Radiación y ondas guiadas Práctica 3: Carta de Smith Objetivo Familiarización con el manejo de la Carta de Smith. Contenidos Representación de impedancias y admitancias. Obtención de parámetros de las líneas empleando la Carta de Smith. Adaptación de impedancias mediante cortocircuito variable. íneas con perdidas. Preparación Previa: Estudio de los conceptos básicos de la Carta de Smith: Construcción. Representación de impedancias y admitancias. Obtención de parámetros de la línea: coeficiente de reflexión, relación de onda estacionaria, impedancia vista desde un punto. Adaptación de impedancias. Para la realización de la práctica es necesario el siguiente material: lápiz, regla, compás y 3 cartas de Smith como mínimo (cada bloque de cuestiones se puede realizar en la misma carta de Smith). Bibliografía [1] S. Y. iao. Microwave devices and circuits, pp. 8-95, Prentice-Hall. 199. [] S. V. Marshall, G.G. Skitek. Electromagnetic concepts and applications, pp. 398-413, Prentice Hall Int. Ed. 199. [3] D. K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics, pp. 485-59, Addison- Wesley Pub. Co. ª ed. 1989. [4] N. N. Rao. Elements of Engineering Electromagnetics, pp. 469-49, Prentice Hall Int. Ed. 1994. [5] J. D. Krauss. Electromagnetics, pp. 59-51, Mc.Graw-Hill Inc. 4ª Ed. 199. 1
Introducción a carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos. Construcción de la carta de Smith Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga, ρ, en función de ésta,, y de la impedancia característica de la línea, : ρ + ρ e jθ ρ r + jρ i (1) que se puede expresar en forma de módulo y fase imaginaria ρr, ρi. ρ, θ, o como parte real e a impedancia de carga, normalizada con respecto a la impedancia característica de la línea, también puede escribirse en sus partes real e imaginaria como: 1+ρ r + 1 ρ jx () donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas, respectivamente. A partir de (1) y () se pueden obtener las partes real e imaginaria de ρ : ρ ρ r + jρ i (r + jx) 1 r 1+ x (r + jx) + 1 (r + 1) + x x + j (r + 1) + x (3) Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real e imaginaria y por eliminación de r o x, pueden obtenerse las siguientes ecuaciones: r 1 ρ r + ρ 1 r i (4) + 1 + r 1 1 ρ r 1 + ρi (5) ( ) x Si representamos la ecuación (4) sobre el plano ( ρr, ρi ) para valores de r constante, las gráficas obtenidas son círculos de radio 1 /(1 + r) centrados en el x
eje real en los puntos: ρ r r /(1+ r), ρ i. os distintos valores de r dan lugar a círculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje real. a figura 1 muestra, en línea continua, los casos r,.5, 1 y. Todos los círculos pasan por el punto (1, ). a ecuación (5), para valores de x constante, también describe círculos de radio 1 / x, centrados en ρ r 1, ρ i 1/ x. En la figura 1 se muestra, en línea discontinua, los casos x, ±.5, ±1 y ±. Nuevamente, todos los círculos pasan por el punto (1, ). 1.5 x.5 x1 P x r r.5 r1 r ρ i x -.5 x-.5 x-1 x- -1-1 -.5.5 1 ρ r Figura 1. Carta de Smith Representación de impedancias normalizadas a intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa una impedancia normalizada: r+jx. Por ejemplo, el punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada.5+j, un cortocircuito ρ-1 se representa en el punto (-1, ) y un circuito abierto ρ1 en el punto (1, ). 3
Obtención del coeficiente de reflexión Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, la distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulo del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase: r i ρ +ρ ρ (6) ρ arctan ρ i r θ (7) a carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del módulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculo r1). Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente de reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen. Por ejemplo, el punto P (.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexión.6 83º y en la figura 1 se observa el círculo que representa ρ.6. Obtención de la ROE reflexión: Si recordamos la expresión que relaciona la ROE con el coeficiente de 1+ ρ ROE (8) 1 ρ y la comparamos con la ecuación () vemos que la ROE coincide con el valor de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión es cero, es decir, la intersección del círculo ρ cte con el eje real positivo. Situación de los puntos V max y V min Partiendo de la expresión de la onda de tensión en la línea en función del coeficiente de reflexión: V(z) V + 1+ ρ(z) (9) es fácil comprobar que los máximos se producirán cuando la fase del coeficiente de reflexión sea cero y los mínimos cuando dicha fase sea π. 4
Transformación de impedancias Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de reflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función del coeficiente de reflexión en la carga, por la expresión: ρ ( z) ρ z e γ (1) Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde la ecuación (1) se reduce a: ρ ( z) ρ j z e β (11) Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z se traduce en un cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de zλ/8 supone un incremento de fase de +π/ sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la impedancia vista desde ese punto. De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de la línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas). a carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetro en z/λ (en longitudes de onda), una para los movimientos hacia el generador y otra para los movimientos hacia la carga. Obtención de admitancias Partiendo de la ecuación de la impedancia vista desde un punto z hacia la carga, en una línea sin pérdidas: in R R jr j tg( βz) tg( βz) (1) Si normalizamos y vemos el caso particular de zλ/4: R in R Y Y (13) obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos pues como el transformador λ/4 actúa como un inversor de impedancias. Un 5
desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de fase de π radianes en el coeficiente de reflexión, por lo tanto el punto de la admitancia está diametralmente opuesto al de la impedancia correspondiente. También es posible emplear la carta de Smith como diagrama de admitancias, muy útil para resolver problemas de conexiones de líneas en paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con admitancias normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos abiertos están invertidas respecto de la carta de impedancias y también se invierte la posición de los lados capacitivo e inductivo. 6
Desarrollo de la práctica 3 Nombre y apellidos Grupo:... 1. Cálculo de parámetros as tareas que se proponen a continuación deben resolverse empleando la Carta de Smith y mediante las ecuaciones de las líneas de transmisión: 1. Calcular la impedancia de entrada de una línea de transmisión de impedancia característica 5Ω y.3λ de longitud, cargada con las siguientes impedancias: a) 1-j1Ω in1... b) 5+j75Ω in.... a impedancia de entrada de un tramo de longitud l de la línea anterior terminada en circuito abierto es una reactancia capacitiva de 9Ω. Cuál es la longitud eléctrica l/λ de la línea? l/λ.... Adaptación de impedancias l 1 l 1 3. a línea de transmisión de la figura presenta una impedancia característica de 5Ω y está cargada con una impedancia de 1+j75Ω. Determinar la longitud (l1) y la posición (l) del cortocircuito necesarias para adaptar la línea. l1... l... 7
3. íneas con pérdidas 4. Para determinar las pérdidas en una línea de transmisión de aproximadamente 75Ω de impedancia característica se mide, a 3 MHz, la impedancia de entrada en un tramo cortocircuitado de.196λ, obteniéndose un valor de 45+jΩ. Determinar la constante de atenuación de la línea. α... 8
Cuestiones de revisión 1. Qué es el diagrama de Smith y por qué es útil para efectuar cálculos con líneas de transmisión?. Qué representan las coordenadas rectangulares del diagrama de Smith? Y las polares? 3. Qué punto de la carta de Smith representa una carga adaptada? 4. En los problemas de adaptación de impedancias cómo utilizarías la carta de Smith, como diagrama de impedancias o de admitancias? por qué? 5. Demostrar que el punto que representa una impedancia en la carta de Smith está diametralmente opuesto, es decir desplazado λ/4, al que representa la admitancia correspondiente. 6. Obtener, utilizando la carta de Smith, la impedancia correspondiente a una admitancia de 6+j3Ω -1, enumerando los pasos seguidos. 7. Explicar por qué el valor de la relación de onda estacionaria se mira en el semieje horizontal derecho. 8. Para una línea de transmisión conectada a una carga Cuántas posiciones (menores de media longitud de onda) de un cortocircuito variable permiten adaptar la carga a la línea? Y cuántas longitudes? 9. Qué diferencia habría si se empleara un circuito abierto para adaptar? 1. Permanece constante la relación de onda estacionaria en una línea con pérdidas? 9