De las fracciones a las razones y proporciones Por: Alejandra Cruz Bernal Figura. Fresh Orange Pieces Stock Photo (Grant Cochrane & freedigitalphotos.net, 0). Cuantas veces no te ha tocado ir a la tiendita de la esquina y pedirle al tendero un cuarto de jamón, medio litro de algún limpiador, o bien, en casa, para ʻcompartirʼ divides en varias partes una pizza, una fruta, alguna bebida o incluso las tareas domésticas! Cuando haces este tipo de procesos, estás fraccionando una unidad, es decir, la divides en partes iguales. A cada una de estas partes se le conoce como fracción. Un quebrado o fracción está conformado por dos elementos: un numerador y un denominador. Su representación matemática es: numerador (número de partes que se toman de la división) Fracción = denominador (número de partes en el que se divide la unidad) Una fracción o quebrado representa el cociente de una división donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. En este tema estás trabajando con el campo numérico de los números racionales.
Ejemplo: Juan tiene una naranja que desea compartir con sus hermanos que son tres: Tere, Luis y Mary, pero no sabe en cuántas partes tiene que dividirla para que todos coman la misma cantidad. Le puedes ayudar? Figura. Orange Fruit On White Stock Photo (Kasawa & freedigitalphotos.net, 0). Primero partirás la naranja en dos mitades iguales: Posteriormente, cada mitad se vuelve a dividir en otra mitad. Tere / Mary / Luis / Juan / Primera Mitad Segunda Mitad /4 /4 ¼ /4 Figura 3. Representación segmentada.
Como puedes observar, la solución fue dividir en partes iguales la unidad (en este caso, la naranja es la unidad). Pero por qué en la representación segmentada (que es igual a la recta numérica) la primera y segunda mitad aparecen con ¼ en lugar de ½? Si analizas el esquema donde se reparte a los cuatro hermanos, te darás cuenta de que la naranja entera (unidad) fue dividida en cuatro partes iguales. Si juntas cada parte, tendrás nuevamente la naranja completa! Cuántas partes de la naranja le tocaron a cada hermano? Una Numerador. En cuántas partes fue dividida la naranja? Cuatro Denominador. Fracción = numerador denominador = 4 Regresando nuevamente al esquema de la figura 3, dos cuartos son iguales a un medio? Efectivamente, /4 es equivalente a ½, por lo que /4 se conoce como una fracción reducible a ½. Una fracción es irreducible cuando se encuentra reducida a su mínima expresión, es decir, sus dos términos (numerador y denominador) son números primos. Tipos de fracciones Las fracciones se dividen en comunes y decimales. En las primeras, el denominador no es la unidad seguida de ceros; mientras que en la segunda, el denominador sí lo es. Los quebrados o fracciones comunes y decimales pueden ser propios, iguales a la unidad o impropios. También existen números mixtos, mejor conocidos como fracciones mixtas, conformados por una cantidad exacta de unidades y por una o varias partes iguales de la unidad. Las fracciones equivalentes son toda aquella fracción que puede ser reducible por un múltiplo en común. 3
Por ejemplo: Fracción Ejemplo Cantidad decimal Propia (numerador menor al denominador) Impropia (numerador mayor al denominador) Equivalente (Se divide el numerador y el denominador por el mismo múltiplo) /3 0.6666 /5. /4 = ½ (Se dividió el numerador y el denominador entre ) Igual 03/03 Mixta 3 /6 3.3333 Decimal 4/00 0.04 0.5 Algunos ejemplos de operaciones con fracciones: 5 + 5 = 3 5 4 5 5 = 3 5 Ahora bien, puedes realizar operaciones de suma y resta o multiplicación con diferentes denominadores, como se muestra en los siguientes ejemplos: 3 + 4 = Observa que el común denominador será, para este caso, la multiplicación de los denominadores que son: 3, y 4. Por tanto, el común denominador será: 4. 4
3 + = 4 4 Recuerda que se debe dividir 4 3 = 8, además de multiplicarlo por (que es el numerador de la primera fracción. Se debe considerar también el signo positivo del mismo). De igual forma, se divide 4 = y se multiplica por (que es el numerador de la segunda fracción. También se considera el signo positivo porque es el que tiene la fracción). Por último, se divide nuevamente el 4 4 = 6 y se multiplica por (que es el numerador de la tercera fracción. También se considera el signo negativo porque es el que tiene la fracción). Éste sería el resultado: 3 + 4 8 + 6 = = 4 4 4 La operación del numerador es una suma de números enteros positivos y negativos. Para este caso, al sumar las cantidades de signos iguales se obtiene que la cantidad mayor es la del signo positivo. Entonces, el resultado será positivo. Ahora solamente falta simplificar la fracción. Observa entre cuál número se puede dividir tanto el numerador, como el denominador (el número debe ser el mismo). Efectivamente si divides tanto el numerador como el denominador entre, tendrás una fracción simplificada: 4 = 4 Recuerda que para el caso de multiplicación por fracciones, la operación es lineal, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador, respetando la regla de los signos de la multiplicación y división: 4 7 5 () x( 5) 5 = = = ( 4) x() 8 5 8 Para el caso de la división por fracciones, la operación es cruzada, es decir, numerador (fracción ) por denominador (fracción ) resultado en el numerador y denominador (fracción ) por numerador (fracción ) resultado en el denominador, respetando la regla de los signos de la multiplicación y división: 5
5 6 8 () x( 8) 6 = = = (5) x(6) 30 Si observas, el resultado es negativo, ya que según la regla de signos: más por menos es menos (para el numerador); mientras que menos (del numerador) entre más (denominador) es igual a menos. Los ejemplos anteriores se trabajaron con fracciones propias y mixtas; asimismo, algunos de los resultados obtenidos son fracciones equivalentes. 8 5 Razones y proporciones La razón es la relación de comparación existente entre dos cantidades semejantes. La comparación puede tener dos formas de expresión: mediante una diferencia, es decir, una simple resta de una cantidad menos otra cantidad (razón aritmética), o bien, mediante una división o fracción (razón geométrica). En la razón geométrica, si se tiene una cantidad a (antecedente) y una b (consecuente), se dice que ʻa es a bʼ y se escribe!. Por tanto, el valor de la razón será el cociente (el resultado de la! división) de!!. Las razones geométricas conservan todas las propiedades de las fracciones o quebrados, ya que son números racionales. Razón inversa Si se tiene una razón expresada como: a Pero se debe establecer una relación inversa por la naturaleza del problema o situación que se vaya a resolver, entonces se intercambian los términos: b b a Una forma simple de ejemplificar cómo se lee una proporción es cuando se dice: 6
Existen 5 libros de poemas por cada 3 libros de aventuras.!"!" (Se lee: ʻ5 es a 3ʼ) Cuando dos razones son comparadas entre sí para observar su comportamiento, se le llama proporción numérica. Una proporción es una ecuación en la que sus miembros son razones. En otras palabras, cuando dos razones se igualan una a otra, se forma una proporción. a b = c d (Se lee: a es a b como c es a d)!! =!! (Se lee: es a 3 como 4 es a 7) La propiedad fundamental de las proporciones es que el producto de los extremos es igual al de los medios: a b = c d a d = c b Cuando se necesita resolver un problema que involucra proporciones, se debe tener la certeza de saber si la proporción es directa o inversa. Por ejemplo: El tiempo que tardas en trasladarte de un lugar a otro depende directamente de la velocidad con la que los hagas, por lo que sería una proporción directa; mientras que, si necesitas organizar una pila de documentos, el tiempo que te llevará será menor en proporción al número de personas que te apoyen en esa actividad. Interesante, verdad? Ahora bien, cuando se resuelven problemas de proporciones directas, se utiliza la regla de tres simple directa. 7
Regla de tres directa simple La regla de tres simple directa permite conocer el valor de la variable que se encuentra en uno de los términos de la proporción. Por ejemplo:. Un niño juega con su bicicleta en el parque. Le da vueltas completas a la glorieta que mide 400 m de diámetro en 30 minutos. Cuántos vueltas habrá dado en horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más tiempo dará más vueltas. vueltas 30 minutos x vueltas h (0 minutos) x = 30 0 0 x = = 8 vueltas 30. Mariana ha decidido ponerse bajo estricto régimen de ejercicio para bajar de peso. Su peso actual es de 76.3 kg. Si su meta es tener un peso aproximado de 65 kg, cuál sería el porcentaje de peso que quiere bajar? Si en promedio baja al mes un 6 %, cuántos meses aproximadamente necesitaría para lograr ese peso? Las cifras que aparecen en el problema son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos peso, menos porcentaje. 76. 3 kg 00 % 65 kg x porcentaje correspondiente a ese peso 76. 3 65 = 00 x 65 00 x = = 85. 9 % 76. 3 Por lo tanto, el porcentaje de peso que bajaría sería de: 00 % - 85.9 % = 4.8 % El número de meses que necesitaría para bajar ese peso sería: 8
mes 6 % X meses 4. 8 % = 6 x 4.8 x = 4 6 =. 3 meses (Aproximadamente 9 semanas) Ahora bien, cuando en la situación tienes una inversión en las proporciones, debes resolverla mediante una regla de tres simple inversa. Regla de tres simple inversa La regla de tres simple inversa permite conocer la variable existente en uno de los términos de la proporción, siempre y cuando una de las proporciones se haya invertido. Para aclarar más este procedimiento revisa los siguientes ejemplos. Por ejemplo:. Juan y sus tres hermanos trabajan en el campo. Recogen 8 arpillas de zanahoria al día, por lo que tardan 4 días en llenar una bodega de 400 m. Cuánto tardaría Juan en llenar la bodega si él solo realizará la labor y recogerá 7 arpillas por día? Las cantidades del problema son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos arpillas por día tardará más en llenarse la bodega. 8 arpillas 4 días 7 arpillas x días 7 8 = 4 x x = 8 4 7 = 36 días. Si 3 jardineros podan el césped de los parques de Pueblo Feliz en horas, cuánto tardarán en podarlo 6 jardineros? Las cantidades del problema son magnitudes inversamente proporcionales, ya que más jardineros tardarán menos horas en podar los parques. 3 jardineros h 6 jardineros x h 9
6 3 = x x = 3 6 = 6 h A través de la presente lectura has tomado conciencia de las diferencias que existen entre las razones y proporciones directas e inversas. Al identificar cuándo tienes una proporción directa y una inversa en la situación o problema a resolver, asegurarás la aplicación del procedimiento correcto (regla de tres simple directa o inversa). Referencias de las imágenes Grant Cochrane & Freedigitalphotos.net (0). Fresh Orange Pieces Stock Photo. Recuperada de http://www.freedigitalphotos.net/images/fruit_g04-fresh_orange_pieces_p57608.html (Imagen publicada bajo licencia Royalty Free de acuerdo a: http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php). Kasawa, J. & Freedigitalphotos.net (0). Orange Fruit On White Stock Image. Recuperada de http://www.freedigitalphotos.net/images/fruit_g04-orange_fruit_on_white_p5083.html. (Imagen publicada bajo licencia Royalty Free de acuerdo a: http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php). 0