Matemáticas aplicadas a las iencias Sociales II Resuelve Página 07 Resolución de inecuaciones lineales Para representar x y, representa la recta de ecuación y x =. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad. y x Ì Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x + y > 0 b) x + y 6 c) x + y 0 a) x + y > 0 b) x + y Ì 6 c) x + y Ì 0 Resolución de sistemas de inecuaciones Representa el recinto formado por las siguientes condiciones: y x x+ y 0 x+ y 6 x+ y 0 x + y = 0 y x = x + y = 0 x + y = 6
Programación lineal para dos variables. Enunciado general Página 6 Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:, y 3, x + y 0, y 3x verigua en qué puntos se hace máxima y mínima la función F (x, y ) = x + 3y. Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan: x + y = 0 D y = 3x y = 3 0 x + 3y = 0 x = 0 ( 03, ) y = 3 x = 0 x y 0 ( 00 + =, ) x + y= 0 y= 3x ( 6, ) D( 3, ) y= 3x y = 3 F ( ) = F (0, 3) = 9 F ( ) = F (0, 0) = 30 F ( ) = F (, 6) = 3 F (D ) = F (, 3) = 7 F (x, y) = x + 3y se hace mínima en (0, 3) y máxima en (, 6). Representa el recinto definido por estas inecuaciones: x 0 x y y x 6 3x + y 3 En qué punto la función F (x, y ) = 0x + y alcanza el valor máximo? Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan: D y z = 6 3x + y= 3 ( 8, ) 3x + y= 3 x = y (, ) y x = 6 x = 0 x = y 3 x = 0 ( 0, 0) x = 0 y x = 6 D( 0, 6) x = y 3x + y = 3 F ( ) = F (, 8) = 30 F ( ) = F (, ) = F ( ) = F (0, 0) = 0 0x + y = 0 F (D ) = F (0, 6) = 90 Representamos después la dirección de las rectas que son de la forma 0x + y = K. F (x, y) = 0x + y alcanza el valor máximo en el punto D (0, 6).
3 En una confitería se elaboran tartas de nata y de manzana. ada tarta de nata requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, kg de azúcar y 6 huevos. En la despensa quedan 0 kg de azúcar y 0 huevos. uántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos por su venta sean máximos? onsidera tres casos: a) Sus precios son: t. nata, ; t. manzana,. b) Sus precios son: t. nata, 6 ; t. manzana,. c) Sus precios son: t. nata, ; t. manzana, 0. notamos los datos en una tabla: Restricciones del problema: cantidad (kg) huevos azúcar nata x 8x (/)x manzana y 6y y 8x + 6y 0 ( / ) x + y 0 Dibujamos las rectas y hallamos los puntos de intersección: a) x + y = 300 x = 0 8x + 6y= 0 8x + 6y= 0 ( / ) x + y= 0 ( 00, ) (, ) 8x + 6y = 0 (/)x + y = 0 b) 6x + y = K c) x + 0y = 0 ( / ) x + y= 0 x = 0 ( 00, ) a) Función objetivo: F (x, y) = x + y. Dibujamos la dirección de x + y = K trazando x + y = 300. F (x, y) alcanza el máximo en el punto (0, 0). Es decir, hay que hacer 0 tartas de manzana y ninguna de nata. b) Función objetivo: F (x, y) = 6x + y. Dibujamos la dirección de 6x + y = K. El máximo para F (x, y) se consigue en cualquier punto, de coordenadas enteras, del lado que pasa por los puntos (0, 0) y (, ). demás de estas dos, las soluciones son (3, 6), (6, ) y (9, 8) (la primera coordenada indica las tartas de nata que habría que hacer y la segunda, las tartas de manzana). c) Función objetivo: F 3 (x, y) = x + 0y. Dibujamos la dirección de x + 0y = K trazando la recta x + 0y = 0. El máximo de F 3 (x, y) está en (, ): tartas de nata y de manzana. 3
Ejercicios y problemas resueltos Página 7. Optimización sin contexto Hazlo tú. En el mismo recinto, para qué valores es máxima la función z = 3x + y? Y mínima? z = 3x + y 3x + y = 3 3x + y = 0 3 3x + y = 7 Obtenemos el máximo en el vértice (3, ): z (3, ) = 3 3 + = 7 El mínimo está en el vértice (, 0), en el que: z (, 0) = 3 + 0 = 3. Optimización sin contexto Hazlo tú. on la misma función F (x, y) haz lo mismo para el siguiente recinto: F (x, y) = 3x + y x + 6y 30; x ; ; 3 x + 6y = 30 x y = 0 3 6 0 3x + y = 3x + y = 0 Obtenemos el máximo en el vértice d 30, 30 n: F d 30, 30 n= 3 30 + 30 = 0 = 9, El mínimo está en el vértice (0, 0), en el que: F (0, 0) = 3 0 + 0 = 0
3. Puntos de coordenadas enteras Hazlo tú. alcula x e y que hacen máxima y mínima la función z = x + y sujeta a estas restricciones: x e y deben ser números naturales y además: x + y 6; x + y 6; x + 3y 7 omo deben ser números naturales, añadimos las restricciones:,. La región que se obtiene es: 7 6 x + 3y = 7 3 3 6 7 8 x + y = 6 x + y = 0 x + y = 6 Tomamos una recta paralela a la función objetivo y vemos que, al trasladarla, los primeros puntos de la región factible por los que pasa son los de la recta x + y = 6. Por tanto, el valor mínimo se obtiene en los puntos (0, 6), (, ), (, ), (3, 3), (, ) y (, ). No hay máximo. La función x + y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. Página 8. oste mínimo Hazlo tú. En una granja hay un total de 9 000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es de 8 unidades de hidratos de carbono y 60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos productos ( y ) que aportan estas necesidades de consumo. ada envase de contiene unidades de hidratos de carbono y unidades de proteínas y cada envase de contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de proteínas. ada envase de cuesta 0, euros y cada envase de cuesta 0,0 euros. alcula el número de envases de cada tipo que se debe adquirir para que el coste sea mínimo. Halla el valor de dicho coste mensual mínimo. x = envases del producto y = envases del producto Hacemos una tabla con los datos: hidratos de carbono proteínas coste ( ) envase de 0, envase de 3 3 0,0
Las restricciones son: x + 3y 8 x + 3y 60 El coste que hay que minimizar es: oste = 0,x + 0,0y La región factible es: x + 3y = 60 30 0 0 0,x + 0,0y = 0 0 0 30 x + 3y = 8 Tomamos una recta paralela a la función objetivo y vemos que al trasladarla, el primer punto de la región factible por donde pasa es su vértice (6, ) (corte de las rectas x + 3y = 8 y x + 3y = 60). Este será el valor mínimo. Es decir, para cada conejo, para minimizar el coste, hay que comprar 6 envases de tipo y de tipo. Para 9 000 conejos habrá que comprar 6 9 000 = 000 envases de tipo y 9 000 = 08 000 envases de tipo. El coste mensual mínimo será: oste = 0, 000 + 0,0 08 000 = 3 60 Página 9. eneficio máximo Hazlo tú. En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P, Q y R. Se dispone de 90 toneladas de P, 90 de Q y 70 de R. Se desea fabricar dos tipos de pienso, M y M. Una vagoneta de pienso M requiere t de P, t de Q y t de R y se vende a 00, y una vagoneta de M requiere t de P, t de Q y t de R, y se vende a 000. uántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayor beneficio? x = toneladas de pienso M y = toneladas de pienso M Hacemos un tabla con los datos: ingrediente P (t ) ingrediente Q (t ) ingrediente R (t ) coste ( ) vagoneta de pienso M 00 vagoneta de pienso M 000 6
Las restricciones son: x + y 90 x + y 90 x + y 70 eneficio que se quiere maximizar: z = 00x + 000y en euros. La representación de la región de validez y la función objetivo es: x + y = 90 6x + y = 0 0 0 30 0 0 x + y = 70 0 0 30 0 0 x + y = 90 El último punto de la región factible en el que tocan las rectas paralelas a la función objetivo es el vértice (30, 30), punto en el que z será máxima. Por tanto, deben facturarse 30 toneladas de M y 30 toneladas de M. 6. Solución múltiple Hazlo tú. Un tendero va al mercado central con su furgoneta, que puede cargar 700 kg, y con 00 en el bolsillo, a comprar fruta para su tienda. Encuentra las manzanas a 0,80 /kg y las naranjas a 0,0 /kg. El tendero cree que podrá vender las manzanas a 0,88 /kg y las naranjas a 0, /kg. Qué cantidad de manzanas y de naranjas le conviene comprar si quiere obtener el mayor beneficio posible? x = cantidad de manzanas (kg) y = cantidad de naranjas (kg) Las restricciones son: x + y 700 08, x + 0, y 00 eneficio que se quiere maximizar: z = 0,08x + 0,0y en euros. La representación de la región de validez y la función objetivo se muestra a la derecha: 7 700 600 00 00 300 00 00 0,08x + 0,0y = 0 0,8x + 0,y = 00 00 00 300 00 00 600 x + y = 700 omo la recta 0,8x + 0,y = 00 es paralela a la función de beneficio, cualquier punto del segmento es una solución válida. Es decir, cualquier cantidad de manzanas entre 00 kg y 6 kg y de naranjas entre 0 kg y 00 kg que verifique la igualdad 0,8x + 0,y = 00 conseguirá un beneficio máximo. Por ejemplo, comprar 00 kg de manzanas y 00 kg de naranjas, o 00 kg de manzanas y ninguna naranja, o 00 kg de manzanas y 360 kg de naranjas, hace que el beneficio que se obtiene en todos los casos sea máximo: z = 0,08 00 + 0,0 00 = 0 z = 0,08 6 + 0,0 0 = 0 z = 0,08 00 + 0,0 360 = 0
Página 0 7. Problema de transporte Hazlo tú. Una fábrica de tintas dispone de 000 kg del color, 800 kg del color y 300 kg del color, con los que fabrica dos tipos de tinta, una para la etiqueta de un refresco y otra para un cartel. ada bote de tinta de la etiqueta necesita 0 kg del color, kg del color y kg del color y cada bote de tinta del cartel requiere kg del y kg del. La fábrica obtiene un beneficio de 30 por cada bote de tinta para etiquetas y de 0 por cada uno de tinta para carteles. Si vende todos los botes fabricados, cuántos botes de cada tipo de tinta debe fabricar para maximizar su beneficio? uál es el beneficio máximo? x = número de botes de tinta para etiquetas y = número de botes de tinta para carteles Hacemos una tabla con los datos: tinta (kg) tinta (kg) tinta (kg) beneficio ( ) bote para etiquetas bote para carteles 0 30 0 0 Las restricciones son: 0x + y 000 x + y 800 x 300 eneficio que se quiere maximizar: z = 30x + 0y en euros. La representación de la región de validez y la función de beneficio es: 3x + y = 0 80 60 0 0 00 80 60 0 0 x = 60 x + y = 60 D x + y = 00 0 0 60 80 00 Evidentemente, la recta variable 30x + 0y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto (0, 0), es decir, debe fabricar 0 botes para etiquetas y 0 botes para carteles para maximizar el beneficio. El beneficio máximo será de 30 0 + 0 0 = 3 600. 8
Ejercicios y problemas guiados Página. Optimización de la función objetivo dada una región factible con datos continuos Maximizar la función F (x, y) = 6x + y 7 con las siguientes restricciones: x + y 6 x + y 0 x + y 3 La representación de la región de validez y la función objetivo es: x + y = 3 3 x + y = 0 3x + y = 0 D 3 x + y = 6 La recta variable 3x + y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto (, ). El máximo es F (, ) = 6 + 7 = 9.. Optimización de la función objetivo dada una región factible con datos discretos Maximizar F (x, y) = 00x + 00y teniendo en cuenta que el conjunto de soluciones son puntos de coordenadas enteras y con las siguientes restricciones: 0 x 0 y 8 x + 3y 30 La representación de la región de validez y la función objetivo se muestra a la derecha: 8 7 6 y = 8 La recta variable 00x + 00y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto (, 3). El máximo es F (, 3) = 00 + 00 3 = 600. 3 3x + y = 0 x + 3y = 30 3 x = 9
3. Mecánicos y electricistas En una empresa van a trabajar mecánicos y electricistas. Por necesidad del mercado debe haber mayor o igual número de electricistas que de mecánicos, y el número de electricistas no debe superar el doble del de mecánicos. Se necesitan al menos 0 electricistas y no hay más de 30 mecánicos disponibles. Si por cada mecánico se obtienen 000 de beneficio mensual y por cada electricista, 00, cuántos de cada clase se deben contratar para maximizar el beneficio? Llamamos x al número de mecánicos e y, al de electricistas. Restricciones: x y y x x 30 Función objetivo: F (x, y) = 000x + 00y La representación de la región de validez y la función objetivo es: x + y = 0 60 0 0 30 0 0 y = x x = y y = 0 0 0 30 0 0 60 x = 30 La recta variable 000x + 00y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto (30, 60). Hay que contratar 30 mecánicos y 60 electricistas para obtener un beneficio máximo.. Dos tipos de abonos na debe fertilizar los terrenos de su finca con dos abonos, y. El abono cuesta 0,9 /kg y el,, /kg. El abono tiene un 0 % de nitrógeno y un 0 % de fósforo, mientras que el contiene un 8 % y un %, respectivamente. Los terrenos están bien fertilizados con al menos 80 kg de nitrógeno y 0 kg de fósforo. uál es el gasto mínimo que debe hacer na para fertilizar de manera correcta sus terrenos? Llamamos x al número de kilos de abono e y al número de kilos de abono. Hacemos una tabla con los datos: fertilizante fertilizante necesidades nitrógeno 0 % 8 % 80 kg fósforo 0 % % 0 kg coste 0,9, La función objetivo es F (x, y) = 0,9x +,y en euros. 0
Las restricciones son: 0, x + 08, y 80 0, x + 0, y 0 La representación de la región de validez y la función beneficio es: 0,x + 0,8y = 80 00 000 800 600 00 0,9x +,y = 0 00 00 00 600 800 000 00 00 0,x + 0,y = 0 La recta variable 0,9x +,y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice ( 00, 0). na debe comprar solo 00 kg de fertilizante para realizar un gasto mínimo. Este gasto será de F ( 00, 0) = 0,9 00 = 080.
Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Maximiza la función F (x, y) = x + 0y sometida a las siguientes restricciones: x+ y 0 3y x x 00 y 0 Dibujamos las rectas y hallamos los puntos de corte: 0 0 x + 0y = 0 x + y = 0 x = 00 D 3y = x y = 0 3y= x y = 0 ( 30, 0) ( 00, 0) y = 0 x = 00 x = 00 x + y= 0 ( 00, 0) D( 90, 30) 00 0 x + y= 0 3y= x F ( ) = F (30, 0) = 90 F ( ) = F (00, 0) = 700 F ( ) = F (00, 0) = 900 F (D ) = F (90, 30) = 80 El máximo se alcanza en (00, 0) y vale 900. a) Maximiza y minimiza la función F (x, y) = x + 3y con las siguientes restricciones: x+ y x+ 3y 9 b) Haz lo mismo con la función G (x, y) = y x. Representamos las rectas y la región que cumple las condiciones del problema: y x = 0 x + 3 y = 0 x + 3 y = 9 y = x x = 0 y= x ( 0, ) ( 3, ) y= x x + 3y= 9 x + 3y= 9 ( 03, ) x = 0 a) Dibujamos x + 3y = 0 para ver la dirección de las rectas x + 3y = K. F ( ) = F (0, ) = ; F ( ) = F (3, ) = ; F ( ) = F (0, 3) = 9. El máximo de F (x, y) se alcanza en (0, ), y el mínimo, en (0, 3). b) Dibujamos y x = 0 para ver la dirección de las rectas y x = K. G ( ) = G (0, ) = ; G ( ) = G (3, ) = ; G ( ) = G (0, 3) = 3. El máximo de G (x, y) se alcanza en (0, ), y el mínimo, en (3, ).
3 Maximiza la función z = x + y + sujeta a las siguientes restricciones: 0 y 0 x 0 x y y x 6 3x+ y Representamos las rectas y la dirección de x + y + = K. Obtenemos la región que cumple las condiciones del problema: y x = 6 x = 0 x = y y x = 6 x = 0 x = 0 x = y ( 0, 6) ( 0, 0) D x = y d, 3x + y= 7 7 n 3x + y = x + y + = 0 3x + y= y x = 6 D( 06, ) z = F (x, y) = x + y + F ( ) = F (0, 6) = 37; F ( ) = F (0, 0) = ; F ( ) = F d, n = ; F (D ) = F (0, 6) = 7 7 7 7 El máximo se alcanza en el punto (0, 6) y vale 37. En la región determinada por x + y, x + 3y 9, x + y 8, e, halla el punto en el que la función F (x, y) = x + 3y alcanza su valor mínimo. Puede alcanzar su máximo en esa región? Representamos las rectas, la dirección de x + 3y = K y la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que e. x + y = x + y = 8 x = 0 ( 08, ) x + y= 8 x + y= 8 x y ( + =, ) x + 3y = 9 D x + 3y = 0 x + y= ( 3, ) x + 3y= 9 x + 3y= 9 D y 0 ( 90 =, ) El mínimo de F (x, y) se encuentra en uno de los vértices de la región factible: F ( ) = F (0, 8) = F ( ) = F (, ) = F ( ) = F (3, ) = F (D ) = F (9, 0) = 8 El mínimo se alcanza en el punto (3, ) y vale. No tiene máximo, pues hay puntos en la región en los que F (x, y) toma valores tan grandes como queramos. 3
alcula los puntos del siguiente recinto: x+ y 0 x y 0 0 y 0 que hacen mínima o máxima la función z = x + y. uántas soluciones hay? Representamos las rectas x + y= 0 x y= 0 y obtenemos la región que cumple las restricciones dadas. y = 0 y = 0 Representamos la dirección de las rectas x + y = K dibujando x + y = 0. Esta recta es paralela a x + y = 0, que determina uno de los lados del recinto. y = 0 x + y = 0 x y = 0 x + y = 0 y = 0 0 Hay infinitos puntos que hacen mínima la función: todos los que están sobre el segmento de recta x + y = 0, con 0 x 0. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x y= 0 Punto (0, 0) y = 0 6 Es posible maximizar y minimizar la función z = x + y + sujeta a estas restricciones?: 3x + y 3 0 x 3y 3 0 x y 7 0 Para obtener el recinto que cumple las restricciones del problema, representamos las rectas: 3x + y 3 = 0 x 3y 3= 0 x y 7= 0 Para ver la dirección de z = x + y +, representamos la recta x + y + = 0. 3x + y 3 = 0 x + y + = 0 x y 7 = 0 x 3y 3 = 0 No existe máximo ni mínimo.
7 Las rectas x + y = 8, x + 3y = y x + y = 6 se cortan dos a dos en tres puntos que son los vértices de un triángulo T. Sea S la intersección del triángulo T con el primer cuadrante. Halla el máximo de la función z = x + 3y cuando x e y varían en S. Expresa el recinto mediante un sistema de inecuaciones. Representamos las rectas: x + y= 8 x + 3y= x + y= 6 para obtener el triángulo T y la región que hemos sombreado, S. Representamos la dirección de las rectas z = x + 3y = K dibujando x + 3y = 0. x + 3y = x + 3y = 0 x + y = 6 S x + y = 8 T El máximo se alcanza en el punto de corte de x + y = 6 con el eje X; es decir, en el punto (6, 0). El máximo vale z = 6 + 3 0 = 80. x 0, y 0 x + y 8 El sistema de inecuaciones que representa el recinto es: x + 3y x + y 6 8 Dibuja el recinto determinado por: x 0; y 0 y x+ 0 y 0 y+ x 0 a) Localiza los puntos de este recinto en los que la función objetivo F (x, y) = x + y se hace máxima y mínima, respectivamente. b) Sobre el mismo recinto, halla el máximo y el mínimo de la función G (x, y) = x + y. Representamos las rectas: x = 0, y= 0 y x + = 0 y = 0 y+ x = 0 y obtenemos el recinto que cumple las condiciones del problema. Representamos la dirección de las rectas x + y = K dibujando la recta x + y = 0. Representamos la dirección de las rectas x + y = K dibujando la recta x + y = 0. x + y = 0 y + x = 0 y = y x + = 0 x + y = 0 a) F (x, y) alcanza el máximo en el punto de intersección de las rectas: y+ x = 0 x = Punto d, n y = y = F (x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0).
b) G (x, y) alcanza el máximo en el punto de corte de las rectas: y x + = 0 x = Punto (, ) y+ x = 0 y = El máximo vale G (, ) =. G (x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0) y vale G (0, 0) = 0. 9 onsidera el triángulo de vértices (0, 0), (, 8) y (0, 3). Determina razonadamente el punto en el que cada una de las siguientes funciones alcanza su máximo: a) F (x, y) = x + y + 9 b) F (x, y) = x + y + Sabemos que el máximo se alcanza en algún vértice (o en un lado). alculamos el valor de la función dada en cada uno de los vértices: a) F (x, y) = x + y + 9 F( 00, ) = 9 F( 8, ) = 9 Hay infinitos puntos que hacen máxima la función: todos los puntos del lado que F( 0, 3) = 8 une los vértices (0, 0) y (, 8). b) F (x, y) = x + y + F( 00, ) = F( 8, ) = 8 La función alcanza el máximo en el punto (0, 3). F( 0, 3) = 0 Define mediante un sistema de inecuaciones cada uno de los recintos representados en las siguientes figuras: a) b) 8 6 0 0 6 8 0 0 c) d) 80 60 0 0 000 000 0 0 60 80 000 000 a) x 3 y x + y b) 3x + y 0 x, x 7, x y 0 c) x y+ 0 y 0 x + y 0 d) y x 3x + y 90 0 y 000 x 0 6
a) alcula los puntos donde se hace máxima y mínima la función F (x, y) = x + y para la región de validez del apartado a) del ejercicio anterior. Haz lo mismo para estas otras funciones: b) Para el apartado b): G (x, y) = x + y c) Para el apartado c): H (x, y) = 3x + y d) Para el apartado d): I (x, y) = x 3y a) La representación de la región de validez y la función objetivo es: 8 6 D La recta variable x + y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice D (7, ); y su valor mínimo en el vértice (3, ). x + y = 0 6 8 b) La representación de la región de validez y la función objetivo es: 0 0 D 0 0 x + y = 0 La recta variable x + y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice D (7,; 6,); y su valor mínimo en el vértice (,;,). c) La representación de la región de validez y la función objetivo es: x + y = 0 80 60 0 0 0 0 60 80 3x + y = 0 La recta variable 3x + y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice (0, 0). No hay máximo en esta región pues H (x, y) se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. d) La representación de la región de validez y la función objetivo es: x + y = 0 000 000 000 000 x 3y = 0 La recta variable x 3y = K no toma un valor máximo ni mínimo en esta región. La función I (x, y) se puede hacer tan grande y tan pequeña como se quiera en el recinto propuesto. 7
Suponemos que en el apartado b) del ejercicio 0 solo consideramos los números enteros de la región de validez. a) Indica todas las posibles soluciones de dicha región. b) alcula los puntos de la región que hacen máxima y mínima la función F (x, y) = x + y. c) Halla los puntos que hacen máxima y mínima la función G (x, y) = x y. a) Las soluciones posibles son los puntos señalados en la siguiente figura: 6 0 8 6 6 8 0 6 8 b) 6 0 8 6 x + y = 0 6 8 0 6 8 c) La recta variable x + y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto (7, 6), y su valor mínimo en el punto (3, ). 6 0 8 6 x + y = 0 6 8 0 6 8 omo las rectas x y = 0 y x y + = 0 son paralelas a la función objetivo, G (x, y) alcanza el máximo en: (, ), (6, 3), (8, ), (0, ), (, 6), (, 7), (6, 8); y alcanza el mínimo en: (3, 9), (, 0), (7, ), (9, ), (, 3), (3, ), (, ) y (7, 6). 8
Página 3 Para resolver 3 Una persona tiene 000 para invertir en dos tipos de acciones, y. El tipo tiene un interés anual del 9 %, y el tipo, del %. Decide invertir, como máximo, 9 000 en, y como mínimo, 3 000 en. demás, quiere invertir en tanto o más que en. a) Dibuja la región factible. b) ómo debe invertir los 000 para que el beneficio sea máximo? uál es ese beneficio anual máximo? a) Llamamos x a la cantidad de euros invertidos en acciones de tipo e y a la cantidad de euros invertidos en acciones de tipo. Las restricciones del problema son: x 900 y 300 x y x + y 00 Representamos las rectas y obtenemos la región factible, que es la zona sombreada: 00 x + y = 00 x = 900 y = x 00 y = 300 00 900 00 b) La función objetivo es F (x, y) = 0,09x + 0,0y. Vemos cuál es el valor de esta función en los vértices de la región factible: 00 00 x + y = 00 x = 900 y = x Q R P y = 300 S 00 900 00 0,09x + 0,0y = 0 P (300, 300) S (900, 300) x + y= 00 Q( 70, 70) x = y x + y= 00 x = 900 R( 900, 600) F (P ) = F (300, 300) = F (Q ) = F (70, 70) = 0 F (R ) = F (900, 600) = F (S ) = F (900, 300) = 96 Para que el beneficio sea máximo, se deben invertir 900 en acciones de tipo y 600 en acciones de tipo. El beneficio máximo anual es de. 9
Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta imperial y la tarta de lima. La tarta imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 8. La tarta de lima necesita kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 0. En el almacén les quedan 0 kilos de azúcar y 0 huevos. a) Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? b) Se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 tartas imperiales y 9 tartas de lima? c) uántas unidades de cada tipo de tarta debe elaborar la confitería para obtener el mayor ingreso por ventas? a) Llamamos x al número de tartas de tipo imperial e y al número de tartas de lima. Las restricciones del problema son: 0, x + y 0 8 x + y 0 8x + 8y 0 8 x + y x, y enteros Representamos el conjunto de restricciones: 0 x + y = x + y = 0 0 Las posibles combinaciones de especialidades que pueden hacer se corresponden con los puntos de coordenadas enteras dentro de este recinto, incluida la frontera. b) Por tanto, sí se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 imperiales y 9 de lima. c) La función que da los ingresos por ventas es F (x, y) = 8x + 0y. Tendremos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + 0y = 0 x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas 8x + 0y = K. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y= Punto (0, ) x + y= 0 Por tanto, han de fabricar 0 tartas imperiales y de lima. 0 x + y = x + y = 0 0 8x + 0y = 0 0
Una persona quiere invertir 00 000 en dos tipos de acciones y. Las de tipo tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 0 %. Las de tipo son más seguras, pero producen solo el 7 % nominal. Decide invertir como máximo 60 000 en la compra de acciones y, por lo menos, 0 000 en la compra de acciones. demás, quiere que lo invertido en sea, por lo menos, igual a lo invertido en. ómo debe invertir los 00 000 para que el beneficio anual sea máximo? Llamamos x al dinero invertido en acciones de tipo e y al dinero invertido en acciones de tipo (x e y en decenas de miles de euros). Las restricciones del problema son: x + y 0 0 x 6 y x y La función F (x, y) = 0,x + 0,07y da el beneficio anual y hemos de maximizarla, sujeta a las restricciones señaladas. Representamos el recinto de restricciones y la recta 0,x + 0,07y = 0 0x + 7y = 0, que da la dirección de las rectas 0,x + 0,07y = K. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y= 0 Punto (6, ) x = 6 Por tanto, debe invertir 60 000 en acciones de tipo y 0000 en acciones de tipo. x = 0 x + y = 0 0x + 7y = 0 x = 6 x = y y = 6 Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo se hace con g de oro y, g de plata, y se vende a. La de tipo se vende a 30 y lleva, g de oro y g de plata. Si solo dispone de 70 g de cada metal, cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Llamamos x al número de unidades de tipo e y al número de unidades de tipo. Las restricciones del problema son: x 0, y 0 x +, y 70, x + y 70 La función que tenemos que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es: F (x, y) = x + 30y Representamos el conjunto de restricciones y la recta x + 30y = 0 x + 6y = 0, que da la dirección de las rectas x + 30y = K. El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas:, x + y= 70 Punto (300, 300) x +, y= 70 00 300,x + y = 70 x +,y = 70 Por tanto, ha de fabricar 300 joyas de cada uno de los dos tipos. 00 00 300 00 x + 30y = 0
7 Un sastre tiene 80 m de tela de algodón y 0 m de tela de lana. Un traje de caballero requiere m de algodón y 3 m de lana, y un vestido de señora necesita m de cada una de las telas. Halla el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. Llamamos x al número de trajes e y al número de vestidos. Resumimos la información en la tabla siguiente: Las restricciones del problema son:, y 0 x + y 80 3x + y 0 algodón lana traje x 3x vestido y y total x + y 3x + y Si llamamos k al beneficio obtenido por la venta de un traje o de un vestido, la función que nos da el beneficio total es F (x, y) = k(x + y). Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones y la recta k (x + y) = 0 x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas k (x + y) = K. 0 3x + y = 0 0 x + y = 80 0 0 x + y = 0 El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: 3x + y= 0 Punto (0, 30) x + y= 80 Por tanto, debe confeccionar 0 trajes y 30 vestidos. 8 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Hacer una chaqueta representa usar la máquina de cortar h; la de coser, 3 h, y la de teñir, h. Hacer unos pantalones representa usar la máquina de cortar h; la de coser, h y la de teñir, ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante 3 horas; la de coser, horas, y la de cortar, 7 horas. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de 8 por chaqueta y por pantalón. ómo emplearemos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? Llamamos x al número de chaquetas e y al número de pantalones. Las restricciones del problema son:, y 0; x, y enteros x 3 x + y 7 3x + y
F (x, y) = 8x + y es la función que nos da el beneficio. Tenemos que maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas que son de la forma 8x + y = K. x = 3 8x + y = 0 x + y = 7 3x + y = El máximo se alcanza en el punto (, ). Por tanto, han de fabricarse chaquetas y pantalones. 9 Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de mg de vitamina y 6 mg de vitamina en el pienso que da a su reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso, P y P, cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo aparecen en la tabla. P 6 P 3 El kilogramo de pienso P vale 0,0 y el de P vale 0,60. ómo deben mezclarse los piensos para suministrar a las reses las vitaminas requeridas con un coste mínimo? Si llamamos x a los kilos de pienso P e y a los kilos de pienso P, las restricciones del problema son:, y 0 x + y 8 x + y 6x + 3y 6 8 x + y La función que nos da el coste es F (x, y) = 0,x + 0,6y. Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 0,x + 0,6y = 0 x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas 0,x + 0,6y = K. x + y = x + 3y = 0 x + y = El mínimo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y= Punto d, x + y= 3 3 n Por tanto, se deben mezclar 3 kg de pienso P con kg de pienso P 3. 3
0 Una industria papelera elabora dos clases de papel a partir de dos tipos de madera. Las cantidades de madera (en metros cúbicos) necesarias por tonelada de fabricación de cada tipo de papel y las disponibilidades semanales son: papel papel disponibilidades madera 8 8 6 madera 8 0 a) Si el beneficio neto por cada tonelada de papel del tipo y son 00 000 y 00 000, respectivamente, cuánto papel de cada clase nos dará el beneficio máximo? b) naliza gráficamente qué ocurre si las disponibilidades de madera se reducen a 0 metros cúbicos. a) Llamamos x a la cantidad de papel e y a la cantidad de papel. Restricciones: 8x + 8y 6 8 x + y 8 x + 8y 0 8 x + y La función que nos da el beneficio es: F (x, y) = 00 000x + 00 000y La representación de la región de validez y la función objetivo es: 8 7 6 3 x + y = 3 6 7 8 9 0 3 3 x + y = 0 x + y = 8 omo la recta x + y = es paralela a la función de beneficio, cualquier punto del segmento es una solución válida. Es decir, cualquiera cantidad de papel entre 0 t y 3, t y de papel entre 0 t y, t que verifique la igualdad x + y = conseguirá un beneficio máximo. b) En este caso, la primera de las restricciones sería x + y. Y la región de validez sería: 8 7 6 3 x + y = 3 6 7 8 9 0 3 3 x + y = 0 x + y = La recta variable x + y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice (0; 6,).
Una empresa constructora dispone de un terreno de 00 dam para construir dos tipos de casas. Las casas de tipo ocuparían una superficie de dam y las de tipo, de dam. Sobre plano ya se han vendido casas de tipo y 8 de tipo, por tanto, deben construir al menos esas unidades. demás, por estudios de mercado han decidido construir al menos el triple de casas de tipo que de tipo. a) uántas casas pueden construir de cada tipo? Plantea el problema y representa el conjunto de soluciones. b) Si por cada casa de tipo obtienen un beneficio de 00 000, y por cada casa de tipo, uno de 60 000, cuántas deben construir de cada tipo para maximizar beneficios? a) Llamamos x al número de casas de tipo e y al número de casas de tipo. Restricciones: x + y 00 8 x + y 0 x y 8 y 3x El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez cuyas coordenadas son números naturales. Son los puntos de la cuadrícula que están dentro de la región siguiente: 8 6 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 y = 8 y = 3x 6 8 0 6 8 0 6 8 x = x + y = 0
b) La función que nos da el beneficio es: F (x, y) = 00 000x + 60 000y 8 6 x + 3y = 0 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 y = 8 y = 3x 6 8 0 6 8 0 6 8 x = x + y = 0 La recta variable 00 000x + 60 000y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice (, ). Se deben construir casas de tipo y casas de tipo para maximizar beneficios. 6
Página Una compañía minera extrae dos tipos de carbón, hulla y antracita, de forma que todo el carbón extraído es vendido. Por exigencias gubernamentales, debe extraer diariamente al menos el triple de camiones de hulla que de antracita. demás, por la propia infraestructura de la compañía, como mucho se pueden extraer 80 camiones de carbón en un día y al menos 0 de ellos deben ser de antracita. a) uántos camiones de cada tipo de carbón se pueden extraer en un día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Podría extraer en un día 0 camiones de hulla y de antracita? b) Si por cada camión de hulla ganan 000 y por cada uno de antracita, 6 000, cuántos camiones de cada tipo debería extraer en un día para maximizar sus ganancias? a) Llamamos x al número de camiones de hulla e y al número de camiones de antracita. Restricciones: x 3y x + y 80 y 0 El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez siguiente cuyas coordenadas son números naturales: 30 0 0 x + y = 80 x = 3y y = 0 0 0 30 0 0 60 70 80 El punto (0, ) no está en la región, luego no se podrían extraer en un día 0 camiones de hulla y de antracita. b) La función que nos da el beneficio es: F (x, y) = 000x + 6 000y La representación de la región de validez y la función beneficio es: 30 0 0 x + y = 80 x = 3y y = 0 0 0 30 0 0 60 70 80 x + 3y = 0 La recta variable 000x + 6 000y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice (60, 0). Hay que extraer 60 camiones de hulla y 0 de antracita para maximizar las ganancias. 7
3 Se dispone de 0 refrescos de cola con cafeína y de 80 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos: Tipo, con 3 refrescos con cafeína y 3 sin cafeína. Tipo, con refrescos con cafeína y sin cafeína. El vendedor gana 6 por cada paquete que vende de tipo y por cada paquete de tipo. alcula de forma razonada cuántos paquetes ha de vender de cada tipo para que el beneficio sea máximo. uál es ese beneficio? Llamamos x al número de paquetes de tipo e y al número de paquetes de tipo. Resumimos la información en una tabla: Las restricciones del problema son: 3x + y 0 3x + y 80 ref. disponibles con cafeína 3x y 0 sin cafeína 3x y 80 ganancia ( ) 6x y La función objetivo es la de ganancias, G (x, y) = 6x + y. Hemos de maximizar esta función, sometiéndola a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 6x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas 6x + y = k. 60 3x + y = 0 P Q 3x + y = 80 0 R 0 0 6x + y = 0 60 El máximo se alcanza en uno de los vértices de la región factible (zona sombreada). P (0, ) 3x + y= 0 Q( 0, 30) 3x + y= 80 R (0, 0) G (P ) = G (0, ) = ; G (Q ) = G (0, 30) = 70; G (R ) = G (0, 0) = 0 El máximo beneficio es de 70, y se alcanza vendiendo 0 paquetes de tipo y 30 paquetes de tipo. 8
Un tren de mercancías puede arrastrar un máximo de 7 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para los coches ha de dedicar un mínimo de vagones, y para las motocicletas, no menos de la mitad de los vagones dedicados a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 0 por cada vagón de coches y de 360 por cada vagón de motos, cómo se han de distribuir los vagones para obtener el máximo ingreso? uál es ese ingreso? Llamamos x al número de vagones para coches e y al número de vagones para motos. Restricciones: x + y 7 x y x La función que nos da los ingresos es: F (x, y) = 0x + 360y La representación de la región de validez y la función de beneficio es: 0 x y = 0 0 0 3x + y = 0 x = x + y = 7 El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez cuyas coordenadas son números naturales. La recta variable 0x + 360y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice (8, 9). Se deben transportar 8 vagones de coches y 9 vagones de motos para maximizar el ingreso. Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 00 socios a ver un partido de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 0 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 60, y el de cada microbús, de 900. La empresa solo dispone, ese día, de 8 conductores. Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo coste posible? uál es ese coste? a) Llamamos x al número de autobuses a y al de microbuses. Las restricciones del problema son las siguientes:, y 0 x + y 8 0x + 30y 00 x, y enteros La función que nos da el coste, función objetivo, es: F (x, y) = 60x + 900y Hemos de minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. 9
Representado el conjunto de restricciones, la región factible es la zona coloreada: 0x + 30y = 00 x + y = 8 60x + 900y = 0 8 El mínimo se alcanzará en uno de los vértices de esta zona (representamos también, 60x + 900y = 0). x + y= 8 (8, 0) F ( ) = F (8, 0) = 6 336 x + 3y= 0 (8, 0) F ( ) = F (8, 0) = 7 06 (, 0) F ( ) = F (, 0) = 6 08 El mínimo se alcanza en el punto (, 0). Es decir, deben contratarse autobuses y ningún microbús. b) El valor del coste mínimo es 6 08. otra resolución Este problema se puede resolver de forma trivial sin programación lineal. Precio por persona en autobús 60 : 0 =,0 Precio por persona en microbús 900 : 30 = 30 Por tanto, es más barato ubicar en autobuses a tantos viajeros como sea posible, y si pueden ser todos, mejor. 00 viajeros : 0 plazas/autobús = autobuses En autobuses caben los 00 aficionados. 6 Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, y. Tiene dos factorías, F y F. En F se producen diariamente 6 coches tipo y tipo, con un coste de 3 000 diarios. F no funciona más de 0 días. En F se producen de y de, con un coste de 000 diarios. Para abastecer el mercado, se han de poner a la venta al menos 360 coches de tipo y al menos 300 de tipo. uántos días debe funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo? uál es ese coste? Llamamos x al número de días que debe funcionar F e y al número de días que debe funcionar F. olocamos los datos en una tabla y escribimos las restricciones del problema: factoría f factoría f n. de coches modelo 6x y 360 modelo x y 300 coste 3000x 000y 0 x 0 6x + y 360 x + y 300 Hemos de minimizar la función objetivo, F (x, y) = 3 000x + 000y. 30
Representamos las restricciones del problema y la dirección de la función objetivo. La región factible es la zona sombreada: 90 P P (0, 90) 7 6x + y= 360 Q (30, ) x + y= 300 0 Q 6 x + y = 360 x = 0 R 0 0 60 3000x + 000y = 0 x + y = 300 7 x + y=300 R (0, ) x = 0 F (P ) = F (0, 90) = 60000 F (Q ) = F (30, ) = 00000 F (R ) = F (0, ) = 00000 El coste mínimo, 00000, se obtiene cuando la factoría F funciona 30 días y la F funciona días. 7 Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias y. Un kilo de contiene 8 gramos del primer elemento y gramo del segundo; un kilo de tiene gramos del primer elemento y gramo del segundo. Se desea obtener, como mínimo, gramos del primer elemento, la cantidad del segundo ha de ser como mucho 0 gramos y la cantidad de utilizada debe ser como mucho, el cuádruple que la de. Si un kilo de vale 0 y uno de vale, qué cantidades de y se deben comprar para minimizar los costes globales? Llamamos x a los kilos de que compraremos e y a los kilos de. elemento elemento coste ( /kg) 8 0 Restricciones: 8x + y 8 x + y 6 x + y 0 y x La función que nos da el coste es: F (x, y) = 0x + y La representación de la región de validez y la función de coste es: 9 8 7 6 3 y = x D 3 6 7 8 9 0 x + y = 0 x + y = 6 x + y = 0 La recta variable 0x + y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice (, ). Se deben comprar, para minimizar los costes globales, kg de y kg de. 3
8 Una fábrica hace dos tipos de mesas: clásicas y modernas. ada mesa del modelo clásico requiere horas de lijado y 3 horas de barnizado, y deja un beneficio de 00. No deben fabricarse más de 9 de estas mesas. ada mesa moderna necesita 3 horas de lijado y horas de barnizado, y su beneficio es de 00. Entre mesas clásicas y modernas no pueden fabricarse más de 7. a) Si se dispone de 8 horas para lijado y de 60 horas para barnizado, cuántas mesas de cada tipo ha de fabricar para que sus beneficios sean máximos? b) Qué información ha resultado superflua para la resolución del problema? a) Llamamos x al número de mesas clásicas e y al número de mesas modernas. Disponemos los datos en una tabla y definimos las restricciones del problema: mesa clásica mesa moderna disponible lijado (h) x 3y 8 barnizado (h) 3x y 60 x + 3y 8 beneficio ( ) 00x 00y 3x + y 60 x + y 7 La función objetivo que hay que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es F (x, y) = 00x + 00y. Representamos el recinto y la recta de ecuación x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas 00x + 00y = K. El máximo se alcanza en un punto de coordenadas enteras de la región factible. 0 Trazamos paralelas a la recta x + y = 0 por cada vértice de esta región: (0, ), (/7, 96/7), (9, ), D (9, 0). De estas rectas, la que pasa por (9, ) es la de mayor ordenada en el origen. En ese punto se alcanza el máximo de la función objetivo. Por tanto, hay que fabricar 9 mesas clásicas y mesas modernas. 3 x + y = 0 0 x 9 x + 3y = 8 x = 9 3x + y = 60 D 0 x + y = 7 b) Es superfluo el dato que nos indica que no pueden fabricarse más de 7 mesas entre clásicas y modernas. 9 Un agricultor estima que el cuidado de cada metro cuadrado de plantado de lechugas requiere semanalmente minutos, mientras que el de col exige 0 minutos. Dispone de un terreno de 0 m de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de las dos verduras, pero quiere plantar al menos 3 m más de col que de lechugas. El metro cuadrado de lechugas le reporta un beneficio de 3, mientras que el de col le proporciona. Ha planificado obtener al menos un beneficio de 60. Qué extensión de cada verdura le interesa plantar si su objetivo es dedicar el mínimo tiempo al cuidado del cultivo? Llamamos x a los metros cuadrados de lechugas que debe plantar e y a los matros cuadrados de coles. Restricciones: y x + 3 x + y 0 3x + y 60 La función que nos da el tiempo en minutos es: F (x, y) = x + 0y
La representación de la región de validez y la función de tiempo es: 0 3 30 0 0 D y = x + 3 x + y = 0 0 0 30 3 0 9x + 0y = 0 3x + y = 60 La recta variable x + 0y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice (0, ). Se deben destinar, para minimizar el tiempo dedicado al cuidado del cultivo, m a coles y nada a lechugas. 30 En una bodega se producen vinos de crianza y de reserva. Por problemas de diseño, la producción de ambos tipos de vino no debe superar los 60 millones de litros y la producción de vino de reserva no debe superar el doble de la de vino de crianza ni ser inferior a su mitad. Si la bodega comercializa el litro de vino de crianza a y el de reserva a 9, cuál es el diseño de producción que maximiza los ingresos? Llamamos x a los millones de litros de crianza e y a los millones de litros de reserva. Restricciones: x + y 60 y x y x La función que nos da los ingresos en millones de euros es: F (x, y) = x + y La representación de la región de validez y la función de ingresos es: 0 y = x 30 0 y = x 0 x + y = 60 0 0 30 0 x + y = 0 La recta variable x + y = K toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice (0, 0). El diseño de producción que maximiza los ingresos es en el que se producen 0 millones de litros de crianza y 0 millones de litros de reserva. 33
Página Para profundizar 3 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas, T y T, para lo que usa tres ingredientes,, y. Dispone de 0 kg de, 90 kg de y 0 kg de. Para fabricar una tarta T debe mezclar kg de, kg de y kg de, mientras que para hacer una tarta T, necesita kg de, kg de y kg de. a) Si se venden las tartas T a 0 y las tartas T a 3, qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b) Si se fija el precio de una tarta del tipo T en, cuál será el precio de una tarta del tipo T si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T y del tipo T? Llamamos x al número de tartas de tipo T e y al número de tartas de tipo T. Las restricciones del problema son:, y 0 x + y 0 x + y 90 x + y 0 a) La función que nos da los ingresos es F (x, y) = 0x + 3y. Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones, así como la recta 0x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas 0x + 3y = K : 00 0 x + y = 0 x + y = 90 x + y = 0 0 0x + 3y = 0 00 El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: x + y= 0 Punto (0, 0) x + y= 90 Por tanto, deben fabricarse 0 tartas de tipo T y 0 tartas de tipo T. b) Si llamamos p al precio de la tarta de tipo T, los ingresos vendrían dados por la siguiente función: G (x, y) = x + py. Si la función G (x, y) alcanza el máximo en el punto (60, ), que no es un vértice, será porque hay infinitas soluciones y la recta x + py = 0 será paralela a x + y = 90. Por tanto: x + py = 0 8 pendiente = p x + y= 90 8 pendiente = sí, el precio de una tarta del tipo T será de 30. = 8 p = p 30 3
3 Una empresa de automóviles tiene dos plantas P y P de montaje de vehículos en las que producen tres modelos: M, M y M 3. De la planta P salen semanalmente 0 unidades del modelo M, 30 del M y del M 3. De la planta P salen 0 unidades del M, 0 del M y 70 del M 3 cada semana. La empresa necesita al menos 800 unidades de M, al menos 600 de M y al menos 800 de M 3. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 36 000 semanales, cuántas semanas ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? uál es el coste mínimo? Llamamos x a las semanas que debe funcionar la planta P e y a las semanas que debe funcionar la planta P. m m m 3 gasto ( /semana) planta p 0 30 36 000 planta p 0 0 70 36 000 necesidades 800 600 800 Restricciones: 0x + 0y 800 8 x + y 80 30x + 0y 600 8 3x + y 60 x + 70y 800 8 3x + y 360 La función que nos da el coste es: F (x, y) = 36 000x + 36000y La representación de la región de validez y la función de coste es: 80 60 0 0 3x + y = 360 D 0 0 60 80 00 0 x + y = 0 3x + y = 60 x + y = 80 La recta variable 36 000x + 36 000y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice (0, 0). Para minimizar los gastos debe funcionar 0 semanas la planta P y 0 semanas la planta P. El coste es: F (0, 0) = 36 000 0 + 36 000 0 = 60 000. 3
33 Don Elpidio decide emplear hasta 30 000 de su patrimonio en la adquisición de acciones de dos sociedades de inversión: LL e ISS. El precio de cada acción es de 0 en ambos casos. LL dedica el 3 % de su actividad al sector seguros, el % al sector inmobiliario y el 0 % al industrial. ISS dedica el 30 % de sus recursos al sector seguros, el % al inmobiliario y el % al industrial. Don Elpidio no quiere invertir más del 0 % de su capital en el sector industrial ni más del 3 % en el inmobiliario. uántas acciones debe adquirir de cada sociedad si LL prevé entregar un dividendo de,0 / acción e ISS de /acción? Llamamos x al número de acciones que adquiere de LL e y al número de acciones que adquiere de ISS. Hagamos una tabla que resuma la información que nos dan: precio seguros inmobiliaria industrial acciones bbl 0x 3,x,x x acciones issa 0y 3y,y,y total 0x + 0y 3,x + 3y,x +,y x +,y Las restricciones del problema son:, y 0 0x + 0y 30 000 8 x + y 3 000 x +, y 000, x +, y 0 00 La función que nos da los beneficios es F (x, y) =,x + y. Tenemos que maximizarla, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta,x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas,x + y = K. 3000,x +,y = 000 000 x +,y = 000 000 x + y = 3000 000 000 3000 000,x + y = 0 El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas: x + y= 3 000 Punto (00, 00), x +, y= 0 00 Debe adquirir 00 acciones de cada una de las dos sociedades. 36
3 Una empresa compra 6 locomotoras a tres fábricas: 9 a, 0 a y 7 a. Las locomotoras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: de ellas en la estación N y en la S. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla (en miles de euros): N 6 3 S 0 verigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo. Resumimos los datos en una tabla y escribimos las restricciones del problema (tendremos en cuenta que todos los datos de la tabla deben ser positivos o cero y que x e y deben ser enteros): total N x y x y S 9 x 0 y x + y total 9 0 7 6 La función que nos da el coste (en miles de euros) es:, y 0 x + y x + y x 9 y 0 F (x, y) = 6x + y + 3( x y) + (9 x) + 0(0 y) + (x + y ) = x 3y + 9 Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones: x + y = Q 0 P x 3y = 0 x = 9 y = 0 U x + y = R T S 9 Los vértices del recinto son: P (0, 0) Q (, 0) R (9, ) S (9, 0) T (, 0) U (0, ) Hallamos F (x, y) en cada uno de los vértices: F (P ) = F (0, 0) = 9 F (Q ) = F (, 0) = 3 F (R ) = F (9, ) = 79 F (S ) = F (9, 0) = 8 F (T ) = F (, 0) = 6 F (U ) = F (0, ) = 37 El coste mínimo, 9 miles de euros, se alcanza en el punto P (0, 0). Por tanto, el reparto de locomotoras debe efectuarse como se indica en la tabla: total N 0 0 S 9 0 6 total 9 0 7 6 37
utoevaluación Página Representa el recinto limitado por estas inecuaciones: x+ y 7 x y 6 Halla los valores máximo y mínimo de la siguiente función en ese recinto: F (x, y) = 90x + 60y. (, ) 90x + 60y = 0 x = x + y = 7 90x + 60y = 0 y = 6 (, 6) (, 6) F (x, y) toma el valor máximo en (, 6): F (, 6) = 90 + 60 6 = 0 F (x, y) toma el valor mínimo en (, 6): F (, 6) = 90 + 60 6 = 0 Representa el recinto descrito por las inecuaciones: x 0, y 0 0 x 0 0 y 0 x+ y 3 x+ y Halla el máximo y el mínimo de las siguientes funciones: a) F (x, y) = x + y b) G (x, y) = x + y c) H (x, y) = x y d) I (x, y) = x + y + La región factible es la zona sombreada de la siguiente figura: 0 x 0 8 x 0 0 y 0 8 y 0 x + y 3 8 y 3 x x + y 8 y x x + y = 0 x + y = 3 (0, 0) (3, 0) (0, 6) x + y = 3 x + y = 0 x = 0 E(0, ) x + y = 3 D(0, 3) x y = 0 0 y = 0 38