Pequeñas Oscilaciones Aux: Francisco Sepúlveda P. Una partícula de masa m desliza con roce despreciable sobre la supercie interior de un cono invertido como se indica en la ura. La eneratriz del cono forma un ánulo α con la dirección vertical. a) Escriba las ecuaciones de movimiento de la partícula con respecto a un sistema jo. b) Determine la distancia radial 0 en la cuál la partícula se mantiene en un movimiento circular horizontal con rapidez v 0. c) perturbe lieramente el movimiento anterior en la dirección de la eneratriz del cono y determine el periodo de las pequeñas oscilaciones que se eneran, ya sea en la altura z sobre el vértice del cono o en la distancia al eje del mismo.... Solución a) Usando coordendas cilíndricas tenemos a = ( θ )ˆ + d dt ( θ)ˆθ + zˆk las fuerzas involucradas son F = N + m = (N sin α m)ˆk N cos αˆ por lo que las ecuaciones de movimiento de ˆ, ˆθ, y ˆk son, respectivamente m( θ ) = N cos α () m d dt ( θ) = 0 () m z = N sin α m (3) b) De () se tiene que θ = cte = 0 θ0 = 0 v 0 θ() = ( 0 v 0 ) (4) Para el movimiento circular, debemos tener z = cte ż = z = 0, entonces
N sin α = m (5) ademas = 0 = cte = = 0. por lo que la ecuación de movimiento de ˆ queda como N cos α = m 0 θ usando (4) y (5) se tiene = 0( v 0 0 ) 0 = v 0 c) Busquemos una ecuación de movimiento para. Por eometría se tiene que reemplazando esto en (3) se tiene que z = z = () sin α + (6) cos α m = N sin α m (6) usando (4) se tiene que m( θ ) sin α + m cos α sin α = m cos α ( sin α + cos α ) ( 0 v 0 ) sin α = cos α (7) sin α 3 nalmente, la ecuación de movimiento para es ( 0 v 0 ) sin α + sin α cos α = 0 3 dado que tenemos un término no lineal, lo que haremos será linealizar ese termino en torno al radio de equilibro 0 3 3 0 3 4 0 ( 0 ) = 3 4 0 + 4 3 0 reemplazando lo anterior en la ecuación de movimiento para, + 3( 0v 0 ) sin α = constantes 4 0 y vemos que se tiene la ecuación del oscilador armonico, por lo que la frecuencia anular es, usando el resultado de la parte b) ω = 3 v 0 sin α = ( v 0 ) 3 cos α v 0
3 y nalmente, usando el resultado obtenido en la parte a) T = πv 0 3 cos α Otra forma alternativa de hacer este problema es con enería. En efecto pero E = m + m θ + m ż + mz y además z = ż = θ = ( 0 v 0 ) por lo que reemplazando estos dos términos en la ecuación de la enería se tiene E = m + m ( 0 v 0 ) 4 + m E = m csc α + m( 0v 0 ) lueo, se tiene que el potencial efectivo es U eff () = m( 0v 0 ) tan α + m + m + m lo que queremos es construir la ecuación del oscilador desde la expresion de la enería mecánica. Dado que la enería es constante, se tiene que de = 0, por lo que derivando temporalmente la dt expresión de la enería se tiene 0 = m csc α + U eff + U eff m csc α como se puede apreciar, esta ecuación aún no toma la forma de la ecuación diferencial de un oscilador armónico: falta hacer aparecer un polinomio de orden en. Para esto, expandemos en serie de taylor la derivada parcial del potencial efectivo a primer orden. Esto es U eff = U eff( 0 ) = 0 + U eff ( 0 ) ( 0 ) como estamos en un punto de equilibrio, sabemos que el primer término de nuestra expansión en serie de Taylor es nulo. Por lo tanto U eff = U eff ( 0 ) ( 0 ) lueo, si reemplazamos este resultado en nuestra ecuación de movimiento para se tiene que
+ U eff ( 0 ) + m csc α [ ( 0 )] = 0 U eff ( 0 ) = m csc α m csc α U eff ( 0 ) 0 = cte y aquí podemos ver ya la ecuación del oscilador armónico, donde se tiene que la frecuencia anular es pero ω = U eff ( 0 ) m csc α U eff = m( 0 v 0 ) 3 + m U eff = 3m( 0 v 0 ) 4 envaluando en 0 = v 0 U eff ( 0 ) = 3mv 0 0 = 3m v 0 tan α por lo que la frecuencia anular y el periodo de pequeñas oscilaciones es ω = m csc α [ 3m v 0 tan α ] = 3 cos α v 0 T = πv 0 3 cos α P. Considere un cuerpo en el espacio, cuya masa M está uniformemente distribuida en forma de un anillo de radio R. Una partícula de masa m se encuentra atrapada por la fuerza de atracción ravitacional que ejerce este cuerpo anular, moviendose a lo laro de la linea recta perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro (ver ura). Para este caso, considere M m. a) Demostrar que la fuerza de atracción ravitacional que el anillo ejerce sobre la partícula tiene la expesión: F (z) = GMmz (R + z ) donde la coordenada z y ˆk se indican en la ura. b) Si la partícula se libera desde el reposo en z = R, calcule su velocidad cuando cruza el plano del anillo (z = 0). c) Si la partícula estuviera en reposo en la posición de equilibrio (z = 0), calcule el periodo de las oscilaciones que se producen al dar un pequeño impulso a la partícula en dirección perpendicular al plano del anillo. Hint: Calcule la componente de la fuerza de atracción en la direccion ˆk enerada por un elemento diferencial de masa dm del anillo, y lueo intere sobre el anillo para calcula la fuerza total de atracción. 3/ ˆk
5... Solución a) Si consideramos un diferencial de masa dm del anillo, el diferencial de fuerza que que siente la partícula es d F = Gm(dM) (R + z ) ˆr donde ˆr es un vector unitario que apunta desde dm hasta m. coordenadas cilíndricas, tiene la forma Este vector, si consideramos por lo tanto R ˆr = R + z ˆ + z ˆk R + z F = M Gm dm ˆr (R + z ) notemos que la componente radial del diferencial de fuerza d F tiene su antaonista por la acción de una fuerza causada por un dm que se encuentra diametralmente opuesto al que consideramos. Lueo, la fuerza neta radial se anula, por lo que solo nos queda considerar la componente vertical. F = M b) Por seunda ley de Newton Gmzˆk (R + z ) GmMz dm = 3/ (R + z ) F (z) = GMmz (R + z ) z = GMz (R + z ) 3/ usando rela de la cadena y separación de variables 3/ ˆk 3/ ˆk pero por lo tanto ż (z = 0) ż(z=0) 0 żdż = GM 0 R zdz (R + z ) 3/ zdz (R + z ) = 3/ (R + z ) / = GM[ R R GM ] ż(z = 0) = ± R [ ]
6 Finalmente v(z = 0) = GM R [ ]ˆk c) De la ecuación de movimiento se tiene que m z = F (z) donde F (Z) es no lineal. Si linealizamos en torno a z = 0 se tiene que F (z) F (0) + F (z = 0)z F (z) F (z = 0)z si reemplazamos este resultado en la ecuación de movimiento z F (0) m z = 0 donde se aprecia la ecuación del oscilador si F (0) < 0. de aqui se desprende que busquemos F (0). ω = F (0) m T = π F (0) m F (z) = GMmz (R + z ) F (z) = GMm d 3/ dz ( z (R + z ) ) 3/ d dz ( z (R + z ) ) = (R + z ) 3/ 3 (R + z ) / (z)z 3/ (R + z ) 3 F (0) = GMm( R3 R 6 ) reemplazando en la fórmula del periodo se tiene que T = π R 3 GM