Hoja de Trabajo 4 Ondas y otaciones Dináica de las otaciones V Jaie Feliciano Hernández Universidad Autónoa Metropolitana - ztapalapa Méico, D. F. 5 de agosto de 0 A. ACTVDAD NDVDUA. En esta Hoja de trabajo vereos algunos probleas con todo detalle. De anera individual estudiarlos a profundidad, copletar los pasos que no se uestran y elaborar una lista de dudas sobre su resolución. Presentar estas dudas al grupo, al ayudante y al profesor hasta resolverlas. Ejeplo. Tres partículas de asas. kg,. kg y. 5kg están en los vértices de un triángulo rectángulo de lados, 4 y 5, coo se uestra en la figura. A) Hallar la inercia de rotación en torno a los ejes que pasan por cada una de las tres partículas. B) Hallar la inercia rotacional en torno a un eje perpendicular al plano XY y que pasa por el centro de asa. A) Sabeos que la inercia rotacional está definida con la epresión: Con respecto a ; i r i a) Con respecto al eje que pasa por la asa las distancias de las otras partículas son: para y 4 para. Así que los distintos valores de son: r r 5.8kg (.kg)(0) r Con respecto a ; r (.kg)() 58.kg (.kg)() r r (.kg)(0) (.5kg)(4) (.5kg)(5) Con respecto a ;
Hoja de Trabajo 4 Alrededor de qué eje se requiere ayor esfuerzo? Alrededor de cual se requiere enor esfuerzo para hacer rotar al sistea? B) Para este caso priero debeos encontrar las coordinadas del centro de asa. Si recordaos, la definición de la Hoja de trabajo 6, teneos: Sustituyendo los valores: r (.kg)(4) 6.8kg r r (.kg)(5) (.5kg)(0) Hay ayor inercia rotacional cuando se coloca un eje que pasa por la asa, y si consideraos que la inercia es una edida de la resistencia al oviiento (o a detenerlo) entonces con respecto a este eje se requerirá ayor esfuerzo. Por el contrario, con respecto al eje que pasa por la inercia rotacional es enor y por ello se requiere enor esfuerzo para realizar la rotación o para detenerla. y c c y M N N y y N N j N M N N y N j (.kg)(0) (.kg)(0) (.5kg)(4) c.kg.kg.5kg 0.857 (.kg)(0) (.kg)() (.5kg)(0) y c.kg.kg.5kg.74 j j y j j Ahora podeos calcular la distancia al eje para cada partícula coo r, r y r : Así: r y ( 0.857 ) (.74 ).65 Análogaente: r ( y y ) (0.857 ) (.74 ).869 r ( (4 0.857 ) ) y (.74 ).7585
Hoja de Trabajo 4 Por lo tanto, la inercia rotacional iri con respecto al eje (.kg)(.65 ) (.kg)(.869 ) (.5kg)(.7585 ) que pasa por el centro de asa es: 4.540kg Con respecto al eje que pasa por el centro de asa la inercia rotacional es ayor, y eso significa que se requiere de un ayor esfuerzo para iniciar la rotación con respecto a este eje, o cuando ya está en rotación costaría un esfuerzo ayor detener al sistea. Ejeplo. El objeto ostrado en la figura consta de dos partículas de asas y, unidas por una varilla rígida de longitud. A) Despreciando la asa de la varilla, halle la inercia rotacional de este sistea para rotaciones alrededor de un eje perpendicular a la varilla y a una distancia de. B) Deuestre que es ínia cuando. Para calcular la inercia rotacional epleaos la epresión: Donde r y r son las distancias de las partículas al eje de rotación. Para este caso, y considerando la geoetría del problea, la inercia rotacional es: Ahora quereos encontrar el valor ínio de esta epresión, por lo que aplicaos el criterio que proviene del cálculo diferencial; priero encontraos la derivada con respecto a las posibles variaciones de : Ahora igualaos a cero: ir r d d d d i r ( ) { ( ) } ( )( ) d ( )( ) 0 d ( ) 0 ( ) 0
Hoja de Trabajo 4 ( ) 0 Distribuyendo y factorizando: ( ) 0 Despejaos el valor de : ( ) ( ) Definios a esta cantidad coo: ( ) MN ( ) ( ) Así que cuando ( ) la inercia rotacional alcanza un valor crítico. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Factorizando: Cóo sabeos que este es un valor ínio? Podeos graficar la función para algunos valores de y ; la gráfica es la de una parábola, y uestra un valor ínio. ) ( 4
Hoja de Trabajo 4 Podeos reescribir la derivada de coo: Ahora la segunda d d { ( ) } { ( } ) d d d Queda claro que > 0 es la condición para un ínio! d derivada es: { ( ) } ( ) Considereos ahora el sistea con la referencia indicada: En esta configuración el ( ) ( centro de asa es: ) Observeos que MN Veos que cuando MN, entonces 0, es decir que la inercia rotacional es ínia cuando el eje de rotación pasa por el centro de asa. Ejeplo. Un péndulo consta de un cuerpo de asa 0. 7kg y en el etreo de una varilla rígida de longitud. 5 cuya asa es despreciable. A) Cuál es la agnitud de la torca debida a la gravedad en torno al punto O en el instante en que el péndulo se desplaza coo se uestra a través de un ángulo de θ 0 de la vertical? B) Cuál es la dirección de la torca en torno a O en ese instante? Depende su dirección de que el péndulo se desplace hacia la izquierda o hacia la derecha de la vertical? A) Podeos usar la ecuación para la torca: De la figura, veos que la coponente de la fuerza que contribuye a la torca es gsen (θ ) : r r r τ F τ r F gsen(θ ) 5
Hoja de Trabajo 4 Para un ángulo de θ 0 : τ gsen( 0 ) Sustituyendo: τ (.5)(0.7kg)(9.8 / s ) sen(0 ) τ 0. 6N B) Podeos aplicar la regla de la ano derecha, para ver que, con el desplazaiento coo se uestra, la torca alrededor del punto O sale del plano del papel. Si el péndulo se desplaza hacia el lado opuesto de la vertical, la torca tiene la dirección opuesta. En estas condiciones, el efecto de la torca es producir una aceleración angular paralela. En cada caso la aceleración angular tiende a over al péndulo hacia su posición de equilibrio para restituir al péndulo en su posición alrededor de la cual oscila. Hay un cabio en la dirección de la torca porque se invierte la dirección de la fuerza que es tangencial al oviiento. Cuando el péndulo va a la derecha la torca entra a la superficie del papel. Cuando el péndulo va a la izquierda la torca sale a la superficie del papel. Ejeplo 4. En un parque de diversiones el papá de un niño epuja un tiovivo, ejerciendo una fuerza F de 5 N de agnitud en un punto P de la periferia. Situado a una distancia de r. 75 del eje de rotación. a fuerza se ejerce en una dirección que fora un ángulo de debajo de la horizontal, y la coponente horizontal de la fuerza está en una dirección de 5 hacia adentro de la tangente en P. Hallar la agnitud de la coponente de la torca que acelera al tiovivo. 6
Hoja de Trabajo 4 Solaente la coponente horizontal de F produce torca. De la gráfica podeos F ver que a lo largo de la línea horizontal, la h F cos( ) 97. 5N fuerza perpendicular a r es F cos( ). De la isa anera, la coponente F Fh cos( 5 ) 94. N perpendicular de la fuerza es: Así pues, la torca (vertical) a lo largo del τ rf (.75)(94.N) 65. N eje de rotación es: a coponente de F h paralela a r( Fh sen 5 ) no produce torca alguna en torno al eje de rotación, y la coponente vertical de F ( Fsen ) produce una torca perpendicular al eje que tendería a ladear la platafora giratoria afuera del plano horizontal (porque el padre está epujando hacia abajo sobre la platafora) si a esa torca no se le opusiera esa torca igual y contraria desde las chuaceras. El padre debe ejercer una torca que eceda a cualquier torca por fricción proveniente de las chuaceras. Cuando el padre deja de epujar, esta torca por fricción, que ahora actúa sola, hace ás lento el giro del tiovivo hasta que consigue frenarlo y llevarlo al reposo. Ejeplo 5. a figura uestra un disco unifore de asa M. 5kg y radio 0c ontado en un eje horizontal fijo (sin fricción). Un bloque de asa. kg cuelga de un cordón que pasa alrededor del borde del disco. Hallar la aceleración del bloque al caer, la tensión del cordón y la aceleración angular del disco. a figura (b) uestra un diagraa libre de cuerpo para el bloque. El bloque se acelera hacia debajo de odo que su peso g debe eceder la tensión T del cordón a fin de que se produzca el oviiento. Considereos coo positiva la dirección hacia abajo, por lo que de la segunda ley de Newton teneos: 7
Hoja de Trabajo 4 F g T a (A) a figura (c) uestra un diagraa libre de cuerpo para el disco. a única torca que actúa sobre el disco, toada con respecto a su eje de rotación es T porque la tensión es perpendicular al radio. Por otra parte, aplicando la segunda ley de Newton en la fora angularτ α, con y la inercia de rotación del disco es M y la relación entre la aceleración angular y la lineal ( a α ), teneos: T α M a T Ma (B) g Ma a Cobinando (A) y (B): Sustituyendo: g M a g a M g a M ( ) (.kg)(9.8 / s ) a (.5kg (.kg) a 4.8 / s a aceleración al caer es enor que g, Así que podeos sustituir en la T (.5kg)(4.8 / s ) 6N ecuación (): a tensión en el cordón de 6N es enor que el peso del bloque colgante ( g (. Kg)(9.8 / s ). 76N Ejeplo 6. esolver el Problea 5 desde el punto de vista del trabajo y la energía. Supongaos que el sistea ha salido del reposo. o eainaos ás tarde cuando el bloque ha caído una distancia ; en ese punto el bloque se ueve a una velocidad v, y el disco está girando a una velocidad angular ω. Si el cordón no se desliza sobre el disco, entonces v ω ; adeás, cuando el bloque cae una distancia, el disco debe girar un ángulo φ de odo que φ Considereos tres sisteas diferentes:. Sistea bloque disco. a gravedad (la única fuerza eterna) efectúa un trabajo eterno g sobre el sistea al overse el bloque hacia abajo una distancia. El trabajo eterno neto es, entonces, 8
Hoja de Trabajo 4 W et g No eiste un trabajo de fricción efectuado en el eje (sin fricción) o entre el cordón y el disco (donde no eiste oviiento relacionado). El cabio en la energía cinética es la energía cinética final, puesto que el sistea fue liberado desde el reposo: ΔK K K ω El teorea del trabajo-energía nos da: f i v Por lo tanto W et ΔK ω g v Epleando la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal: v g v Despejando: v g M a cantidad entre corchetes es precisaente la aceleración que encontraos antes., pues si la coparaos con la ecuación lineal v v0 a, y coo se parte del reposo, claraente es correcto el valor encontrado.. Sistea bloque. Aquí el trabajo eterno sobre el sistea es efectuado por la gravedad y por la tensión en cordón: W neto g T El cabio en la energía cinética del sistea (el bloque) es precisaente v, y el teorea trabajo-energía nos da: g T v Sustituyendo el resultado para v, podeos deostrar que esto da la tensión hallada en la solución al Problea 5.. Sistea disco. En este caso, solaente T ejerce un trabajo eterno y al usar la ecuación para una rotación en un ángulo total φ efectuad por la torca constante T, obteneos: 9
Hoja de Trabajo 4 W neto Tφ T Y el cabio en la energía cinética del sistea (el disco) es Δ ω v K M Al aplicar nuevaente el teorea de trabajo-energía, obteneos: 4 Mv T Mv 4 Este resultado es consistente con los encontrados antes. Ejeplo 7. Un yoyo de asa M 0. 0k, que consta de dos discos de radio. 6c unidos por un eje de radio 0 0. c, está girando en el etreo de un cordón de longitud 0. 84 con una velocidad angular ω 0. Qué velocidad angular se necesita para que el yoyo suba por el cordón? Suponga que el cordón tiene un espesor despreciable. Al coenzar la subida, sólo eiste energía cinética de rotación, pero al final, ésta es, en parte energía cinética de rotación, en parte energía cinética de translación, y en parte energía potencial gravitatoria. ω 0 ω Mv Mg Donde ω y v son las velocidades finales angular y lineal. No podeos resolver este problea para un yoyo real, pero podeos hacerlo para un yoyo ideal con un cordón de espesor despreciable hallando la condición necesaria para que el yoyo llegue justo a la ano (llegando con v ω 0 ): ω 0 Mg Usando la inercia de rotación de un disco ( M ) y despreciando la contribución del eje a la inercia de rotación, resolveos para ω 0 y hallaos: ω 4g 4(9.8 / s )(0.84) (0.06) rad / s 0 5 rev / s Esta es una velocidad de rotación bastante baja, pues son counes las velocidades de 00 rev / s, especialente si el yoyo es lanzado hacia debajo de odo que su energía de translación inicial se convierte en energía de rotación. En el caso de una velocidad lineal inicial grande, llegaría a la ano con una velocidad lineal considerable. De hecho, un truco uy conocido consiste en soltar el cordón del dedo en el últio oento, peritiendo que la velocidad vertical del yoyo lo lleve a varios etros hacia arriba. 0
Hoja de Trabajo 4 a interacción de las energías cinéticas de translación, de rotación, y de la potencial gravitatoria es la causante del coportaiento del yoyo y de uchos trucos que pueden hacerse con él. Problea 8. Un cilindro de asa M y radio rueda hacia abajo sin deslizaiento por un plano inclinado de longitud y altura h. Hallar la velocidad de su centro de asa cuando el cilindro llega a la parte baja del plano. Un objeto que rota puede pensarse que lo hace con respecto a un eje que pasa por el punto de contacto con la superficie horizontal. Ese es un eje instantáneo, y en este caso se trata del punto B. a energía cinética de rotación será: E c B ω Por el teorea de los ejes paralelos, podeos escribir: h M B Donde h es la distancia del punto B al centro de asa, por lo que:
Hoja de Trabajo 4 E E ( h M ) ω c c ω h Mω En este caso lineal: h, y usando la relación entre la velocidad angular y la velocidad E c ω ω M E c ω ( ω) M E c ω v M Esta relación epresa uy claraente que la energía cinética de un objeto en rotación con respecto a un eje instantáneo de rotación, que es virtual, se puede separar en dos parte: una energía de rotación con respecto al centro de asa, ás una energía de translación del centro de asa. Así que, para resolver este problea usaos la conservación de la energía. El cilindro está inicialente en reposo. En la parte superior, la energía potencial es ΔU Mgh, y en la parte ás baja, ésta se transfora totalente en energía cinética de rotación ás la energía cinética de translación. Mgh Mv ω (C) Usando las relaciones para la nercia rotacional del cilindro velocidad angular: Mgh Mv M v M y la de la Por lo tanto: Mgh Mv Mv 4 4 Mv 4 v gh (D) Observeos que si el objeto no rotara al bajar, es decir que bajara deslizándose entonces no aparece el segundo suando del lado derecho de la ecuación (C):
Hoja de Trabajo 4 Así que la velocidad adquiere el valor: v gh (E) Si coparaos los dos valores, de las velocidades epresados en las ecuaciones (D) y (E), podeos ver que por el hecho de rotar, parte de la energía de translación se ocupa en producir el oviiento de rotación, por eso el resultado de la ecuación (D) es enor que el de la ecuación (C). Ejeplo 9. Una esfera, un cilindro y un aro coienzan desde el reposo y ruedan abajo por el iso plano inclinado, coo se uestra en la figura. Cuál de todos llega priero al fondo? Vaos a resolver este problea coparando las aceleraciones de los centros de asa de los tres objetos. El que tenga una aceleración ayor será el que llega priero al fondo. A partir de los cálculos anteriores, teneos la siguiente ecuación general para el oviiento a lo largo del plano: Mg senθ f Ma Donde la fuerza de fricción es: f α a Que es la fuerza que produce la torca que produce la rotación del objeto. Ahora, cobinando estas ecuaciones teneos: a Mg senθ Ma Podeos despejar la aceleración que se aplica para los tres objetos: a Mg senθ Ma Mg senθ M a
Hoja de Trabajo 4 a Mg senθ M a g senθ M (F) Ahora la aplicaos para cada objeto: Esfera: g senθ 5 a g sen θ 0. 74g sen θ M 5 7 5 Cilindro: g senθ a g sen θ 0. 667g sen θ M Aro: g senθ a g senθ g senθ 0. 5 M ( ) M 5 M M Claraente la esfera tiene una aceleración ayor y es la priera que llega al fondo. uego le sigue el cilindro y finalente el aro. a razón se puede eplicar de la siguiente anera. a esfera tiene ás copacta su constitución y puede aceptar la rotación con el enor costo de energía cinética, puesto que su inercia rotacional es la ás pequeña de las tres. Observa la Tabla de algunos valores de nercia otacional de diferentes cuerpos que se encuentra en la Hoja de trabajo, y responde a las siguientes preguntas Si pones a copetir los diferentes cuerpos en un plano inclinado, cuál es la aceleración en cada caso? Cuál llegará priero al piso? Puedes pensar en un juego para construir tu Proyecto ntegrador? Ejeplo 0. A un cilindro sólido unifore de radio c y de asa M. kg se le da una velocidad angular ω 0 5 rev / s (en el sentido de las anecillas del reloj) y luego se le hace descender a una superficie horizontal plana. El coeficiente de fricción cinética entre la superficie y el cilindro es μ 0.. nicialente, el cilindro k 4
Hoja de Trabajo 4 se desliza al overse a lo largo de la superficie, pero después de un tiepo t inicia un rodaiento puro sin deslizaiento. A) Cuál es la velocidad v del centro de asa en el tiepo t? B) Cuál es el valor de t? A) En la figura se uestran las fuerzas que actúan sobre el cilindro. Puesto que todas las fuerzas son constantes ientras ocurre el desplazaiento, la aceleración a del centro de asa en la dirección es constante. Entonces, para el oviiento de translación, podeos escribir: v f vi a t 0 Pues la aceleración es constante, y consideraos la variación desde el valor inicial en la velocidad, al tiepo cero, y la velocidad final al tiepo. En este caso, la sua de las fuerzas debe producir un oviiento con esa aceleración: v f vi F Ma M t 0 a única fuerza horizontal es la fricción, que es el producto del coeficiente de fricción y la fuerza noral, que es precisaente el valor del peso: v μ k Mg M t a aceleración angular α alrededor de un eje que pase por el centro de asa es tabién constante, de odo que, para el oviiento de rotación, podeos escribir: ω f ωi τ α t 0 Aquí, eligiendo que las rotaciones en sentido contrario a las anecillas sean v positivas, ω f, la velocidad angular en el tiepo t, y ω i ω0. Solaente la fuerza f produce una torca en torno al centro de asa; la torca resultante es μ kmg, una cantidad positiva. Usando τ α, obteneos v ( ω0 ) μ kmg M t 5
Hoja de Trabajo 4 Eliinando t de esas ecuaciones y despejando v, obteneos: v c ω 0 ( 5 rev / )( π rad / rev)( 0. ).8 / s Nótese que v no depende de los valores de M, g o μ k. Sin ebargo, qué ocurriría si cualquiera de estas cantidades fuera cero? B) Al eliinar a v de las ecuaciones anteriores, podeos despejar a t y hallar: ω0 t μ g k.8s B. ACTVDAD NDVDUA. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conociientos construidos en esta actividad, que consiste en: a) El apa conceptual ndividual, los eleentos que se han ido agregando en cada punto. a) El apa conceptual del equipo. b) as respuestas personales. c) as aportaciones del equipo. 6