CAPACITACIA Y DIELÉCTRICOS
En este tema se analizarán los capacitores, los cuales son dispositivos que almacenan carga eléctrica. Los capacitores se utilizan por lo común en una gran variedad de circuitos eléctricos. Por ejemplo, se usan para sintonizar la frecuencia de receptores de radio, como filtros en el suministro de energía eléctrica, y como dispositivos de almacenamiento de energía en unidades de destellos electrónicas, entre otras tantas aplicaciones. Un capacitor se compone de dos conductores separados por un aislante. Se comprobará que la capacitancia de un capacitor, depende solamente de su geometría y del material llamado dieléctrico, el cual se utiliza como separador de los conductores.
Concepto de capacitor y definición de capacitancia. A la combinación de dos conductores se denomina capacitor. A dichos conductores se le conocen como placas. Debido a la presencia de cargas eléctricas en las placas, se presenta una diferencia de potencial ΔV entre ellas. La unidad de la diferencia de potencial es el volt, a la diferencia de potencial suele ser llamado como voltaje.
Por experimentación se demuestra que la cantidad de carga Q sobre un capacitor, es proporcional a la diferencia de potencial entre los conductores; es decir, Q ~ΔV. La constante de proporcionalidad depende de la forma geométrica y de la separación de los conductores. Esta relación se puede escribir como Q= CΔV, por lo que la capacitancia se define como: La capacitancia C de un capacitor, es la relación de la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos Q VC C Q V
Un capacitor de placas paralelas consiste en dos placas conductoras paralelas, cada una con una superficie A, separadas una distancia d. Cuando se carga el capacitor al conectar las placas a las terminales de una batería, ambas placas adquieren carga de igual magnitud. Una de las placas tiene carga positiva y la otra carga negativa. + + + + + + - - - - - - C Q V
cálculo de capacitancia de un capacitor de placas planas y paralelas con aire como dieléctrico. Dos placas metálicas paralelas de igual área A están separadas por una distancia d. Una placa tiene una carga +Q y la otra tiene una carga Q La densidad de carga superficial en cada placa es σ = Q/A. Si las placas están muy juntas (en comparación con su longitud y ancho), se puede suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte. El valor del campo eléctrico entre las placas es E 0 0 Q A
d La diferencia de potencial entre dos placas se obtiene : σ + Q Vab V V ab ab a E d b Ed 0 d - Q C Q V V V ab
Al sustituir este resultado del incremento de potencial por la diferencia de potencial se puede obtener la capacitancia en función del área, distancia d entre las placas y la permitividad ε 0 del medio. Las unidades de la capacitancia es el Farad [F] C Q V Q Q Q d 0 A 0 d C A 0 [ F d ]
la capacitancia es una medida de la capacidad del capacitor para almacenar carga y energía potencial eléctrica. La capacitancia se expresa en el SI con las unidades coulomb por volt. La unidad de capacitancia en el sistema internacional de unidades es el farad (F), denominada así en honor a Michael Faraday: 1F C V
Tipos de capacitores. Dieléctrico Construcción Capacitancia Voltaje de ruptura V Aire Cerámica Placas intercaladas 10-400 pf 400 Cilíndrico o tubular 0.5-1600 pf 500-20 000 En forma de disco 0.002-0.1 μf Electrolítico Aluminio 5-1 000 μf 10-450 Tantalio 0.01-300 μf Mica De hojas sobrepuestas 10-5 000 pf 500-20 000 papel o pelicula de plástico De papel metalizado 0.001-1 μf 200-1 600
Tipos de capacitores Capacitor electrolítico Capacitor cerámico Capacitor De papel
Tipos de capacitores Capacitor De mica Capacitor de aire
Cálculo de la energía almacenada en un capacitor Ya que las cargas positiva y negativa están separadas en el sistema de dos conductores en un capacitor, el sistema almacenará energía en forma de potencial eléctrica. Muchos de quienes trabajan con equipo electrónico alguna vez han verificado que un capacitor puede almacenar energía. Si las placas de un capacitor con carga se conectan mediante un conductor como un alambre, la carga eléctrica se mueve entre cada placa y su alambre conector hasta que el capacitor se descarga.
La gráfica de la diferencia de potencial en función de la carga en un capacitor, es una línea recta que tiene una pendiente 1/C. El trabajo W requerido para mover la carga dq a causa de la diferencia de potencial ΔV aplicada en el instante a través de las placas del capacitor, se conoce de manera aproximada por el área del rectángulo sombreado. El trabajo total requerido para cargar el capacitor hasta una carga final Q es el área triangular que está por debajo de la línea recta, W= ½QΔV. (No debe olvidar que V= J/C; por eso la unidad para el área triangular es el joule).
El trabajo para trasladar un carga q de un punto b hasta a es b W dq a qv CV ab ab q C V ab dq dq C Al trasladar toda la carga desde 0 hasta la carga total Q, la expresión queda como: b W a Q 0 q C dq 2 Q 2C
Si no hay factores de disipación, entonces la energía almacenada es igual al trabajo Q 2 U 2 C
Sabemos que la capacitancia es Q Q 2 CV C ab 2 V 2 ab sustituyendo: U U U 1 2 1 2 Q 0 q C CV QV 2 ab ab 2 Q 1 dq CV 2C 2 Q J C V ab 2 ab J
Respecto al campo E sustituyendo: V ab Ed A C 0 d U U 1 2 1 2 CV 2 ab 0 A d J 1 2 2 2 Ed AdE 0
La densidad de energía se define como la energía por unidad de volumen, el cual se forma por el área A y la altura d U u v u 0 2 E J 2 m 3
conexiones de los capacitores serie y en paralelo; capacitor equivalente. Capacitores en Serie Considérese primero el efecto de un grupo de capacitores conectados a lo largo de una sola trayectoria Una conexión de este tipo, en donde la placa positiva de un capacitor se conecta a la placa negativa de otro, se llama conexión en serie.
La batería mantiene una diferencia de potencial V entre la placa positiva C1 y la placa negativa C3, con una transferencia de electrones de una a otra. La carga no puede pasar entre las placas del capacitor; en consecuencia, toda la carga contenida dentro del paralelogramo punteado de la figura anterior, es carga inducida. Por esta razón, la carga en cada capacitor es idéntica. Q=Q1=Q2=Q3
Los tres capacitores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C, sin que varíe el efecto externo. La expresión que sirve para calcular la capacitancia equivalente para esta conexión en serie se obtiene de observar que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria y el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de los voltajes a través de cada capacitor.
Si se recuerda que la capacitancia C se define por la razón Q/V, la ecuación se convierte en Para una conexión en serie, Q=Q 1 =Q 2 =Q 3 así, que si se divide entre la carga, se obtiene : 3 3 2 2 1 1 C Q C Q C Q C Q 3 2 1 1 1 1 1 C C C C e
Capacitores en Paralelo
Capacitores en Paralelo Considérese un grupo de capacitores conectados de tal modo que la carga pueda distribuirse entre dos o más conductores.
Cuando varios capacitores están conectados directamente a la misma fuente de potencial, como en la figura anterior, se dice que ellos están conectados en paralelo. V 1 V1 V2 V3 De la definición de capacitancia, la carga en un capacitor conectado en paralelo es Q 1 CV 1 1 Q2 C2V2 ; ; Q C V 3 3 3
La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales Q Q 1 Q2 Q3 De la definición de capacitancia Q 1 CV 1 1 C2V2 C3V 3
Recordando que los voltajes son los mismos Q V C e C C C 1 2 3 Se concluye que para un conexión en paralelo C e C C C 1 2 3
En la figura se muestran tres capacitores conectados a una diferencia de potencial.
Determinar: a) La capacitancia equivalente del circuito. b) La carga en cada capacitor. c) La diferencia de potencial entre las placas del capacitor de 4[μF].
C C C 2 4 24 C C 2 4 1.33F
Estos dos capacitores pueden reemplazarse por su equivalente, como se ve en la figura de la izquierda. Los dos capacitores restantes están conectados en paralelo como se observa en la figura de la derecha. Por tanto la capacitancia equivalente es:.
b) La carga total en la red es Q = (C eq )V=(4.33μF)(120V) = 520 [μc] La carga Q3 en el capacitor de 3μF es Q3=C3V= (3μF)(120V) = 360 [μc] El resto de la carga, Q-Q3 = 520 [μc] 360 [μc] = 160 [μc] debe almacenarse en los capacitores en serie. Por lo tanto, Q2 = Q4 = 160 [μc]
Q 160 C V 4 40 4 C 4 F 4 V
Elabore un capacitor de 2 placas de aluminio de 10cm por 20 cm, colocados una placa dentro de una bolsa de plástico y la otra placa colocada por fuera de las misma. Calcule el capacitor y posteriormente mida en el valor Compárelo los resultados.
Polarización de la materia. Teoría molecular de las cargas inducidas. Dieléctrico: Material aislante que mantiene separadas las placas de un capacitor, aislándolas eléctricamente y que presenta en consecuencia, un aumento de la diferencia de potencial entre las placas y un incremento de la capacitancia Rigidez dieléctrica: es la habilidad de un material de soportar una diferencia de potencial sin que exista una conducción de cargas entre las placas.
Cuando un material sin carga se coloca dentro de un campo eléctrico E, se redistribuyen sus moléculas de acuerdo al tipo de material. Si es un conductor, los electrones libres se distribuyen en una región equipotencial. Si es un aislante, los electrones libres y moléculas positivas de cada átomo se orientan y sufren un desplazamiento, lo que constituye los llamados dieléctricos. A las cargas que aparecen en la superficie del dieléctrico, son cargas inducidas, al fenómeno de inducción y desplazamiento se le conoce como polarización.
Las moléculas de un dieléctrico pueden clasificarse en polares y no polares. -Las moléculas polares son aquellas cuyo momento dipolar es permanente debido a su estructura. - Las moléculas no polares son aquellas donde sus átomos o moléculas no tienen un momento dipolar inherente
Molécula polar Molécula no polar Momento dipolar permanente
Teoría molecular de las cargas inducidas. Las moléculas como H 2, N 2, O 2, CO 2 (átomo de carbono), etc. son no polares. Las moléculas son simétricas y el centro de distribución de las cargas positivas coincide con el de las negativas. Por el contrario, las moléculas N 2 O (óxido nitroso), HCL (cloruro de hidrógeno) y H 2 O no son simétricas y los centros de distribución de carga no coinciden.
Bajo la influencia de un campo eléctrico, las cargas de una molécula no polar llegan a desplazarse como se indica en la siguiente figura, las cargas positivas experimentan una fuerza en el sentido del campo y las negativas en sentido contrario al campo. + + + + + +
Teoría molecular de las cargas inducidas. Este tipo de dipolos formados a partir de moléculas no polares se denominan dipolos inducidos.
Teoría molecular de las cargas inducidas. Las moléculas polares o dipolos permanentes de un dieléctrico están orientados al azar cuando no existe campo eléctrico, como se indica en la siguiente figura.
Teoría molecular de las cargas inducidas. Sean polares o no polares las moléculas de un dieléctrico, el efecto neto de un campo exterior se encuentra representado en la siguiente figura. Al lado de la placa positiva del capacitor, tenemos carga inducida negativa y al lado de la placa negativa del capacitor, tenemos carga inducida positiva.
Capacitor con dieléctrico Cargas inducidas + Cargas inducidas -
Teoría molecular de las cargas inducidas. Como se ve en la parte derecha de la figura, debido a la presencia de las cargas inducidas el campo eléctrico E entre las placas de un condensador con dieléctrico ε es menor que si estuviese vacío ε 0. Algunas de las líneas de campo que abandonan la placa positiva penetran en el dieléctrico y llegan a la placa negativa, pero otras terminan en las cargas inducidas. El campo y la diferencia de potencial disminuyen en proporción inversa a su constante dieléctrica k=є/є 0
Capacitor con dieléctrico. Se conecta un capacitor de placas planas y paralelas a una batería de 10 V. Los datos del capacitor son: Área de cada una de sus placas es 0.07 [m 2 ], la distancia entre las mismas es d=0.75 [mm]. Determinar: a) La capacitancia si el dieléctrico entre las placas es aire.
A 12 0.07 C0 0 8.85X10 8.85X10 3 d 0.75X10 10 La carga Q y la densidad de carga en las placas del capacitor es F Q CV Q A 8.85X10 8.85X10 0.07 9 10 X10 11.8X10 8.85X10 8 C m 2 9 C
El campo eléctrico en el espacio comprendido Entre las placas del capacitor es: 8 11.8X10 E 1.33X 0 12 8.85X10 10 0 4 N C
Si se desconecta el capacitor de la batería y se introduce un dieléctrico, por ejemplo, baquelita de k=4.6, determinar el valor de la capacitancia C 10 kc 4.6X 8.85x10 3.8X10 0 9 F
La diferencia de potencial disminuye V V V V Q C 2.17 8.25x10 3.8x10 V 9 9 kc 0
El campo comprendido en el espacio entre las placas es E E 13333.33 0 2898. 6 9 N k 4.6 C
Podemos considerar este campo E, como la diferencia Entre: El campo E o producido por las cargas libres existentes en las placas y El campo E i producido las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico. Ambos campos son de signos contrarios.
0 0 0 0 i i E i E E Con los datos contenidos en la expresión anterior se puede determinar la distribución superficial de carga inducida δ i en el dieléctrico. El campo E
El campo comprendido en el espacio entre las placas es 2898.6 11.8X10 8.85X10 10434.73 8.85 8 12 2898.6 13333.33 i i 8.85X10 i 12 8.85X10 12 C m 12 8 X10 9.23X10 2
Vector polarización El vector polarización, tiene una intima relación con la densidad superficial de carga inducida en el bloque del dieléctrico y que por convención se considera positivo cuando sale de las cargas negativas del material dieléctrico y tiene dirección hacia las cargas positivas de dicho material. Este se le conoce como el momento dipolar por unidad de volumen.
Vector polarización P p p q i V Es la distancia entre las cargas. V Es el volumen del dieléctrico Al
A q A A V q P i i i i i Con los datos contenidos en la expresión anterior se puede determinar la distribución superficial de carga inducida en el dieléctrico La magnitud del vector polarización es
El vector polarización se relaciona directamente con el campo eléctrico de la siguiente forma: P e E 0 Donde: La constante ji se denomina susceptibilidad eléctrica, es adimensional y nos indica la forma como se comporta una sustancia al ser introducida en una región en la que existe un campo eléctrico, y su valor es típico para cada sustancia. También se puede relacionar esta constante con la constante dieléctrica K e, llamada permitividad relativa
La permitividad del material ke 0 Al producto permitividad relativa (constante dieléctrica K e ) y permitividad del vacío se le denomina permitividad del material. ke 1 e Sustituyendo la penúltima en la última expresión se tiene 1 ke 0 e
Propiedades de algunos materiales
El vector desplazamiento se relaciona con el campo eléctrico como: D E ε es la permitividad Del material
El campo vectorial de la polarización eléctrica P, se representa mediante líneas que empiezan en las cargas inducidas negativas y terminan en las cargas inducidas positivas del dieléctrico, ya que el vector polarización esta en función de las cargas inducidas. El campo eléctrico, se representa por líneas que empiezan en cargas positivas y terminan en cargas negativas, sin importar si dichas cargas son libre o inducidas, ya que el campo eléctrico tiene relación con todo tipo de cargas.
0 0 1 ; e k e E D P E D 0 La relación entre los tres vectores es E E D E D e e 0 0 0 ; 1
Los tres vectores eléctricos
Ejemplo En la red de capacitores mostrada se tiene que la carga en el capacitor C 3 es q 3 = 120 [μc] después de aplicar una diferencia de potencial de V ad, entre dichos puntos, determine, en el SI: a) La energía almacenada en C 4 b) El valor de V ad c) El capacitor equivalente entre los puntos a y d. d) El dieléctrico que puede ser empleado en el capacitor C 3 sin daño alguno.
a) U 4 1 2 q C 2 4 4 ; q 3 q 4 12010 6 U 4 1 2 6 2 12010 6 60010 J 1210 6 b) V V V bc ab ad q C q C V 3 3 2 2 ab V 6 12010 40V 6 12010 10V ; V 10V 1210 bc 310 V cd 6 6 60 V ; q 2 cd q 3
c) C C C C ad 24 234 ad?; C C2C4 C C C C C d) V 2 1 2 24 en C3 C 24 C 4 3 234 serie con 610 8 6 63 6 3 F 2 F 2 10 F V m 40 6 V bc 40 ; E3 4010 6 10 El dieléctrico debe ser polietileno C 4 V m