MATERIA: ÁLGEBRA LINEAL CÓDIGO: 08091 REQUISITOS: Algebra y Funciones (08272), Lógica y Argumentación (08273) PROGRAMAS: Ingenierías, Química. PERÍODO ACADÉMICO: 2017-2 INTENSIDAD HORARIA: 4 Horas por semana CRÉDITOS 3 1 OBJETIVO GENERAL: Como resultado de aprobar este curso, el estudiante podrá utilizar el Álgebra Lineal en la solución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales, álgebra matricial, valores y vectores propios y transformaciones lineales. Igualmente, habrá fortalecido su competencia para entender demostraciones de resultados matemáticos y su capacidad de argumentación formal. 2 OBJETIVOS TERMINALES. Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de: 2.1 Definir los elementos necesarios para construir y solucionar modelos matemáticos que involucren sistemas de ecuaciones lineales. 2.2 Determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene o no tiene solución. 2.3 Utilizar las técnicas propias del Álgebra Lineal para manipular matrices, sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales, valores y vectores propios, y resolver problemas básicos que involucren estos conceptos. 2.4 Identificar la estructura de espacio vectorial de y sus propiedades. 2.5 Identificar transformaciones lineales típicas, a partir de su definición vectorial o de su representación matricial, y utilizar esta última representación para resolver problemas que las involucran. 2.6 Identificar las hipótesis y la conclusión de resultados básicos de Álgebra Lineal, analizarlos y argumentar con base en dichos resultados, sobre posibles soluciones a problemas de carácter teórico. 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA. NOTA: Para todas las unidades del curso se espera que el estudiante alcance el objetivo específico de: proponer o reproducir la demostración de algunos resultados básicos de la unidad. 3.1 UNIDAD 1: Los Sistemas de Ecuaciones Lineales y las Matrices. 3.1.1 Identificar un Sistema de Ecuaciones Lineales (S.E.L) y escribir su matriz asociada. 3.1.2 Entender el concepto de solución de un sistema de ecuaciones lineales. 3.1.3 Utilizar el método de eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones lineales dado. 3.1.4 Reducir una matriz a su forma escalonada o escalonada reducida utilizando operaciones elementales por fila. 3.1.5 Entender el concepto de matriz inversa y su relación con el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales cuadrado.
3.2 UNIDAD 2: Determinantes. 3.2.1 Identificar el determinante como un número real único asociado a cada matriz cuadrada. 3.2.2 Calcular el determinante de una matriz cuadrada utilizando operaciones elementales por fila. 3.2.3 Asociar el valor del determinante con la existencia de la matriz inversa y su relación con la solución del sistema de ecuaciones lineales asociado. 3.3 UNIDAD 3: Vectores en 3.3.1 Ubicar puntos en el espacio utilizando coordenadas cartesianas. 3.3.2 Realizar operaciones básicas (suma, resta, multiplicación por escalar, producto punto) con vectores en el plano y en el espacio, utilizando tanto el método geométrico como el método analítico. 3.3.3 Calcular el producto cruz entre dos vectores dados en. 3.3.4 Utilizar las propiedades algebraicas y geométricas tanto del producto punto como del producto cruz para simplificar cálculos con estas operaciones y aplicarlos al cálculo del área de un triángulo o el volumen de un paralelepípedo. 3.3.5 Determinar cuándo un par de vectores dados son paralelos o perpendiculares.. 3.3.6 Resolver problemas típicos de rectas y planos en. 3.4 UNIDAD 4: Espacios Vectoriales Reales. 3.4.1 Identificar las propiedades que caracterizan a como espacio vectorial. 3.4.2 Verificar las propiedades de espacio vectorial en conjuntos conocidos (clásicos), como matrices y polinomios, con las operaciones usuales. 3.4.3 Identificar bajo qué condiciones un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial del mismo. 3.4.4 Identificar bajo qué condiciones un subconjunto dado de o de un espacio vectorial clásico es linealmente independiente, subconjunto generador o una base del espacio vectorial. 3.4.5 Identificar cuándo un subconjunto de o de un conjunto clásico es ortogonal u ortonormal 3.4.6 Formular y entender el problema de los mínimos cuadrados. 3.4.7 Estudiar los espacios más relevantes asociados a todo subespacio vectorial: rango y espacio nulo. 3.5 UNIDAD 5: Valores y Vectores Propios. 3.5.1 Calcular los valores y sus vectores propios asociados de una matriz cuadrada. 3.5.2 Identificar las condiciones bajo las cuales una matriz cuadrada es diagonalizable. 3.5.3 Dada una matriz cuadrada diagonalizable, utilizar sus vectores propios para construir una base ortonormal de. 3.5.4 Encontrar una matriz diagonal semejante a una matriz diagonalizable dada. 3.5.5 Identificar y construir una forma cuadràtica en. 3.6 UNIDAD 6: Transformaciones Lineales. 3.6.1 Determinar cuándo una función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. 3.6.2 Identificar y diferenciar los espacios vectoriales asociados a una transformación lineal: dominio, núcleo e imagen. 3.6.3 Calcular el núcleo y la imagen de una transformación lineal dada. 3.6.4 Determinar si una transformación lineal dada es biyectiva (isomorfismo). 3.6.5 Reconocer y usar los isomorfismos entre y los espacios vectoriales clásicos de dimensión finita: los polinomios y las matrices. 3.6.6 Encontrar la matriz de una transformación lineal dada.
4 CONTENIDO. El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a este programa. 5 METODOLOGIA. 5.1 El enfoque: En concordancia con los propósitos de la universidad, en el desarrollo de este curso se considera que el aprendizaje es el resultado de un proceso de construcción del conocimiento, que tiene como centro al estudiante y como guía al profesor. Este enfoque se concretará en la práctica con el aprovechamiento de los resultados del estudio previo hecho por los estudiantes, como elemento generador de preguntas, discusiones y conclusiones. 5.2 La discusión en clase: La discusión, orientada por el profesor es el elemento central en la metodología del curso. Se fundamenta en el estudio preliminar de las secciones asignadas, en las preguntas de los estudiantes y en sus respuestas a sus preguntas y a las del profesor, que alimenten el proceso de aprendizaje activo. El profesor interviene esencialmente como guía y moderador de las discusiones, y se encarga de hacer la síntesis final para socializar el conocimiento consolidado en clase y de indicar al estudiante la labor que debe realizar como preparación para la clase siguiente y los objetivos que debe alcanzar como parte de tal preparación. 5.3 Las actividades del estudiante: Para el logro de los objetivos de aprendizaje el estudiante debe desarrollar con total responsabilidad un conjunto de actividades antes, durante y después de la clase, así: Antes de la clase Realizar todas las actividades indicadas por el profesor para la preparación del tema de clase, hacer explícitas las dudas e inquietudes que le surjan como resultado de este proceso y preparar las preguntas que formulará durante la clase de presentación del tema, con el fin de resolver las dudas e inquietudes. Durante la clase: Participar activamente en las discusiones que se generen a partir de las preguntas formuladas por los estudiantes y por el profesor, y de las respuestas a las mismas. Igualmente, presentar las dudas e inquietudes que le surgieron al prepararse para esta clase, y discutir alternativas propias de solución de problemas, cuando las tenga. Después de la clase: Asegurarse de consolidar el nuevo conocimiento resolviendo ejercicios y problemas que en la fase de preparación no haya podido resolver, o que revisten mayor complejidad, y relacionándolo con conocimientos previamente adquiridos. 6 EVALUACIÓN. Preparación para la clase 15% Primer Parcial 20% Segundo Parcial 20% Examen Final 25% Todo el contenido del curso Pruebas cortas 20% Dos pruebas. NO HAY supletorio de pruebas cortas. EXAMEN FINAL: Noviembre 28 de 2017, 9:30 a 12:00 EXÁMENES SUPLETORIOS: Noviembre 04 de 2017, 9:30 a 12:00, (exámenes parciales) Diciembre 05 de 2017, 9:30 a 12:00, (examen final) OBSERVACIONES IMPORTANTES: Si un estudiante obtiene una calificación mayor o igual a 3.3 en el examen final y la nota final del curso así acumulada está entre 2.8 y 3.0, se asigna automáticamente 3.0 como nota final del curso. Si un estudiante obtiene una nota mayor o igual a 3.5 en el examen final, la nota de su examen parcial de menor calificación se promediará con la nota del examen final y, si es favorable, dicho promedio se asignará como nota de dicho parcial. BIBLIOGRAFIA. 1. Texto Guía: Álgebra Lineal. Bernard Kolman y David R Hill. Octava Edición. Pearson (Prentice Hall), 2006. 2. Álgebra lineal aplicada. Ben Noble Prentice Hall, 1989.
ÁLGEBRA LINEAL. PERÍODO ACADÉMICO 2017-2 S#: Sesión número. SAE: Sección del texto guía asignada al estudiante para la clase siguiente Ejercicios recomendados SAE Ejercicios recomendados para que S# TEMA para programar la discusión en clase (*1) el estudiante confronte su manejo previo de los temas. ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO DE LOS EJEMPLOS DE CADA SECCIÓN DEL TEXTO PRESENTACION DEL PROGRAMA 1.1 1.1: 3, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 27. 1 Preliminares sobre sistemas de ecuaciones Interprete el significado de T: 1,2, 1.2: 1, 3, 7, 9. T: 1, 4, 5. Sistemas de ecuaciones lineales. De 1.1: 2, 6, 16, 18, 22, 24. 1.3 1.3: 1, 5, 7, 11, 13, 19, 21, 31. T: T4. 3, 6, 7. 2 Matrices. De 1.2: 2, 10. 1.4 1.4: 1, 9, 13, 15. T: 10, 18, 20, 21, T : 4, 7. 23, 31. Producto punto y de matrices. (Hasta el ejemplo De 1.3: 4, 8, 15, 22, 34. 1.4 3 17) T: 1, 6, 10, 14. 1.4 Propiedades de las operaciones con matrices. De 1.4: 8, 16. T: 19, 24, 26, 27, 32. Propiedades de las operaciones con matrices. 1.4 1.6 1.6 1, 5, 7, 13, 15, 21, 23, 25, 29, 4 (Continuación) 35, 37, 39, 43, 45. T: 8, 12, 14. Solución de sistemas de ecuaciones lineales De 1.6: 10, 16, 18, 22, 24, Ejemplos 4 y 5 de 6.5 5 (Método de eliminación de Gauss) 38, 46, 54. 6 El rango de la matriz (# de pivotes) y su relación con el # de soluciones Relación entre soluciones de un sistema no homogéneo y el homogéneo asociado T: 5, 10, 11, 13. De 6.5: 21,22 1.7 1.7: 1, 5, 20, 22, 25. T: 1, 6, 8, 9. Análisis de soluciones (continuación) 3.1 3.1: 3, 9, 11, 13, 15, 17, 23. 7 La inversa de una matriz cuadrada (relación con De 1.7: 10, 15, 16, 18, 19, T: 6, 8, 12, 18. sistemas de ecuaciones) 24, 26. T: 3, 4, 7, 10 3.2 3.2: 3c, 5a, 15, 17. T: 3, 5, 10. Determinantes (definición y propiedades) De 3.1: 2, 8, 14, 16, 18, 22. 3.1 3.1 3.2 1 8 Desarrollo por cofactores. Propiedades (excluir T: 3, 9, 10, 15, 16. 3.2 regla de Cramer) De 3.2: 6, 16. T: 7, 8, 11, 12. 3.1 3.2 4.1 4.1: 3, 7, 14, 17, 19, 21, 29. 9 Determinantes (continuación) T: 3, 4, 5. 4.2 4.2: 7, 11, 13, 15, 17, 21, 27, 29, 30, 31. T: 5, 9, 14, 15, 16. 10 Vectores en el plano y en R n T: 6, 7, 8, 9. De 4.1: 4, 8, 13, 20, 26, 30. 4.2 4.2 De 4.2: 4, 6, 14, 16, 20, 28. T: 6, 8, 10, 11, 13. Vectores en R n (continuación). Énfasis en las De 4.2: 5.1 5.1: 1, 3, 7, 11, 13. 11 propiedades de las operaciones. T: 2, 3, 4. 12 Producto cruz en R 3. De 5.1: 2, 6, 12. T: 5, 6.7 Pruebas cortas 13 PRIMER PARCIAL (hasta sesión 11 ) 5.2 5.2: Todos los impares (**) 14 Rectas y planos De 5.2: pares b), 14, 18, 5.2 5.2 20, 22. T3 15 Rectas y planos (continuación) 6.1 6.1: 5, 6, 10 6.2 6.2: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 15. T: 1, 3 Definición y ejemplos de espacios vectoriales. De 6.1: 5, 6,10 6.1 6.1 6.2 16 (De 6.1 Ejemplos 1,4, 6, 7,8) (R n como espacio vectorial. Subespacios. Énfasis T: 1 al 6. De 6.2: 11, 14, 18, 24, 25 6.2 en significados geométricos) T: 2, 5, 7, 8 al 13
(De 6.2 Ejemplos 1, 2,4 al 7, 9 al 11, 13. Atención especial al ejemplo 9 y ejercicio T3) 17 Definición y ejemplos de espacios vectoriales 6.1 6.2 6.3 6.3: 1, 3, 5, 7, 10 T: 1, 3 (continuación) Independencia lineal De 6.3: 6, 12, 15. 6.3 6.3 18 (De 6.3 Ejemplos 1, 3 al 14) T:2, 7, 8(!), 9, 10, 13, 14, 15 6.4 6.4: 3, 5, 7, 12, 13 T: 1, 2, 4 Independencia Lineal (continuación) 6.3 6.4 19 Bases y dimensión (Teoremas. 6.5, 6.6, 6.7!) De 6.4: 2, 4, 8, 12, 13 6.7 6.7: ejemplos 1,2 y 3 T: 3, 4, 9, 12 y 13 Bases y dimensión (continuación). 6.4 6.6 6.6: 3, 5, 7, 13, 15, 19, 21. 20 De 6.7: 2, 4, 8,10 y discutir T: 4, 7, 10, 11. T: 2 al 4. (Coordenadas. NO se hace cambio de base) 21 Rango de una matriz y Aplicaciones De 6.6: 4, 6, 8, 14, 18, 6.8 6.8: 1, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21. T: 20, 22. T: 5, 6, 8, 9, 12. 1, 5, 6, 8. 22 Bases Ortonormales. El proceso de Gram- De 6.8: 2, 8, 12, 16, 18, 20. Schmidt T: 3, 9, 11. 23 SEGUNDO PARCIAL (hasta sesión 21 ) 6.9 Solo lo necesario para hacer mínimos cuadrados 24 Complementos ortogonales (solo la teoría 7.2 25 necesaria para hacer mínimos cuadrados ) Revisión de aplicaciones: Mínimos cuadrados De 7.2: Todos los ejemplos. Ejercicios: 1, 3, 9, 11, 15, 16, 17. T: 1, 2. 8.1 8.1: Ejemplos 1a 7. Ejercicios: 1, 9, 13, 15, 19, 21. T: 1, 2, 4, 8, 12. De 8.1: 2, 12, 16, 22. T: 5, 8.2 8.2: 5, 7, 9, 13, 15, 21, 23, 35, 39, 26 Vectores y valores propios. 7, 11, 13. 43. T: 4, 5, 8, 11. 27 Diagonalización. 28 Diagonalización de matrices simétricas De 8.2: 8, 10, 16, 22, 24, 36, 38. T: 9, 10, 12 De 8.3: 2, 8, 12, 18. T: 1, 7, 9, 10. 8.3 8.3: 1, 7, 9, 15, 16. T: 2, 4, 6. 9.4 9.4: Ejemplos 1 a 6 29 Revisión de aplicaciones: Formas cuadráticas De 9.4: 5, 6,8, 11 al 16 10.1 10.1: Teorema 10.3 y ejemplo 8 2 Ejercicios 1,3, 17, 18. T: 4, 7 10.2 10.2: 1, 3, 5, 11, 17, 19. T: 4, 5, De 4.3: 23, 24, 29, 30 10.2 30 Transformaciones lineales De 10.1: 5, 12, 19. 10.3 10.3: Ejemplos 1al 7. T: 8, 9, 11 Ejercicios 3, 5, 11, 17. T: 2, 3, 7 El núcleo y la imagen de una transformación De 10.2: 4, 12, 14, 20. lineal. T: 4, 7, 8, 9, 11(!) 31 Núcleo e imagen (continuación) Representación matricial de las transformaciones lineales. De 10.3: 6, 14, 16, 20 a) y b). T: 7, 9 32 Repaso (*1) En el desarrollo de la clase el profesor puede proponer ejercicios y ejemplos adicionales para apoyar y complementar el trabajo con el texto guía. El estudiante debe responder en cada clase, como mínimo, por haber estudiado los ejemplos de las secciones asignadas previamente. * Se excluye en todos los casos el estudio de aplicaciones al sistema binario. ** Se excluye en la sección 5.2 los ejemplos 1 y 7.