Axiomas del Cálculo de Predicados Si bien el cálculo proposicional nos permitió analizar cierto tipo de razonamientos y resolver acertijos lógicos, su poder expresivo no es suficiente para comprobar la validez de algunos razonamientos muy simples. Un caso paradigmático es el de los silogismos. Uno de los ejemplos considerados es el siguiente: Las vacas son mamíferos. Hay animales que no son mamíferos. Hay animales que no son vacas. Si quisiéramos analizar este razonamiento usando el cálculo proposicional nos quedaría una forma inválida (viz. vm am av) ya que cada premisa, así también como la conclusión es una proposición elemental distinta (ordenadamente, vm, am y av). Para poder demostrar la validez de este tipo de razonamientos va a ser necesario disponer de herramientas que permitan analizar la estructura interna de las proposiciones elementales. 1. Predicados Un predicado es una función que devuelve un booleano, es decir, F es un predicado si y sólo si el tipo de F es así: F : Bool, donde los pueden ser cualquier tipo. Por ejemplo el predicado menor o igual toma dos números como argumentos; el predicado esmujer toma personas como argumentos: : Num Num Bool, esmujer : P ersonas Bool. Cuando se estudia formalmente el sistema de la lógica, es necesario especificar el lenguaje que se usa. Para ello se introducen de manera explícita los nombres o símbolos de predicados así también como los nombres o símbolos de función pertinentes. Por ejemplo, si se quiere trabajar con un sistema formal para la aritmética, se tendrán símbolos de predicado para la igualdad, las desigualdades, etc, y símbolos de función para el cero, el sucesor de un número, la suma, etc. Los símbolos de predicado nos permitirán construir nuevas proposiciones elementales, extendiendo de esta manera al cálculo proposicional. Por otro lado, se introducirán los conceptos de cuantificación universal y existencial. Dado un conjunto de símbolos de predicado y otro de símbolos de función, el cálculo puro de predicados tendrá como axiomas y reglas de inferencia a las del cálculo proposicional y las de las cuantificaciones. Por otro lado, cuando se quiera trabajar en una teoría determinada (por ejemplo la aritmética) se introducirán axiomas que expresen las propiedades que deben satisfacer las operaciones y predicados que aparecen en el lenguaje. 2. Axiomas y teoremas básicos sobre el cuantificador universal Enumeramos a continuación los axiomas que definen la cuantificación universal. Ésta surge cuando se formaliza la noción de para todo x ; por ejemplo, cuando uno dice en matemática
2 n es par, con n entero. lo que en realidad está diciendo es Para todos los n enteros, 2 n es par. Esta misma afirmación se escribe usando nuestra notación de la siguiente manera: ( n : enteros.n : par.n) (1) donde enteros.n es true si y sólo si n es entero, y par.n es true si y sólo si n es un entero par. Lo que se ha indicado aquí es el significado ( semántica ) que modela el comportamiento formal ( sintáctico ) de la cuantificación universal. Una vez que se consiguen los axiomas, uno puede trabajar sin preocuparse por la significación de cada expresión utilizada, siempre que se manipulen usando las reglas exactamente como han sido especificadas. Sin embargo, siempre es conveniente tener en mente qué está tratando de probar uno, a modo de verificación. El formato general de una cuantificación universal es el siguiente: ( var. de cuantificación : rango : término) donde rango y término son expresiones de tipo Bool, es decir, que pueden devolver sólo los valores true o false (ejemplo: n 2 es una tal expresión; para cada n es verdadera o falsa. n 2 no). Si en el rango figura la expresión constante true, la omitiremos para ahorrar tinta: Axioma 1. ( x : : f.x) ( x : true : f.x) El primer axioma que introduciremos es el de Intercambio entre rango y término: Axioma 2. ( x : r.x : f.x) ( x : : r.x f.x) Usando el ejemplo de más arriba, este axioma nos dice que es lo mismo escribir Para todos los n enteros, 2 n es par que Para todos los n, si n es entero entonces 2 n es par. Dado que el cuantificador universal es una generalización de la conjunción, algunas propiedades de ésta pasan al primero. Por ejemplo, la Distributividad de con : Axioma 3. X ( x : : f.x) ( x : : X f.x), siempre que x no ocurra en X. y la Distributividad con con (o bien Regla del Término): Axioma 4. ( x : : f.x) ( x : : g.x) ( x : : f.x g.x) Estos dos axiomas han sido enunciados para el caso que el rango sea exactamente true, pero para el caso de la distributividad con el podemos demostrar que vale en general para cualquier rango, es decir: Teorema 5. X ( x : r.x : f.x) ( x : r.x : X f.x), donde x no ocurre en X X ( x : r.x : f.x) { Intercambio entre rango y término } X ( x : : r.x f.x) { Caracterización de : p q p q aplicado al término } X ( x : : r.x f.x) { Distributividad de con (x no ocurre en X) } ( x : : X r.x f.x) { Conmutatividad de, Caracterización de } ( x : : r.x X f.x) { Intercambio entre rango y término } ( x : r.x : X f.x) 2
El teorema que sigue formaliza la siguiente idea: es equivalente afirmar que para todos los x que satisfacen r.x ó s.x se da f.x 1 a decir a la vez que para todos los x que satisfacen r.x se da f.x y para todos los x que satisfacen s.x se da f.x Teorema 6. Partición de rango. ( x : r.x : f.x) ( x : s.x : f.x) ( x : r.x s.x : f.x) ( x : r.x : f.x) ( x : s.x : f.x) { Intercambio entre rango y término y Caracterización, dos veces } ( x : : r.x f.x) ( x : : s.x f.x) { Distributividad de con } ( x : : ( r.x f.x) ( s.x f.x)) { Distributividad de con } 2 ( x : : ( r.x s.x) f.x) { de Morgan } ( x : : (r.x s.x) f.x) { Caracterización e Intercambio entre rango y término } ( x : r.x s.x : f.x) Aplicando este teorema a nuestro ejemplo (1), podemos tomar r.n igual a n es un entero positivo o cero, s.n igual a n es un entero negativo y obtenemos la equivalencia entre y Para todos los n enteros, 2 n es par. Para todos los n enteros positivos o cero 2 n es par y para todos los n enteros negativos 2 n es par Esto funciona ya que decir r.n s.n ( n es un entero positivo o cero o n es un entero negativo ) es una forma de decir n es un entero. El axioma de Rango unitario dice que si hay un único x posible, digamos X, decir que algo vale para todos los x equivale a decir que vale para ese ejemplo: Axioma 7. ( x : x = Y : f.x) f.y, tal que Y no ocurra en f.x Ejemplo: para todo n tal que n es 3, 2 n es par es equivalente a 2 3 es par. Cuando uno dice que f.x vale para todos los x, debería valer en particular para cualquier x arbitrario que uno tome, verbigracia, x = Y. Esta idea se resume en el siguiente teorema, que denominamos Regla de Instanciación. Teorema 8. ( x : : f.x) f.y, tal que Y no ocurra en f.x Usando la definición dual de, tenemos que el teorema dice ( x : : f.x) f.y ( x : : f.x). Probemos esto último: 1 Este o es inclusivo, como siempre. 2 Notar que indicamos quién distribuye con quién. 3
( x : : f.x) { Rango true } ( x : true : f.x) { Absorvente del } ( x : true x = Y : f.x) { Partición de rango } ( x : true : f.x) ( x : x = Y : f.x) { Rango true y Rango unitario (notar que valen las hipótesis) } ( x : : f.x) f.y En la regla de Intercambio de cuantificadores (a continuación) interviene más de una cuantificación. Nuestro primer ejemplo no sirve en este caso, pero podemos reemplazarlo por otro igualmente simple: decir que para todos los m se da que para todo n, 2 (m n) es par es lo mismo que decir para todos los n se da que para todo m, 2 (m n) es par : Axioma 9. ( x : : ( y : : f.x.y)) ( y : : ( x : : f.x.y)) En virtud de que en castellano cualquiera de las proposiciones anteriores las resumimos diciendo para todo m y n, 2 (m n) es par, de ahora en más escribiremos los cuantificadores anidados del siguiente modo: Axioma 10. ( x, y : : f.x.y) ( x : : ( y : : f.x.y)) El teorema que sigue recibe del nombre de Cambio de variable: Teorema 11. ( x : r.x : f.x) ( y : r.y : f.y), tal que y no ocurra en f.x y x no ocurra en f.y ( y : r.y : f.y) { Rango unitario, aplicado al término tomando Y := y } ( y : r.y : ( x : x = y : f.x)) { Intercambio entre rango y término en y, Caracterización } ( y : : r.y ( x : x = y : f.x)) { Distributividad de con, x no ocurre en r.y } ( y : : ( x : x = y : r.y f.x)) { Intercambio entre rango y término en x, Caracterización } ( y : : ( x : : x = y r.y f.x)) { Intercambio de cuantificadores } ( x : : ( y : : x = y r.y f.x)) { Caracterización, Intercambio entre rango y término en x } ( x : : ( y : x = y : r.y f.x)) { Rango unitario (del y, obvio con el otro no se puede) } ( x : : r.x f.x) { Caracterización, Intercambio entre rango y término en x } ( x : r.x : f.x) 4
Aplicado a nuestro primer ejemplo, afirma que es exactamente lo mismo decir Para todos los n enteros, 2 n es par que decir Para todos los x enteros, 2 x es par, y asimismo reemplazando x por cualquier otra variable. Por esa razón, a las variables de cuantificación se las denomina variables bobas, porque lo único que hacen es indicar qué se cuantifica, pero (por ejemplo) no pueden ser reemplazadas por un valor. No tiene sentido decir ( 10 : enteros,10 : par,10) que se obtiene reemplazando n por 10 en (1) ( Para todo 10 ya suena bastante ridículo). Otro ejemplo de variable boba es el dado por las variables de derivación: para decir integral de f, uno escribe f(x)dx f(y)dy y es lo mismo, pero no tiene sentido decir f(5)d5. 5