roblemes de Geometria per a l SO 151 1501- n la figura, TRN és un pentàgon regular, és un triangle equilàter i ON és un quadrat etermineu la mesura de l angle R R Tots els tres polígons tenen els costats iguals L angle interior d un polígon regular de n costats mesura 180(n ) α = n L angle interior del pentàgon regular mesura: RN = 108º O N T N = 90º = 60º ( RN + N + ) 10º R = 360º = l triangle R és isòsceles, R = R, per tant: 180º R R = = 39º = R, aleshores:
150- n la figura dues circumferències 1, tenen una 1 corda comuna Les rectes, tallen la circumferència 1 en els punts S i Y, respectivament Si = 6, = 5, = 7 i X = 16, determineu la X mesura del segment XY X = + X = 1 plicant la potència del punt respecte de la circumferència 1 : Y X = Y 5 1 = 7 Y Resolent l equació: Y = 15 Siga α = XY plicant el teorema del cosinus al triangle 6 = 5 + 7 5 7 cos α 19 leshores, cos α = 35 plicant el teorema del cosinus al triangle XY XY = 1 + 15 1 15 cos α 19 = 1 + 15 1 15 35 : XY : XY = 34 XY = 18
1503- Tots els costats de la figura mesuren 10 cm i els angles interiors són de 30º, 60º, 150º i 300º etermineu l àrea de la figura KöMaL, K439 esembre 014 40 K M 10 N 10 60º L 10 K = KL = LM = 10 KLM = 60º leshores, el triangle KLM = 150º, leshores, KM = 90º KLM és equilàter = 40 L àrea de la figura és igual a l àrea del rectangle NM = 10 40 400cm S =
1504- Siga un quadrat de costat 1 I Siguen, F, I H els punts migs dels costats,,,, respectivament Siga G la intersecció dels segments, FI Siga M la intersecció dels segments, HI etermineu l àrea del quadrilàter MGI KöMaL, 160 esembre 014 H M G F Sigq la projecció de G sobre Siga Q la projecció de M sobre Siga x = G = MQ F = G = x 1 = x ls triangles rectangles, plicant el teorema de Tales: x 1 = 1 x Resolent l equació: 1 x = 6 I = 1 MG = 1 x = 3 L àrea del cometa MGI és: 1 1 1 S MGI = MG I = 1 = 3 3 G són semblants Q H M I G F
1505- n la figura, O és el centre de la circumferència La semirecta N és tangent a la circumferència en el punt és un punt de la circumferència tal que N és perpendicular a N Si N = 15 i N = 9 determineu el radi de la circumferència O N Siga r = O = O radi de la circumferència de centre O Siga la projecció de sobre el segment O ' = N = 9, ' = N = 15 O' = r 9 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle r = (r 9) + 15 Resolent l equació: r = 17 O ' : O ' N
1506- n un polígon regular F, = 10º etermineu el nombre de costats del polígon Siga n el nombre de costats del polígon regular Siga α = quest angle és inscrit en la circumferència circumscrita al polígon regular i abraça parts de circumferència de les n parts que abraça el polígon: 1 360º 360º α = = n n és un angle interior del triangle: 360º = 180º n = α + 10º leshores: 360º 360º 180 º = + 10º n n Resolent l equació, n = 1 F
1507- n la figura, un rectangle tal que = 0, = 10 W W i K fora del triangle tal que W = K = 1, W = K = 16 etermineu la longitud del segment WK Siga O el centre del quadrat l triangle K és simètric del triangle W respecte de O Siga H la projecció de W sobre el costat Siga la projecció de O sobre la recta WH K Siga Q la projecció de O sobre el costat l triangle L àrea del triangle W és rectangle ja que W és: W W 1 16 S W = = = 96 0 WH S W = = 96 48 leshores, WH = 5 = 1 16 0 + plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle W : Q H W O 48 36 H = 1 = 5 5 48 73 W = WH + = + 5 = 5 5 K 36 14 O = H = 10 = 5 5 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle WO : 14 73 OW = + = 1 5 5 WK = OW = 1
1508- n la figura, els segments, són tangent a la circumferència ( i pertanyen a la circumferència) el punt tracem una paral lela al segment que talla la circumferència en el punt Si = 49 i = 8, determineu la longitud del segment = = 49 Siga O el centre de la circumferència Siga la projecció de sobre Siga Q la projecció de sobre O La recta O és mediatriu de la corda Siga x = = Q Siga h = = Q Q = 49 x, Q = 49 + x plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle h + (49 x) = 49 (1) : plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle + x 8 () Q : h = onsiderem el sistema format per les expressions (1) (): h h + (49 x) + x = 8 = 49 x = 8 Resolent el sistema: h = 1 5 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle Q : ( 1 5 ) = 63 = 57 +
1509- n la figura, = = 90º Si = 75, = 1, = 0 i = 17, determineu la longitud del segment plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle = 75 1 = 7 = = 7 47 = 5 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle = 5 0 = 15 Siga α =, β = plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle 4 3 cos α =, sin α = 5 5 plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle 4 cos β =, 5 7 sin β = 5 plicant el teorema del cosinus al triangle = 0 = 65 + 75 0 75 cos( α + β) : 4 4 3 7 = 0 + 75 0 75 = 45 5 5 5 5 : : : :
1510- n el quadrilàter QRS les diagonals que es tallen en el punt T són perpendiculars Si QR = 51, T = 3 i QT = 4 a) alculeu la longitud del costat Q b) alculeu l àrea del triangle QR Ricard eiró i struch Q 51 c) Si QS : R = 1 : 11 determineu el perímetre i l àrea del quadrilàter QRS S 3 4 T R a) plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle Q = 3 + 4 = 40 b) plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle Q = 51 4 = 45 R = 77 L àrea del triangle QR és: 1 1 S QR = R QT = 77 4 = 94 c) QS 1 = R 11 leshores, QS = 84 L àrea del quadrilàter QRS és: 1 1 S QRS = R QS = 77 84 = 334 TS = QS 4 = 60 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle S = 3 + 60 = 68 plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle RS = 45 + 60 = 75 l perímetre del quadrilàter QRS és; QRS = 40 + 51+ 68 + 75 = 34 QT : QTR : TS : STR :