf { C con f z C e z } El teorema en el que etamo intereado e el denominado teorema de factorización de Hadamard Eencialmente viene a decir que toda función entera de orden finito puede er epreada como producto de u raíce añadiendo, quizá, una eponencial, e decir que podemo ecribirla de la iguiente manera (A7) k f z z e g z n { z an z z e an an z k an donde g z e un polinomio de grado menor o igual a k [ ] k },

129 Lo que a nootro no interea en ete trabajo e ver cómo aplicar ete teorema a la función zeta de Riemann Empezamo por enunciar in demotración la iguiente fórmula, debida a Stirling, n n (A73) n! n e n O n directamente deducimo a partir de ella, in má que tomar logaritmo: (A74) log N! N log N N O N Se puede conultar la demotración en el capítulo de la referencia [C] A partir de A74 e encillo ver que log log log (A75) integral que acotamo para ℜ (A76) [ u ] u / u [u ] u / u du, de la iguiente manera: du u [ v ] v / dv u du du u Tenemo pue que la función e entera de orden, aí que aplicando el teorema de factorización de Hadamard no queda

130 e a b e donde hemo llamado a lo cero de la función Hay varia demotracione del teorema de Hadamard, la que encontramo en [C] e debe a Landau y hace uo de lo teorema de Borel Caratheodory y Lindelöf, ademá de la fórmula de Stirling A8 Fórmula de Jenen La fórmula de Jenen no relaciona el número de cero de una aplicación analítica contenido en un círculo con la propia función En eta ección vamo a ver tre enunciado que no on equivqlente entre í aunque í etán relacionado de la fórmula de Jenen En primer lugar upongamo una función holomorfa f que eté acotada en el dico z R, e decir, f z M Supongamo ademá que tiene n cero en la corona z r R y que f, entonce (A8) R n r M f Aunque etá claro por la hipótei, obervamo que M e el máimo de la función en el dico coniderado Por el principio del módulo máimo (podemo encontrar un enunciado en la ección A6 de ete mimo apéndice) abemo que éte e alcanza en la frontera, de forma que podemo enunciar el teorema de Jenen de la iguiente manera: ea f una función analítica en z z R y f z Si m e el número de cero de f en el círculo z z r, r R, entonce tenemo la

131 etimación (A8) R ma f z m r z z R f que e la que hemo aplicado en la ección 3 Otra foma útil de enunciar el teorema de Jenen e la iguiente: upongamo, como ante, una función f analítica en el dico z R, in cero en la circunferencia z R y con lo cero { z, z,, z n } dentro del dico que dicha circunferencia delimita (donde cada cero etá incluído tanta vece como indique u multiplicidad) Supongamo también, como ante, que la función no e anula en el cero, entonce (A83) log f R R z z R zn log f R e i d La demotracione completa de la do primera forma del teorema de Jenen e pueden encontrar en [C], mientra que eta última e puede conultar en [E]

132 APÉNDICE Aquí viene el original de Riemann

133 BIBLIOGRAFÍA La bibliografía neceito reviarla entera [A] American Intitute of Mathematic, The Riemann Hypothei Eite una copia diponible en la dirección de Internet X [C] J Cilleruelo y A Córdoba La teoría de lo Número Mondadori 99 [C] Conrey, J B, The Riemann Hypothei Eite una copia diponible en la dirección de Internet X bucar Notice of the AMS [E] H M Edward, HM, Riemann' Zeta Function, [G] Growald, Emil, Topic from the Theory of Number, ed, Birkhäuer, Boton, Bael, Stuttgart, 984 [H] Hardy, GH, Sur le Zéro de la fonction de Riemann C R Acad Sci Pari 58, 4 (94) [H] Hardy, GH y Littlewood, JE, The zero of Riemann' zeta function on the critical line Math Z, (9) [H3] Hein, M Comple Function Theory, Academic Pre, New York and London, 968 [J] Jacobi, CGJ, Suite de Notice ur le fonction elliptique, J Reine Angew Math 3, 33 3 (88) También en Werke, Vol, pp [J] Jorge Jiménez Urroz La Función Zeta de Riemann; Conjetura Memoria UAM [L] Lehmer, DN, Lit of prime number from to 67 Publ Nº 65,

134 Carnegie Int of Wahington, Wahington, DC, 93 (hay una reimpreión por Hafner, New York, 956) [L] Levinon, N, Redheffer, R M, Curo de Variable Compleja, Editorial Reverté, SA, Barcelona, 99 [L3] Littlewood, JE, The Quicket Proof of the Prime number Theorem, Acta Aritmetica 8 (97), 83 86, (en Collected Paper, Vol ) [M] Baker, M, Clark, D, The Prime NumberTheorem Se puede decargar del itio de Internet [P] Perry, J, Riemann' Hypothei Puede er decargado dede la dirección de Internet riemannhypothei/riemannhypothe [P] Peteren, BE, Prime Number Theorem Verión parcialmente reviada en de [P3] Puede decargare en formato PDF dede el itio de Internet [P3] Peteren, BE, Prime Number Theorem Verión 996 Puede decargare en formato PDF dede el itio de Internet [R] Rademacher, H, Topic in Analytic Number Theory, pringer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 973 [S] Selberg, A, On the zero of Riemann' zeta function Skr Norke Vid Akad Olo No (94)

135 Hay que meter un buen libro de referencia obre teoría de Fourier: Dym y McKean Meter el libro de Titchmarh