10 Problemes d optimització
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- Encarnación Ruiz Soriano
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1 0 Problemes d optimitzció icrd Peiró i Estruch
2 icrd Peiró i Estruch Problem Dont un tetredre regulr d rest inscriviu un prism regulr tringulr de volum màim que ting un bse en l bse del tetredre i els ltres vèrtes en les restes lterls Determineu l proporció entre els volums del prism i l piràmide Problem Un cos està formt per un cilindre i dos cons superposts que tenen per bses les bses del cilindre Determineu el volum màim que pot tenir el cos mb l condició que h de ser inscrit en un esfer de rdi r Grcí Ardur 0 Problem L àre de l bse d un ortoedre és igul cm i l longitud de l digonl és cm Determineu: ) Les dimensions de l ortoedre de volum màim i el volum màim b) Les dimensions de l ortoedre d àre lterl màim i l àre màim Problem L bse de l piràmide MABC és el tringle rectngle isòsceles ABC, AB BC Les cres MBC i MAB són perpendiculrs l bse i MC Amb quin ltur de l piràmide l secció que pss pels punts B, M i pel punt mig de l rest AC té àre màim? Determineu l àre màim Gúsiev, 98 Problem 5 L bse de l piràmide MABC és el tringle rectngle ABC, C 90º, A 0º, AC cm L rest MA és perpendiculr l bse, MA cm En l piràmide MABC està inscrit un piràmide de vèrtes A, l bse de l qul és l secció de l piràmide dond pel plànol prl lel les restes MA, BC Determineu el volum màim de l piràmide inscrit Gúsiev, 99
3 icrd Peiró i Estruch Problem ) Clculeu el volum màim d un piràmide regulr tringulr inscrit en un esfer de rdi b) Clculeu el vlor màim de l sum de les restes d un piràmide regulr tringulr inscrit en un esfer de rdi Problem 7 Un piràmide té bse qudrd de costt dm Un de les restes lterls és perpendiculr l bse i mesur dm L piràmide es tll per un plànol prl lel l bse un distànci de l mtei Determineu l àre totl del prism recte que project quest secció sobre el plànol de l bse de l piràmide Determineu el vlor de per l qul és màim quest àre Problemes de Gru problem 97 Problem 8 Un ortoedre, de 00 dm de volum, té un rest de dm de longitud Determineu les ltres dues dimensions, si l àre totl h de ser l mínim possible Clculeu l àre Prov de Gru 98 Problem 77 Problem 9 Dont el tringle de vèrtes A(, 0), B (0, ), C (, 0) inscrivim en ell el rectngle MNPQ d àre màim, tl que els vèrte M, N pertnyen l costt AC, el vèrte P pertny l costt BC i Q pertny l costt AB Determineu els vèrtes del rectngle MNPQ i l seu àre Prov de Gru, 98, problem 5 Problem 0 En un disc metàl lic retllem un sector de mner que mb l prt restnt construïm un con de volum màim Determineu l ngle del sector que retllem Temes de Gru Problem 958
4 icrd Peiró i Estruch Problem Dont un tetredre regulr d rest inscriviu un prism regulr tringulr de volum màim que ting un bse en l bse del tetredre i els ltres vèrtes en les restes lterls Determineu l proporció entre els volums del prism i l piràmide Sig el tetredre regulr ABCS d rest AB Sig PQP Q el prism tringulr regulr tl que l bse el tringle equilàter Sig PQ PQ en l bse Sig O el bricentre del tringle OA ABC del tetredre ABC Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle AOS : OA El volum de l piràmide ABCS és: V Piràmide Sig PP ' h ltur del prism El tretredres regulrs ABCS, P Q S són semblnts, plicnt el teorem de Tles: h V h OS PP ' esolent l equció en l incògnit h: OS prism ( ) El volum del prism és: h ( ) V(), 0, Mimitzem l funció mitjnçnt el càlcul diferencil V'() V'() 0, 0, V"(0) 0, V" 0 Aleshores, és un màim reltiu estricte
5 icrd Peiró i Estruch 5 El volum màim del prism és: mà 7 V V L proporció entre els volums del prism i l piràmide és: 9 7 V V piràmide mà
6 icrd Peiró i Estruch Problem Un cos està formt per un cilindre i dos cons superposts que tenen per bses les bses del cilindre Determineu el volum màim que pot tenir el cos mb l condició que h de ser inscrit en un esfer de rdi r Grcí Ardur 0 Sig APBCQD l secció il del cos Sig O el centre de l esfer circumscrit l cos Sig Sig AB diàmetre de les bses del cilindre i els cons AD h ltur del cilindre Sig M el punt mig de AD OD r, OM, h MD Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle h r () Sig N el punt mig de CD h NQ r El volum del cos és: h V h r Substituint l epressió () en l epressió (): (h) h rh r h r V, 0, r V '(h) h rh r h () V'(h) 0 h rh r 0 esolent l equció: h r OMD : V "(h) h r V" r 0 Aleshores, h r és un màim reltiu estricte El volum màim és: V r 5 r 8 A D M Q N O P C B
7 icrd Peiró i Estruch Problem L àre de l bse d un ortoedre és igul cm i l longitud de l digonl és cm Determineu: ) Les dimensions de l ortoedre de volum màim i el volum màim b) Les dimensions de l ortoedre d àre lterl màim i l àre màim Sig l ortoede ABCDEFGH de digonl AG Sig AB Si l àre de l bse ABCD és, leshores: Sig AE b ltur de l ortoedre L digonl de l ortoedre és: b b ) El volum de l ortoedre és: V b b, leshores: V(),, V'() V'() 0, 0 esolent l equció: V() Estudint el signe de l primer derivd en V'() 0 en l intervl V'() 0 en l intervl,,,,,, leshores, és el màim de l funció En quest cs b El volum màim és: V() cm BC
8 icrd Peiró i Estruch b) L àre lterl de l ortoedre és: S b S(), 5 S'() S'() 0, ( )( )( 0 Fctoritznt:, ) 0 esolent l equció: Estudint el signe de l primer derivd en S'() 0 en l intervl és el màim de l funció En quest cs b L àre lterl màim és: S() 5,,,, S'() 0 en l intervl S() 559cm,, leshores,
9 icrd Peiró i Estruch Problem L bse de l piràmide MABC és el tringle rectngle isòsceles ABC, AB BC Les cres MBC i MAB són perpendiculrs l bse i MC Amb quin ltur de l piràmide l secció que pss pels punts B, M i pel punt mig de l rest AC té àre màim? Determineu l àre màim Gúsiev, 98 Per ser cres MBC i MAB són perpendiculrs l bse, BM és perpendiculr l bse Sig Sig BM h ltur de l piràmide AB BC Sig N el punt mig de l rest AC Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle h 8 h Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle BN L àre de l secció és l àre del tringle rectngle S(,h) h S(h) h 8 h, 0, 8 h 8h S'(h) h 8h h S'(h) 0, h 8h 0 esolent l equció: h MBC : BNC : MBN : Estudint el signe de l primer derivd en 0, 8 S'(h) 0 en l intervl 0,, S'(h) 0 en l intervl 0, 8, leshores, h és el màim de l funció L àre màim s ssolei qun h, i l àre màim S() h, S(h) h
10 icrd Peiró i Estruch Problem 5 L bse de l piràmide MABC és el tringle rectngle ABC, C 90º, A 0º, AC cm L rest MA és perpendiculr l bse, MA cm En l piràmide MABC està inscrit un piràmide de vèrtes A, l bse de l qul és l secció de l piràmide dond pel plànol prl lel les restes MA, BC Determineu el volum màim de l piràmide inscrit Gúsiev, 99 L secció formd pel plànol prl lel les restes MA, BC, és el rectngle PQS L piràmide APQS té ltur AP Sig AP Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle AB, BC Aplicnt el teorem de Tles ls tringles semblnts PQ ABC : ABC, AQP : PC Aplicnt el teorem de Tles ls tringles semblnts PS PC El volum de l piràmide APQS és: V PQ PS AP V(), 0, V() V'() V'() 0 0, resolent l equció: V"() V'() 0 Aleshores, és el màim de l funció V() ACM, El volum màim s ssolei qun i el volum màim és, 8 PCS : V() 97cm 0
11 icrd Peiró i Estruch Problem ) Clculeu el volum màim d un piràmide regulr tringulr inscrit en un esfer de rdi b) Clculeu el vlor màim de l sum de les restes d un piràmide regulr tringulr inscrit en un esfer de rdi Sig l esfer de centre O i rdi Sig l piràmide ABCS de bse el tringle equilàter Sig AB, AS BS CS b Sig G el bricentre OS OA Sig AOS Aplicnt el teorem del cosinus l tringle b b cos AG cos AOS Aplicnt rons trigonomètriques l tringle rectngle sin Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle SG cos sin SG cos sin ) El volum de l piràmide ABCS és: V SG ABC AOG AGS : V ( ) sin cos sin, 0, V ( ) sin sin cos sin 8sin cos 8sin cos sin sin cos V '( ) sin sin cos sin V'( ) 0 8sin cos 8sin cos sin 5 sin cos cos sin sin cos 0 cos cos sin sin cos 0 cos 5cos cos 0 cos 5 5 cos 0 Simplificnt: 5
12 icrd Peiró i Estruch Estudint el signe de l primer derivd: cos és un màim reltiu estricte b, és dir, és un tetredre regulr El volum màim és: Vrccos y Gràfic per, b) L sum de les restes és: f(,b) b y sin cos sin f ( ) sin cos, 0, f '( ) f'( ) 0 cos sin cos 0 cos cos sin cos sin cos cos 7cos 0 esolent l equció: cos, cos L solució sin cos no és solució de cos 0 cos
13 icrd Peiró i Estruch Estudint el signe de l primer derivd: cos és un màim reltiu estricte b, és dir, és un tetredre regulr L sum màim és: frccos y Gràfic per, y sin cos
14 icrd Peiró i Estruch Problem 7 Un piràmide té bse qudrd de costt dm Un de les restes lterls és perpendiculr l bse i mesur dm L piràmide es tll per un plànol prl lel l bse un distànci de l mtei Determineu l àre totl del prism recte que project quest secció sobre el plànol de l bse de l piràmide Determineu el vlor de per l qul és màim quest àre Problemes de Gru problem 97 Sig l piràmide ABCDM de bse qudrd ABCD, AB Sig AM l rest lterl perpendiculr l bse Sig P de l rest AM tl que AP L secció formd és el qudrt PQS, prl lel l qudrt ABCD Sig PQ c Els tringles rectngles ABM, PQM són semblnts Aplicnt el teorem de tles: Aleshores: L àre totl del prism que determin l projecció del qudrt PQS sobre l bse és: S PQ AP PQ S() Simplificnt: 0 8 S(), 0, 9 L funció és un pràbol conve el màim s ssolei en el vèrte 8 El vèrte és: 0dm S() L superfície màim és S dm 5 0 0
15 icrd Peiró i Estruch Problem 8 Un ortoedre, de 00 dm de volum, té un rest de dm de longitud Determineu les ltres dues dimensions, si l àre totl h de ser l mínim possible Clculeu l àre Prov de Gru 98 Problem 77 Sig l ortoedre ABCDA B C D d rest AB Siguen BC, AA' y El volum de l ortoedre és 00 leshores: y 00 5 y L àre de l ortoedre és: S(,y) ( y y) 00 () 5 S, 0, 00 S '() 00 S'() 0, 0 esolent l equció: S"(), S"(5) 0 Aleshores, 5 és un mínim reltiu estricte 5 L superfície mínim de l ortoedre s ssolei qun les ltre restes mesuren y 5dm i l superfície mínim és S() S(5) 0dm
16 icrd Peiró i Estruch Problem 9 Dont el tringle de vèrtes A(, 0), B (0, ), C (, 0) inscrivim en ell el rectngle MNPQ d àre màim, tl que els vèrte M, N pertnyen l costt AC, el vèrte P pertny l costt BC i Q pertny l costt AB Determineu els vèrtes del rectngle MNPQ i l seu àre Prov de Gru, 98, problem 5 Sig Sig ON, les coordendes de N són N (, 0) y OM, les coordendes de M són M( y, 0) Els tringles rectngles BOC, Aplicnt el teorem de Tles: PN PN QM ( ) PNC són semblnts Les coordendes de P són P, ( ) Els tringles rectngles BOA, Aplicnt el teorem de Tles: AM AM QM ( ) QM y OM AM QMA són semblnts Les coordendes de M són M, 0 Les coordendes de Q són Q, ( ) L àre del rectngle MNPQ és: S MN PN y ( ) S() S() ( ), 0, 8 8 S() 9 0 L funció és un pràbol conve el màim s ssolei en el vèrte 8 05 El vèrte és: 8 9 L superfície màim és S Les coordendes dels vèrtes del rectngle MNPQ són: M, 0, N, 0, P,, Q, 0 5 A Q M B O P N C
17 icrd Peiró i Estruch 7 Problem 0 En un disc metàl lic retllem un sector de mner que mb l prt restnt construïm un con de volum màim Determineu l ngle del sector que retllem Temes de Gru Problem 958 Sig el disc de centre O i rdi Sig l rc AB tl que AOB L longitud de l rc del sector que retllem és: L longitud de l rc que rest (que és igul l longitud de l circumferènci del con és: Sig r el rdi del con L seu longitud és: r Aleshores: r L genertriu del con és igul rdi del disc metàl lic Aplicnt el teorem de Pitàgores l tringle rectngle formt pel rdi del con l genertriu i l ltur, l ltur del con és: h El volum del con és: () V, on 0, () V 5 V'() 0 '() V 0 esolent l equció: 599rd En grus segesimls ' º Estudint el signe de l primer derivd, l funció és estrictment creient en, 0 i monòton decreient en, O A B
18 icrd Peiró i Estruch Aleshores, és el màim de l funció y Funció volum per 8
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