Ejercicios de teoría de colas

Ejercicios de teoría de colas Investigación Operativa II Diplomatura en Estadística Curso 07/08 1. En un hospital se dispone de un equipo de médicos que pueden llevar a cabo cierto tipo de operaciones quirúrgicas. Los pacientes que requieren estas operaciones llegan al hospital de manera aleatoria, pero se puede suponer que sus tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial con media 3,6 dias. El equipo médico necesita un tiempo para atender a cada paciente que es aleatorio, y que también supondremos exponencial con una tasa de 0,3 tratamientos por día. Se pide que calcules: a) El número medio de pacientes en el sistema en un momento cualquiera. b) El porcentaje del tiempo que el equipo médico está desocupado. c) El tiempo medio de espera de un paciente. Solución. Se trata de un problema de teoría de colas, en el que se nos describe una cola de atención a pacientes en la que se tiene un tiempo entre llegadas exponencial con media 3,6 y el tiempo de servicio también es exponencial con media 1/0, 3 = 3, 33. El número de servidores es uno un equipo). Por tanto se trata de una cola M/M/1. Para esta cola, el número medio de pacientes en el sistema viene dado por En nuestro caso, E[N] = ρ 1 ρ, ρ = λ µ. λ = 1/E[T ] = 1/3, 6 = 0, 78 µ = 1/E[S] = 0, 3 ρ = λ/µ = 0, 96 Por tanto, el número medio de pacientes en el sistema vale E[N] = 0, 96 1 0, 96 = 1, 5 El porcentaje de tiempo que el equipo médico está desocupado viene dado para esta cola por 1 ρ = 0, 074, esto es, un 7, 4 %. Por último, el tiempo medio de espera de un paciente se puede obtener como E[W ] = 1 ρ = 3, 33 1, 5 = 41, 63 dias. µ 1 ρ. El tiempo que necesita un mecánico para reparar máquinas tiene una distribución exponencial con media de 4 h. Las máquinas que deben ser reparadas llegan a la cola con tiempos entre llegadas que siguen una distribución exponencial con una tasa de 0. máquinas por hora. Si el mecánico emplease una herramienta especial, los tiempos medios de reparación bajarían a 3 h. Si cada hora de espera de una máquina cuesta 500 Pta., calcula el ahorro esperado que se tendría si se emplease la herramienta especial por máquina reparada, y por hora. Solución. El ahorro esperado será el resultado de restar los costes esperados para ambos casos. En el caso de no emplear la herramienta especial, el coste esperado será igual a 500 E[N], donde E[N] es el número medio de máquinas esperando a ser reparadas contamos también la máquina 1

que está siendo reparada en ese momento). Para una cola M/M/1, como la distribución del número de máquinas en el sistema es geométrica con parámetro ρ = λ/µ, tenemos que E[N] = kp N = k) = k1 ρ)ρ k = ρ 1 ρ. Por tanto, el ahorro vendrá dado por A = 500E[N 1 ] E[N ]) = 500 ρ1 ρ ), 1 ρ 1 1 ρ donde con lo que obtenemos ρ 1 = 0, 1/4 = 0,8, ρ = 0, 1/3 = 0,6, 0,8 A = 500 0, 0,6 ) = 650. 0,4 3. Los documentos a preparar en un Departamento se procesan por las secretarias del mismo. Los tiempos medios de procesamiento siguen una distribución exponencial con valor medio igual a 30 min. Además, la tasa a la que llegan documentos para ser procesados es de 3.5 documentos por hora. En este momento se tienen dos secretarias, y se está pensando en contratar a una tercera. Qué reducción se produciría en los tiempos medios de procesamiento si se contratase a esta tercera secretaria? Cómo cambiaría la proporción del tiempo en el que todas las secretarias están desocupadas, sin ninguna tarea que realizar? Solución. Debemos calcular dos valores para cada caso, el tiempo medio de procesamiento E[P ], y la probabilidad de que no haya ninguna tarea en el sistema, que será igual al tanto por uno de tiempo que las secretarias están desocupadas. Comenzando por el segundo dato, tenemos colas M/M/ y M/M/3 respectivamente. Para estas colas se tiene que mρ) k p 0 si k < m P N = k) = k! m m ρ k p 0 si k m m! donde ρ = λ/mµ) y también que P N = 0) = p 0. El valor de p 0 se obtiene de la condición P N = k) = 1 p 0 1 + mρ + mm m! y para los dos casos que consideramos tenemos que Si m =, obtenemos los resultados siguientes: ρ k ) = 1, ρ = 3,5 = 0,875, p 1 0 = 1 + 0,875 + 0,875 /1 0,875) = 0,0667. Si m = 3, obtenemos los resultados siguientes: ρ = 3,5 3 = 0,583, p 1 0 = 1 + 3 0,583 + 1,5 0,583 /1 0,583) = 0,518. Estos valores corresponden a la probabilidad de que todas las secretarias estén inactivas, y también a la fracción del tiempo en la que están inactivas. Para responder a la primera pregunta podemos aplicar la ley de Little, E[N] = λe[p ]. k=

Para ello necesitamos el valor de E[N], que obtenemos como ) E[N] = kp N = k) = p 0 mρ + mm kρ k = p 0 mρ + mm ρ ) m! m! ρ 1 ρ). Para los dos casos considerados tenemos que k= Si m =, Si m = 3, E[N] = 7,47, E[N] = 3,58, E[P ] =,13h. E[P ] = 1,0h. 4. El pago del peaje en la salida de una autopista se realiza utilizando una única cabina de pago de las dos cabinas disponibles. La tasa de llegadas a la cabina es de 90 por hora, y el tiempo medio que necesita un conductor para completar el pago es de 30 segundos. Se supone que los tiempos entre llegadas y de pago siguen distribuciones exponenciales. a) Se quiere saber cual es el número medio de automóviles en el sistema, y el tiempo medio de espera de los mismos. b) Se quiere estudiar si se abre la segunda cabina. Suponiendo que no cambian las tasas de llegada al sistema ni la tasa de servicio para cada cabina, cuáles son los nuevos tiempos de espera medios? Solución. Comenzamos calculando los números medios de clientes en el sistema para el caso de tener una única cabina funcionando. Empezamos por la definición de las tasas de llegadas y servicios. λ = 90 h 1, µ = 1 E[T s ] = 1/30 s 1 = 3600/30 h 1 = 10 h 1. La ocupación del sistema será por tanto ρ = λ = 90/10 = 0,75 µ En el caso de una cola M/M/1 tenemos los valores siguientes para la distribución de clientes en el sistema P N = k) = p 0 ρ k = 1 ρ)ρ k, y el valor esperado correspondiente vale E[N] = kp N = k) = 1 ρ) kρ k = ρ 1 ρ. En nuestro caso, este valor es E[N] = 0,75 0,5 = 3. Si ahora aplicamos la ley de Little, tendremos que el tiempo medio de paso por el sistema, E[S], vale E[S] = 1 λ E[N] = 3 90 h = min Como el tiempo medio de servicio es de medio minuto, E[W ] = E[S] E[T s ] = 0,5 = 1,5 min Para el caso con dos servidores tenemos que ρ = λ/µ) = 0,375 y para el número de clientes en el sistema las expresiones son las siguientes ρ) k P N = k) = p 0 si k < k! p 0 ρ k si k 3

Con estos valores de las probabilidades podemos calcular el valor de p 0 de la condición de que todas ellas han de sumar 1, como p 0 1 + ρ + ρ k ) = 1, y como k= ρk = ρ /1 ρ) = 0,5 tenemos que p 0 = 0,4545. El valor esperado deseado se puede obtener de E[N] = kp N = k) = p 0 ρ + kρ k ). El valor de la suma infinita es k= kρk = ρ/1 ρ) ρ = 0,5 y el valor esperado pedido es E[N] = 0,546, mucho menor que en el caso anterior. 5. Un centro de mantenimiento de equipo aéreo está considerando cambiar su forma de operación ante los retrasos que se producen. Actualmente, el centro puede mantener un avión a la vez, estos requieren un tiempo medio de 36 horas con tiempo exponencial) y las llegadas se producen en media cada 45 horas también con tiempo exponencial). Cuando un avión no está utilizable su coste es de 3000 euros por hora. Se plantean dos alternativas: i) reemplazar el equipo de mantenimiento por uno más moderno, con un coste de 550000 euros por año, y una reducción en el tiempo medio de servicio a 18 h., y ii) añadir un segundo centro de mantenimiento, igual al ya existente, con un coste de 400000 euros por año. Se pide que determines qué opción es más interesante económicamente. Solución. Tenemos tres situaciones que estudiar: las dos indicadas y no hacer nada. Evaluamos a continuación cada una de ellas, para lo que tenemos que determinar el número medio de aviones en proceso en cada caso. a) No se hace nada. Tenemos una cola M/M/1 con λ = 1/45h 1 y µ = 1/36h 1, y empleando las fórmulas para esta cola, k= k= ρ = λ µ = 1/45 1/36 = 4 5, E[N] = ρ 1 ρ = 4/5 1/5 = 4. Por tanto, los costes en este caso son suponemos 8 5 50 = 000 horas por año): C 1 = 3000 4 euros/h = 4,000,000 euros/año b) Se mejora el centro para reducir el tiempo medio de servicio. La cola sigue siendo M/M/1, pero con nuevos parámetros, λ = 1/45h 1 no varía, pero µ = 1/18h 1. Aplicando las fórmulas tenemos ρ = λ µ = 1/45 1/18 = 5, E[N] = ρ 1 ρ = /5 3/5 = 3. Los costes se obtienen ahora como suma de los de inversión más los de los aviones no utilizables, y por tanto C = 3000 3 euros/h + 550,000 euros/año = 4,550,000 euros/año c) Se añade un segundo centro de mantenimiento. Ahora la cola pasa a ser una M/M/ con los parámetros iniciales λ = 1/45h 1 y µ = 1/36h 1. Para esta cola, las probabilidades para el número de clientes en el sistema vienen dadas por P N = k) = C nk ρ k k! C nn ρ k n! para alguna constante C y ρ = λ/nµ), y en nuestro caso, si k < n si k n, P N = 0) = C, P N = k) = Cρ k si k 1. 4

El valor de C lo podemos deducir de la condición de que la suma de todas las probabilidades ha de ser igual a uno, y en nuestro caso, C + k=1 Cρ k = 1 C 1 + ρ ) = 1 C = 1 ρ 1 ρ 1 + ρ, ρ = λ nµ = 1/45 /36 = 5, C = 3/5 7/5 = 3 7. Dado este valor calculamos el número esperado de clientes en el sistema a partir de E[N] = = kp N = k) = C kρ k = Cρ 1 ρ) = 1 + ρ /5 7/5 3/5 = 0 1. k=1 ρ 1 ρ El coste en este caso será C 3 = 3000 0 1 y esta opción es peor que la segunda. euros/h + 450,000 euros/año = 6,164,86 euros/año 6. Un equipo de descarga de camiones debe atender en promedio a un camión por hora con tiempos entre llegadas exponenciales). Se quiere estudiar el número óptimo de operarios a contratar para el equipo, bajo dos hipótesis: i) si se supone que cada operario se encarga de un único camión, y ii) si todos los operarios atienden a cada camión pero solo pueden atender un único camión a la vez) y los tiempos de descarga se reducen proporcionalmente, a 1/n horas por camión. Cada operario puede descargar un camión por hora en promedio con una distribución exponencial en los tiempos de descarga). El coste de cada trabajador es de 10 euros por hora, y el de cada camión parado mientras espera o se descarga es de 15 euros por hora. Solución. De manera análoga al caso anterior, debemos estudiar los costes asociados a tener diferentes números de operarios atendiendo a la carga y descarga de camiones. El caso de un operario no debe ser considerado porque la cola no es estable ρ = 1 en ese caso y no existe estado estacionario). Consideramos diferentes casos: a) Dos operarios. Para los dos casos del enunciado tenemos bien una cola M/M/1 con tasas λ = 1h 1 y µ = h 1, o una cola M/M/. Para la primera, aplicando las fórmulas de teoría de colas tenemos ρ = λ µ = 1, E[N] = ρ 1 ρ = 1/ 1/ = 1, y C 1 = 15 1 + 10 = 35 euros/h Para la segunda cola, con las fórmulas del ejercicio anterior, ρ = λ nµ = 1, E[N] = 1 + ρ ρ 1 ρ = 4 3, y el coste es C = 15 4 + 10 = 40 euros/h 3 b) Tres operarios. De nuevo, tenemos dos casos correspondientes bien a una cola M/M/1 con tasas λ = 1h 1 y µ = 3h 1, o una cola M/M/3. Para la primera, ρ = λ µ = 1 3, E[N] = ρ 1 ρ = 1/3 /3 = 1, 5

y C 31 = 15 1 + 10 3 = 37,5 euros/h Para la segunda cola, debemos derivar las fórmulas correspondientes a partir de las definiciones básicas. En este caso, P N = 0) = C, P N = 1) = 3Cρ, P N = k) = 9C ρk si k. El valor de la constante C se obtendrá de C + 3Cρ + 9C ρ k = 1 k= ) C 1 + 3ρ + 9ρ 1 ρ = 1 C = 1 ρ) + 4ρ + 3ρ, y el valor esperado que nos interesa vendrá dado por ) E[N] = kp N = k) = C 3ρ + 9 kρ k = C k= 9 ρ = C 1 ρ) 3 ) ρ = 3Cρ + ρ ρ 1 ρ) = 3ρ + ρ ρ + 4ρ + 3ρ. 1 ρ 9 Si introducimos el valor de ρ obtenido como ρ = λ/3µ) = 1/3, tenemos ) kρ k 3 ρ k=1 E[N] = 3, C 3 = 15 3 + 10 3 = 45, 68 euros/h c) Más de tres trabajadores. Estas opciones van a ser peores, porque el aumento de costes de personal no se puede compensar con reducciones adicionales de números de camiones esperando. En resumen, la mejor opción sería tener dos trabajadores que realizasen sus tareas simultáneamente sobre el mismo camión. 7. Una gestoría dispone de tres personas que atienden al público; cada una de ellas tarda una media de 10 minutos en atender a un cliente. a) Supongamos que los clientes llegan con una tasa de 15 por hora. Con qué probabilidad un cliente tiene que esperar para ser atendido? Cuál es el número medio de clientes en la cola? Cuál es el tiempo medio de espera en la gestoría? b) Supongamos que se estructura la gestoría en tres servicios: uno dedicado a las gestiones de compra/venta, el segundo para documentación DNI, pasaportes, carnets de conducir,...) y el tercero para las restantes gestiones. Ahora, la tasa de llegada de los clientes a cada uno de los servicios es de 5 por hora. Además, cada uno de los tres empleados está asignado a un único servicio. Con qué probabilidad un cliente tiene que esperar para ser atendido? Cuál es el número medio de clientes en la cola? Cuál es el tiempo medio de cada cliente en la gestoría? c) Cuál de las alternativas anteriores te parece más conveniente? Razónalo. Solución. a) El sistema del primer caso es una cola M/M/3 con λ = 15 y µ = 6. El factor de carga es ρ = λ 3µ = 5/6 < 1, y por tanto existe el estado estacionario. 6

La probabilidad de que un cliente tenga que esperar en el primer caso viene dada por ) λ 1 P 0 + P 1 + P ) = 1 P 0 1 + + 1 ) ) λ µ µ Donde P 1 0 = 1 + ) λ + 1 µ ) λ + µ ) 3 λ µ 3!1 ρ) ; P 0 = 4 89 La probabilidad que se nos pide es 15 178 0,70. El número medio de clientes en la cola es 3 λ µ) P0 ρ L q = 3!1 ρ) = 65 3,51 clientes 178 W = W q + 1 µ = L q λ + 1 µ = 107 67 horas 4 minutos. b) En este apartado tenemos tres colas M/M/1 independientes, todas con λ = 5 y µ = 6. Ahora ρ = 5/6 < 1. 1) La probabilidad de que un cliente tenga que esperar sera ) El número medio de clientes en cada cola es 3) 1 P 0 = ρ = 5 6 0,83 L q = ρ 1 ρ = 5 6. Entre las tres colas tendremos, en media, un total de 3L q = 1,5 clientes esperando. W = W q + 1 µ = L q λ + 1 µ = 1 hora. c) Con la reestructuración propuesta se aumentan tanto la probabilidad de que un cliente tenga que esperar, como el tiempo que cada cliente pasa en la gestoría. Además, en media, el número de clientes que estén esperando para ser atendidos también será mayor. Por tanto, en lo que al rendimiento del sistema de colas se refiere, no es aconsejable hacer esta reestructuración. 8. Considera una cola con tasa de llegada λ, y 7 servidores idénticos en paralelo, cada uno de los cuales tiene tasa de servicio µ. Formula la condición que han de cumplir los parámetros dados para que la cola sea estable. Nos dan los siguientes datos: i) el número medio de servidores ocupados es 6; ii) el tiempo medio que un cliente permanece en el sistema incluyendo su tiempo en servicio) es de 30 minutos; y iii) el tiempo medio que un cliente permanece en espera es de 18 minutos. Calcula: 1) el factor de utilización del sistema; ) la tasa de llegada; 3) la tasa de servicio; 4) el número medio de clientes en el sistema; y 5) el número medio de clientes en espera. Es estable el sistema? En el caso de que los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicio fuesen variables aleatorias v.a.) exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre estados, y formula las ecuaciones de balance del flujo correspondientes. Solución. a) La condición de estabilidad es: ρ = λ/7µ) < 1. b) Utilizaremos la siguiente notación: ρ: factor de utilización. B: número medio de servidores ocupados. N: número medio de clientes en el sistema. 7

Q: número medio de clientes en espera. C = 1/µ: tiempo medio de servicio. S: tiempo medio por cliente en el sistema. W : tiempo medio por cliente en espera. Nos indican que B = 6, S = 30 y W = 18. Calculamos las medidas de rendimiento pedidas como se indica a continuación: B = λ/µ = 7ρ = ρ = B/7 = 6/7. Por tanto, el sistema es estable. S = W + C = W + 1/µ = µ = 1/ S W ) = 1/30 18) = 1/1. λ/µ = B = λ = µ B = 1/1)6 = 1/. Ley de Little: L = λ S = 1/)30 = 15. Ley de Little: Q = λ W = 1/)18 = 9. c) El diagrama de tasas de transición entre estados representa las transiciones entre pares de estados así como sus tasas. Los estados se corresponden con los números de clientes en el sistema. En el caso de la cola M/M/7 del problema, como las llegadas y finales de servicio se producen de uno en uno, las únicas transiciones posibles son entre estados consecutivos, esto es, entre i clientes en el sistema e i 1 ó i + 1 clientes, con tasas t ij dadas por los valores siguientes { iµ si 0 i 6 t i,i+1 = λ i, t i,i 1 = 7µ si 7 i. Las ecuaciones de balance del flujo, que recogen las igualdades entre las tasas de transición entre estados, son: λp 0 = µp 1 λp 1 = µp λp = 3µp 3 λp 3 = 4µp 4 λp 4 = 5µp 5 λp 5 = 6µp 6 λp n = 7µp n+1, n 6. 8