INDICE: ELECTRÓNICA DIGITAL. INTRODUCCIÓN.. TIPOS DE SEÑALES. 2. REPRESENTACIÓN DE LAS SEÑALES DIGITALES. 3. SISTEMA BINARIO. 4. FUNCIONES BÁSICAS. 5. COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BÁSICAS. 6. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES AND Y OR. TEOREMA DE MORGAN. 7. FUNCIÓN EXCLUSIVE OR, XOR. 8. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS COMBINACIONALES. 8.. Obtención de la tabla de verdad. 8.2. Obtención de la función lógica a partir de la tabla de verdad. 8.3. Simplificación de funciones lógicas.. INTRODUCCIÓN. Debido a la complejidad de los procesos industriales y a los elementos necesarios que componen esos procesos, se ha hecho imprescindible la utilización de métodos de control más sofisticados. Sistemas de control industrial, procesamiento de datos, dispositivos de seguridad, equipos de navegación, electrodomésticos, todo tipo de máquinas (eléctricas, electrónicas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas, etc.) utilizan circuitos de electrónica digital como sistema de control. Puede decirse que el estudio de estos circuitos tiene dos dimensiones: una dimensión matemática, basada en el Álgebra de Boole y una dimensión física que la constituyen las llamadas puertas lógicas. Dichas puertas son circuitos electrónicos que tienen varias entradas (dos, tres, etc.) mediante las cuales se introducen unos valores eléctricos (valores lógicos) y una sola salida por la que aparece otro valor también lógico, distinto a los de entrada, resultado de realizar la operación lógica para la que ha sido diseñada la puerta. Esta es la base del diseño y construcción de los circuitos digitales.. TIPOS DE SEÑALES. Una señal es la variación de una magnitud cualquiera, que permite transmitir información. Las señales pueden ser de dos tipos, analógicas y digitales. a) Señales analógicas b)señales digitales Pueden adquirir infinitos valores entre dos extremos cualesquiera. La variación de la señal forma una gráfica continua. Pueden adquirir únicamente valores concretos, es decir, no varían a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el estado de una bombilla sólo puede tener dos valores ( apagada, encendida). A cada valor de una señal digital se le llama bit y es la unidad mínima de información. Señal Max. Señal Min. t t
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SEÑALES DIGITALES. Las señales digitales pueden ser representadas de dos formas: mediante cronogramas y mediante tablas de verdad. a. CRONOGRAMAS. Son gráficas en los que se representa la relación entre la señal y el tiempo. La señal es representada en el eje de ordenadas (eje Y), y el tiempo en el de abscisas (eje X), reflejando la gráfica la evolución o estado de la señal en cada momento (ON-OFF, ENCENDIDO-APAGADO). En los dos ejemplos siguientes se representan los cronogramas de los elementos de dos circuitos eléctricos simples. Ejemplo : Circuito con pulsador y bombilla P sin pulsar = P pulsado = Bombilla OFF = Bombilla ON = Ejemplo 2: Circuito con pulsador y dos bombillas P sin pulsar = P pulsado = Bombilla OFF = Bombilla ON = Bombilla 2 OFF = Bombilla 2 ON = b. TABLAS DE VERDAD. Son representaciones en las que se refleja el estado de las señales de entrada y de salida. En este tipo de representaciones no se utiliza el tiempo y no son gráficas sino tablas de unos y ceros, con todas las posibles combinaciones de las señales, siendo 2 n el número de posibles combinaciones (n = número de señales, y la base 2 por utilizarse el sistema binario, de solamente dos dígitos, y ). Las siguientes son las tablas de verdad de los circuitos anteriores. Ejemplo : Circuito con pulsador y bombilla P sin pulsar = P pulsado = Bombilla OFF = Bombilla ON = Ejemplo 2: Circuito con pulsador y dos bombillas P sin pulsar = P pulsado = Bombilla OFF = Bombilla ON = Bombilla 2 OFF = Bombilla 2 ON = P B P B B2 2
3. SISTEMA BINARIO DE NUMERACIÓN. El sistema decimal de numeración emplea diez dígitos (del al 9) para poder expresar cualquier cifra. Una cifra en el sistema decimal es igual a la suma de los productos de cada dígito del número por la potencia de base y exponente n, siendo n la posición que ocupa dicho número empezando por. Sirva como explicación el siguiente ejemplo: 24.897 = 2 x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 9 x + 7 x = 2 x. + 4 x. + 8 x + 9 x + 7 x Al utilizar diez dígitos diferentes se complican mucho las reglas aritméticas, por lo que para los cálculos matemáticos de la electrónica digital se emplea un sistema binario de numeración, en el que se usan únicamente dos dígitos distintos, el y el. Todos los sistemas de control digital, entre ellos los ordenadores, utilizan este sistema, por lo que cualquier cifra podrá ser expresada como una combinación de unos y ceros. Al igual que con el sistema decimal, en el sistema binario cualquier cifra podrá ser expresada como la suma de los productos de cada dígito del número por la potencia de base 2 (por ser dos los únicos dígitos que se utilizan) y exponente n, siendo n la posición que ocupa dicho número empezando por. 3.. TRANSFORMACIÓN DE UN NÚMERO EN DECIMAL A BINARIO. a. NÚMEROS ENTEROS. Para transformar un número entero expresado en sistema decimal a binario, hay que dividir por dos (por ser 2 la base del sistema binario) hasta que el último cociente sea inferior a dos. La cifra resultante será una sucesión de unos y ceros correspondientes al último cociente y los restos de forma ascendente y en este orden. Sirvan como explicación los siguientes ejemplos. Ejemplo : paso de 2 de decimal a binario Ejemplo 2: paso de 34 de decimal a binario. 2 2 34 2 2 7 2 5 2 8 2 2 2 4 2 2 2 2 = 34 = b. NÚMEROS FRACCIONARIOS. Para transformar un número fraccionario expresado en sistema decimal a binario, hay que multiplicar la parte fraccionaria por dos tantas veces hasta que no se obtenga fracción o se obtenga la precisión deseada. Sirvan como explicación los siguientes ejemplos. Ejemplo : paso de,36 de decimal a binario con 6 dígitos de precisión..36 x 2 =.72 Primer dígito:.72 x 2 =.44 Segundo dígito:.44 x 2 =.88 Tercer dígito:.88 x 2 =.76 Cuarto dígito:.76 x 2 =.52 Quinto dígito:.52 x 2 =.4 Sexto dígito: Ejemplo : paso de 2,36 de decimal a binario con 6 dígitos de precisión en la parte fraccionaria. Realizamos la parte entera y la fraccionaria por separado: 2 =.36 =, El resultado será:.36 =. El resultado será: 2.36 =. 3.2. TRANSFORMACIÓN DE UN NÚMERO DE BINARIO A DECIMAL. Para pasar de binario a decimal, se multiplica cada una de las cifras del número en binario por las potencias sucesivas de 2. Sirva como explicación el siguiente ejemplo: = x 2 4 + x 2 3 + x 2 2 + x 2 + x 2 = x 6 + + x 4 + + x = 2 3
4. FUNCIONES BÁSICAS. Todas las funciones de control que se realizan mediante la electrónica digital las hacen pequeños circuitos integrados que se llaman puertas lógicas. Estas puertas son representadas mediante símbolos, y cada una de ellas realiza una operación diferente, según la función a la que corresponda, y que será representada mediante su tabla de verdad. Las más importantes son: 4.. FUNCIÓN IGUALDAD. a b Dos variables (señales eléctricas) son iguales cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellas, es decir, cuando una es cierta la otra también lo es y a la inversa. Su expresión matemática es: a = b. Reciprocidad: Si a = b <=> b = a a b 4.2. FUNCIÓN COMPLEMENTO O NEGACIÓN (NO). a b Dos variables (señales) son complemento cuando una es la negación de la otra. Su expresión matemática es: a = b. Reciprocidad: Si a = b <=> b = a 2. Doble negación: a = a a b 4.3. FUNCIÓN SUMA (OR). Es aquella función que es cierta si al menos una de las entradas es cierta. Su expresión matemática es: a + b = S. Elemento neutro: a + = a 2. Suma con : a + = 3. Suma consigo mismo: a + a = a 4. Suma con complementario: a + a = 5. Conmutativa: a + b = b + a 6. Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a b S 4.4. FUNCIÓN PRODUCTO (AND). Es aquella función que es cierta cuando todas las entradas son ciertas. Su expresión matemática es: a b = S. Elemento neutro: a = a 2. Producto por : a = 3. Producto consigo mismo: a a = a 4. Producto con complementario: a a = 5. Conmutativa: a b = b a 6. Asociativa: a ( b c ) = ( a b ) c a b S 4
5. COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BÁSICAS. La combinación de la función negación (NO) y las funciones suma (OR) y producto (AND) da lugar a las dos puertas siguientes: 5.. FUNCIÓN SUMA NEGADA (NOR). Al ser la negada de la función suma (OR) es aquella que es cierta () solamente cuando ambas entradas son falsas (). Su expresión matemática es: (a + b) = S Apartado 6 a b S 5.2. FUNCIÓN PRODUCTO NEGADO (NAND). Al ser la negada de la función producto (AND) es aquella que es cierta () cuando alguna de las entradas es cierta (). Su expresión matemática es: (a b) = S Apartado 6 a b S 6. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES AND Y OR. TEOREMA DE MORGAN. 6.. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES AND Y OR.. Propiedad distributiva: (a + b) c = a c + b c (a b) + c = (a + c) (b + c) 2. Expansión: (a + b) (a + b) = a (a b) + (a b) = a 3. Absorción: a (a + b) = a a + (a b) = a 6.2. TEOREMA DE MORGAN. Siempre se verifican las siguientes igualdades, tanto para dos como para más variables: (a + b) = a b (a b) = a + b 5
7. FUNCIÓN EXCLUSIVE OR, XOR. Es aquella función en la que se cumple que si las dos entradas son iguales (verdaderas, o falsas ) la salida es falsa, y si son distintas la salida es verdadera. Su expresión matemática es: a + b = S PROPIEDADES. a + b = a b + a b 2. a + b = (a + b) (a + b) 3. a + b = a + b 4. a + b = a + b 5. a + b = a + b TABLA DE VERDAD a b S EXPRESIÓN MEDIANTE SUMAS Y PRODUCTOS a + b = a b + a b = (a + b) (a + b) 8. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS COMBINACIONALES. En primer lugar hay que decir que los circuitos lógicos que están siendo estudiados son los llamados circuitos combinacionales, que son aquellos que se construyen con las puertas lógicas explicadas anteriormente. Se les llama combinacionales por que la salida depende únicamente de las distintas combinaciones entre las entradas y no de los estados anteriores ni del tiempo. Para resolver los circuitos lógicos combinacionales deben seguirse los siguientes pasos, que serán descritos en apartados posteriores:. Sacar la tabla de verdad que indica los estados de salida en función de todas las combinaciones de entrada 2. Obtener la función lógica a partir de la tabla de verdad. 3. Simplificar la función lógica. 4. Representar la función mediante puertas lógicas. 8.. OBTENCIÓN DE LA TABLA DE VERDAD. Habitualmente, cuando no se conoce la función lógica, suele indicarse qué combinaciones son las que dan señal a la salida, es decir, las que son ciertas, pero en vez de hacerlo con las combinaciones de unos y ceros a las que corresponden, se hace indicando la posición que ocupan éstas en la tabla de verdad. Sirva como explicación el siguiente ejemplo: Representa la tabla de verdad de una expresión lógica en la que se dan las siguientes señales de salida: (, 3, 4, 6, 7) En primer lugar habrá que rellenar de ceros y unos las columnas de las entradas para formar todas las posibles combinaciones. En segundo lugar, en la columna de la salida habrá que marcar con unos las combinaciones que se nos indiquen que son ciertas y rellenar el resto con ceros. Posición a b c S 2 3 4 5 6 7 6
8.2. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE VERDAD. La función lógica ser representada mediante su forma canónica, es decir, como una expresión de sumas y productos de las señales de entrada, en forma directa o negada, a partir de la tabla de verdad. Esto puede hacerse de dos formas distintas: Mediante la primera forma canónica, suma de productos o MINTERMS. Mediante la segunda forma canónica, productos de sumas o MAXTERMS. S = abc + abc + abc S = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) a. La primera forma canónica se obtiene sumando todos los productos lógicos de variables de entrada cuyo valor de salida es, asignando al estado de cada entrada la variable directa y al estado la negada. En el siguiente ejemplo puede verse más fácilmente: Obtener la función lógica mediante la primera forma canónica, en la que se dan las señales de salida, la 3, la 4, la 6 y la 7: En primer lugar habrá que hacer la tabla de verdad que es la de la derecha. La expresión pedida es la siguiente: S = abc + abc + abc + abc + abc Posición a b c S 2 3 4 5 6 7 b. La segunda forma canónica es una expresión de producto de sumas de variables. Se obtiene, observando en la tabla de verdad, todas las combinaciones que hacen la salida (S = ) y sustituyendo en cada una de ellas el valor por una variable directa y el valor uno por una variable negada. En el siguiente ejemplo puede verse más fácilmente: Obtener la función lógica mediante la segunda forma canónica, en la que son las señales de salida, la 2 y la 5: En primer lugar habrá que hacer la tabla de verdad que es la de la derecha. La expresión pedida es la siguiente: S = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c) Posición a b c S 2 3 4 5 6 7 8.3. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS. Una vez que se conoce la expresión de la función lógica, obtenida mediante la primera o la segunda forma canónica, hay que simplificarla para obtener una expresión más sencilla que pueda ser representada mediante puertas lógicas. Para ello se utilizan varios métodos, en este curso solo van a ser descritos dos: método algebraico y método gráfico de Karnaugh. a. MÉTODO ALGEBRAICO. Las funciones lógicas se simplifican sustituyendo las operaciones de su expresión, usando para ello todas las propiedades descritas en cada uno de las operaciones lógicas, las leyes de Morgan, etc. Este método suele ser bastante engorroso por lo que no se utiliza mucho. En el siguiente ejemplo puede verse más fácilmente. Dada la función S = abc + abc + abc, simplificarla todo lo posible: De los dos primeros términos se saca factor común ac: S = ac(b + b) + abc como b + b = Nos queda S = ac + abc. Sacando factor común a tenemos: S = a (c + cb). Por último, aplicando uno de los teoremas: c + cb = c + b, nos queda la expresión simplificada: S = a(c + b) 7
b. MÉTODO GRÁFICO DE KARNAUGH. Se utiliza para simplificar funciones lógicas complicadas. Consiste en determinar, a partir de la tabla de verdad, una tabla llamada de Karnaugh, parecida a las de verdad, pero más simplificada, pues son de doble entrada y las señales de entrada pueden estar agrupadas de dos en dos, de tres en tres, etc. Su forma depende del número de variables de entrada. Posteriormente se traducen las distintas agrupaciones de unos a expresiones canónicas. Para obtener la expresión más sencilla se debe realizar el mínimo número de agrupaciones con el mayor número de unos posibles, siempre y cuando estos estén pegados como se indica en el gráfico de abajo. El procedimiento a seguir para agrupar los unos será el siguiente: Se puede simplificar únicamente en potencias de 2, es decir (2 ), 2(2 ), 4(2 2 ), 8(2 3 ), 6(2 4 ), 32(2 5 ), etc. Se toman todos los unos que no puedan formar parte de un grupo de dos por no ser adyacentes con ninguno. Se forman los grupos de dos unos que no puedan formar parte de un grupo de cuatro. Se forman grupos de cuatro que no puedan formar parte de un grupo de ocho, y así sucesivamente. Ejemplo: Obtener la función lógica mediante la primera forma canónica, simplificarla mediante el método gráfico de Karnaugh, y dibujar el circuito resultante de puertas lógicas, si en la que se dan las señales, la 2, la 3 y la 4: er paso: Se deduce la tabla de verdad: 2 o paso: Se deduce la expresión algebraica mediante la primera forma canónica: 3 er paso: Se hace la tabla de Karnaugh. Como tiene tres entradas y la tabla de Karnaugh solo tiene dos, una de ellas será doble (ab) Posición a b c S 2 3 4 5 6 7 La expresión lógica que habrá que reducir, deducida mediante la primera forma canónica, es la siguiente: S = (abc)+(abc)+(abc)+(abc) ab c Hecha la tabla de Karnaugh y todas las agrupaciones posibles, la función reducida será: S = cb + ca + ab 4 o paso: Por último se dibuja el circuito mediante puertas lógicas. 8
EJERCICIOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL Ejercicio. Transforma los siguientes cronogramas en tablas de verdad. (NOTA): E = Entrada; S = Salida Ejercicio 2. Haz las tablas de verdad de los siguientes circuitos eléctricos: Ejercicio 3. Transforma los siguientes números al sistema binario: 2, 2, 37, 29, 6, 24, 23, 22 Ejercicio 4. Transforma los siguientes números binarios a decimales:,,,,, Ejercicio 5. Rellena la tabla de verdad de los siguientes circuitos: 9
Ejercicio 6. En un coche en el que se indican la posición de los pulsadores de luz interior de las dos puertas (puntos A y B), al abrir una o las dos puertas se activa el correspondiente pulsador y se enciende la luz interior. Escribe la tabla de la verdad para controlar el funcionamiento de la bombilla, el circuito lógico y la puerta lógica que se necesita. A B Ejercicio 7.Para el aprovisionamiento de un pueblo, se dispone de un depósito que se llena con el agua que se bombea desde una presa. La bomba es accionada cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:. Cuando el nivel del depósito ha descendido hasta un nivel mínimo por lo que es necesario suministrarle agua. 2. El nivel de la presa es superior a un nivel máximo predeterminado. Escribe la tabla de verdad para el sistema de control de la bomba y el circuito lógico de control. Ejercicio 8. En una casa hay dos puertas, una trasera y una delantera. En ella se ha montado un sistema de alarma que funciona, cuando se conecta la alarma, de modo que cuando se abre cualquiera de las dos puertas la alarma se activa. Escribe la tabla de verdad y el circuito lógico. Ejercicio 9. Diseñar un circuito lógico que controle dos motobombas que extraen agua, la primera de un pozo P y lo lleva a un depósito D, la segunda extrae agua de D y la lleva a otro depósito D2. Las condiciones de funcionamiento son las siguientes: a) Funcionaran las bombas siempre que esté lleno el lugar de donde se extrae el agua y esté vacío el depósito a llenar. b) Que no funcionen las dos bombas a la vez. Los niveles los indican unos sensores que marcan si el depósito o el pozo está vacío, y si están llenos. Ejercicio. Diseñar un circuito lógico de manera que teniendo por entrada un nº binario de 4 bits (valores decimales del al 5), se obtengan 5 salidas, una que nos exprese las decenas ( bit), y otras 4 que nos expresen las unidades. Ejemplo : Entrada () Salidas : Decenas Unidades: Ejemplo : Entrada 5() Salidas : Decenas Unidades: Ejemplo : Entrada 3 () Salidas : Decenas Unidades: Ejercicio. Diseña el circuito lógico de una aplicación para tres entradas en la que se dan las salidas: a S(2,3,4,6) b S(,2,5) DIBUJA EL CIRCUITO ELÉCTRICO EQUIVALENTE PARA CADA CASO. c S(2, 4, 8) Ejercicio 2. Diseña el circuito lógico de una aplicación para cuatro entradas en la que se dan las salidas: a S(, 2, 5, 7, 3, 5) b S(4, 6, 8,, 2) c S(, 2, 5, 6, 9, )