TRABAJO PRÁCTICO Nº : POLINOMIOS EJERCICIOS A DESARROLLAR Clase ) Dados los polinomios reales P(x) =.x ; Q(x) = 3x3 x + y los polinomios complejos R(x) = i.x ; S(x) = x + ( + i).x i, calcular: a) 3x. P(x) (x ).S(x) b) El coeficiente principal de Q (x) R 3 (x) c) El término constante de ( x ).S(x) +.i.p(x). 3 ) Calcular a, b, c R para que sean iguales los polinomios reales: a) P(x) = 3x + x y Q(x) = a.(x x ) + b.(x ) + c.(x 3x + ) b) S(x) = a.x 3 + 5x + b.x + 7 y T(x) = (a + b).(x + ) + b.x + 3) Sean los polinomios reales P(x) = x 3 + x + x + y Q(x) = x x, calcular: a) gr( P(x) Q(x)) b) gr( P(x) x Q(x)) c) gr( P 3 (x). Q (x)) ) Hallar el cociente y el resto de la división de P(x) por Q(x) utilizando la regla de Ruffini en los casos que sea posible: a) P(x) = x 5 + 6x + x 3 x + x 3 ; Q(x) = x + x b) P(x) = 5x 5 ; Q(x) = 3x 3 + x c) P(x) = x ; Q(x) = x + 3x 3 d) P(x) = x 3 8x + 5 ; Q(x) = x + 3 e) P(x) = x ; Q(x) = x 5) Demostrar : I) Si C(x) y R(x) son respectivamente el cociente y el resto de dividir P(x) por Q(x) en K[x], entonces si k 0, k K son C(x) y R(x) / k el cociente y el resto de dividir P(x) / k por Q(x) / k. II) Aplicar el resultado anterior para poder utilizar la regla de Ruffini y así calcular cociente y resto de dividir P(x) por Q(x) en los siguientes casos. Trabajo Práctico Polinomios Página
a) P(x) = 3x 3 + 3x + x ; Q(x) = 3x + b) P(x) = x + ; Q(x) = x 6) Determinar sin realizar la división si P(x) es divisible por Q(x): a) P(x) = x 3 x + x + 5 ; Q(x) = x b) P(x) = x 6 ; Q(x) = x + 7) Encontrar el valor de k de modo que: a) P(x) = kx x +5 3k sea divisible por Q(x) = x. b) P(x) = x 5 x 3 + k dé resto 0 al dividirlo por Q(x) = x + c) P(x) = ( + i).x 55 + ( + i).x 53 + k.x 5 + x.x 3 sea divisible por x + d) P(x) = x +.x 3.x + k.x 9 dé resto.x + 3 al dividirlo por x + 3.x 6. Si se pide que dé resto.x 0. Es posible determinar el valor de k? 8) Determinar a, b R para que el polinomio P(x) = x 3x 3 0x + a.x + b sea simultáneamente divisible por x + y x +. 9) Calcular el resto de dividir a un polinomio P(x) R[x], de grado n 3 por Q(x) R[x] sabiendo que las raíces de Q(x) son x =, x =, x 3 = y que P()=, P( )=, y P()=0. 0) Determinar el resto de dividir a (x ) n (x ) n + por (x ).(x ), con n N ) Sabiendo que el cociente de dividir x 6 - por x + es el polinomio C(x) = x 5 - x + x 3 - x + x, calcular todas las raíces de C(x). Clase ) Determinar P(x) en cada uno de los siguientes casos: a) P(x) R[x] tal que admita como raíces a 0 y y su coeficiente principal sea. b) P(x) Q[x] de menor grado que tenga por raíces a y 5. c) P(x) R[x] de menor grado tal que sea raíz de multiplicidad 3. d) P(x) C[x] de menor grado que tenga por raíces a + i y + i y su coeficiente principal sea i +. e) P(x) Q[x] de menor grado que tenga por raíces a 5, i y cuyo coeficiente principal sea -. Trabajo Práctico Polinomios Página
f) P(x) Q[x] de menor grado que admita por raíces a +, i y verifique que para P() = g) Determinar P(x) C[x] de menor grado posible tal que P(i) = 0 y P() = + i h) Determinar P(x) Q[x] tal que P(5) = 0 y P(i) = 0 3) a) Construir un polinomio P(x) R[x] de menor grado posible tal que P()=P()=P(3)= y P(0) = 0 b) Construir un polinomio P(x) Q[x] de menor grado posible tal que P(i) =P( 3 )= y P(0) = 0 ) Calcular todas las raíces de P(x) = x 3 + 6x 7 9 x + sabiendo que es el poli- nomio derivado de Q(x) = (x + ).(x ).(x ) 5) Cuál es la multiplicidad de como raíz de P(x) = x n nx + n, (n N, n > )? 6) Hallar a y b tales que sea raíz doble de P(x) = + bx + ax +x 3. 7) Encontrar todos los a R tal que sea raíz de multiplicidad 3 del polinomio P(x) = x 5 6x + x 3 ax x + a 8) Hallar todas las raíces de de P(x) = x 3 3 x + x 3 sabiendo que tiene una raíz común con Q(x) = x 3 + x 3x 3. Clase 3 9) a) Determinar P(x) de menor grado posible que tenga coeficiente principal y admita a 3, e i por raíces. Escribir su expresión algebraica en C[x], en R[x] y en Q[x]. b) Determinar un polinomio P(x) divisible por x +, que verifique P()=P( )=0 y que sea mónico. Escribir su expresión factorizada en C[x], en R[x] y en Q[x]. 0) Determinar P(x) en cada uno de los siguientes casos: a) P(x) R[x] de menor grado que tenga por raíces a 3 e i (doble). b) P(x) Q[x] de menor grado que tenga por raíces a 3 e i (triple) ) Si las raíces de P(x) = x 3 + 3x + x + son a, b y c. Calcular: Trabajo Práctico Polinomios Página 3
a) a + b + c c) a - + b - + c - b) a + b + c d) a bc + b ac + c ab ) Determinar r, r y r 3 raíces de P(x) = x 3 x + 0x sabiendo que r = r y r = r 3. 3) Si P(x) = 6x + x 3 + k + 3x hallar el valor de k para que una de sus raíces sea el doble de la otra y las tres raíces sean enteras. ) Determinar raíces racionales de los siguientes polinomios: a) P(x) = x 3 6x + 5x b) P(x) = x + x 3 x + x c) P(x) = 3 x 3 x + d) P(x) = x 6 + x 5 3 x 9x 3 9 + x + x e) P(x) = x 3 + x 3 + x x 6 3 f) P(x) = x x g) P(x) = x x x 3 + x 5) a) Dado P(x) = x x 3 x +6x 6 comprobar que no tienen raíces racionales. b) Sabiendo que i es raíz hallar las restantes. 6) Dado el polinomio P(x) = (m )x + (m 3)x m + 8. Hallar para que valores de m R con m. a) Las raíces son opuestas. b) Las raíces son inversas. 7) Sabiendo que P(x) = x 3 + 3x + qx + 3q (q R) tiene dos raíces cuya suma es cero, calcular todas las raíces en función de q. Para qué valores de q son todas las raíces reales? Trabajo Práctico Polinomios Página
8) Determinar P(x) R[x], de grado cuatro y de raíces complejas no reales x, x, x 3 y x cuya suma es, sabiendo que x. x = y x + x =. Clase 9) Discutir para distintos valores de m R la naturaleza de las raíces del siguiente polinomio: P(x) = x (m )x + m + 30) Determinar todas las raíces de los siguientes polinomios: a) P(x) = x 3 b) P(x) = ( + i).x i c) P(x) = 6x d) P(x) = x + 5 e) P(x) = x + x f) P(x) = 3x x g) P(x) = bx ax a b ( a, b R b 0 ) h) P(x) = x (3 + i)x + ( + 3i) i) P(x) = x 3x + 36 j) P(x) = x 6 7x 3 + 5 k) P(x) = x 3 5x + 6x l) P(x) = x 5 + 3 m) P(x) = 3x 3 5x 9 + x EJERCICIOS PROPUESTOS ) Calcular a, b, c, d, e R para que sean iguales los polinomios reales P(x) = y Q(x) = x 3 (a + bx) + (x ).(c + dx + ex ). ) Determinar todos los valores de a, b R para que: a) P(x) = x 3 + ax + 3x + b sea divisible por Q(x) = x + 5 b) P(x) = x 5ax 3 + 9x bx + sea divisible por Q(x) = (x ) Trabajo Práctico Polinomios Página 5
3) Determinar a R para que P(x) sea divisible por (x ) y calcular para ese valor de a todas las raíces de P(x) = x 5 x + 6x 3 6x + ax ) Determinar a, b R para que el polinomio P(x) = 3x + 8x 3 + ax + bx tenga como raíces a y. 5) Hallar las raíces de P(x) = x + x 3 8x + 0 sabiendo que i 3 es raíz. 6) Dado P(x)= x 6 5x 5 + ( 3 + i ) x + ( 5 0 i ) x 3 9 3 + ( + i )x 9 + 5ix + i todas sus raíces sabiendo que P(x) es divisible por x + i. hallar 7) Hallar el polinomio real de menor grado cuyas raíces sean,, y y el coeficiente principal 3. 8) Determinar P(x) Q[x] de menor grado tal que admita como raíces a r = i, r =3 5 y además verifique que P() = 0 9) Dado P(x) = x x 3 x + 6x 6 y sabiendo que 3 es raíz de P(x), hallar las restantes raíces. 0) Determinar P(x) R [x] de menor grado tal que: el coeficiente principal sea igual a el término independiente sea igual a 0 + i es raíz de P(x) ) Determinar un polinomio real tal que i sea raíz de multiplicidad dos y 3 raíz simple. ) a) Encontrar los valores de k para los cuales P(x) = x 3 x + 5x + k admite una raíz doble. b) Si existe un valor de k entero encontrar para él todas las raíces de P(x). Trabajo Práctico Polinomios Página 6
3) Determinar r, r, r 3 raíces del polinomio P(x) = x 3 + 3 x 3x 3 3 sabiendo que r + r = 3 y r = 3 ) Si las raíces de un polinomio P(x) = 3x + 8x 3 + x - 8x - son a, b, c, d. Calcular a + b + c + d 5) Hallar el valor de p para que el polinomio P(x) = 3x + p(x ) + una de sus raíces la sea inversa de la otra. 6) Calcular el valor de k R para que el producto de las raíces del polinomio P(x) = x 7x + x 3 + k, sea. Para dicho valor de k calcular todas las raíces de P(x). 7) Sea la ecuación (m 3) x + (m 6) x + m 3 = 0 en el cuerpo C. a) Para qué valores de m la ecuación tiene sus raíces iguales?. Hallar esas raíces. b) Para qué valores de m la ecuación tiene sus raíces distintas en R? 8) Determinar todos los n N para los cuáles P(x) = x + x 3x 5x tiene raíces racionales. Analizar la multiplicidad de las raíces racionales en cada caso. n+ n 9) Siendo P(x) = x n + a x n- a n. a) Analiza la multiplicidad de a como raíz de P(x). b) Para qué valor de a tiene P(x) una raíz de multiplicidad n? c) Para qué valor de n, a es la única raíz de P(x)? 0) Dado P(x) = x n + 3 x + 3. Existe algún valor de n para el cual sea raíz de P(x)? Justificar la respuesta. ) Hallar el polinomio P(x) R[x] de grado mínimo que satisfaga simultáneamente que: todas las soluciones de ( + Re(z))(+ Im (z))=0 con z = son raíces de P(x) Trabajo Práctico Polinomios Página 7
P tiene alguna raíz doble P(0) = UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA ) Siendo P(x) = x 3 x +, justifica la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones: a) P(x) no tiene raíces racionales. b) P(x) no tiene raíces reales. c) P(x) no tiene raíces. d) P(x) tiene todas sus raíces complejas no reales. e) P(x) tiene al menos una raíz real. 3) Evaluar verdadero(v) o falso (F) y demostrar a) Si un polinomio tiene coeficientes enteros y su coeficiente principal es igual a, entonces tiene alguna raíz entera, que será necesariamente un divisor del término independiente. b) Sea P(x) un polinomio y r K; entonces, si r es raíz simple de P (x), entonces r es raíz doble de P(x) c) Sea ( x) R[ x] P un polinomio de grado impar; luego, el polinomio P(x) puede tener todas sus raíces complejas no reales. d) Un número k es raíz de multiplicidad n (n N ) del polinomio P(x) si y sólo si es raíz de multiplicidad n- de su polinomio derivado P (x). e) Si P(x) Z[x] tiene como raíz a una fracción irreducible q p entonces su término independiente es múltiplo de p. f) Sea K[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en el cuerpo K; luego, si P(x) K[x], P(x) no tiene inverso multiplicativo. g) Un número complejo z=a+bi es raíz de un polinomio P(x) K[x] si y sólo si su conjugado z=a bi es también raíz de P(x). ) Hallar todas las raíces de P(x) = x 8 + 5 x 6. Escribir su expresión factorizada en Q[x], R[x] y C[x]. 5) Ídem anterior para P(x) = x 6 + 7x 3 8. Trabajo Práctico Polinomios Página 8
n n n i i 6) Resolver en R la ecuación x ( 5) = 0 i e indicar la multiplicidad de i= 0 cada raíz. RESPUESTA A LOS EJERCICIOS A DESARROLLAR ) a) 6x x 3 + ( i) x + ( + i)x i b) 9 + i c) i ) a) a = b = 0 5 c = b) a = 0 b = 5 3) a) 3 b) c) 3 ) a) C(x) = x 3 + 5x + R(x) = x b) C(x) = 0 x 3 9 0 9 x + x 3 9 9 c) C(x) = 0 R(x) = x d) C(x) = x 3x + R(x) = e) C(x) = x 3 + x + x + R(x) = 0 5) II) a) C(x) = x + 8 x + R(x) = 6 3 9 9 b) C(x) = x + R(x) = 6) a) No b) Si 7) a) k = 3 b) k = 3 c) k = 0 d) k = 5. No 8) a = 6 b = 9) R(x) = x 0) R(x) = x + 3 3 3 3 ) x =, x = + i, x3 = + i, x = i, x5 = i ) a) P(x) = (x + 8x) Q(x) Q(x) R[x] no nulo y mónico. b) P(x) = a (x 7x + 0) a Q {0} Trabajo Práctico Polinomios Página 9
c) P(x) = a (x 3 6x + x 8) a R - {0} d) P(x) = ( + i )x + ( i )x + ( i ) e) P(x) = x + 8x 3 0x + 50 f) P(x) = x + 6x 3 x + x g) P(x) = ix + h) P(x) = Q(x)(x 3 5x + x 5 ) Q(x) Q[x] no nulo 3) a) P(x) = 3 x x + x 3 3 b) P(x) = (x + )(x 3) + 3 ) r = r = + 3 6 r 3 = 3 6 5) es raíz de multiplicidad 6) a= 9 ; b=6 7) a = 8) x = i, x = i, x 3 = 3 9) a) En C[x] P(x) = { x 3 + ( 3 i)x + [3 + ( + 3)i]x 3 i} En R[x] P(x) = [x 3 + ( 3 )x + (3 + )x + ( 3 )x + 3 ] En Q[x] P(x) = x 5 6x x 3 + 6x x + b) En C[x] P(x) =(x i)(x+i)(x )(x ).Q(x) con Q(x) no nulo y mónico. En R[x] P(x) = (x +)(x )(x ).Q(x) con Q(x) no nulo y mónico En Q[x] P(x) = (x +)(x )(x ). Q(x) con Q(x) no nulo y mónico. 0) a) P(x) = a ( x 5 3 x + x 3 3 x + x 3 ) a R {0} b) P(x) = a (x +) 3 (x 3) a R {0} Trabajo Práctico Polinomios Página 0
) a) 3 b) UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA 7 7 c) d) ) r = r = r 3 = 3) k = ) a) x = b) x =, x = c) x = x =, x 3 = d) x = x = y x 3 = x = y x 5 =, x6 = e) x = x =, x 3 = g) x = 0, x =, x = 3 f) No tiene raíces racionales 5) b) x = i, x = + i, x 3 = 3, x = 3 6) a) m = 3 b) m = 9 7) q R, q 0 y r = 3, r = q, r 3 = q 8) P(x) = a [(x ( + i ) ] [x ( i ) ] (x + bi)(x bi) a, b R 9) m = 0 y m = raíz doble ; m > ó m < 0 raíces reales y distintas ; 0< m< raíces complejas. 30) a) x = 3 3 b) x = + i c) x =, x = 8 8 d) x = i. 5, x = i. 5 e) x = 0, x = f) x =, x = a g) x = + d), x = b i) x = 3, x = 3, x 3 = y x = h) x = + i, x = + i j) x =, x = + i 3, x 3 = i 3, x =, x 5 = + i. 3, x 6 = i. 3 3 k) x = 0, x = 3, x 3 = Trabajo Práctico Polinomios Página
l) x = π/5, x = 3π/5, x 3 = 7π/5 x = 9 π/5, x 5 = ll) de multiplicidad y 3 RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ) a = b = -3 c = d = e = 3 ) a) b = 0 5a b) a = b = 7 3) a = 5, x = x =, x 3 =, x = i, x 5 = i ) a = b = 8 5) x = 3 + i, x = 3 i, x 3 = + i, x = i 6) x = + i, x = i, x 3 = x = 3, x 5 = x 6 = 7) P(x) = 3x 3 + 3x + 30x + 8) P(x) = a(x 5 x x 3 + x 5x + 5 ) a Q {0} 9) x = + i, x = i, x 3 = 3, x = 3 0) P(x) = x 3 x + x ) P(x) = x 5 3 x + 8x 3 8 3 x + 6x 6 3 ) a) k = 50 k = b ) x = x =, x 3 = 7 3) r = r = 3 r 3 = 3 Trabajo Práctico Polinomios Página
) 5) p = 6) k = ; x =, x 3 = 3 + 7, x = 3 7 7) a) m = 0, x = x =, m =, x = x = b) 0 < m < 8) Si n par es raíz simple. Si n impar n 3, es raíz doble. n = 3, es raíz triple y es raíz simple. 9) a) a es raíz simple b) Para a = 0, 0 es raíz de multiplicidad n de P(x) c) n = ya que se probó que a es raíz simple de P(x), y debe ser la única. 0) No. Las posibles raíces racionales de P(x) son ± y ± 3. ) P(x) = /6 ( x+). (x + - 3 x) ( x ++ 3 x) ) a) V b) F c) 3 F d) F e) V 3) a) Falso: un polinomio de coeficientes enteros no necesariamente tiene alguna raíz racional. Se demuestra con un contraejemplo. b) Falso: Se demuestra con un contraejemplo. c) Falso: en los polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas no reales aparecen de a pares, ya que por cada una de ellas está su conjugada. Como el grado del polinomio es impar, el número de sus raíces también lo es; luego, no pueden ser todas complejas no reales d) Falso: el si y sólo si es una doble implicación. La primera: si un número k es raíz de multiplicidad n (n N) del polinomio P(x) entonces es raíz de multiplicidad n- de su polinomio derivado P (x) es Verdadera, pero su recíproca es Falsa. Se demuestra con un contraejemplo. e) Verdadero: demostrado en clase. Trabajo Práctico Polinomios Página 3
f) Falso: si P(x) y es de grado 0, es un escalar k 0 ; luego, P (x) = k es un poli- nomio de grado cero que satisface tanto P(x). P (x) = k.k =. Por lo tanto, P (x) = k es el inverso multiplicativo de P(x). g) Falso: en K[x], K puede ser cualquier cuerpo (C, R o Q). La proposición es falsa en el primer caso y verdadera en los otros dos. Luego, corresponde evaluar falso y demostrar con un contrajemplo. ) Raíces de P(x): ±, ± i, ± ± i En Q[x]: P(x) = ( x + 6 )( x )( x + )( x + ) En R[x]: P(x) = ( x x + )( x + x + )( x )( x + )( x + ) En C[x]: P(x) =(x i )( x + i )(x+ i) (x+ + i)(x )(x+)(x i)(x+i) 3 5) Raíces de P(x): ; ; ± i ; ± 3i En Q[x] y R[x] : P(x) = ( x )( x + )(x + x + )(x x + ) 3 3 En C[x]: P(x) = (x ) (x +) (x+ + i ) (x+ i ) (x 3 i) (x + 3 i ) 6) 5 y 5, ambas con multiplicidad n Trabajo Práctico Polinomios Página